材料力学第8章组合变形

1、第八章第八章 组合变形组合变形 8.1 8.1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理 8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合 8.4 8.4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合 8.1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理 组合变形组合变形 构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形 , ,则构件的变形称为则构件的变形称为组合变形组合变形。 基基 本本 变变 形形 拉伸拉伸( (压缩压缩) ) 剪切剪切 扭转扭转 弯曲弯曲 拉弯组合变形拉弯组合变形 8.1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理 组合变形组合变形 基基 本本 变变

2、 形形 拉伸拉伸( (压缩压缩) ) 剪切剪切 扭转扭转 弯曲弯曲 扭弯组合变形扭弯组合变形 8.1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理 如果内力、应力、应变和位移等与外力成如果内力、应力、应变和位移等与外力成线性关系线性关系，则在，则在小变形小变形 条件下，可分别计算每一基本变形各自引起的内力、应力、应变和条件下，可分别计算每一基本变形各自引起的内力、应力、应变和 位移，然后将其所得结果叠加，便得到构件在组合变形下的内力、位移，然后将其所得结果叠加，便得到构件在组合变形下的内力、 应力、应变和位移，计算结果与各单独受力的加载次序无关。应力、应变和位移，计算结果与各单独受力的加载次序无关。

3、叠加原理叠加原理 =? 8.1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理 叠加原理叠加原理 + = + 8.1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理 FF w 图示的纵横弯曲问题，需用变形后的位置进行图示的纵横弯曲问题，需用变形后的位置进行 计算，轴向力计算，轴向力F除产生压缩外，还将引起弯矩除产生压缩外，还将引起弯矩Fw， 挠度挠度w受受q和和F的共同影响，弯矩、挠度与的共同影响，弯矩、挠度与F的关系的关系 却都不是线性的，因此，却都不是线性的，因此，叠加原理不能使用叠加原理不能使用！ 注意！注意！ 8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合 拉伸拉伸( (压缩压缩) )与弯曲

4、组合变形与弯曲组合变形：当杆上的外力除横向力当杆上的外力除横向力 外，还受轴向拉（压）力时，所发生的组合变形，是外，还受轴向拉（压）力时，所发生的组合变形，是 工程中常见的情况。工程中常见的情况。 计算方法计算方法 1). 1). 分别计算轴向力引起的正应力和横向力引起的正应力；分别计算轴向力引起的正应力和横向力引起的正应力； 2). 2). 按叠加原理计算正应力的代数和。按叠加原理计算正应力的代数和。 8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合 注意事项注意事项 1). 1). 如果材料许用拉应力和许用压应力不同，且截面部分区如果材料许用拉应力和许用压应力不同，且截面部分区

5、 域受拉，部分区域受压，应分别计算出最大拉应力和最大压域受拉，部分区域受压，应分别计算出最大拉应力和最大压 应力，并分别按拉伸、压缩进行强度计算。应力，并分别按拉伸、压缩进行强度计算。 2). 2). 如果横向力产生的挠度与横截面尺寸相比不能忽略，则如果横向力产生的挠度与横截面尺寸相比不能忽略，则 轴向力在横截面上引起附加弯矩轴向力在横截面上引起附加弯矩M M= =PyPy亦不能忽略，这时叠加亦不能忽略，这时叠加 法不能使用，应考虑横向力与轴向力之间的相互影响。法不能使用，应考虑横向力与轴向力之间的相互影响。 x q PP y 8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合实例实

6、例1 1 实例实例： 图示起重机的最大吊重图示起重机的最大吊重P=12kN，材料许，材料许 用应力用应力s s=100MPa，试为，试为AB杆选择适当的工字梁。杆选择适当的工字梁。 B 2m1m 1.5m P AC D 8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合实例实例1 1 解：解：(1) 根据根据AB杆的受力杆的受力 简图，由平衡条件，得：简图，由平衡条件，得： (2) 作作AB杆的弯矩图和杆的弯矩图和 轴力图：轴力图：C点左截面上，弯点左截面上，弯 矩为极值而轴力与其它截面矩为极值而轴力与其它截面 相同，故为危险截面。相同，故为危险截面。 y xy 3 TP18kN 2

7、 4 TT24kN 3 24kN _ FN RA HA T CA B P Tx Ty 12kNm _ M 8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合实例实例1 1 (3) (3) 计算时暂不考虑轴力影响，只按弯曲正应力强计算时暂不考虑轴力影响，只按弯曲正应力强 度条件确定工字梁的抗弯截面模量度条件确定工字梁的抗弯截面模量 3 3 max 6 12 10 120 100 10 MN m Wcm Pas (4) (4) 查型钢表，选取查型钢表，选取W=141cmW=141cm3 3的的1616号工字梁，然后号工字梁，然后 按压弯组合变形进行校核，在按压弯组合变形进行校核，在C C

8、截面下缘的压应力最大截面下缘的压应力最大 36 max max 23 MN24 1012 10 94.3MPa100MPa AW26.1 10141 10 s 最大压应力略小于许用应力，说明选取最大压应力略小于许用应力，说明选取16号工字号工字 梁是合适的梁是合适的! 8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合实例实例2 2 实例实例：铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，：铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示， 材料的许用拉应力材料的许用拉应力 s st t 30MPa30MPa，许用压应力，许用压应力 s sc c 120MPa120MPa。试按立柱的强度计算许可载荷

9、。试按立柱的强度计算许可载荷F F。 F F 350 150 15050 50 0 z 1 z 1 y y 8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合实例实例2 2 2 mm15000A mm75 0 z 47 mm1031. 5 y I mm125 1 z 解：解：1 1）计算横截面的形心、面积及惯性矩）计算横截面的形心、面积及惯性矩 2 2）立柱横截面的内力）立柱横截面的内力 FFN N.m10425 1075350 3 3 F FM F F 350 F350 N F M 150 15050 50 0 z 1 z 1 y y 8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压

10、缩与弯曲的组合实例实例2 2 3 3）立柱横截面的最大应力）立柱横截面的最大应力 max. t s max. c s Pa667 10151031.5 075.010425 35 3 0 max. F FF A F I Mz N y t s Pa934 10151031.5 125.010425 35 3 1 max. F FF A F I Mz N y c s F350 N F M 8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合实例实例2 2 max. t s max. c s F350 N F M tt Fss 667 max. N45000 667 1030 667 6 t

11、 F s cc Fss 934 max. N128500 934 10120 934 6 c F s 45kNN45000F许许可可压压力力为为 8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合实例实例3 3 实例实例3，已知：已知：,300,15mmekNP许用拉应力许用拉应力 试设计立柱直径试设计立柱直径d。 ,32 1 MPas 8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合实例实例3 3 解：将力解：将力P向立柱轴线简化，立柱承受拉伸和向立柱轴线简化，立柱承受拉伸和 弯曲两种基本变形，任意横截面上的轴力和弯弯曲两种基本变形，任意横截面上的轴力和弯 矩为：矩为：

12、 kNPFN15 mNPeM45 8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合实例实例3 3 2 4 d P A P s 1 s w s 横截面上与横截面上与 对应的拉应力均匀分布，对应的拉应力均匀分布， N F 横截面上与横截面上与 M 对应的弯曲正应力按对应的弯曲正应力按 线性分布，线性分布， 3 32 d Pe W M z s 8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合实例实例3 3 1 s w s 1 32 324 s sss d Pe d P 两种应力叠加后应满足强度条件两种应力叠加后应满足强度条件: 32 30010153210154 3 3 2

13、3 dd mmd114 8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合实例实例4 4 实例实例4：图示钢板受力：图示钢板受力P=100kN，试求最大正应力；试求最大正应力； 若将缺口移至板宽的中央，且使最大正应力保持不若将缺口移至板宽的中央，且使最大正应力保持不 变，则挖空宽度为多少？变，则挖空宽度为多少？ P P P P M N 20 100 20 y z yC 8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合实例实例4 4 mm5 102010100 201020 C z 2 3 510010 12 10010 C y I 45 2 3 mm1027. 7 252

14、010 12 2010 解：解：内力分析内力分析如图如图 坐标如图，挖孔处的形心坐标如图，挖孔处的形心 Nm500105 3 PM P P P P M N 20 100 20 y z yC 8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合实例实例4 4 yc I zM A N max max s MPa8 .1628 .37125 应力分析应力分析如图如图 7 3 6 3 1027.7 1055500 10800 10100 P P M N 20 100 20 y z yC 8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合实例实例4 4 孔移至板中间时孔移至板中间时 )

15、100(10mm9 .631 108 .162 10100 2 6 3 max x N A s mm8 .36 x P P M N 20 100 20 y z yC 8.4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合 拉伸拉伸( (压缩压缩) )与弯曲组合变形与弯曲组合变形：当杆上的外力除横向力当杆上的外力除横向力 外，还受轴向拉（压）力时，所发生的组合变形，是外，还受轴向拉（压）力时，所发生的组合变形，是 工程中常见的情况。工程中常见的情况。 计算方法计算方法 1). 1). 分别计算轴向力引起分别计算轴向力引起 的正应力和横向力引起的的正应力和横向力引起的 正应力；正应力； 2). 2). 按叠加原

16、理计算正应力的代数和。按叠加原理计算正应力的代数和。 8.4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合 8.4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合 扭转与弯曲的组扭转与弯曲的组 合变形合变形在机械工程中在机械工程中 最为常见，右图为钢最为常见，右图为钢 制摇臂轴制摇臂轴AB的受力的受力 情况。情况。 Pa PL M Tn _ _ x L a y z A P C B d PPa 8.4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合 杆件在扭弯组合变形下的强度计算杆件在扭弯组合变形下的强度计算 以以圆截面圆截面杆件的扭杆件的扭 弯组合变形为例，说明弯组合变形为例，说明 强度计算的过程如下：强度计算的过程如下： 危险截面

17、上的内力矩危险截面上的内力矩 1) 根据计算得到危险根据计算得到危险 截面上的内力矩截面上的内力矩: 扭矩扭矩：T xz平面内的弯矩平面内的弯矩：My xy平面内的弯矩平面内的弯矩：Mz 8.4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合 2) 计算合成弯矩计算合成弯矩 对于截面为圆形的轴对于截面为圆形的轴 ，包含轴线的任意纵向面，包含轴线的任意纵向面 都是纵向对称面，因此，都是纵向对称面，因此， 将将My和和Mz合成后得到的合成后得到的 弯矩弯矩M的作用平面仍然是的作用平面仍然是 纵向对称面，仍可按对称纵向对称面，仍可按对称 弯曲的公式弯曲的公式(5.2)(5.2)计算。计算。 用矢量合成的方法用矢量

18、合成的方法 ，求得合成弯矩，求得合成弯矩M： 22 yz MMM 8.4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合 t T W 3) 计算应力的极大值计算应力的极大值 与扭矩与扭矩T对应的切应对应的切应 力在边缘各点上达到力在边缘各点上达到 极大值：极大值： 与合成弯矩与合成弯矩M对应的对应的 弯曲正应力在弯曲正应力在D1和和D2 点达到极大值：点达到极大值： M W s 8.4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合 4) 确定危险点的主应力确定危险点的主应力 s 由抗拉和抗压强度相等的由抗拉和抗压强度相等的 塑性材料制成的圆轴，在危险塑性材料制成的圆轴，在危险 点点D1和和D2中只需校核其中一中只需校核

19、其中一 点即可。点即可。D1点是二向应力状点是二向应力状 态，应按强度理论建立强度条态，应按强度理论建立强度条 件。件。 D1点的主应力：点的主应力： 2 1222 3 2 1 4 2222 0 s sss s s s 8.4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合 t T W 5) 强度条件强度条件 对塑性材料而言，应采用第三或第四强度理论。对塑性材料而言，应采用第三或第四强度理论。 按第三强按第三强 度理论建度理论建 立的强度立的强度 条件为：条件为： 13 sss 22 1 MT W s 22 4ss W 2W t 圆截面：圆截面： M W s 8.4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合 5)

20、强度条件强度条件 按第四强按第四强 度理论建度理论建 立的强度立的强度 条件为：条件为： 222 122331 1 2 sssssss 22 1 M0.75T W s 22 3ss 8.4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合实例实例 实例实例：图示皮带轮传动轴，传递功率：图示皮带轮传动轴，传递功率N=7kW=7kW，转，转 速速n=200r/min=200r/min，右端皮带轮，右端皮带轮B B重量重量Q=1.8kN=1.8kN，左端齿轮，左端齿轮 A A上啮合力上啮合力Pn n与齿轮节圆切线的夹角与齿轮节圆切线的夹角( (压力角压力角) )为为2020o o， 轴材料的许用应力轴材料的许用应力

21、ss80MPa80MPa，试按第三强度理论设，试按第三强度理论设 计轴的直径。计轴的直径。 z y D1 AB CD 200200400 f f300 f f500 D2 F1=2F2 F2 20o PnPy Pz 8.4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合实例实例 mkN n N Tn3343. 0 200 7 55. 955. 9 解：解：1) 1) 将外力向将外力向ABAB轴轴线简化，并计算各力的大小轴轴线简化，并计算各力的大小 z y D1 AB CD 200200400 f f300 f f500 D2 F1=2F2 F2 20o PnPy Pz x y Q Py Pz3F2 Tn T

22、n kN D T P n z 228. 2 3 . 0 3343. 022 2 kNtgPP o zy 811. 036397. 0228. 220 kN D T F n 012. 4 52. 0 3343. 02 3 2 33 1 2 8.4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合实例实例 2) 2) 作轴的扭矩图和弯矩图作轴的扭矩图和弯矩图 因整个轴上扭矩相等，所以扭矩图略。作因整个轴上扭矩相等，所以扭矩图略。作xz平面平面 内的内的My图和作图和作xy平面的平面的Mz图，可以看出图，可以看出D截面为危险截面为危险 截面，其上的内力为截面，其上的内力为: n 22 Dyz 22 T0.3343k

23、N m MMM 0.80.36 0.877kN m My Mz 0.446kNm0.8kNm 0.16kNm 0.36kNm x y Q Py Pz3F2 Tn Tn 8.4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合实例实例 3) 3) 根据第三强度理论设计轴的直径根据第三强度理论设计轴的直径 22 Dn r3 MT W ss 37 622 22 3 mm101173. 0 80 103343. 0877. 0 32 s nD TMd 7 3 0.1173 1032 d49.3mm 8.12 8.4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合实例实例 实例实例：如图所示钢制实心圆轴的两个齿轮上作用有如图所示钢制实心圆轴的两个齿轮上作用有 切向力和径向力，齿轮切向力和径向力，齿轮C 的节圆（齿轮上传递切向的节圆（齿轮上传递切向 力的点构成的圆）直径力的点构成的圆）直径dC=400 mm,齿轮齿轮D的节圆直的节圆直 径径dD=200 mm。已知许用应力。已知许用应力 =100 M