工程流体力学 chapter4

1、工程流体力学 第四章 相似原理和量纲分析 本章主要介绍流体力学中的本章主要介绍流体力学中的， 以及以及。 解决流体解决流体 力学问题力学问题 的方法的方法 理论分析理论分析 实验研究实验研究 模型实验模型实验 数值模拟数值模拟 表征表征 流动流动 过程过程 的物的物 理量理量 描述几何形状的描述几何形状的 如长度、面积、体积等 描述运动状态的描述运动状态的 如速度、加速度、体积流量等 描述动力特征的描述动力特征的 如质量力、表面力、动量等 按性 质分 应应 满满 足足 的的 条条 件件 l C h h l l L L （4-1） 以上标以上标“ “ ”表表 示模型的有关量示模型的有关量 : :

2、长度比例尺（相似比例常数）长度比例尺（相似比例常数） l C 面积比例尺面积比例尺: : 2 2 2 lA C l l A A C（4-2） 体积比例尺体积比例尺: : 3 3 3 lV C l l V V C（4-3） 图图4-1 4-1 几何相似几何相似 满足上述条件，流满足上述条件，流 动才能几何相似动才能几何相似 图图4-24-2速度场速度场相似相似 时间比例尺时间比例尺: : 速度比例尺速度比例尺: : t C t t t t t t 3 3 2 2 1 1 （4-4） t l v C C t l t l v v C （4-5） 运动粘度比例尺运动粘度比例尺: : 体积流量比例尺体积

3、流量比例尺: : 加速度比例尺加速度比例尺: :（4-6） l v t v a C C C C t v t v a a C 2 （4-7） vl t l V V qV CC C C t l t l q q C 2 3 3 3 （4-8） vl t l v CC C C t l t l v v C 2 2 2 长度比例尺长度比例尺和和速度比例尺速度比例尺确确 定所有运动学量的比例尺。定所有运动学量的比例尺。 力的比例尺力的比例尺: : 图图4-34-3 动力动力场场相似相似 （4-9） I I t t p p F F F W W F F F F C （4-10） 22 3 3 vlF CCC t

4、 v l t v l C 又由牛顿定律可知：又由牛顿定律可知： 其中： 为流体的密度比例尺。 C 压强（应力）压强（应力）比例尺比例尺: : 力力矩（功，能）矩（功，能）比例尺比例尺: : CCCCC Fl lF M M C vllFM 23 （4-11） CC C C A F A F p p C v A F p p p 2 （4-12） 动力粘度动力粘度比例尺比例尺: : 功率功率比例尺比例尺: : （4-13） CCCCC Fv vF P P C vlvFP 32 （4-14） CCCCCC vl 有了模型与原型的有了模型与原型的密度比例尺密度比例尺，长长 度比例尺度比例尺和和速度比例尺速

5、度比例尺，就可由它，就可由它 们确定所有动力学量的比例尺。们确定所有动力学量的比例尺。 4-10) 1 22 vl F CCC C （4-15） 2222 vl F vl F （4-16） Ne vl F 22 （4-17） 当模型与原型的动力相似，则其当模型与原型的动力相似，则其牛顿数牛顿数必定相等，必定相等， 即即 ；反之亦然。这就是；反之亦然。这就是 NeNe 称为称为牛顿数牛顿数， 它是作用力与惯它是作用力与惯 性力的比值。性力的比值。 Ne 一、重力相似准则一、重力相似准则（弗劳德准则）（弗劳德准则） 二、粘性力相似准则二、粘性力相似准则（雷诺准则）（雷诺准则） 三、压力相似准则三、

6、压力相似准则（欧拉准则）（欧拉准则） 四、弹性力相似准则四、弹性力相似准则( (柯西准则柯西准则) ) 五、表面张力相似准则五、表面张力相似准则（韦伯准则）（韦伯准则） 六、非定常性相似准则六、非定常性相似准则（斯特劳哈尔准则）（斯特劳哈尔准则） glF CCC Vg gV W W C 3 1 2 1 gl v CC C 2 1 2 1 gl v lg v Fr gl v 2 1 （4-18） （4-19） （4-20） 称为称为弗劳德数弗劳德数， 它是惯性力与重力它是惯性力与重力 的比值。的比值。 Fr 当模型与原型的重力相似，则其当模型与原型的重力相似，则其弗劳德数弗劳德数必定相等，必定相

7、等， 即即 ；反之亦然。这就是；反之亦然。这就是（弗劳德准则）（弗劳德准则） FrFr 1, g Cgg 2 1 lv CC （a） 1 22 vl F CCC C （4-15） 弗劳德 （4-21） （4-22） （4-23） （b） vl x x F CCC Adydv Adydv F F C 1 CCCC lv 1 vlv CCC vllv vllv Re vlvl 称为称为雷诺数雷诺数，它，它 是惯性力与粘性力是惯性力与粘性力 的比值。的比值。 Re 当模型与原型的粘性力相似，则其当模型与原型的粘性力相似，则其雷诺数雷诺数必定相等，必定相等， 即即 ；反之亦然。这就是；反之亦然。这就是

8、（雷诺准则）（雷诺准则） ReRe 1 CC l v C C 1 1 22 vl F CCC C （4-15） 雷诺 （4-24） （4-25） （4-26） 2 lpF CC pA Ap F F C 1 2 v p CC C 22 v p v p Eu v p 2 称为称为欧拉数欧拉数，它，它 是总压力与惯性力是总压力与惯性力 的比值。的比值。 Eu 当模型与原型的压力相似，则其当模型与原型的压力相似，则其欧拉数欧拉数必定相等，必定相等， 即即 ；反之亦然。这就是；反之亦然。这就是（欧拉准则）（欧拉准则） EuEu 2 v p Eu 22 v p v p （4-27） （4-28） 1 22

9、 vl F CCC C （4-15） 欧拉 2 lk e e F CC VdVKA VdVAK dpA Adp F F C （4-29） 1 2 kv CCC （4-30） K v K v 22 （4-31） Ca K v 2 称为称为柯西数柯西数，它，它 是惯性力与弹性力是惯性力与弹性力 的比值。的比值。 Ca 当模型与原型的弹性力相似，则其当模型与原型的弹性力相似，则其柯西数柯西数必定相等，必定相等， 即即 ；反之亦然。这就是；反之亦然。这就是（柯西准则）（柯西准则） CaaC V dV dp K 1 22 vl F CCC C （4-15） 柯西数 （4-32） 2 c K c 22 l

10、cF CCCC 1 c v C C （4-33） c v c v （4-34） Ma c v 称为称为马赫数马赫数，它，它 是惯性力与弹性力是惯性力与弹性力 的比值。的比值。 Ma 当模型与原型的弹性力相似，则其当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数马赫数必定相等，必定相等， 即即 ；反之亦然。这就是；反之亦然。这就是（马赫准则）（马赫准则） MaMa 1 22 vl F CCC C （4-15） 马赫 lF CC l l F F C （4-35） 1 2 CCCC vl （4-36） lvlv 22 （4-37） We lv 2 称为称为韦伯数韦伯数，它，它 是惯性力与表面张是惯性力与表面张

11、力的比值。力的比值。 We 当模型与原型的表面张力相似，则其当模型与原型的表面张力相似，则其韦伯数韦伯数必定相等，必定相等， 即即 ；反之亦然。这就是；反之亦然。这就是（韦伯准则）（韦伯准则） WeWe 1 22 vl F CCC C （4-15） （4-38） （4-39） （4-40） 13 tvl x x It It F CCCC tvV tvV F F C 1 tv l CC C vt l tv l Sr vt l 称为称为斯特劳哈尔数斯特劳哈尔数， 它是当地惯性力与迁移惯它是当地惯性力与迁移惯 性力的比值。性力的比值。 Sr 当模型与原型的非定常流动相似，则其当模型与原型的非定常流动

12、相似，则其斯特劳哈尔数斯特劳哈尔数必定相等，必定相等， 即即 ；反之亦然。这就是；反之亦然。这就是（斯特劳哈尔准（斯特劳哈尔准 则）则） SrSr 1 22 vl F CCC C （4-15） 图图4-4-4 4 油池模型油池模型 Fr gl v 2 1 以相似原理为基础的模型实验方法，按照流体以相似原理为基础的模型实验方法，按照流体 流动相似的条件，可设计模型和安排试验。这些条流动相似的条件，可设计模型和安排试验。这些条 件是件是几何相似几何相似、运动相似运动相似和和动力相似动力相似。 前两个相似是第三个相似的充要条件，同时满前两个相似是第三个相似的充要条件，同时满 足以上条件为足以上条件为

13、流动相似流动相似，模型试验的结果方可用到，模型试验的结果方可用到 原型设备中去。原型设备中去。 简化模型实验方法中流动相似的条件，除局部相似之外，还简化模型实验方法中流动相似的条件，除局部相似之外，还 可采用可采用和和。 在工程实际中的模型试验，好多只能满足部分相似准则，即在工程实际中的模型试验，好多只能满足部分相似准则，即 称之为称之为。如上面的粘性不可压定常流动的问题，不考虑。如上面的粘性不可压定常流动的问题，不考虑 自由面的作用及重力的作用，只考虑粘性的影响，则定性准则只自由面的作用及重力的作用，只考虑粘性的影响，则定性准则只 考虑雷诺数考虑雷诺数ReRe，因而模型尺寸和介质的选择就自由

14、了。，因而模型尺寸和介质的选择就自由了。 的概念实质是自身模拟的概念。比如在某系统中，有的概念实质是自身模拟的概念。比如在某系统中，有 两个数与其它量比起来都很大，则可认为这两个数自模拟了。又两个数与其它量比起来都很大，则可认为这两个数自模拟了。又 比如，在圆管流动中，当比如，在圆管流动中，当Re2320Re2320时，管内流动的速度分布都是时，管内流动的速度分布都是 一轴对称的旋转抛物面。当一轴对称的旋转抛物面。当Re4Re4105105管内流动状态为紊流状态，管内流动状态为紊流状态， 其速度分布基本不随其速度分布基本不随ReRe变化而变化，故在这一模拟区域内，不必变化而变化，故在这一模拟区

15、域内，不必 考虑模型的考虑模型的ReRe与原型的与原型的ReRe相等否，只要与原型所处同一模化区即相等否，只要与原型所处同一模化区即 可。可。 图图4-5 4-5 弧型闸门弧型闸门 （4-7） vl t l V V qV CC C C t l t l q q C 2 3 3 3 glF CCC Vg gV W W C 3 图图4-6 4-6 内装蝶阀的管道内装蝶阀的管道 一、物理方程量纲一致性原则一、物理方程量纲一致性原则 二、瑞利法二、瑞利法 三、三、 定理定理 1 1、讨论、讨论理论力学理论力学时，基本单位（量纲）有三个：时，基本单位（量纲）有三个： 质量质量(M)(M)、时间时间(T)(

16、T)、长度长度(L)(L)； 3 3、运动学运动学问题有两个基本单位（量纲）：问题有两个基本单位（量纲）： 时间时间(T)(T)、长度长度(L)(L)。 2 2、讨论、讨论流体力学和热力学流体力学和热力学时，基本单位（量纲）有四个：时，基本单位（量纲）有四个： 质量质量(M)(M)、时间时间(T)(T)、长度长度(L)(L)、温度温度( )( )； 物理量的量纲分为基本量纲和导出量纲。物理量的量纲分为基本量纲和导出量纲。 任一物理量任一物理量 的量纲表示为的量纲表示为dimdim 。 QQ 流体力学中常遇到的用基本量纲表示的导出量纲有：流体力学中常遇到的用基本量纲表示的导出量纲有： 任何一个物理方程中各项的量纲必定相同，用量任何一个物理方程中各项的量纲必定相同，用量 纲表示的物理方程必定是齐次性的，这便是纲表示的物理方程必定是齐次性的，这便是 。既然物理方程中各项的量纲相同，。既然物理方程中各项的量纲相同， 那么，用物理方程中的任何一项通除整个方程，便可那么，用物理方程中的任何一项通除整个方程，便可 将该方程化为零量纲方程。将该方程化为零量纲方程。 量纲分析法量纲分析法正是依据物理方程量纲一致性原则，正是依据物理方程量纲一致性原则， 从量纲分析入手，找出流动过程的从量纲分析入手，找出流动过程的相似准则数相似准则数，并借，并借 助实验找出这些相似准则数之间的函数关系。根据助实验找