第八章 傅里叶变换

1、 Dx RX e X x xXln yY xX ln ln R中中数数得得到到 YXZ YXZ 2 1 R中加减运算中加减运算在在 2 1 2 1 1 1 D Zz Zz ln ln 中中数数得得到到 yx D , 中中数数给给定定 y x z xyz 2 1 商商 积积 求求 ( )( )( , )d b a Ff t K tt ( )( )( , )d b a Ff t K tt 0 00 1 ( )(cossin) 2 Tnn n a ftantbnt 0 2 : T 其中 (8.1) /2 0 /2 2 ( )sind T nT T bftnt t T , 2 , 1n /2 0 /2

2、 2 ( )cosd ,0,1,2, T nT T aftnt tn T 0 1 002 1) (0)(0). TT t ftft 在间断点 处，(8. 式左端为 jj Euler ee cos 2 公 式 jj ee (j) 2 jj ee sin 2 j 0000 jjjj 0 1 eeee ( ) 222j n tn tn tn t Tnn n a f tab 00 jj 0 1 jj ee 222 ntnt nnnn n aabab 0 2 0 2 1 ( )d 2 T TT a cftt T 令 ： j 2 nn n ab c 2 00 2 1 ( )cosjsind T TT ft

3、ntntt T 22 00 22 1 ( )cosdj( )sind TT TTTT ftnt tftnt t T 0 j 2 2 1 ( )ed(1, 2, 3,) T nt TT fttn T j 2 nn n ab c 2 00 2 1 ( )cosjsind T TT ftntntt T 22 00 22 1 ( )cosdj( )sind TT TTTT ftnt tftnt t T 0 j 2 2 1 ( )ed(1,2,3,) T nt TT fttn T 0 j 2 2 1 ( )ed (0,1,2,3,) T nt TnT cftt T n 而它们可合写成一个式子， 0 (0

4、, 1, 2,) n nn若令 j ( )e nt Tn n ftc 则 jj 2 2 1 ( )( )ed e nn T t TTT n ftf T 这就是傅氏级数的复指数形式，或 (8.2) (8.1) 傅里叶级数有非常明确的物理含义。事实上， 在式中，令 22 00 /2, nnn AaAab cos/,sin/,1,2, nnnnnn aAbA n 000 1 ( )(coscossinsin) Tnnn n ftAAntnt 则式（8.1)式变为 00 1 cos() nn n AAnt ( ) T ft T 0 如果以代表信号，则上式说明，一个周期 为 的信号可以分解为简谐。这些谐

5、波 的(角)频率分别为一个基频的倍数。 波之和 0 0 ( ) ( ) T n Tn ft An ftn 换句话说，信号并不含有各种频率成分，而仅由一系列 具有离散频率的谐波所构成，其中反映了频率为的谐波 在中所占的份额，称为；则反映了频率为的谐 波沿时间轴移动的大小，称为。 振幅 相位 00 8.2) , argarg nn n nnn ca bcA cc 再看（式，由 与 及 的关系可得 22 1 2 | | /2,1,2, nnnn n ccab An 00 ( ) ( )| arg. (). nT nTn nn n cft cftc cc nF nc 由此可见，仅由系数 就可以完全刻画

6、信号的频率 特性。因此，称 为周期函数的离散频谱，为 离散振幅谱，为离散相位谱为了进一步明确 与频 率的对应关系，常常记 0,/ 20 1( ) 2,0/ 2 T Tt Tft tT 例求以为周期的函数 的离散频谱和它的傅里叶级数的复指数形式。 0 2/0Tn解：令，当时， 0 (0)cF /2/2 /20 11 ( )d2d1 TT T T fttt TT 0n 当时， 0 /2 j 0 /2 1 ()( )ed T nt nT T cF nftt T 0 /2 j 0 2 ed T nt t T 0 j 2 j (e1) T n n j j (e1) n n 0, 2j , n n n 当

7、 为偶数 当 为奇数 0 j(21) ( ) 2j ( )1e (21) T nt T n ft ft n 的傅里叶级数的复指数形式为 0 1,0 |()|0,2, 4, 2 , | 1, 3, n F nn n n 0 0,0, 2, 4, arg()/2,1,3,5, /2,1, 3, 5, n F nn n 相位谱为 其图形如图8.2所示. 图8.2 ？非非周周期期函函数数能能否否展展开开呢呢 转转化化而而来来的的。 时时当当作作是是由由某某个个周周期期函函数数 都都可可以以看看任任何何一一个个非非周周期期函函数数 Ttf tf T )( )( 傅氏积分与傅氏变换 )()(limtftf

8、 T T jj 2 2 1 ( )lim( )ed e nn T t TT T n f tf T (8 .3 ) (8.2) ( ) T f t 在中，令时，结果可看成 是的展开式，即 n n当 取一切整数时，所对应的点均匀地分 布在整个数轴上。如下图所示： 1 22 , nn T T 或 2 T 2 T 2 TT 2 0 1 2 3 1n n 2 0 n T T 当时，有，此时上式可写成： jj 2 0 2 1 ( )lim( )ed e 2 nn n T t TTn n f tf jj 2 2 1 ( )ed e 2 () nn T t TT nTn Tf 当 固定时，是参数 的函数，记为

9、 (8.4) 0 8.4 ( )lim() n Tnn n f t 这样（）式可写成： 这里 时，即很明显，当 ),()( 0 nnT n T jj 1 ed e 2 nnt n f (）（ ） 上的积分 在可以看作是从而),()()( n tf ( )()d nn f t ( )( )df t 即 (8.5) jj 1 ( )( )ed ed 2 t f tf 即 上上满满足足条条件件：在在若若),()(tf o o 1 2 (,)( ( ) d ), Dirichlet f tt 在任一有限区间上满足条件； 在上绝对可积 即收敛 jj 1 ( )eded 2 t f 则 间间断断点点在在

10、连连续续点点在在 )(, )()( )(,)( tf tftf tftf 2 00 (8.5) (8.5)( )f t式是的傅氏积分公式的复指数形式， 利用欧拉公式，可将它转成三角形式。 1 ( )cos ()dj( )sin ()d d 2 ftft jj 1 ( )( )ed ed 2 t f tf j() 1 ( )ed d 2 t f ( )sin ()d ft 是的奇函数， 1 ( )( )cos()d d 2 f tft 故 0 1 ( )( )cos()d d f tft 且 ( )sin()d d0ft jj 2 2 1 ( )( )ed e nn T t TTT n ftf

11、T 周期函数的傅氏级数的复指数形式： jj 1 ( )( )ed ed 2 t f tf 非周期函数的傅氏积分公式 jj 1 ( )( )ed ed 2 t f tf ( 8 .5 ) j ()( )ed t Ff tt 令 j 1 ( )()ed 2 t f tF 则 ( 8 .9 ) ( 8 .1 0 ) 0,0 1.( ) e,0 0.( ) t t f t t f t 例 求函数的傅氏变换及 其积分表达式，其中这个叫做指数 衰减函数。 ()( )Ff t解 ：F j ( )ed t f tt j 0 eed tt t (j) 0 ed t t 1 j 22 j (8.10), ( )(

12、)f tF -1 根 据有 F j 1 ()ed 2 t F j 22 1j ed 2 t 2222 1cossinsincos jd 2 tttt 22 0 1cossin d tt 关于关于是是 奇函数奇函数 j 1 ()ed 2 t F 22 0 00 1cossin1 d,0 2 e,0 t t tt t t 由此我们得到一个含有参变量的广义积分的结果 ， 即： 22 0 00 cossin d,0 2 e,0 t t tt t t ， 1 , 2 ( ) 0) 0 , t f t t 例求矩形脉冲函数（ 的傅氏变换及傅氏积分表达式。 j ( )()( )ed t f tFf tt F

13、 j ed t t jjj 11 e|(ee) jj t sin 2 sin |( )| 2 |F 振幅谱为 sin 2 2 (21) 0,| arg( )0,1,2, (21)(22) ,| nn Fn nn 相位谱为， 8.3其图形如图所示。 图8.3 ( )f t 的傅氏逆变换表达式为 j 12sin ( )ed 2 t f t 12sinj2sin cosdsind 22 tt 0 1,| | 2sin cosd1/2,| | 0,| | t tt t 0 sin d 2 Dirichlet 积分 0t 上式中令可得重要积分公式 0,| ( )( ),0 1,| f tF 例3 已知的

14、频谱为 ( ).f t求 1j 1 ( ) ( )( )ed 2 t f tFF 解：F j 1 ed 2 t sin t t sin t t sin ( ),( ) t Sa tf t t 记则(), Sat 0(0).()( ) tfSatSa t 当时，定义信号或者 称为，由于它具有非常特殊的频谱形式， 因而在连续时间信号的离散化、离散时间信号的恢 复以及信号滤波中发挥了重要。 样 用 号 的作 抽信 其它其它 当当 ,0 0, )( atE tG 其他其他， ， 引入函数序列引入函数序列 0 0 1 )( t t 函函数数，一一种种广广义义函函数数。狄狄拉拉克克函函数数或或单单位位脉脉

15、冲冲 称称为为立立冲冲击击脉脉冲冲符符号号单单位位面面积积脉脉冲冲，我我们们建建 的的限限窄窄”或或“无无限限集集中中”为为了了概概括括上上述述这这类类“无无 ),(t )(t 0 t 1 的脉冲序列。的脉冲序列。而面积保持而面积保持即脉冲的高趋向无穷，即脉冲的高趋向无穷， 时，时，当当特点：特点： 1 )(0t 时，时，当当 为：为：故定义单位脉冲函数故定义单位脉冲函数 0,0)( )( tt t 0 ( )dlim( )dtttt 而 00 lim( )dtt 00 1 limd1t ( )1927 , t 符号由狄拉克于年在其著作“量子力学 原理”中引入，它不是传统意义下的函数，无法 用

16、“值对应关系”来定义,它是一种“广义函数” 但习惯上还是称其为狄拉克函数或 函数。 )(t 0 t 1 0 ( )lim( )tt 简记为 0 ( )( )dlim( )( )dt f ttt f tt 系指型序列的弱极限 其其他他 其其中中 , , )( 0 0 1 t t )(t 0 t 1 o 1 ( ) ( ) ( )d(0) f t t f ttf 筛选性质： 若无穷次可微，则 0 () ( )dttf tt 一般地有 0 000 (2) ( ) ()d( ) ()d( ) t f ttttf ttttf t 0 ( ) ( )d( ) ( )d(0)f tttf tttf ;),(

17、)(内内有有界界且且连连续续在在条条件件可可放放宽宽为为 注注： tf (1) 0 ( )f t o 2( ) ( )( )d(0) f t t f ttf 若为无穷可微函数，则 ( )( ) ( )( )d( 1)(0) nnn t f ttf 一般地 . )()(3 o tt函函数数是是偶偶函函数数，即即 0,0 0,1 )( t t tu 4 o 设设单单位位阶阶跃跃函函数数 ()d( ), d( ) ( ) d t xxu t u t t t 则 有 且 )(tu 0 1 t 0 0 ( )0, ( )dlim( )d0 tt ttxxxx 由函数定义， 当时， 0 00 0 0 (

18、)dlim( )dlim( )d1 tt tt xxxxxx 当时，总， 使 有 ( )( )d t u txx )( , - , )()( t ttutu 其他其他 有有另：另： 0 0 1 0 )( , , )()( t ttutu 其他其他 而而 0 0 1 . )( )()( lim)( )( )()( t t tuttu tu ttt t 0 0均弱收敛于均弱收敛于和和时，时，当当 00 0 6( )( ()() 0. F 例给出函数 的图形表示，其中 00 00 ( )( ()() F 解：函数 在与的冲激强度分别为 和，见下图。 F（ ） 0 0 jj 0 ( )( )ede|1

19、 tt t ttt F j 00 ()()ed t ttttt F 0 0 jj e|e tt tt 0 j 0 )e t tt 同样，（和构成了一个傅氏变换对； ( )1t单位脉冲函数和 构成了一个傅氏变换对； 1j 1 1ed( ) 2 t t 由于F j ed2( ) t t 2 ( ) 1 ( ) . j u t 例证明单位阶跃函数的傅氏变换为 .sin)(3 0 的的傅傅氏氏变变换换求求函函数数例例 ttf 0 j 12 1 ( )1 ( )e t f tft 例求函数和的傅氏变换。 00 00 3( )/2,/2 ( )( )2 () () 2/()( ) n f tTTT f t

20、FF nn TF nf t 定理设是以 为周期的实值函数，且在 上满足狄氏条件，则和 是一组傅氏变换对。其中，是的离散频谱。 0 j 0 ( )()e nt n f tF n 证：按傅氏级数展开式有 j ( )( )ed t f tf tt 因此，F 0 jj 0 ()eed ntt n F nt 00 2 () ()( ), n F nnF 1j 1 ()()ed 2 t FF F j 00 ()()ed t n F nn 0 j 0 ()e( ) nt n F nf t ( )f tF即得与（ ）是一组傅氏变换对。 1122 1. ( )( ),( )( ), Ff tFf t 线性性质

21、设是常数， 则 FF 1 1212 ()()( )( ) .FFftft 其 逆 变 换 亦 有 线 性 性 质 F 1212 ( )( )( )( )f tf tFFF 0 0 j 0 j1 0 1 ()e( ) e( )() t t f ttF Ff tt （ ）F F 0 0 j 0 j1 0 (2) e( )() ()e( ) t t f tF Ff t F F (8.20) (8.21) j 00 ()()ed1 t f ttf ttt （）F 0 jj e( )ed tu f uu 0 0 j() 0 ()( )ed u t utt f ttf uu 作变量代换 F 00 jj e

22、 ( )e( ) tt f tF F 0 j 0 (2) e( )() t f tF 证：F 00 jjj e( )e( )ed ttt f tf tt F 0 j() ( )ed t f tt 0 ()F , 0 1 ( ) 0 , Et f t 例求矩形脉冲的频谱函数。 其他 ( )( ), f tF推论：若则有F 000 1 ( )cos ()() 2 f ttFFF 000 1 ( )sin ()() 2j f ttFFF 3. 相似性质相似性质 ( ), 1 ()() | Ff ta f atF aa 设（ ）为非零常数，则F F j ()()ed , t f atf att 证：F

23、 ,0 xata令则有：当时， j 1 ()( )ed x a f atf xx a F 1 ()F aa j 1 ()( )ed x a f atf xx a F 1 ()F aa 1 ()() | f atF aa 综合上述两种情况，得F 0a 当时， sin2 11( ) 1,| 2 ( ) 0,| 2 ( )( ). 2 t f t t F t g tfG 例已知抽样信号的频谱为 求信号的频谱（ ( ) ( )Gg t 解：由相似性质可得 F ( )2 (2 ), 2 t fFF 2,| 1 0,| 1. 8.11( )( ) | 2| 1. f tg t 从图中可以看出，由扩展后的信

24、号变得平缓， 频率变低，即频率范围由原来的变为 图8.11 ( )j ( ),f tf tFF(8.22) 1 j( )( )Ff t 或 F j | |( )e| |( )|0 t tf tf t 证：当时， j ( )e0. t f t 可得 j ( )( )ed t f tf tt 因而，F j tj ( )e|j( )ed t f tf tt j ( )f tF (8.23) ( ) ( )(j ) ( ) 0,1,2, kk ftf t kn FF 推论：推论： 如果如果f (k)(t)在（在（- ，+ ）上连续或只）上连续或只 有有限个可去间断点，有有限个可去间断点， 当当|t|

25、, f (k)(t) 0,k=0,1,2,n, 则则 d ( ) j( ) d Ftf t F d ( )( j )( ) d n n n Ftf t F 2 e,0 (0) ( ) 0 ,0 ( ) ( ) . t t f t t tf tt f t 例 设单边指数衰减函数 求及FF 1 0 f(t) ( )( )d0, 1 ( )d ( ) j t t tg tf ff t 如果当时， 则：FF ，由由微微分分性性质质有有证证： )()( tftg ( )( )j ( )f tg tg tFFF ( )d ( ) t fg t FF 1 ( ) j f t F lim( )0 1 ( )d

26、 ( ) (0) ( ) j t t g t ff tF 注：如果 则FF ( )( )( )d( ) , t axtbx tcxh t tab c 的 解 ， 其 中、 均 为 常 数 。 6 帕塞瓦尔（Parseval)等式 ( ) ( )Ff t设，则有F 22 1 ( )d|( )| d(8.17) 2 fttF j ( ) ( )( )ed , t Ff tf tt 证：由有F j ( )( )ed t Ff tt 2 11 | d( ) ( )d 22 FFF 所以 （ ） j 1 ( )( )ed d 2 t Ff tt j 1 ( )( )ed d 2 t f tFt 2 (

27、)dftt 2 2 0 sin 12d 例求积分的值。 0 j1 0 ()e( ) t Ff t F 0 j 0 ()e() t f ttF F 3. ( )j ( )f tf t微分性质FF d ()j( ) d d ()(j )( ) d n n n Ftft Ftft F F 小结 4. ( )( )d0, t tg tf tt 积分性质 如果当时， 则：1 ( )d ( ) j t f ttf t FF 输入信号输入信号 )(tx 输出信号输出信号 )(ty 脉冲响应脉冲响应 )(th ( )( ) ()d( )( )y txh tx th t 则 12 12 12 1212 ( )()d ( )( ) ( )*( ) ( )*( )( )()d ff t t tf tf t f tf t f tf tff t 对任何实数 收敛，则它定义了一个自变量为 的函数，称此函数为和的卷积， 记为，即 (,) )()()()()()()( 3 )()()()()()( 2 )()()()( 1 tftftftftftftf tftftftftftf tftftftf 3121321 321321 122