第六章梁弯曲时的位移

1、第六章第六章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 第一节第一节 概述概述 第二节第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分 第三节第三节 叠加法求梁的位移叠加法求梁的位移 第四节第四节 梁的刚度校核梁的刚度校核 提高梁的刚度措施提高梁的刚度措施 第五节第五节 梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能 第一节第一节 概述概述 一一. .研究弯曲变形的目的研究弯曲变形的目的 1.1.限制构件的变形，使其满足刚度要求。限制构件的变形，使其满足刚度要求。 在工程中，对某些受弯构件，要求变形不能过大，即要求在工程中，对某些受弯构件，要求变形不能过大，即要求 构件有构件有足够的刚度足够的刚度，

2、以保证正常工作。，以保证正常工作。 桥式起重机的横梁变形过大桥式起重机的横梁变形过大, ,则会使小车行走困难，则会使小车行走困难， 出现爬坡现象。出现爬坡现象。 工程实例工程实例 P 2 P 2 P 工程实例工程实例 3. 2.2.利用弯曲变形利用弯曲变形 在一些情况下，却要求构件具有较大的弹性变形，以满在一些情况下，却要求构件具有较大的弹性变形，以满 足特定的工作需要。足特定的工作需要。 1.梁的梁的挠曲线挠曲线deflection curve ：梁轴线变形后所形成的光梁轴线变形后所形成的光 滑连续的曲线滑连续的曲线。 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 B A B1 F y x 二二. .基本概

3、念基本概念 注注:(1)平面弯曲中，挠曲线是一个平面曲线，且连续光滑；平面弯曲中，挠曲线是一个平面曲线，且连续光滑； (2)梁的挠曲线是弹性曲线；梁的挠曲线是弹性曲线；(3)以挠曲线的曲率度量弯曲变以挠曲线的曲率度量弯曲变 形的程度。平面弯曲时，其弯矩与曲率的物理关系形的程度。平面弯曲时，其弯矩与曲率的物理关系: 曲率公式的特征：曲率公式的特征： (1)公式推导中应用了胡克定律，故适用于线弹性范围内。并不计剪力对弯曲变公式推导中应用了胡克定律，故适用于线弹性范围内。并不计剪力对弯曲变 形的影响。形的影响。 (2)等直梁在纯弯曲时，弯矩为常量，挠曲线的曲率也是常量，其挠曲线是一段等直梁在纯弯曲时

4、，弯矩为常量，挠曲线的曲率也是常量，其挠曲线是一段 圆弧线。圆弧线。 (3)等直梁在横力弯曲时，其曲率与该处的弯矩成正比，曲率是位置坐标的函数。等直梁在横力弯曲时，其曲率与该处的弯矩成正比，曲率是位置坐标的函数。 EI xM x k )( )( 1 2.梁位移的度量：梁位移的度量： 挠度挠度deflection ：梁横截面形心的竖向位移：梁横截面形心的竖向位移v。单位：。单位： mm。向下的挠度为正。向下的挠度为正。 转角转角rotation ：梁横截面绕中性轴转动的角度：梁横截面绕中性轴转动的角度q q。 单位：单位：rad，顺时针转动为正。，顺时针转动为正。 挠曲线方程挠曲线方程：挠度是位

5、置坐标的函数：挠度是位置坐标的函数v=f(x) B A B1 F x q q q q v y x 转角方程转角方程(小变形下小变形下)：转角是位置坐标的函数。：转角是位置坐标的函数。 转角与挠度的关系转角与挠度的关系)x( f dx dv tgqq )(xqq 一、一、挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程 EI xM x )( )( 1 1.力学关系力学关系： 2.数学依据数学依据： 1 )( 1 23 2 v v v x 3.挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程： )( xMEIv 第二节第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分 y x M M 00 vM，00

6、vM， y x M M 曲线曲线 v= f (x) 的曲率为的曲率为 梁平面弯曲时曲率：梁平面弯曲时曲率： EI xM v v v x )( )1 ()( 1 2/32 二、积分法求梁的挠曲线二、积分法求梁的挠曲线 挠曲线方程。 转角方程； 再积分一次 积分一次 21 1 )( )( CxCdxdxxMEIv EICdxxMEIvq 2.支承条件与连续条件支承条件与连续条件: )( xMEIv1. 式中式中C1、C2为积分常数，由梁边界、连续条件确定。为积分常数，由梁边界、连续条件确定。 1) 支承条件：支承条件： 2) 连续条件：连续条件：挠曲线是光滑、连续、唯一的挠曲线是光滑、连续、唯一的

7、 CxCxCxCx vv|qq， 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 y 0v y 0v y 0; 0vv F AB C 建立坐标系，确定支反力。建立坐标系，确定支反力。 写出弯矩方程；若弯矩不能用一个函数给出写出弯矩方程；若弯矩不能用一个函数给出,则要分段写出。则要分段写出。 写出挠曲线近似微分方程，并积分得到转角、挠度函数。写出挠曲线近似微分方程，并积分得到转角、挠度函数。 利用边界条件、连续条件确定积分常数。利用边界条件、连续条件确定积分常数。 如果分如果分 n 段写出弯矩方程，则有段写出弯矩方程，则有 2 n 个积分常数个积分常数 代入积分常数，得到转角方程和挠度方程，从而得到各截代入积分常

8、数，得到转角方程和挠度方程，从而得到各截 面上的挠度和转角沿跨长的变化情况。面上的挠度和转角沿跨长的变化情况。 确定最大挠度和最大转角确定最大挠度和最大转角。 3.3.积分法确定梁弯曲变形的步骤：积分法确定梁弯曲变形的步骤： q qmax fmax 21 32 1 2 62 2 )()( CxC FxFLx EIv C Fx FlxEIv xlFxMEIv 次：列挠曲线方程并积分两 00| 00| 20 10 Cv Cv x x ，得： ；，得： 数：由边界条件决定积分常 )3( 6 )2( 2 2 xl EI Fx vxl EI Fx vq 为：转角和挠曲线方程分别 EI FL vf EI

9、FL B B 3 2 3 max 2 max qq 解：建立坐标系如图解：建立坐标系如图 x处弯矩方程为：处弯矩方程为： 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 例例一一 图示图示B端作用集中力端作用集中力P的悬臂梁，求的悬臂梁，求 其挠曲线方程。其挠曲线方程。 y x F B A l x )()(xlFxM 例例二二 求图示梁受集中力求图示梁受集中力F作用时的挠曲线方程。作用时的挠曲线方程。 F a b C l A B x FA FB 解：解： 1、求支反力、求支反力 l Fa F l Fb F BA ； x l Fb EIv 1 2 2 C l Fbx EIv )0(axAC段)(lxaCB段 x

10、l Fb axFEIv)( 2 2 2 2 )( 2 C l Fbx ax F EIv 11 3 6 DxC l Fbx EIv 22 3 3 6 )( 6 DxC l Fbx ax F EIv )( 6 0; 000 ; 22 2121 2121 bl l Fb CCvlxDDvx DDvvCCvvax ，得处，得处， ，则，则时， )3( 6 222 xbl EIl Fb v)( 3 1 )( 2 2222 blxax b l EIl F v )( 6 222 xbl EIl Fbx v)()( 6 2233 xblxax b l EIl F v )0(axAC段 )(lxaCB段 梁弯曲

11、时的位移梁弯曲时的位移 步步 骤：骤： (1)绘制梁的弯矩图。绘制梁的弯矩图。 (2)由梁弯矩的变化规律，确定挠曲线曲率的变化规律。由由梁弯矩的变化规律，确定挠曲线曲率的变化规律。由 M 的方向确定轴线的凹凸性。的方向确定轴线的凹凸性。 (3)根据梁的支座情况，考虑变形根据梁的支座情况，考虑变形协调性，协调性， 注：挠曲线的曲率与该处的弯矩成正比，弯矩越大，则曲率注：挠曲线的曲率与该处的弯矩成正比，弯矩越大，则曲率 也最大。也最大。 第三节第三节 叠加法求梁的位移叠加法求梁的位移 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 说明说明： 1.1.在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下在材料服从胡克定律、且变形

12、很小的前提下, ,载荷载荷 与它所引起的变形成线性关系。与它所引起的变形成线性关系。 3.3.若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变 形，则可分别计算各载荷单独作用下的变形，然后形，则可分别计算各载荷单独作用下的变形，然后 叠加。叠加。 2.2.当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变 形是各自独立的，互不影响。形是各自独立的，互不影响。 如图示，要计算三种载荷作用下在某截面如如图示，要计算三种载荷作用下在某截面如 C截面挠度，则可截面挠度，则可直接查表直接查表求出各载荷单独作求出各载荷单独作 用下的

13、挠度，然后叠加（用下的挠度，然后叠加（代数和代数和）。）。 如果如果不能直接查表不能直接查表，则要采用分段刚化法将，则要采用分段刚化法将 其化成可查表形式。其化成可查表形式。 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 例三例三 如图所示悬臂梁，其抗弯刚度如图所示悬臂梁，其抗弯刚度EIEI为常数，求为常数，求B点转角和挠度。点转角和挠度。 F B A 2/ l2/ l q C vBq vCq q qBF vBP F B A B A q C 1.在在F作用下：作用下： EI Fl f EI Fl BFBF 3 , 2 32 q查表： 2.在在q作用下：作用下： EI ql EI lq f EI ql EI l

14、q Cq Cq 1288 )2/( 486 )2/( 44 33 q查表： EI qll vv EI ql CqCqBq CqBq 384 7 2 48 4 3 q qq BqBFB BqBFB vvv qqq3.在在F和和q共共 同作用下：同作用下： 解：解： EI Pa B 2 2 q0 2 EI am m Pa 4 例例7.求外伸梁求外伸梁C处的位移。处的位移。 L a C A B P 解：解： A B C P 刚化 EI= P C vc1 BC引起的位移引起的位移 c1 EI pa vc 3 3 1 EI pa c 2 2 1 q 刚化刚化AB 刚化刚化BC， AB部分引起的位移部分引

15、起的位移 C A B P 刚化 EI= vc2 B2 P Pa B2 a EI PaL av Bc 3 22 q 22 3 cB EI paL qq 21ccc vvv 21ccc q qq qq q 一、梁的刚度校核一、梁的刚度校核 除满足强度条件外，梁的位移也需加以控制，从而保证其正除满足强度条件外，梁的位移也需加以控制，从而保证其正 常工作。常工作。 在土建工程中，通常对在土建工程中，通常对 梁的梁的挠度挠度加以控制，例如：加以控制，例如： 1000 1 250 1 l v 梁的梁的刚度条件刚度条件为：为： qq max max l v l v 通常情况通常情况下，强度条件满足，刚度条件

16、一般也满足。下，强度条件满足，刚度条件一般也满足。 但是，但是，当位移限制很严，或按强度条件所选截面过于单薄时，当位移限制很严，或按强度条件所选截面过于单薄时， 刚度条件也起控制作用。刚度条件也起控制作用。 第四节梁的刚度校核第四节梁的刚度校核 提高梁的刚度措施提高梁的刚度措施 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 例四例四 一简支梁受载如图示，已知许用应力一简支梁受载如图示，已知许用应力160 MPa，许用挠度，许用挠度=l /500，弹性模量，弹性模量E=200GPa，试选择工字钢型号。，试选择工字钢型号。 解：解： 1、作出梁的弯矩图、作出梁的弯矩图 2、根据弯曲正应力强度条件，要求、根据弯曲正

17、应力强度条件，要求 3、梁的刚度条件为、梁的刚度条件为： 由此得由此得 由型钢表中查得，由型钢表中查得，NO.22a工字钢的抗弯截面系数工字钢的抗弯截面系数Wz3.09xl0-4m3 ，惯，惯 性矩性矩Iz=3.40 x10-5m4，可见选择，可见选择NO.22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度工字钢作梁将同时满足强度和刚度 要求。要求。 mN1035 4 41035 4 ：得 3 3 max Fl M 34 6 3 max m1019. 2 10160 1035 M Wz 50048 3 l EI Fl z 45 9 232 m1092. 2 1020048 41035500 48 500 E

18、 Fl I z 梁弯曲时的变形梁弯曲时的变形 F=35kN 2m A B 2m l=4m M 4/Fl 二、提高梁的刚度措施二、提高梁的刚度措施 2.调整跨长和改变结构；调整跨长和改变结构；缩短跨长：缩短跨长：如如将简支梁改为外伸将简支梁改为外伸 梁；或增加支座等。梁；或增加支座等。 1.增大梁的抗弯刚度增大梁的抗弯刚度 EI；主要增大主要增大I值，在截面面积不变值，在截面面积不变 的情况下，采用适当形状，尽量使面积分布在距中性轴较远的情况下，采用适当形状，尽量使面积分布在距中性轴较远 的地方。的地方。例如例如：工字形、箱形等。工字形、箱形等。 梁弯曲时的变形梁弯曲时的变形 EI l v n

19、q l A B q l A B q A B 纯弯曲时梁的纯弯曲时梁的弯曲应变能弯曲应变能为：为： EI lM V 2 2 横力弯曲时梁的横力弯曲时梁的弯曲应变能弯曲应变能为：为： l x EI xM Vd 2 2 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 第五节第五节 梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能 F B A l 例五例五 计算图示悬臂梁的弯曲应变能，并计算计算图示悬臂梁的弯曲应变能，并计算B点的挠度点的挠度vB，已知梁的弯曲，已知梁的弯曲 刚度为刚度为EI。 解：解： 1、梁任一截面的弯矩为：、梁任一截面的弯矩为： 2、弯曲应变能为：、弯曲应变能为： 3、计算、计算B点的挠度点的挠度 xlFxM EI lF FvVW B 62 1