材料力学(刘鸿文)第六章-弯曲变形

1、 6-1 6-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题 6-2 6-2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程 6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形 6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形 6-6 6-6 提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施 6-1 6-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题 一、为何要研究弯曲变形一、为何要研究弯曲变形 z W M 仅保证构件不会发生破坏，仅保证构件不会发生破坏， 但如果构件的变形太大也不能正常工作。但如果构件的变形太大也不能正常工作。 1、构件的变形限制在允许的范围内。、构件的变形限制在允许的范围内。 车削加工一等截面构件，车

2、削加工一等截面构件， 如果构件的的变形过大，如果构件的的变形过大， 会加工成变截面；会加工成变截面； 案例案例1： 如果钻床的变形过大，如果钻床的变形过大， 受工件的反力作用；受工件的反力作用；摇臂钻床简化为刚架，摇臂钻床简化为刚架， 不能准确定位。不能准确定位。 案例案例2： 车间桁吊大梁的变形车间桁吊大梁的变形 车间桁吊大梁的过大变形车间桁吊大梁的过大变形 会使梁上小车行走困难，造成爬坡现象；会使梁上小车行走困难，造成爬坡现象； 还会引起较严重的振动；还会引起较严重的振动； 案例案例3： 桥梁如果产生过大变形桥梁如果产生过大变形 楼板、楼板、 床、床、双杠横梁双杠横梁 等都必须把它们的变形

3、等都必须把它们的变形限制限制在在允许的范围内允许的范围内。 屋顶屋顶 案例案例4： 、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。 汽车板簧应有较大的弯曲变形汽车板簧应有较大的弯曲变形, 才能更好的起到缓和减振的作用；才能更好的起到缓和减振的作用； 案例案例1： 安装在工程机械驾驶室上方的安装在工程机械驾驶室上方的ROPS/FOPS 要求其在碰撞的过程中有较大的变形要求其在碰撞的过程中有较大的变形 吸收落物或碰撞能量，吸收落物或碰撞能量，保证驾驶员的人身安全 保证驾驶员的人身安全 案例案例2： 案例案例3： 当今时代汽车工业飞速发展，当今时代汽车工业飞速发展，道路越来

4、越拥挤，道路越来越拥挤， 一旦发生碰撞，你认为车身的变形是大好还是小好？一旦发生碰撞，你认为车身的变形是大好还是小好？ 案例案例4： 蹦床蹦床 要有大变形，要有大变形， 才能积蓄能量，才能积蓄能量， 将人体弹射到一定高度。将人体弹射到一定高度。 3、研究弯曲变形、研究弯曲变形 还广泛应用于超静定问题分析、还广泛应用于超静定问题分析、 稳定性分析稳定性分析 以及振动分析等方面。以及振动分析等方面。 除了除了解决构件的刚度解决构件的刚度外，外， 二、弯曲变形的物理量二、弯曲变形的物理量 EA lF l N P IG lT 扭转：扭转： F FF F 拉伸拉伸 弯曲变形的物理量如何？弯曲变形的物理量

5、如何？ 抗变形刚度抗变形刚度 杆件长度杆件长度内力内力 1 1、挠曲线、挠曲线 x 2 2、挠度、挠度 向上为正向上为正 3 3、转角、转角 逆时针为正逆时针为正 截面形心在力的方向的位移截面形心在力的方向的位移 截面绕中性轴转过的角度截面绕中性轴转过的角度 弯曲变形的物理量弯曲变形的物理量 挠度挠度 弯曲变形的物理量弯曲变形的物理量 转角转角+ 6-2 6-2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程 2 2、挠曲线方程：、挠曲线方程： )(xf y x x 1、建立坐标系、建立坐标系 Xoy平面平面 就是梁的纵向对称面；就是梁的纵向对称面； 在平面弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为在平面弯曲的情况

6、下，变形后梁的轴线将成为xoy面内面内 的一条平面曲线；的一条平面曲线； 该曲线方程为该曲线方程为 ： 3 3、挠度、转角物理意义、挠度、转角物理意义 y x x ：挠度的物理意义：挠度的物理意义： 挠曲线在该点处的纵坐标；挠曲线在该点处的纵坐标； y tg ：转角的物理意义：转角的物理意义 过挠曲线上点作挠曲线的切线过挠曲线上点作挠曲线的切线 该切线与水平线的夹角为该切线与水平线的夹角为 挠曲线在该点处的切线斜率；挠曲线在该点处的切线斜率； 挠曲线方程在该点处的一阶导数；挠曲线方程在该点处的一阶导数； 转角的正方向：转角的正方向： 从从x x轴正向向切线旋转，逆时针转动为正。轴正向向切线旋转

7、，逆时针转动为正。 4 4、挠曲线微分方程、挠曲线微分方程 中性层处曲率中性层处曲率: EI xM)(1 y x )(xfy 2 3 2 )(1 )( 1 xy xy 对于对于曲线曲线 y=f(x) 在任一点处曲率在任一点处曲率 （瑞士科学家（瑞士科学家Jacobi.Jacobi.贝努利得到）贝努利得到） 正好为正好为xoy平面内的一条曲线，平面内的一条曲线， 平面弯曲的挠曲线平面弯曲的挠曲线 所以曲线所以曲线y=f(xy=f(x) )： 从数学上讲从数学上讲 是一条普通的平面曲线，是一条普通的平面曲线， 从力学上讲从力学上讲 就是梁发生弯曲变形的挠曲线。就是梁发生弯曲变形的挠曲线。 z EI

8、 xM xy xy)( )(1 )( 2 3 2 瑞士科学家瑞士科学家JacbiJacbi. .贝努利得到梁的挠曲线微分方程；贝努利得到梁的挠曲线微分方程； 挠曲线微分方程挠曲线微分方程 EI xM)(1 2 3 2 )(1 )( 1 xy xy z EI xM x x)( )(1 )( 2 3 2 由于没有采用曲率的简化式，由于没有采用曲率的简化式，且弹性模量且弹性模量E无定量结果，无定量结果， 挠曲线微分方程挠曲线微分方程 故挠曲线微分方程没有得到广泛应用。故挠曲线微分方程没有得到广泛应用。 该挠曲线微分方程是该挠曲线微分方程是适用于弯曲变形的任何情况。适用于弯曲变形的任何情况。非线性的，

9、非线性的， 5 5、挠曲线、挠曲线近似近似微分方程微分方程 0)()(xx 1)(1 2 x 在在小变形小变形的条件下，的条件下， 挠曲线是一条光滑平坦的曲线，挠曲线是一条光滑平坦的曲线， 较小，较小，转角转角 EI xM)( 故得挠曲线近似微分方程：故得挠曲线近似微分方程： z EI xM x x)( )(1 )( 2 3 2 符号规定：符号规定： MM 0 2 2 dx d 0M z EI xM)( 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程 0 2 2 dx d 0M 挠曲线为凹曲线挠曲线为凹曲线 挠曲线为凸曲线挠曲线为凸曲线 y 弯矩弯矩M与二阶导数与二阶导数符号一致。符号一致。 适用范围：

10、适用范围： x x M M 线弹性、小变形线弹性、小变形;y轴向上，轴向上，x轴向右；轴向右； z EI xM dx d)( 2 2 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程 积分一次：积分一次： Cdx EI xM dx d z )( 转角方程转角方程 积分二次：积分二次： DCxdxdx EI xM z ) )( ( 挠曲线方程挠曲线方程 C C、D D为积分常数，由梁的约束条件决定。为积分常数，由梁的约束条件决定。 6-3 6-3 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形 悬臂梁：悬臂梁： x 梁的边界条件梁的边界条件 :0 x L 0 0 简支梁：简支梁： x L :0 x :Lx 梁的边界条

11、件梁的边界条件 0 0 连续性条件：连续性条件： 右左 CC 右右左左 CC C P A B a L x :0 x 0 :Lx 0 边界条件边界条件 光滑连续性条件光滑连续性条件 :ax 连续性连续性 光滑性光滑性 :ax 连续性条件：连续性条件： A B La C M x 右右左左CC 右右左左CC 特别强调特别强调 在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。 连续连续 不光滑不光滑 例例1 1：写出梁的边界条件、连续性条件：写出梁的边界条件、连续性条件： x kC P A B a L 右左 CC 右右左左 CC :0 x0 :Lx k FBy 边界条件

12、边界条件 光滑连续性条件光滑连续性条件 :ax 例例2 2：写出梁的边界条件、连续性条件：写出梁的边界条件、连续性条件： h EA C P A B a L 右左 CC 右右左左 CC :0 x 0 :Lx EA hFBy 边界条件边界条件 光滑连续性条件光滑连续性条件 :ax （1 1）凡弯矩方程分段处，应作为分段点；）凡弯矩方程分段处，应作为分段点； （2 2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点； （3 3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两 部分之间的相互作用力，故应作为分段点

13、；部分之间的相互作用力，故应作为分段点； A B La C M （4 4）凡分段点处应列出连续条件；）凡分段点处应列出连续条件； :0 x :ax 0 lax 根据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确根据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确 定的挠度和转角；定的挠度和转角； A B La C M 0 0 右右左左CC 在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。 边界条件边界条件 连续性条件连续性条件 A 例例1悬臂梁受力如图所示。求悬臂梁受力如图所示。求 和和 。 A x x 取参考坐标系取参考坐标系 1、列写弯矩方程、列写弯矩方程 2 2 1

14、 )(qxxM )0(Lx 2、代入挠曲线近似微分方程中、代入挠曲线近似微分方程中 z EI xM)( 2 2 1 qxEI 积分一次：积分一次： CqxEIEI 3 6 1 积分二次：积分二次：DCxqxEI 4 24 1 转角方程转角方程 挠曲线方程挠曲线方程 A q B L 3、确定常数、确定常数C、D. 边界条件：边界条件： :Lx 3 6 1 qLC 0 4 8 1 qLD ) 6 1 6 1 ( 1 33 qLqx EI ) 8624 1 ( 1 43 4 qL x qL qx EI CqxEIEI 3 6 1 DCxqxEI 4 24 1 A q B L 0 EI qL A 6

15、3 0 x EI qL A 8 4 A q B L ) 6 1 6 1 ( 1 33 qLqx EI ) 8624 1 ( 1 43 4 qL x qL qx EI 4、计算、计算A截面的挠度和转角截面的挠度和转角 A截面处截面处 C F A B a L x 例例2 一简支梁受力如一简支梁受力如 图所示。试求图所示。试求 和和 。 )(),(xwx A 1、求支座反力、求支座反力 , L Fb FAy L Fa FBy By FAy F 2、分段列出梁的弯矩方程、分段列出梁的弯矩方程 b ,)( 1 x L Fb xFxM A )(LxaBC段段 )0 (axAC段段 ),()( 2 axFx

16、 L Fb xM x x , 1 x L Fb EI ),( 2 axFx L Fb EI 3、代入各自的挠曲线近似微分方程中、代入各自的挠曲线近似微分方程中 ,)( 1 x L Fb xM ),()( 2 axFx L Fb xM 4、各自积分、各自积分 1 2 11 2 Cx L Fb EIEI 2 22 22 )( 22 Cax F x L Fb EIEI 11 3 1 6 DxCx L Fb EI 22 33 2 )( 66 DxCax F x L Fb EI 5、确定积分常数、确定积分常数 边界条件：边界条件：0 x Lx 连续条件：连续条件： 21 ax )( 6 22 1 bL

17、L Fb C, 2 C 0 21 DD F a L x 0 1 0 2 21 1 2 1 2 Cx L Fb EI 2 22 2 )( 22 Cax F x L Fb EI 11 3 1 6 DxCx L Fb EI 22 33 2 )( 66 DxCax F x L Fb EI ),(3 6 )( 222 1 bLx LEI Fb x )(LxaBC段段 )0 (axAC段段 ,)( 6 )( 223 1 xbLx LEI Fb xy , 2 )( )(3 6 )( 2 222 2 axF bLx LEI Fb x )( 6 )( 6 )( 3223 2 ax L xbLx LEI Fb x

18、y 7、求转角、求转角 0 x LEI bLFb x A 6 )( 22 0 1 Lx LEI aLFab Lx B 6 )( 2 6、挠曲线方程、挠曲线方程 8、求、求 。 max 0 dx d 由由求得求得 的位置值的位置值x。max , 0 6 )( 22 LEI bLFb A )(0 3 )( 1 ba LEI baFab ax C 段。在AC0 0)(3 6 )( 222 1 bLx LEI Fb x 3 22 bL x )( 1 xy 代入代入 得：得： EI bLFb 39 )( 2 3 22 max 2 L ba若若 则：则： EI FL L x 48 3 2 max max

19、6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形 在在小变形小变形， 是线性的；是线性的； 材料材料服从胡克定律服从胡克定律的情况下，的情况下， )()(xMxEI 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程 弯矩弯矩)(xM与载荷之间的关系与载荷之间的关系 对应于几种不同的载荷，对应于几种不同的载荷， 是线性的；是线性的； 弯矩可以叠加，弯矩可以叠加， 近似微分方程的解也可以叠加。近似微分方程的解也可以叠加。 计算弯矩时，使用变形前的位置计算弯矩时，使用变形前的位置 FF MEI qq MEI MEI qF MMxM)( 设弯矩设弯矩 M qFqF MMEIEI )( qF EI )( q

20、F EI qF 挠曲线挠曲线 分别满足各自的近似微分方程分别满足各自的近似微分方程 将两个微分方程叠加将两个微分方程叠加 M 分别计算出每一载荷单独引起的变形，分别计算出每一载荷单独引起的变形， 将所得的变形叠加即为载荷共同作用下引起的变形将所得的变形叠加即为载荷共同作用下引起的变形 叠加原理。叠加原理。 总的近似微分方程：总的近似微分方程： )( qF EI 证明证明 二、二、 叠加原理仅适用于叠加原理仅适用于线性函数，线性函数， 要求挠度、转角是载荷的线性函数。要求挠度、转角是载荷的线性函数。 (1)、弯矩与载荷成线性关系、弯矩与载荷成线性关系; 梁发生梁发生小变形小变形，忽略 忽略各载荷

21、引起梁的各载荷引起梁的水平位移水平位移； 梁处于梁处于线弹性线弹性范围内，满足虎克定律；范围内，满足虎克定律； (2)、曲率、曲率 1 与弯矩成线性关系与弯矩成线性关系; 2 2 1 dx d 0 . 11 2 1 (3)、挠曲线二阶导数、挠曲线二阶导数与与成线性关系成线性关系; 即梁处于小变形条件下即梁处于小变形条件下; 几种载荷共同作用下某截面的挠度和转角，几种载荷共同作用下某截面的挠度和转角， 等于每种载荷单独作用下引起的同一截面挠等于每种载荷单独作用下引起的同一截面挠 度、转角的向量和。度、转角的向量和。 例例1 1 ：q、l、 EI，求求：yC , B C , B 1、载荷分解、载荷

22、分解 ql ql2 q ql ql2 q B1 C1 B3 B2 C2 C3 2查表：单独载荷作用下查表：单独载荷作用下 , 24 3 1 EI ql B EI ql C 384 5 4 1 , 1616 )( 32 2 EI ql EI lql B EI lql wC 48 )( 3 2 , 33 )( 32 3 EI ql EI lql B EI ql wC 48 3 4 3 321BBBB EI ql 24 3 EI ql 3 3 EI ql 16 3 EI ql 48 11 3 321CCCC EI ql 384 5 4 EI ql 48 3 4 EI lql 48 )( 3 EI q

23、l 384 11 4 3、变形叠加、变形叠加 例例2 2 抗弯刚度抗弯刚度EIEI为常量，为常量， L/2L/2 q C B A q L/2L/2 q CB A q q q q C1 C1 , 6 3 1 EI ql C EI ql C 8 4 1 B2 C2 B2 C2 EI6 ) 2 l ( q 3 2B 2c 2 222 l BBC EI l q 8 ) 2 ( 4 2 2 l B w 21CCC EI ql 8 4 EI l q 8 ) 2 ( 4 2 2 l B EI ql 384 41 4 21CCC EI ql 6 3 EI l q 6 ) 2 ( 3 EI ql 48 7 4

24、1将将梁的挠曲线分成几段梁的挠曲线分成几段; 2首先分别计算各段梁的变形在首先分别计算各段梁的变形在需求位移处需求位移处引起的引起的 位移（挠度和转角）位移（挠度和转角）; 3然后计算其总和（代数和或矢量和），即得需求的位移。然后计算其总和（代数和或矢量和），即得需求的位移。 在分析各段梁的变形在需求位移处引起的位移时，在分析各段梁的变形在需求位移处引起的位移时， 除所研究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。除所研究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。 例例3 3 ： A B a l F C 1）考虑）考虑AB段变形引起的截面的挠度段变形引起的截面的挠度 (BC段看作刚体段看作刚体)

25、外力向研究的段上简化外力向研究的段上简化 A B a l C F Fa F F：作用在支座上，不产生变形。作用在支座上，不产生变形。 FaFa：使使ABAB梁产生变形。梁产生变形。 B EI lFa B 3 )( 1C a BC 1 a EI lFa 3 )( )( 3 2 EI lFa A B a l C F Fa Fa引起梁的变形形状为引起梁的变形形状为 段上凸；段上凸； 2）考虑）考虑BC段变形引起段变形引起C截面的挠度截面的挠度 a 2C w )( 3 3 2 EI Fa w C 21CCC )( 33 32 EI Fa EI lFa A B a l F C AB段看作刚体段看作刚体

26、F B C C截面的总挠度截面的总挠度 讨论讨论 弯曲变形的刚度条件：弯曲变形的刚度条件： , max max 许用挠度，许用挠度， 许用转角许用转角 工程中，工程中， 常用梁的计算跨度常用梁的计算跨度l 的若干分之一表示。的若干分之一表示。 对于桥式起重机梁：对于桥式起重机梁： 750 500 ll 对于一般用途的轴：对于一般用途的轴： 10000 5 10000 3 ll 在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为： rad001.0 1、求自由端的挠度与转角、求自由端的挠度与转角 P q L P2 P1q LL 2、求自由端的挠度与转角、求自由端的挠度与转角

27、3 3、求简支梁中点的挠度、求简支梁中点的挠度 q L/2C 4 4、图示中悬臂梁，二段为同种材料制成。材料的、图示中悬臂梁，二段为同种材料制成。材料的 弹性模量为弹性模量为E E，求自由端，求自由端C C端的挠度。端的挠度。 P I1 L1 I2 L2 AB C 6-6 6-6 提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施 z EI xM)( )(xM E z I 一、改善结构、减少弯矩一、改善结构、减少弯矩 、合理安排支座；、合理安排支座； 、合理安排受力；、合理安排受力； 、集中力分散；、集中力分散； 、 一般与跨度有关，一般与跨度有关， 、增加约束：、增加约束： 3 l 成正比，成正比， 与与 故

28、可减小跨度；故可减小跨度； 尾顶针、跟刀架或尾顶针、跟刀架或 加装中间支架；加装中间支架； 较长的传动轴采用三较长的传动轴采用三 支撑；支撑； 桥梁增加桥墩。桥梁增加桥墩。 增加约束：增加约束： 采用超静定结构采用超静定结构 采用超静定结构采用超静定结构 改变支座形式改变支座形式 F F 改变载荷类型改变载荷类型 q=F/L F z I 二、选择合理的截面形状二、选择合理的截面形状 A几乎不变，大部分分布在远离中性轴处，几乎不变，大部分分布在远离中性轴处， 工字形、槽钢等；工字形、槽钢等； 起重机大梁常采起重机大梁常采工字形或箱形截面工字形或箱形截面； 起重机大梁常采起重机大梁常采工字形工字形

29、或或箱形截面箱形截面； 四、不宜采用高强度钢四、不宜采用高强度钢; 三、加强肋三、加强肋 盒盖、集装箱；盒盖、集装箱； 各种钢材大致相同。各种钢材大致相同。 1、y=M(x)/EI在在 条件下成立？条件下成立？ A：小变形；：小变形； B：材料服从虎克定律；：材料服从虎克定律； C：挠曲线在：挠曲线在XOY面内；面内； D：同时满足：同时满足A、B、C； 2、等直梁在弯曲变形时，挠曲线曲率在最大、等直梁在弯曲变形时，挠曲线曲率在最大 处一定最大。处一定最大。 A：挠度：挠度 B：转角；：转角； C：弯矩；：弯矩； 3、在简支梁中、在简支梁中 ，对于减少弯曲变形效果最明显。，对于减少弯曲变形效果

30、最明显。 A：减小集中力：减小集中力P； B：增加梁的跨度；：增加梁的跨度； C：采用优质钢；：采用优质钢； D：提高截面的惯性矩：提高截面的惯性矩 L/2 P 4、板条弯成、板条弯成1/4圆，设梁始终处于线弹性范围内：圆，设梁始终处于线弹性范围内： =My/IZ, y=M(x)/EIZ 哪一个会得到正确的计算结果？哪一个会得到正确的计算结果？ A：正确、正确、正确；正确； B：正确、正确、错误；错误； C：错误、错误、正确；正确； D：错误、错误、错误；错误； 5 5、使梁变形后与刚性曲面重合，但不产生压、使梁变形后与刚性曲面重合，但不产生压 应力，应如何施加外载？应力，应如何施加外载？ R 6、圆轴采用普通碳钢制成，使用中发现弯曲