巴特沃斯数字带阻滤波器

1、 数字信号处理课程设计报告 设计课题 滤波器设计与实现滤波器设计与实现 专业班级 姓 名 学 号 报告日期 20122012 年年 1212 月月 目录 1. 课题描述.2 2. 设计原理 .2 2.1 滤波器的分类.3 2.2 数字滤波器的设计指标.3 2.3 巴特沃斯数字带阻模拟滤波器.3 2.3.1 巴特沃斯数字带阻滤波器的设计原理.4 2.3.2 巴特沃斯数字带阻滤波器的设计步骤.7 3. 设计内容. 8 3.1 用 MATLAB 编程实现.10 3.2 设计结果分析. 10 4. 总结.10 5. 参考文献.11 第第 0 0 页页 共共 1515 页页 课程设计任务书 题 目滤波器

2、设计与实现 学生姓名学号 专业班 级 设 计 内 容 与 要 求 一、设计内容： 设计巴特沃斯数字带阻滤波器，阻带频率 200500hz，通带上 限频率 600hz, 通带下限频率 150hz，通带衰减为 0.5dB，阻带 最大衰减 20dB，采样频率 2000hz，画出幅频、相频响应曲线， 并设计信号验证滤波器设计的正确性 二、设计要求 1 设计报告一律按照规定的格式，使用 A4 纸，格式、封面统一给 出模版。 2 报告内容 （1）设计题目及要求 （2）设计原理 (包括滤波器工作原理、涉及到的 MATLAB 函数的说 明) （3）设计内容（设计思路，设计流程、仿真结果） （4）设计总结（收获

3、和体会） （5）参考文献 （6）程序清单 起止时间2012 年 12 月 3 日 至 2011 年 12 月 11 日 指导教师签名2011 年 12 月 2 日 系（教研室）主任 签名 年 月 日 学生签名年 月 日 第第 1 1 页页 共共 1515 页页 1 1 . .课题描述课题描述 数字滤波器是由数字乘法器、加法器和延时单元组成的一种算法 或装置。数字滤波器的功能是对输入离散信号的数字代码进行运算 处理，以达到改变信号频谱的目的。由于电子计算机技术和大规模 集成电路的发展，数字滤波器已可用计算机软件实现，也可用大规 模集成数字硬件实时实现。使用 MATLAB 信号处理箱和 BW（巴特

4、 沃斯）设计低通数字滤波器。 2.2.设计原理设计原理 2.1 滤波器的分类 数字滤波器有低通、高通、带通、带阻和全通等类型。它可以 是时不变的或时变的、因果的或非因果的、线性的或非线性的。如 果数字滤波器的内部参数不随时间而变化，则称为时不变的，否则 为时变的。如果数字滤波器在某一给定时刻的响应与在此时刻以后 的激励无关，则称为因果的，否则为非因果的。如果数字滤波器对 单一或多个激励信号的响应满足线性条件，则称为线性的，否则为 非线性的。应用最广的是线性、时不变数字滤波器。 数字滤波器也可以按所处理信号的维数分为一维、二维或多维 数字滤波器。一维数字滤波器处理的信号为单变量函数序列，例如 时

5、间函数的抽样值。二维或多维数字滤波器处理的信号为两个或多 个变量函数序列。 第第 2 2 页页 共共 1515 页页 2.2 数字带阻滤波器的设计指标 阻带频率 200500hz，通带上限频率 600hz, 通带下限频率 150hz，通带衰减为 0.5dB，阻带最大衰减 20dB，采样频率 2000hz 2.3 巴特沃斯数字带阻模拟滤波器 2.3.1 巴特沃斯数字带阻滤波器的设计原理 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2用下式表示： |Ha(j)|= 公式中，N 称为滤波器的阶数。在 =0 时，|Ha（j） |=1;=c 时，|Ha(j)|=1/， c 是 3dB 截止频率。在2

6、=c 附近，随 加大，幅度迅速下降。幅度特性与 和 N 的关， N 越大，通带越平坦，过渡带越宽，过渡带与阻带幅度下降的速度 越快，总是频响特性与理想低通滤波器的误差越小。 以 S 代替 j,将幅度平方函数|Ha（j）|2写成 s 的函数： Ha（S）Ha(-S)= 复变量 S=+j,此公式表明幅度平方函数有 2N 个极点，极点 Sk 用下公式表示： Sk= 公式中 K=0,1,2 ，2N-1。2N 个极点等间隔分布在半径为 c 的圆上，间隔是/N rad。为形成因果稳定的滤波器，2N 个极 第第 3 3 页页 共共 1515 页页 点中只取 S 平面左半平面的 N 个极点构成 Ha(S),而

7、右半平面的 N 个 极 点构成 Ha(-S)。Ha(S)的表达式为 Ha(S)=/ （S-Sk） 设 N=3,极点有六个，它们分 S0= S1=-c S2= S3= S4=c S5= 取 S 平面的左半平面的极点 S0,S1,S2 组成系统函数 Ha(S),即 Ha(S)= 由于不同的技术指标对应的边界频率和滤波器幅频特性不同，为 使设计公式和图表统一将频率归一化。巴特沃斯滤波器采用对 3dB 截止频率 c 归一化，归一化后的系统函数为 令=， 称为归一化频率，称为归一化 复变量，这样的巴特沃斯滤波器的归一化低通原型系统函数为 公式中，称为归一化极点，用下公式表示， k=0,1,;,N-1 显

8、然， Sk=c*Pk 第第 4 4 页页 共共 1515 页页 这样，只要根据技术指标求出阶数 N,按照公式求出 N 个 极点，再按得到归一化低通原型系统函数 Ga(), 如果给定 c，再去归一化，即将，代入中，便可得到 期望设计的系统函数 Ha(S)。 所使用的 MATLAB 函数： 1. 巴特沃斯滤波器阶数选择函数 （1）N,c=buttord(p，s，p，s，s) 作用： 计算巴特沃斯模拟滤波器的阶数 N 和 3dB 截止频率 c。 说明：p，s，c 均为实际模拟角频率。 模拟频率 f：每秒经历多少个周期，单位 Hz，即 1/s，信号 的真实频率，可用于模拟信号和数字信号； 模拟角频率

9、：每秒经历多少弧度，单位 rad/s，通常只于 模拟信号； 数字频率 w：每个采样点间隔之间的弧度，单位 rad，通常只 用于数字信号。 关系：=2pi*f；w = *T=2pi*f/F。(F=1/Ts 为采样频率， Ts 为采样间隔) 2.完整巴特沃斯滤波器设计函数 （1）格式： b，a=butter（N，wc，ftype） 作用： 计算 N 阶巴特沃斯数字滤波器系统函数分子、分母多 第第 5 5 页页 共共 1515 页页 项式的系数向量 b、a。 说明： 调用参数 N 和 wc 分别为巴特沃斯数字滤波器的阶数和 3dB 截止频率的归一化值，一般是调用 buttord 格式（1）计算 N

10、和 wc。系数 b、a 是按照 z-1 的升幂排列。 （2）格式：B，A=butter（N，c，ftype，s） 作用：计算巴特沃斯模拟滤波器系统函数的分子、分母多项式系数 向量。 说明：调用参数 N 和 c 分别为巴特沃斯模拟滤波器的阶数和 3dB 截止频率(实际角频率)，可调用 buttord（2）格式计算 N 和 c。 系数 B、A 按 s 的正降幂排列。 tfype 为滤波器的类型： ftype=high 时，高通；c 只有 1 个值。 ftype=stop 时，带阻；c=cl,cu，分别为带阻滤波 器的通带 3dB 下截止频率和上截止频率。 ftype 缺省时：若 c 只有 1 个值

11、，则默认为低通；若 c 有 2 个值，则默认为带通；其通带频率区间 cl cu。 3. 求离散系统频响特性的函数 freqz() 格式：H,w=freqz(b,a,N) 说明：b 和 a 分别为离散系统的系统函数分子、分母多项式的系 数向量，返回量 H 则包含了离散系统频响在 0pi 范围内 N 个频率 等分点的值（其中 N 为正整数），w 则包含了范围内 N 个频率等分 点。调用默认的 N 时，其值是 512。可以先调用 freqz()函数计算系 第第 6 6 页页 共共 1515 页页 统的频率响应，然后利用 abs()和 angle()函数及 plot()函数，绘 制出系统的频响曲线。

12、4. 模拟域频率变换函数 lp2lp（模拟低通滤波器变换为低通滤波器） lp2hp（模拟低通滤波器变换为高通滤波器） lp2bs（模拟低通滤波器变换为带阻滤波器） lp2bp（模拟低通滤波器变换为带通滤波器） 5. 滤波器离散化函数： bilinear（使用双线性变换法把模拟滤波器转换为数字滤波 器） impinvar（使用脉冲响应不变法把模拟滤波器转换为数字滤 波器） 2.3.2 巴特沃斯带阻数字滤波器的设计步骤 （1）确定滤波器的设计指标：；求出滤波去的阶 sps 、 p 数 N； （2）运用函数计算巴特沃斯低通滤波器的阶 sps buttord, p （） 数 N 和归一化 3db 截止

13、频率； c （3）运用函数求得低通滤波器的系统函数的分子、butter, c N（） 分母多项式形式； 第第 7 7 页页 共共 1515 页页 （4）设计模拟低通原型滤波器。用模拟低通滤波器设计方法得到 模拟低通滤波器的传输函数 Ha(s);借助巴特沃斯 (Butterworth)滤波器； （5）调用 lp2bp 函数将模拟低通滤波器转化为带阻低通滤波器； （6）利用双线性变换法将模拟带通滤波器 Ha(s)转换成数字带通 滤波器 H(z)； （7）作图显示滤波器的幅频特性和相位特性。 3 3 设计内容设计内容 3.1 用 MATLAB 编程实现 clear all fs=2000;T=1/f

14、s; rp=0.5;rs=20; wp1=(150/1000)*pi;wp2=(600/1000)*pi;ws1=(200/1000)*pi;ws2 =(500/1000)*pi;%数字数字带带阻阻滤滤波器的技波器的技术术指指标标 wc1=(2/T)*tan(wp1/2);%频频率率预预畸畸变变 wc2=(2/T)*tan(wp2/2);wr1=(2/T)*tan(ws1/2);wr2=(2/T)*tan(w s2/2); w0=sqrt(wc1*wc2);B=wc2-wc1; wp=1;%归归一化通一化通带带截止截止频频率率 ws=wp*(wr1*B)/(w02-wr12);%归归一化阻一化

15、阻带带截止截止频频率率 N,wc=buttord(wp,ws,rp,rs,s);%求求滤滤波器波器阶阶数与数与3dB截止截止频频率率 Z,P,K=buttap(N); Bd,Ad=zp2tf(Z,P,K);%将零极点形式将零极点形式转转化成化成传输传输形式形式 B,A=lp2bs(Bd,Ad,w0,B);%对对低通低通滤滤波器波器进进行行频频率率转换转换，转换为带转换为带阻阻滤滤 波器波器 第第 8 8 页页 共共 1515 页页 b,a=bilinear(B,A,2000);%利用双利用双线线性性变换变换法，法，转换转换成数字成数字滤滤波器波器 H,W=freqz(b,a); %数字数字带带

16、阻阻滤滤波器的幅波器的幅频频响响应应 subplot(2,2,1); plot(W*fs/(2*pi),abs(H);grid on; xlabel(频频率率/Hz);ylabel(幅幅值值); title(数字数字滤滤波器幅波器幅频频响响应应); subplot(2,2,2); plot(W*fs/(2*pi),angle(H);grid on; xlabel(频频率率/Hz);ylabel(相位相位); t=0:1:100; y=sin(45*t+1/4*pi)+sin(250*t+pi); subplot(2,2,3); plot(t,y);grid on; y1=filter(b,a,y); y2=fft(y1); subplot(2,2,4); plot(t,y2);grid on; 幅频，相频响应曲线： 第第 9 9 页页 共共 1515 页页 信号验证滤波器设计的正确性（附图） 经过滤波后 第第 1010 页页 共共 1515 页页 3.2 设计结果分析 设计巴特沃斯带阻数字滤波器时，发现 与 W 成非线性关系，所以 在图像呈现出非线性的关系，由于是带阻数字滤波，所以滤掉响应 部分后剩余的部分呈现平缓趋势。 4 4 总