a3+b3+c3≥3abc多种证法_第1页
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文档简介

1、不同的思维火花,迥异的证法出于个人爱好，我自己想出了三种证法，并搜集了其他证法三种，罗列如下，以飨读者：1 作差法：分析：先作差，再变形（因式分解,配方等），最后判别正负。证明： 注：由a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a-b)+(b-c)+(c-a)可得另一结论：若a+b+c=0,则a3+b3+c3-3abc=0。其实，由a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a-b)+(b-c)+(c-a)还可看出：只要a+b+c0, a+b+c3abc即可成立。2 作商法：分析：欲证ab(b0),只需证a/b1.而在证明不等式中，最好把不确定的量（即a,b和c）放在不等号左边，把已确定的量

2、（即通过乘除可能得到的常数）放在不等号右边。也就是说，要证明不等式，只需证。下面证明该式成立。证明： 注：在证明过程中，若不等号同一边同时出现x与两项，可添“+1-1”；再使“x”与“1”配对并使用均值不等式，以便把x降次，使之变成；最后让与配对， 再次使用均值不等式，以求最值。3 传递法： 分析：不等式具有传递性：若ab,且bc，则ac.因为a+b2ab右边只有a和b的乘积ab，而的右边却是a,b,c三个量的乘积abc,所以应把式左右两边同乘以c,得 ac+bc2abc 同理，可得 ab+ac2abc ab+bc2abc 由，相加，得 ac+bc+ ab+ac+ ab+bc6abc所以要证明

3、不等式，只需证 2（a+b+c）ac+bc+ ab+ac+ ab+bc 。下面证明式成立。证明： a+b ab+ab 同理 b+c bc+bc c+a ca+ca 由，与相加，可得 a+b+ b+c+ c+aac+bc+ ab+ac+ ab+bc即 2（a+b+c）ac+bc+ ab+ac+ ab+bc4 添项减项法：证明： 注：”添项减项”中的”项”能够是常数，也能够是代数式.5 . 排序原理法：分析：由上面“作商法”分析过程可知，要证不等式，只需证，而 ，若设 ，则 ，即只需证 ，而由这个不等式左边 可联想到排序原理。下面用排序原理证明该不等式成立。证明：取两组数 其反序和为： 而 为乱序和，所以由排序原理可知 5 构造法：分析：我们已学的均值不等式有 ，而 ，所以可利用 来证明 ，从而证明 。所以，必须在 的左边构造出能够利用职权 的式子。 证明： 从这道不等式证明中，我理解

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