材料力学 (主占元)第3章 剪切和扭转

1、第3章 剪切与扭转 目目 录录 3.1 3.1 剪切与连接的实用计算剪切与连接的实用计算 3.2 3.2 扭转的概念与工程实例扭转的概念与工程实例 3.3 3.3 传动轴的外力偶矩与扭矩、扭矩图传动轴的外力偶矩与扭矩、扭矩图 3.4 3.4 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 3.5 3.5 等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力 3.6 3.6 等直圆杆扭转时的变形等直圆杆扭转时的变形 刚度条件刚度条件 铆钉、螺栓等称为铆钉、螺栓等称为连接件连接件。 3.1 3.1 剪切与连接的实用计算剪切与连接的实用计算 连接件的变形往往很复杂，要对其进行连接件的变形往往很复杂，要对其进行 精确分析比较困难。

2、工程上对此类问题常采精确分析比较困难。工程上对此类问题常采 用用实用计算实用计算的方法。的方法。 连接处破坏的三种形式：连接处破坏的三种形式： 剪切破坏剪切破坏 沿铆钉的剪切面剪断， 如n-n面。 挤压破坏挤压破坏 铆钉和钢板在相互接触面 上因挤压而使溃压连接 松动发生破坏。 拉伸破坏拉伸破坏 钢板在受铆钉削弱的截面处，应力增大，易在连接处拉断。 一、剪切实用计算一、剪切实用计算 1. 基本概念 1) 剪切面剪切面:发生相互错动的截面发生相互错动的截面 2）单剪：）单剪：只有一个剪切面的剪切变形只有一个剪切面的剪切变形 3）双剪切：）双剪切：有两个剪切面的剪切变形有两个剪切面的剪切变形 F F

3、 F F a) F F F F m m b) F F F FQ Q m m c) F F mm d) 2.剪切实用计算剪切实用计算 实用计算假设：实用计算假设：假设剪应力在整个剪切面上均匀分布，假设剪应力在整个剪切面上均匀分布， 等于剪切面上的平均应力。等于剪切面上的平均应力。 如下图：如下图： 式中，式中， 为剪切面上的名义剪应力为剪切面上的名义剪应力; ; F FQ Q 为剪切为剪切 面上的剪力面上的剪力, ,A A为剪切面面积。为剪切面面积。 为了保证构件在工作时不被剪断，必须使构件为了保证构件在工作时不被剪断，必须使构件 剪切面上的切应力不超过材料的许用应力，即剪切面上的切应力不超过材

4、料的许用应力，即 二、挤压实用计算二、挤压实用计算 第二种破坏方式为铆钉与钢板间的局部第二种破坏方式为铆钉与钢板间的局部 接触，互相挤压，导致破坏。接触面上的压接触，互相挤压，导致破坏。接触面上的压 力称为挤压力。记为力称为挤压力。记为F Fpc pc Fbs Fbs 则挤压应力为：则挤压应力为： Fpc： 挤压力挤压力 Abs：有效：有效挤压面挤压面的的面积面积 挤压应力是连接件与被连接件之间的相互作挤压应力是连接件与被连接件之间的相互作 用，因此，当两者材料不相同时，应校核挤压许用，因此，当两者材料不相同时，应校核挤压许 用应力较低的材料的挤压强度。用应力较低的材料的挤压强度。 直径投影面

5、 一销钉连接如图所示。已知外力 P=15kN，被连接件的厚度分别为t1=6mm和 t2=10mm，材料的许用剪应力=30MPa，许 用挤压应力bs=100MPa，试设计销钉直径。 pp t1 t1 t2 解：解： 作销钉受力图如图示作销钉受力图如图示 按剪切强度条件设计按剪切强度条件设计 销钉有两个受剪面销钉有两个受剪面n n和和m m (对称对称)，任取一面进行计算，任取一面进行计算 n n 2 P m m P n n Q 2 P 2 P 按挤压强度条件进行设计按挤压强度条件进行设计 销钉有三个挤压面，上、下两段长度相同，销钉有三个挤压面，上、下两段长度相同， 与中段相比，显然，中段为危险截

6、面。与中段相比，显然，中段为危险截面。 综合考虑剪切和挤压强度，可取销钉直径为综合考虑剪切和挤压强度，可取销钉直径为18mm。 n n m m P 2 P 2 P t1 t1 t2 钉子分布对称于轴线，则每个钉子钉子分布对称于轴线，则每个钉子平均分担外荷载平均分担外荷载。 P P P P P 8 P 4 P 8 P 8 P 4 P 盖板 铆钉 被连接件 3.2 3.2 扭转的概念与工程实例扭转的概念与工程实例 实例实例： 方向盘的操纵杆方向盘的操纵杆 传动轴传动轴 钻头、钻杆钻头、钻杆 请判断轴受那请判断轴受那 些力，将发生些力，将发生 那些变形？那些变形？ 受力特点受力特点在垂直于杆轴线的平

7、面内在垂直于杆轴线的平面内 作用有力偶。作用有力偶。 变形特点变形特点任意两个横截面都绕杆轴任意两个横截面都绕杆轴 线作相对转动。线作相对转动。 本章只研究圆轴扭转问题。 一一.传动轴的外力偶传动轴的外力偶 1、直接给出作用在轴上外力偶矩大小；、直接给出作用在轴上外力偶矩大小； 2、通过外力平移计算得出；、通过外力平移计算得出； 3、通过电机给轴所传递的功率和轴的转速、通过电机给轴所传递的功率和轴的转速 计算得出；计算得出； （一般有三种情况给出）（一般有三种情况给出） 3.3 传动轴的外力偶矩与扭矩及扭矩图传动轴的外力偶矩与扭矩及扭矩图 二二.扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 外加扭力矩Me确定后，

8、应用截面法可以确定 横截面上的内力，该内力偶矩称为扭矩扭矩，用T表示。 圆轴两端受外圆轴两端受外 加扭力矩作用加扭力矩作用 时，横截面上时，横截面上 将产生分布剪将产生分布剪 应力，这些剪应力，这些剪 应力将组成对应力将组成对 横截面中心的横截面中心的 合力矩合力矩扭扭 矩矩 扭矩扭矩T： 按右手法则按右手法则 扭矩的矢量扭矩的矢量 方向离开截方向离开截 面为正；指面为正；指 向截面为负。向截面为负。 符号规定：符号规定： m Tm T m T m T 正 负 (a) (b) 例例3-2 3-2 一传动轴如图，转速一传动轴如图，转速n=300 r/min，转向如图，转向如图 所示。主动轮所示。

9、主动轮A输入的功率输入的功率P1= 500 kW，三个从动，三个从动B、 C、D轮输出的功率分别为：轮输出的功率分别为：P2= 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200 kW。试作轴的扭矩图。试作轴的扭矩图。 1. 计算作用在各轮上的外力偶矩计算作用在各轮上的外力偶矩 mkN9 .15mN 109 .15mN) 300 500 1055. 9( 33 1 M mkN78. 4mN1078. 4mN) 300 150 1055. 9( 33 32 MM mkN37. 6mN1037. 6mN) 300 200 1055. 9( 33 4 M 主动轮上主动轮上M1的转向和轴的转向相同，从

10、动轮上的转向和轴的转向相同，从动轮上 的的M2、M3、M4的转向和轴的转向相反。的转向和轴的转向相反。 解：解： 2. 计算各段的扭矩计算各段的扭矩 BC段内：段内： mkN78. 4 21 MT AD段内：段内：mkN37. 6 43 MT CA段内：段内：mkN9.56 322 MMT( (负负) ) 注意这个扭矩是假定为负的注意这个扭矩是假定为负的 3. 作扭矩图作扭矩图 由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在在CA 段内，其值为段内，其值为9.56 kNm。 薄壁圆筒薄壁圆筒通常指通常指 的圆筒的圆筒 10 0 r 当其两端面上作用有当其两端面上作用有

11、外力偶矩时，任一横截面外力偶矩时，任一横截面 上的内力偶矩上的内力偶矩扭矩扭矩 e MT 3.3 3.3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 观察变形观察变形 r0 m0m0 表面变形情况：表面变形情况： (1) 圆周线只是绕圆筒轴线转动圆周线只是绕圆筒轴线转动,形状及尺寸不变；形状及尺寸不变； (2) 纵向直线在小变形情况下保持为直线纵向直线在小变形情况下保持为直线,但发生但发生 倾斜倾斜; (3)圆周线之间的距离保持不变。圆周线之间的距离保持不变。 推论：推论： (1) 横截面保持为形状、大小未改变的平面，即横横截面保持为形状、大小未改变的平面，即横 截面如截面如 同刚性平面一样；同刚性平面一样

12、； (2) 相邻横截面只是绕圆筒轴线相对转动，横截面相邻横截面只是绕圆筒轴线相对转动，横截面 之间的距离未变。之间的距离未变。 平截面假设平截面假设 平截面假设平截面假设 圆轴扭转时，横截面保持圆轴扭转时，横截面保持 为平面，并且只在原地绕为平面，并且只在原地绕 轴线发生轴线发生“刚性刚性”转动。转动。 横截面上的应力：横截面上的应力： (1) 只有与圆周相切的剪应力只有与圆周相切的剪应力( shearing stress )，且，且 方向与圆周相切；方向与圆周相切； (2) 圆周上各点处切应力大小相等；圆周上各点处切应力大小相等； (3) 横截面上无正应力。横截面上无正应力。 由截面法，我们

13、知道横截面 上的分布内力系的合力为扭矩 T，于是由静力等效关系有： 上式中的r可用r0代，于是 T 0 2A T 切应力互等定律切应力互等定律 根据对根据对Z轴的力矩平轴的力矩平 衡得：衡得： 剪切虎克定律剪切虎克定律 当在弹性范围内加载时，当在弹性范围内加载时， 剪应力与剪应变成正比：剪应力与剪应变成正比： =G 这种线性关系称为剪切胡克定律这种线性关系称为剪切胡克定律。 G称为材料剪切弹性模量，单位：称为材料剪切弹性模量，单位：GPa。 m0 m0 1.1.横截面上的应力横截面上的应力 3.4 3.4 等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力 dx 1 2 x z y o 1 2 1 l

14、x m m 12 12 dx A A o d 静力关系静力关系 2 AA dd GdAGdA dxdx T A dA 2 p A IdA 极惯性矩极惯性矩 p d TGI dx p dT dxGI p dT G dxI max pp TT Iw p p I w 4 32 p d I 4 3 32 16 2 p p d I d w d 44 (1) 32 p ID 3 4 (1) 16 2 p p I D w D (1)直径为直径为d的实心圆轴的实心圆轴 (2)内外直径分别为内外直径分别为d和和D的的 空心圆轴空心圆轴 截面的极惯性矩与扭转截面截面的极惯性矩与扭转截面系数 d D 等直圆轴在扭转

15、时，杆内各点均处于等直圆轴在扭转时，杆内各点均处于 纯剪切状态，其强度条件是最大工作剪应纯剪切状态，其强度条件是最大工作剪应 力不大于材料的许用剪应力。力不大于材料的许用剪应力。 即 max 等直圆轴强度条件为等直圆轴强度条件为 max p T W 根据上式可进行三种不同情况的强度计算 校核强度 设计截面 计算许可荷载 m a x p T W m a x p T W m a x p TW 一传动轴，横截面上最大扭矩为一传动轴，横截面上最大扭矩为 Tmax=1.5kNm，许用剪用力，许用剪用力 =50MPa，试，试 按下列两种方案确定轴的截面尺寸，并比较按下列两种方案确定轴的截面尺寸，并比较 其

16、重量。其重量。 (1) 横截面为实心圆截面横截面为实心圆截面 (2) 横截面是横截面是a = 0.9的空心截面的空心截面 解解： 设计实心圆轴设计实心圆轴 max max p T W max p T W 3 0max 16 即 dT 3 max 3 3 0 6 1616 1.5 10 3.14 50 10 T d 3 53.5 1053.5 mmm 0 54取dmm (2) 设计空心圆轴设计空心圆轴 max p T W 34 max (1) 16 T D max 3 4 16 (1) T D 76mm 0.968.4dDmm 3 3 3 46 16 1.5 10 76 10 3.14(1 0.

17、9 ) 50 10 m (3) 比较重量比较重量 同种材料，杆长相同，所以，重量同种材料，杆长相同，所以，重量 比即为横截面面积之比比即为横截面面积之比 22 22 2 2 0 7668.5 4 0.395 54 4 重量比 Dd d 例例3-4 3-4 图示阶梯状圆轴，图示阶梯状圆轴，AB段直径段直径d1=120 mm，BC 段直径段直径d2=100 mm。扭转力偶矩。扭转力偶矩MA =22 kNm，MB =36 kNm，MC =14 kNm，材料的许用切应力材料的许用切应力 80 MPa。试校核该轴的强度。试校核该轴的强度。 1. 绘扭矩图绘扭矩图 解：解： AB段内段内 MPa8 .64

18、Pa108 .64 m10120 16 mN1022 6 3 3 3 1p 1 max, 1 W T 2. 分别求每段轴横截面上的最大切应力分别求每段轴横截面上的最大切应力 BC段内段内 MPa3 .71Pa103 .71 m10100 16 mN1014 6 3 3 3 2p 2 max,2 W T 3. 求每段轴的横截面上的最大切应力求每段轴的横截面上的最大切应力 3. 校核强度校核强度 2,max 1,max 且有且有 2,max = 80MPa，故故 该轴满足强度条件。该轴满足强度条件。 p dT dxGI 0 L pPL TTl ddx GIGI 3.5 3.5 等直圆杆扭转时的变形

19、等直圆杆扭转时的变形与与刚度条件刚度条件 GIp 抗扭刚度抗扭刚度 对比对比 轴向拉压轴向拉压 Nl l EA p Tl GI 公式形式相似，适用条件相同。公式形式相似，适用条件相同。 圆轴扭转圆轴扭转 p Tl GI i i i pi Tl GI 0 ( ) L p Tdx GI x 对于各段扭矩不等或截面极惯性矩不 等的阶梯状圆轴，轴两端的相对扭转角为： 刚度条件刚度条件 为了保证轴的刚度，通常限制轴的 最大单位长度扭转角 max 在工程中，在工程中， 的单位习惯上的单位习惯上用度用度 /m,记为记为 /m，而而上上式求出的式求出的 值单位为值单位为 弧度弧度/m ，此外，等直杆上式中的，

20、此外，等直杆上式中的T为为 Tmax max 180 p T GI ：许用单位长度扭转角：许用单位长度扭转角 通常一根轴必须同时满足强度条件和刚度条件。通常一根轴必须同时满足强度条件和刚度条件。 可进行三种不同形式的刚度计算：即 校核刚度校核刚度 max 180 p T GI 设计截面设计截面 max 180 p T I G 计算许可荷载计算许可荷载 max 180 p GI T 例例3-4 实心圆轴的直径实心圆轴的直径D=100mm， 长长l=1m，两端受外力偶矩两端受外力偶矩m0=14kNm 作用，如图所示。设材料的剪切弹性作用，如图所示。设材料的剪切弹性 模量模量G=80GPa。 A B

21、 z m0m0 y C (1) 杆内图示截面上杆内图示截面上A、B、C三点处的剪应三点处的剪应 力数值及方向；力数值及方向； (2) 杆内最大剪应力杆内最大剪应力 max (3) 两端截面之间相对扭转角两端截面之间相对扭转角 试求：试求： A B z m0m0 y C 解：解：(1) 由截面法，易求得轴任意截由截面法，易求得轴任意截 面的扭矩均为面的扭矩均为T=m0 6 71.4 1071.4paMPa AA p T I 3 3 4 12 14 10 50 10 100 10 32 BB p T I 71.4MPa 3 3 4 12 14 10 50 10 100 10 32 CC p T I 35.7MPa 3 3 4 12 14 10 25 10 100 10 32 截面扭矩为正号扭矩，由静截面扭矩为正号扭矩，由静 力等效的关系知：在整体图中从力等效的关系知：在整体图中从 右往左看，剪应力方向为右往左看，剪应力方向为 A水平水平 向左，向左， B铅垂向下，铅垂向下， C竖直向上。竖直向上。 A C B y z T (2) 因