多自由度系统振动（b）

1、2021年6月22日 1 2021年6月22日 2 2021年6月22日 3 多自由度系统的固有频率多自由度系统的固有频率 作用力方程：作用力方程：)(tPKXXM n RX 固有振动方程：固有振动方程： （自由振动方程）（自由振动方程） 0MXKX 在考虑系统的固有振动时，最感兴趣的是系统的在考虑系统的固有振动时，最感兴趣的是系统的同步振动同步振动， 即系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的即系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的 规律都相同的运动规律都相同的运动 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 和单自由度系统一样，

2、自和单自由度系统一样，自 由振动时系统将以固有频由振动时系统将以固有频 率为振动频率率为振动频率 2021年6月22日 4 同步振动：同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时 间变化的规律都相同的运动间变化的规律都相同的运动 振动形式振动形式1 振动形式振动形式2振动形式振动形式3 三自由度系统三自由度系统 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 5 多自由度系统的固有频率多自由度系统的固有频率 作用力方程：作用力方程：)(tPKXXM n RX 固有振动方程：固有振动方程：

3、 （自由振动方程）（自由振动方程） 0MXKX )(tfX 1 )(Rtf 代表着振动的形状代表着振动的形状常数列向量常数列向量 T n 21 T n xxx 21 X 和单自由度系统一样，自和单自由度系统一样，自 由振动时系统将以固有频由振动时系统将以固有频 率为振动频率率为振动频率 同步振动：同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时 间变化的规律都相同的运动间变化的规律都相同的运动 运动规律的时间函数运动规律的时间函数 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 6 0MXK

4、X )(tf X 代入，并左乘代入，并左乘 ： T ( )( )0f tf t TT MK M K T T tf tf )( )( M 正定，正定，K 正定或半正定正定或半正定 对于非零列向量对于非零列向量 ： 0M T 0K T 半正定系统：半正定系统： 0 正定系统：正定系统： 0 2 n RX n R 0 M K T T )(常数 t 的函数的函数与与t 无关无关 令令 0 0 0M T 0K T 0M T 0K T 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 7 2 )( )( M K T T tf tf 0)()( 2 t

5、ftf 0 ,)( 0),sin()( battf tatf a、b、 为常数 为常数 0MXKX )(tf X （1）正定系统）正定系统 只可能出现形如只可能出现形如 的同步运动的同步运动)sin( taX 系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动 （2）半正定系统）半正定系统 可能出现形如可能出现形如 的同步运动的同步运动)sin( taX 也可能出现形如也可能出现形如 的同步运动的同步运动)(bat X（不发生弹性变形（不发生弹性变形 ） 主振动主振动 0 0 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统

6、的自由振动 2021年6月22日 8 M 正定，正定，K 正定正定 0主振动：主振动：)sin(taX 正定系统：正定系统：0MXKX n RX 将常数将常数 a 并入并入 中中)sin(tX T n 21 0)( 2 MK 有非零解的充分必要条件：有非零解的充分必要条件： 2 0KM特征方程特征方程 0 2 2 2 21 2 1 2 2 222 2 2221 2 21 1 2 112 2 1211 2 11 nnnnnnnn nn nn mkmkmk mkmkmk mkmkmk 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 9 0

7、2 2 2 21 2 1 2 2 222 2 2221 2 21 1 2 112 2 1211 2 11 nnnnnnnn nn nn mkmkmk mkmkmk mkmkmk 0 2 1 )1(2 1 2 nn nn aaa 解出解出 n 个值，按个值，按升序排列升序排列为：为： 22 2 2 1 0 n i ：第：第 i 阶固有频率阶固有频率 频率方程频率方程 或特征多项式或特征多项式 固有频率仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数固有频率仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数 1 ：基频：基频 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年

8、6月22日 采用位移方程求解固有频率采用位移方程求解固有频率 )(tFPXXFM 位移方程：位移方程： n R X 1 KF柔度矩阵柔度矩阵 0FMXX 自由振动：自由振动： 主振动：主振动： )sin(tX T n 21 代入，得：代入，得： ()0FMI 特征值特征值 2 /1 ？ 解释：解释： 0)( 2 MKMK 2 MKI 1 2 1 0) 1 ( 2 IFM 2 /1 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 11 采用位移方程求解固有频率采用位移方程求解固有频率 )(tFPXXFM 位移方程：位移方程： n R X

9、1 KF柔度矩阵柔度矩阵 0FMXX 自由振动：自由振动： 主振动：主振动： )sin(tX T n 21 代入，得：代入，得： ()0FMI 特征值特征值 2 /1 特征方程：特征方程： 0FMI 特征根按特征根按降序排列降序排列： 0 21 n 2 /1 ii 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 例：三自由度系统例：三自由度系统 kk kkk kk 30 2 03 K m m m 00 00 00 M 0 30 2 03 3 2 1 2 2 2 mkk kmkk kmk 0)( 2 MK 2 k m 0 310 121

10、013 3 2 1 2 0KM 1 1 3 2 4 3 mk/ 1 mk/732. 1 2 mk/2 3 m 2k mm k 2k k x1x2x3 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 13 多自由度系统的模态（主振型）多自由度系统的模态（主振型） 正定系统：正定系统： 0 主振动：主振动：)sin( taX 0MXKX n RX n R 2 ()0KM特征值问题：特征值问题： 特征值特征值 特征向量特征向量 n 自由度系统：自由度系统： （固有频率）（固有频率）（模态）（模态） i )(i 一一对应一一对应 ni1 1 )

11、( )( 1 )( n i n i i R 2( ) ()0 i i KM )(i i 、代入：代入： 第第i 阶模态阶模态 特征值问题特征值问题 振动的形状振动的形状 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 2( ) ()0 i i KM Ti n ii )()( 1 )( nnnn n 个方程个方程奇次方程组奇次方程组 0 0 0 )( )( 2 )( 1 2 2 2 21 2 1 2 2 222 2 2221 2 21 1 2 112 2 1211 2 11 i n i i nninnninnin ninii ninii

12、mkmkmk mkmkmk mkmkmk 当当 不是特征多项式重根时，上式不是特征多项式重根时，上式 n 个方程只有一个不独立个方程只有一个不独立 i 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元的某个元 素（例如素（例如 ）的项全部移到等号右端）的项全部移到等号右端 )(i )(i n 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 2( ) ()0 i i KM Ti n ii )()( 1 )( 当当 不是特征多项式重根时，上式不是特征多项式重根时，上式 n 个方程只有一个不独立个

13、方程只有一个不独立 i 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元的某个元 素（例如素（例如 ）的项全部移到等号右端）的项全部移到等号右端 )(i )(i n )( , 1 2 , 1 )( 11, 1 2 1, 1 )( 11 , 1 2 1 , 1 )( 1 2 1 )( 11, 1 2 1, 1 )( 111 2 11 )()()( )()()( i nnninn i nnninn i nin i nnin i nnin i i mkmkmk mkmkmk 若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用若这个方程组左端的系数行列式不为零

14、，则可解出用 表示表示 的的 )(i n )( 1 )( 2 )( 1 i n ii ， )(i 否则应把含否则应把含 的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组 nnnn n 个方程个方程奇次方程组奇次方程组 n -1个方程个方程非奇次方程组非奇次方程组 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 16 为使计算简单，令：为使计算简单，令：1 )( i n T i n iii 1 )( 1 )( 2 )( 1 )( 2( ) ()0 i i KM Ti n ii )()( 1 )( 当当 不是

15、特征多项式的重根时，上式的不是特征多项式的重根时，上式的 n 个方程中有且只有个方程中有且只有 一个不独立一个不独立 i 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元的某个元 素（例如素（例如 ）的项全部移到等号右端）的项全部移到等号右端 )(i )(i n )( , 1 2 , 1 )( 11, 1 2 1, 1 )( 11 , 1 2 1 , 1 )( 1 2 1 )( 11, 1 2 1, 1 )( 111 2 11 )()()( )()()( i nnninn i nnninn i nin i nnin i nnin i i mkmkm

16、k mkmkmk 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 17 例：三自由度系统例：三自由度系统 kk kkk kk 30 2 03 K m m m 00 00 00 M 0 30 2 03 3 2 1 2 2 2 mkk kmkk kmk 0)( 2 MK 2 k m 0 310 121 013 3 2 1 2 0KM 1 1 3 2 4 3 mk/ 1 mk/32. 1 2 mk/2 3 2k mmm k 2k k x1x2x3 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6

17、月22日 0 310 121 013 3 2 1 1 1 3 2 4 3 以以 为例进行说明为例进行说明1 1 将将 代入，有：代入，有：1 1 0 210 111 012 3 2 1 02 0 02 32 321 21 23 5 . 002 21 与第一个方程相同与第一个方程相同 方程组中有一式不独立方程组中有一式不独立 例如，将第三个方程去掉例如，将第三个方程去掉 321 21 02 0312 11 12 若令若令 1 3 整理整理 05 . 0 221 1 1 2 2 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 19 2( )

18、 ()0 i i KM Ti n ii )()( 1 )( )( , 1 2 , 1 )( 11, 1 2 1, 1 )( 11 , 1 2 1 , 1 )( 1 2 1 )( 11, 1 2 1, 1 )( 111 2 11 )()()( )()()( i nnninn i nnninn i nin i nnin i nnin i i mkmkmk mkmkmk 令：令：1 )( i n Ti n iii 1 )( 1 )( 2 )( 1 )( 解得：解得： )(i n 的值也可以取任意非零常数的值也可以取任意非零常数 i a )(i i a将解得将解得 也为特征向量也为特征向量 在特征向量

19、中规定某个元素的值以确定其他各元素的值的在特征向量中规定某个元素的值以确定其他各元素的值的 过程称为过程称为归一化归一化 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 20 正定系统：正定系统： 0主振动：主振动：)sin(taX 0MXKX n RX n R )(i i a将将 、 代入主振动方程代入主振动方程 i i 并将并将改为改为 第第 i 阶主振动阶主振动 ：)sin( )()( iii ii taX Ti n ii xx )()( 1 )( X Ti n ii )()( 1 )( 系统在各个坐标上都将系统在各个坐标上都将

20、以第以第 i 阶固有频率阶固有频率i 做做 简谐振动，并且同时通简谐振动，并且同时通 过静平衡位置过静平衡位置 )sin( )( )( 2 )( 1 )( )( 2 )( 1 iii i n i i i n i i ta x x x 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 21 第一阶主振动第一阶主振动 第二阶主振动第二阶主振动 第三阶主振动第三阶主振动 三自由度系统三自由度系统 系统在各个坐标上都将以第系统在各个坐标上都将以第 i 阶固有频率阶固有频率i 做做简谐振动，简谐振动， 并且同时通过静平衡位置并且同时通过静平衡位置

21、1 2 3 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 22 第第 i 阶主振动阶主振动 ：)sin( )()( iii ii taX Ti n ii xx )()( 1 )( X Ti n ii )()( 1 )( )( )( )( 2 )( 2 )( 1 )( 1 i n i n i i i i xxx )sin( )( )( 2 )( 1 )( )( 2 )( 1 iii i n i i i n i i ta x x x )sin( iii ta 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振

22、动 2021年6月22日 23 第第 i 阶主振动阶主振动 ：)sin( )()( iii ii taX Ti n ii xx )()( 1 )( X Ti n ii )()( 1 )( )( )( )( 2 )( 2 )( 1 )( 1 i n i n i i i i xxx 第第 i 阶特征向量阶特征向量 中的一列元素，就是系统做第中的一列元素，就是系统做第 i 阶主振动时阶主振动时 各个坐标上位移（或振幅）的相对比值各个坐标上位移（或振幅）的相对比值 )(i 虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振动虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振动 形态已确定形态已

23、确定 描述了系统做第描述了系统做第i 阶主振动时具有的阶主振动时具有的振动形态振动形态，称为，称为第第i 阶主阶主 振型振型，或，或第第 i 阶模态阶模态 )(i 主振动仅取决于系统的主振动仅取决于系统的 M 阵、阵、K 阵等物理参数，这一重要概念阵等物理参数，这一重要概念 是单自由度系统所没有的是单自由度系统所没有的 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 24 正定系统：正定系统： 0MXKX n RX nn R KM、 第第 i 阶主振动阶主振动 ：)sin( )()( iii ii taXni1 系统的固有振动：系统的固

24、有振动： n i iii i nnn n ta tataat 1 )( )( 222 )2( 111 )1( )sin( )sin()sin()sin()( X Ti n ii xx )()( 1 )( X Ti n ii )()( 1 )( n个主振动的叠加个主振动的叠加 模态叠加法模态叠加法 由于各个主振动的固有频率不相同，多自由度系统的固有振动由于各个主振动的固有频率不相同，多自由度系统的固有振动 一般不是简谐振动，甚至不是周期振动一般不是简谐振动，甚至不是周期振动 ：)1(,nia ii 初始条件决定初始条件决定 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统

25、的自由振动 2021年6月22日 正定系统：正定系统：0MXKX n RX 2 ()0KM特征值问题：特征值问题： 特征矩阵特征矩阵记为记为 B或或B() )(i 当当i不是重特征根时，可以通过不是重特征根时，可以通过 B 的伴随矩阵的伴随矩阵adjB求得相应求得相应 的主振型的主振型 根据逆矩阵定义根据逆矩阵定义 ：B B Badj 1 1 两边左乘两边左乘 ：BBBBIBadj 0)()( ii adjBB i 当当 时时 ：0)()( 2 ii adjBMK或或 2( ) ()0 i i KM T i n ii)()( 1 )( ()adj i B的任一非零列都是第的任一非零列都是第 i

26、 阶主振动阶主振动 )(i 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 26 例：两自由度弹簧质量系统例：两自由度弹簧质量系统 m2m 2kkk x1x2 求：固有频率和主振型求：固有频率和主振型 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 27 解：解： 0 0 3 2 20 0 2 1 2 1 x x kk kk x x m m 动力学方程：动力学方程： 令主振动：令主振动： )sin( 2 1 2 1 t x x 或直接用或直接用 2 ()0KM 0 0 23 2

27、2 1 2 2 mkk kmk 得：得： m2m 2k k k x1x2 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 28 0 0 3 2 20 0 2 1 2 1 x x kk kk x x m m 0 0 23 2 2 1 2 2 mkk kmk 0 0 231 12 2 1 0572 231 12 2 0 0 21 21 2 k m 令令 特征方程：特征方程： 5 . 2, 1 21 m k m k 581. 1, 21 1 1 为求主振型，先将为求主振型，先将 代入代入 ： 一个独立一个独立 1 2 令令 1 1 则则 1

28、1 1 ）（ 第一阶主振型：第一阶主振型： 1 2 令令 2 1 则则 57. 2 2 代入代入 1 2 2）（ 第二阶主振型：第二阶主振型： 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 29 1 1 1 ）（ 第一阶主振型：第一阶主振型： 1 2 2）（ 第二阶主振型：第二阶主振型： 画图：画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值 第一阶主振动第一阶主振动: 11 m2m 2kkk x1x2 mk / 1 mk /581. 1 2 两个质量以两个质量以1为振动频率

29、，同时经过各自的平衡位置，方向相为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相 同，而且每一时刻的位移量都相同同，而且每一时刻的位移量都相同 aa 同向运动同向运动 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 30 1 1 1 ）（ 第一阶主振型：第一阶主振型： 1 2 2）（ 第二阶主振型：第二阶主振型： 画图：画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值 -2 1 m2m 2kkk x1x2 第二阶主振动第二阶主振动: mk / 1 mk /581. 1 2 两个质量以

30、两个质量以2为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相 反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍 异向运动异向运动 2aa 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 31 1 1 1 ）（ 第一阶主振型：第一阶主振型： 1 2 2）（ 第二阶主振型：第二阶主振型： 第一阶主振动第一阶主振动: 同向运动同向运动 始终不振动点始终不振动点 11 -2 1 无节点无节点 一个节点一个节点 m2m 2kkk x1x2 第二阶主振动第二

31、阶主振动: 异向运动异向运动 mk / 1 mk /581. 1 2 节点节点 如果传感器放如果传感器放 在节点位置，在节点位置， 则测量的信号则测量的信号 中将不包含有中将不包含有 第二阶模态的第二阶模态的 信息信息 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 32 例：三自由度弹簧质量系统例：三自由度弹簧质量系统 2k mmm k 2k k x1x2x3 求：固有频率和主振型求：固有频率和主振型 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 33 解：解： 动力学方程：

32、动力学方程： 主振动：主振动： 或或 2 ()0KM 0 0 0 30 2 03 00 00 00 3 2 1 3 2 1 x x x kk kkk kk x x x m m m )sin( 3 2 1 3 2 1 t x x x 0 0 0 310 2 03 3 2 1 2 2 2 mk kmkk kmk 2k mmm k 2k k x1x2x3 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 0 0 0 310 2 03 3 2 1 2 2 2 mk kmkk kmk 2 k m 令令 0 0 0 310 121 013 3 2 1

33、 行列式行列式0 0)45)(3( 2 4, 3, 1 321 mkmkmk/2,/732. 1,/ 321 单根单根 可用伴随矩阵求振型可用伴随矩阵求振型 1)2)(3(31 3)3(3 131)2)(3( 310 121 013 2 adj MKB 2 特征矩阵特征矩阵0)()( 2 ii adjBMK 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 35 1)2)(3(31 3)3(3 131)2)(3( 310 121 013 2 adj 分别代入分别代入4, 3, 1 321 1 1 1 , 1 0 1 , 1 2 1 )3(

34、)2()1( 第二阶模态有第二阶模态有 1 个节点，第三阶模态有个节点，第三阶模态有 2 个节点，这由主振型个节点，这由主振型 内元素符号变号的次数可以判断出内元素符号变号的次数可以判断出 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 36 1 1 1 , 1 0 1 , 1 2 1 )3()2()1( 模态图形：模态图形： 1 1 2 1 -1 1 -1 1 第一阶模态：第一阶模态： 第二阶模态：第二阶模态： 第三阶模态：第三阶模态： 2k mmm k 2k k x1x2x3 无节点无节点 一个节点一个节点 两个节点两个节点 mk

35、/2 3 mk /732 . 1 2 mk / 1 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 37 单自由度系统单自由度系统 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 38 两自由度系统两自由度系统 第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态 一个节点一个节点 无节点无节点 节点位置节点位置 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 39 第一阶模态第一阶模态 第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态 三自

36、由度系统三自由度系统 节点位置节点位置 无节点无节点 一个节点一个节点两个节点两个节点 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 振动力学 40 第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态 第三阶模态第三阶模态第四阶模态第四阶模态 四自由度系统四自由度系统 一个节点一个节点 两个节点两个节点三个节点三个节点 节点位置节点位置 无节点无节点 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 41 小结：小结： n自由度系统有自由度系统有n个固有频率和个固有频率和n个模态，由特征值

37、方程个模态，由特征值方程 求出求出 2 ()0KM 固有频率按固有频率按升序排列升序排列，最低阶固有频率称为，最低阶固有频率称为基频基频 模态的节点模态的节点 当当i不是重特征根时，也可以通过不是重特征根时，也可以通过 B 的伴随矩阵的伴随矩阵adjB求求 得相应的主振型得相应的主振型 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 42 模态的正交性，主质量和主刚度模态的正交性，主质量和主刚度 )(i i )( j j 两式相减：两式相减： )(2)( )(2)( j j j i i i MK MK )()(2)()(j T i i

38、j T i MK )( j 转置右乘转置右乘 T i)( 左乘左乘 )()(2)()(j T i j j T i MK 0)( )()(22 j T i ji M ji ji 若若 时，时， 0 )()( j T i M 0 )()( j T i K 模态关于质量的正交性模态关于质量的正交性 模态关于刚度的正交性模态关于刚度的正交性 均满足：均满足： 当当 ij 时时 pi i T i m )()( M pi i T i k )()( K 第第 i 阶模态主质量阶模态主质量 第第 i 阶模态主刚度阶模态主刚度 )(i 第第 i 阶主模态阶主模态 恒成立恒成立 多自由度系统振动多自由度系统振动

39、/ 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 43 0 0 )()( )()( j T i j T i K M模态关于质量的正交性模态关于质量的正交性 模态关于刚度的正交性模态关于刚度的正交性 当当 ij 时时 pi i T i m )()( M 主质量主质量 pi i T i k )()( K主刚度主刚度 ji 当当 时时 利用利用 Kronecker 符号：符号： piij j T i piij j T i k m )()( )()( K M ji ji ij 0 1 第第 i 阶固有频率：阶固有频率： )1(ni m k pi pi i 多自由度系统振动多自由度

40、系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 主模态主模态： )()(i T i pi mM )()(i T i pi kK 第第 i 阶模态主质量阶模态主质量第第 i 阶模态主刚度阶模态主刚度 )(i 第第 i 阶主模态阶主模态 多自由度系统：多自由度系统： 0MXKX n R X nn R KM、 ni1 另一种模态：另一种模态：正则模态正则模态 定义：全部主质量皆为定义：全部主质量皆为1的主模态的主模态 )(i N 1 )()( i N T i Npi mM ni1 )()(i i i N c令：令： )()(i N T i N M )()( 1 i

41、pi i N m 正则模态和主模态之间的关系：正则模态和主模态之间的关系： )(i N 相对于相对于 的主刚度：的主刚度： 2)()()()( 1 i pi pi i T i pi i N T i N m k m KK pi i m c 1 pii mc 2 )()(2i T i i cM1 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 45 正则模态的正交性条件：正则模态的正交性条件： 2)()( )()( iij j N T i N ij j N T i N K M ji ji ij 0 1 piij j T i piij j T

42、 i k m )()( )()( K M 主模态的正交性条件：主模态的正交性条件： )()(i T i pi mM )()(i T i pi kK 第第 i 阶模态主质量阶模态主质量 第第 i 阶模态主刚度阶模态主刚度 )(i 第第 i 阶主模态阶主模态 主模态：主模态：ni1 1 )()( i N T i N M 2)()( i i N T i N K 主质量为主质量为1固有频率的平方固有频率的平方 )(i N 第第 i 阶正则模态阶正则模态 正则模态：正则模态：ni1 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 46 多自由度系

43、统：多自由度系统：0MXKX n R X nn R KM、 主模态主模态 )1( )( ni i 将将 组成矩阵组成矩阵 模态矩阵模态矩阵 )()1(n nn R ppnp T ppnp T kkdiag mmdiag KK MM ),( ),( 1 1 主质量矩阵主质量矩阵 主刚度矩阵主刚度矩阵 piij j T i piij j T i k m )()( )()( K M ni1正交性条件：正交性条件： 对角阵对角阵 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 47 )()1()()1(nTnT MM ppnp T mmdiag

44、MM ),( 1 推导：推导： )()1( )( )1( n T n T M )()1( )( )1( n T n T M M )()()1()( )()1()1()1( n T n T n n TT MM MM pn p m m 0 0 1 对角阵对角阵 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 48 多自由度系统：多自由度系统：0MXKX n R X nn R KM、 正则模态正则模态 )1( )( ni i N 将将 组成矩阵组成矩阵 正则模态矩阵正则模态矩阵 )()1(n NNN nn R K IM N T N N T N

45、 单位矩阵单位矩阵 谱矩阵谱矩阵 ni1 正交性条件：正交性条件： 2)()( )()( iij j N T i N ij j N T i N K M 2 2 1 n 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 49 多自由度系统：多自由度系统：0MXKX n RX nn R KM、 )(2)(i i i MK特征值问题：特征值问题： 依次取依次取 ，得到的，得到的 n 个方程，可合写为：个方程，可合写为：ni1 piij j T i piij j T i k m )()( )()( K M ni1 主模态正交性条件：主模态正交性条

46、件： MK 左乘左乘 ： T pp MK pp KM 1 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 50 例：三自由度系统例：三自由度系统 1 1 1 , 1 0 1 , 1 2 1 )3()2()1( 111 102 111 , )3()2()1( 模态矩阵：模态矩阵： k k k T p 1200 060 006 KK m m m T p 300 020 006 MM 主质量矩阵：主质量矩阵： 主刚度矩阵：主刚度矩阵：Kp、Mp非对角线项等于零说明非对角线项等于零说明 主振型是关于刚度阵及质量阵相主振型是关于刚度阵及质量阵相

47、互正交的互正交的 m k m k m k pp 4 00 0 3 0 00 1K M m k m k m k 4 3 2 3 2 2 2 1 谱矩阵：谱矩阵： 2k mmm k 2k k x1x2x3 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 51 111 102 111 , )3()2()1 ( 模态矩阵：模态矩阵： k k k T p 1200 060 006 KK m m m T p 300 020 006 MM 主质量矩阵：主质量矩阵： 主刚度矩阵：主刚度矩阵： m k m k m k pp 4 00 0 3 0 00 1

48、K M 谱矩阵：谱矩阵： )()( 1 i pi i N m 正则模态和主模态之间的关系：正则模态和主模态之间的关系： 231 202 231 6 1 , 3 )3( 2 )2( 1 )1( mmmm ppp N 正则模态矩阵：正则模态矩阵： K N T N IM N T N 不难验证，有：不难验证，有： 2k mmm k 2k k x1x2x3 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 52 模态叠加法模态叠加法 )(i )1(ni 模态模态相互正交相互正交 表明它们是线性独立的，可用于构成表明它们是线性独立的，可用于构成 n

49、维空间的基维空间的基 系统的任意系统的任意 n 维自由振动可唯一地表示为各阶模态的线性组合维自由振动可唯一地表示为各阶模态的线性组合 n i pi i x 1 )( X 即系统的振动为即系统的振动为 n 阶主振动的叠加阶主振动的叠加模态叠加法模态叠加法 T n xx 1 X物理坐标物理坐标 T pnpp xx 1 X主模态坐标主模态坐标 p XX nnn R )()1( 模态矩阵模态矩阵 n RX 1)( ni R 坐标关系：坐标关系： p T MM p T KK 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 53 另一种模态坐标：正

50、则模态坐标另一种模态坐标：正则模态坐标 T n xx 1 X 物理坐标物理坐标 T NnNN xx 1 X 正则模态坐标正则模态坐标 N X n i Ni i NNN x 1 )( XX T NnNN xx 1 X 系统响应：系统响应： nnn NNN R )(1) 正则模态矩阵正则模态矩阵 IM N T N K N T N 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 54 小结：小结： 多自由度系统：多自由度系统：0MXKX n RX nn R KM、 可采用两类模态坐标进行描述可采用两类模态坐标进行描述 主模态坐标主模态坐标 正

51、则模态坐标正则模态坐标 n i pi i p x 1 )( XX T pnpp xx 1 X p T MM p T KK )()1(n )(1)n NNN T NnNN xx 1 X n i Ni i NNN x 1 )( XX IM N T N K N T N 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 求解无阻尼系统对初始条件的响应求解无阻尼系统对初始条件的响应 可分别采用两类模态坐标进行求解可分别采用两类模态坐标进行求解 首先采用首先采用主模态坐标主模态坐标 自由振动方程：自由振动方程： 00 0 (0)(0) MXKX XX

52、XX ， n RX nn R KM、 T n xxx)0(,),0(),0( 210 X T n xxx)0(,),0(),0( 210 X p T MM p T KK p XX 坐标变换：坐标变换： p X：主模态坐标：主模态坐标：主模态矩阵：主模态矩阵 0 TT pp MX KX 代入，并左乘代入，并左乘 ： T 0 pppp M XK X 模态坐标初始条件：模态坐标初始条件： 0 1 )0(XX p 0 1 )0(XX p T pnppp xxx)0(,),0(),0( 210 X T pnppp xxx)0(,),0(),0( 210 X 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度

53、系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 56 自由振动方程：自由振动方程： 00 0 00()() MXKX XXXX ， n R X nn R KM、 p XX 坐标变换：坐标变换： 11 00 0 (0)(0) pppp pp M XK X X XX X ， )1(, 0nixkxm pipipipi T pnppp xxx)0()0(),0( 210 X T pnppp xxx)0()0(),0( 210 X )1(,sin )0( cos)0(nit x txx i i pi ipipi 在求得在求得 后，可利用后，可利用 式求得原系统的解式求得原系统的解 )1(n

54、ixpi p XX 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 57 求解无阻尼系统对初始条件的响应求解无阻尼系统对初始条件的响应 采用采用正则模态坐标正则模态坐标 自由振动方程：自由振动方程： 00 0 (0)(0) MXKX XXXX ， n R X nn R KM、 T n xxx)0(,),0(),0( 210 X T n xxx)0(,),0(),0( 210 X IM N T N K N T N NN XX 坐标变换：坐标变换： N X：正则模态坐标：正则模态坐标 N ：正则模态矩阵：正则模态矩阵 0 TT NNNN M

55、 X K X 代入，并左乘代入，并左乘 ： T N 0 NN IXX 模态坐标初始条件：模态坐标初始条件： 0 1 )0(XX NN0 1 )0(XX NN T NnNNN xxx)0(,),0(),0( 210 X T NnNNN xxx)0(,),0(),0( 210 X 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 58 自由振动方程：自由振动方程： 00 0 (0)(0) MXKX XXXX ， n RX nn R KM、 NN XX 坐标变换：坐标变换： 11 00 0 (0)(0) NN NNNN IXX X XX X ，

56、 )1(, 0 2 nixx NiiNi )1(,sin )0( cos)0(nit x txx i i Ni iNiNi 在求得在求得 后，可利用后，可利用 式求得原系统的解式求得原系统的解 )1(nixNi NN XX T NnNNN xxx)0(,),0(),0( 210 X T NnNNN xxx)0(,),0(),0( 210 X 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 59 例：三自由度弹簧质量系统例：三自由度弹簧质量系统 T 022 0 X T 000 0 X 求：系统在初始条件下的响应求：系统在初始条件下的响应

57、2k mmm k 2k k x1x2x3 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 60 T 022 0 X T 000 0 X 2k mmm k 2k k x1x2x3 解：解：动力学方程：动力学方程： 0 0 0 30 2 03 00 00 00 3 2 1 3 2 1 x x x kk kkk kk x x x m m m 231 202 231 6 1 m N 0 32 6 6/) 0 ( 0 1 m NN XX 0 0 0 ) 0 ( 0 1X X NN 模态初始条件：模态初始条件： 正则模态矩阵：正则模态矩阵： mk

58、/2 3 mk /3 2 mk / 1 固有频率：固有频率： 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 61 2k mmm k 2k k x1x2x3 0 0 0 30 2 03 00 00 00 3 2 1 3 2 1 x x x kk kkk kk x x x m m m 231 202 231 6 1 m N T NN m 0326 6/) 0 ( 0 1 XX T NN 000 ) 0 ( 0 1 XX 3 2 1 N N N N x x x X 模态坐标响应：模态坐标响应： mk /2 3 mk /3 2 mk / 1

59、t x txx i i Ni iNiNi sin )0( cos)0( 0 cos32 cos6 6 2 1 t t m 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 62 0 cos32 cos6 6 2 1 3 2 1 t t m x x x N N N N X 原系统响应：原系统响应： )( )( )( )( 3 2 1 tx tx tx tX 231 202 231 6 1 m N mk /2 3 mk /3 2 mk / 1 tt t tt 21 1 21 coscos cos2 coscos 0 cos32 cos6 6

60、231 202 231 6 1 2 1 t t m m NNX 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月22日 63 0 cos32 cos6 6 2 1 3 2 1 t t m x x x N N N N X 也可展开求解：也可展开求解： NN tXX)( 231 202 231 6 1 m N 3 2 1 )3()2() 1 ( N N N NNN x x x 3 1 )( i Ni i N x )( )( )( )( 3 2 1 tx tx tx tX tt t tt 21 1 21 coscos cos2 coscos NNX