第五章 桩基础的计算与分析

1、第五第五章章 桩基桩基础的计算与分析础的计算与分析 5.1 5.1 概述（略概述（略） 5.2 5.2 竖直荷载下桩基础的受力分析竖直荷载下桩基础的受力分析 5.2.1 竖向荷载下单桩受力的性状 在实际工程中，桩基通常是由一群桩所组成。而群桩分析的理 论很大程度取决于单桩的受力分析。因而许多学者对单桩工作 机理进行了研究，并提出许多预估的方法。目前，大体上可归 纳为四种方法，即：荷载传递法；弹性理论法；剪切位移法； 有限单元法。 1.荷载传递法 荷载传递法首先是由Seed和Reese在1995年提出。此后， Kezdl(1957)、佐藤悟（1965），Coyle和Reese（1966）、 Ho

2、lloway(1975)以及Vijayvergiya(1977)等相继在此基础上有 所发展。这些方法的基本概念是把桩视作由许多弹性单位组成， 每一单元与土体之间（包括桩尖）都用非线性弹簧联系，如 图11.1所示。这些非线性弹簧表示桩侧摩阻力（或桩尖阻力） 与剪切位移（或桩尖位移）之间的关系，通常统称为荷载传递 函数或t-s曲线。 在桩上取一单元体，由单元体的静力平衡条件可得： L i S 1i P i P 1i P b P Q z P Z z P Pdz z dz 1n P bn PP n S n S n P 单元n n / 2l / 2l 荷载传递法的计算图式 z z P U z 5.1 式

3、中 -桩截面周长， -桩侧壁摩阻力。考虑到单元的弹性 应变量随深度z值得增加而减小，于是有 2 U zP s PAE z 5.2 对式（11.2）求导，并与式（11.1）联合，则有 2 2 z p sU zAE 5.3 式（11.3）式传递函数法的基本微分方程，桩身的竖向位移 s的求解取决于桩土之间的传递函数 曲线（即 曲线）。 z s tz tz Vijayvergiya(1977)对桩测、桩底分别提出相应的传递函数表 达式： max 2 cscs zz ff zz 5.4 其中 max max 2 mm V fc fKtg （粘土） （砂土） 式中 桩单元的位移 位移为z时，桩侧的摩阻力；

4、 桩侧摩阻力达到时的桩单元的临界位移值；在 粘 土或砂土中，=0.510.97cm； 桩身范围内土的不排水抗剪强度平均值； 地表至桩尖范围内土的竖向有效应力的平均值； 桩身范围内土的不排水抗剪强度平均值； 土的侧压力系数； 土的竖向有效应力； 桩间土的摩擦角 cs z m m c V z f K 桩尖传递函数，如图11.2（c）所示。 1/ max / b cb qqz z 5.5 式中 桩尖位移值； 位移为s时，桩尖的阻力； 桩尖阻力达到 时的临界位移值， B为桩径或宽度 桩尖最大阻力，可按下式计算： max q cb z z q max q 0.040.06 cb zB max max c

5、 qV qNc qN （粘土） （砂土） 式中 分别为承载力系数； 桩尖粘土的不排水抗剪强度； 桩尖处土的竖向有效应力。 , cq NN c V 一旦桩土间的传递函数确定后，就可求得在竖向荷载下桩侧摩 阻力，桩身轴力分布以及桩身各截面处的位移。求解方法通常 采用变形协调法和矩阵位移法。 （1）变形协调法 该法是在离散成许多单元的桩的底部，假设有某一位移值，然 后根据桩身的轴向变形与桩侧土变形相协调的关系，可逐段地 向上递推而求出桩段各点（包括桩顶）处的相应轴力、桩侧压 力。若桩底假设不同的位移值，于是就可获得一组相应的轴力、 位移以及桩侧和桩底的阻力。 2）矩阵位移法 矩阵位移法实质上是杆件系

6、统的有限单元法。对已经离散了的 每个桩单元（图5.3），可建立轴力之间的关系。 若桩顶上作用一个竖向力Q，桩段划分的长度不一，分别以 示之，则对整根桩可写出分段点的力和位移方程组： 12 ,ll P KSQR 5.6 式中 土作用在桩段结点上的集中摩阻力（kg或t）列 向量，其值为 R 2 1 122 4 T b nnb d dlllp d (参见图5.4)也可写成 1 12 2 T nnb tgstgstgstg s 桩的总刚度矩阵； 分别为桩身、桩底直径； 桩身各结点位移列向量,其值为 外荷载列向量 P K, b d d S 12 T nb ssss Q000 T Q 上式也可写成： ps

7、 KKSQ 5.7 式中 土的刚度矩阵 ，即由 和 组成的对角矩阵。 s K tgi tg Q b p 2 4 3 1 5 1 3 4 5 2 1 l 2 l 3 l 4 l 5 l / 2 i l 1 / 2 i l i Pi j P j 图5.3 单桩矩阵位移法的计算图式 位移 S 位移 S 位移 S 位移 S 位移 S 图5.4 桩侧摩阻力、桩尖阻力与位移的关系曲线 由于传递函数呈非线性特性，可用迭代法计算式（5.7），其 步骤如下： 1）根据已知的传递函数曲线，假设各结点的初始刚度 和 （即假定各结点初始位移 ） 2)按式（11.7）算出相应的位移 ； 3)若 与 的差值超过容许值，则

8、根据 和 ;从 图5.4求出 和 ，并代入式（5.7）算出第二次迭代 计算所得的位移 ； 4)重复上述计算过程，直 到前后两次计算所得位移的差值小于 容许误差为止； 5)将最后求得的位移值 ，代入式（5.6）后，可求出各结 点处的轴力 和摩阻力 . 从上述计算可见，荷载传递法分析单桩的性状，其关键在于正 确确定荷载的传递曲线。 0 i tg 0tg 0S 1S 1S 0 S 1S R 1 i tg1tg 2S S P 众所周知，桩的静再试验既费工又昂贵，因而近年来有人通过 桩、土间传递函数的研究来分析和估算桩的承载力，以减少桩 的静载试验工作量。文献11介绍华南地区在试桩时，通过预 埋在桩内的

9、电测元件，测定桩身各量测截面的应变，从而算出 桩侧摩阻力、桩尖阻力随位移变化的关系。实测到的荷载传递 曲线可近似地用双曲线方程来描述，但为实用起见，可将 曲线简化为弹性-全塑模型，桩尖 曲线则简化为弹性-硬化模 型（如图5.6），并用 五个参数来表示。按该模型 计算求得的桩顶处的Ps曲线与实测的试桩结果较好吻合。 s sb Ps 12 , ubu sK Ks 文献5根据上海和我国沿海软土地区大量试桩与精力触探的对 比资料，发现触探探头阻力 与软土地区各类土的 （最 大桩侧摩阻力）、 （最大桩尖阻力）有较好的关系； 5 10 c qPa max f max q max maxmax maxmax

10、 / 20 /50100 0.250.025100 c c c fq fqfkPa fqfkPa （淤泥质粘土、亚粘土） （轻亚粘土、粉砂） （软塑、硬塑的粘土、亚粘土） 5.8 s mm u s b smm 1 K 2 K bu s 图5.6 荷载传递的双折线表示 0 10002000 P(kN) 10 20 30 40 50 60 计算值 实测值 0 1000 2000 kN 5.64 2.16 7.76 14.00 20.70 图5.7 桩的实测与计算的P-s曲线（a） 桩轴向力实测值分布图（b） max12 / 2 cbcb qqq 5.9 式中 触探探头阻力，以 表示； 桩尖以上（3

11、.758.0）d范围内探头阻力的平 均值 ； 桩尖以下（1.02.75）d范围内探头阻力的平 均值 。而传递系数建议用抛物线方程表示， 即； c q 5 10 Pa 1cb q 5 10 Pa 2cb q 5 10 Pa max max / / c cb ffz z qqz z 5.10 5.11 式中其它符号与式（5.4）、（5.5）说明相同。通过与软土 地区16根（桩长1827m）实测试桩资料进行对比，结果说 明用建议的传递函数计算所得的桩顶P-s曲线与实测值较为接 近。 2.弹性理论法 弹性理论法的基本假定是，桩被插入在一个理想均质的各项同 性的弹性半空间体内，其弹性模量 和泊松比 ，不

12、是因桩 的存在而变化；桩的周围粗糙而桩底平滑。由于桩与土之间保 持弹性接触，因此具有桩身位移等于毗邻土位移的相容条件。 在计算中，认为桩与土的径向变形甚小，可不计，只考虑桩在 竖向荷载下的竖向变形。 把受荷的桩以及桩周围的土分成若干小段，现分布取桩周围的 土体（图5.8b）、桩身（图5.8c）作为分离体进行分析。 s E v d L b d Q d /lL n j b p 单元n i a b b p j /lL n 单元n i Q 1 1 l 2 l i l 1n l n l c 图5.8 弹性理论法的计算图式 （1）土的位移方程（按图5.8b建立） 由 单元处的摩阻力 对桩端点 所引起的竖向

13、位移 为： j j i ij s ijijjijj s d sII E 5.12 式中 单元j处单位摩阻力 对桩段 点 所产生的竖向位移量，或称为竖向位移影响系数， ij I 2 1/1 j kN mkPai 于是所有n个单元的桩侧、桩底阻力对i点所产生的位移： 1 n b iijjibb j s dd sIIp Ed 5.13 同理，可写出所有单元对桩底所产生的位移量为： 1 n b bbjjbbb j s dd sIIp Ed 5.14 式中 分别为竖向位移影响系数。, ibbjbb III 这样，土的位移方程可方便地写出： s s d SIp E 5.15 式中 土的位移矢量， 桩周阻力

14、（包括桩侧和桩底）的列向量， 土的竖向位移柔度矩阵，即 S p 12 T nb pp s I 111211 212222 12 12 11 b nb b nb s b nnnnnb b bbbnbb nn d IIII d d IIII d I d IIII d d IIII d （2）桩身位移方程（按图5.8c建立） 把桩身的微分方程式（5.3）改写成为： 22 22 4 pp z AEd E ss Uzz 5.16 并用有限差分法形式，写出点2到n-1的表达式，即 11 2 2 2,3,1 4 p iii i d E sss in l 5.17 对于桩段点1，写出差分表达式时，会引入虚结点

15、位移 ，为 此，要利用桩顶处应变的边界条件 ，于是 的表达式 0 s 2 / 4 p d szQE 0 s 01 2 4 p Q l ss dE 把上式代入式（5.17），消去 ，则点1的差分表达式为 0 s 112 2 4 P dEQ ss ldl 5.18 同理，利用非等间距的差分公式以及使用高阶级数的差分展 开式，于是点n和桩底（b点）的差分表达式： 21 2 1 0.2253.2 4 1.331210.67 4 P nnnnn p bnnb d E ssss l E psss l 5.19 5.20 于是，整根桩的位移方程为： 2 4 p P d E pISY l 5.21 式中 00

16、0 T Q Y d l 桩身位移列向量 桩身系数矩阵，其值为 S P I 11 11000000 12100000 01210000 00001210 00000.2253.2 432 0000012 33 nn fff 其中/fl d （3） 单桩的差分方程 把桩土交界面处毗连点的位移相容条件 代入 式（5.21）,便可获得单桩的差分方程： SS 2 2 4 p ps s dE IIIpY lE 5.22 式中 单位阵;其它符号说明同前。 解方程组（式5.22），求出 ，即获得桩侧摩阻力 和桩底 阻力 ；再利用式（5.15）和式（5.2）分别求出桩段的位 移 和轴力 。 I p b p S

17、z P 均质土中不同比值 情况下的桩侧摩阻力 的分布情 况；对于K值大的不可压缩桩， 沿桩身的分布比较均匀，且 与土的泊松比 值关系不大。 (/) ps KEE s v （4）弹性理论法的若干改进 计算方法改进 用方程式（5.22）求解时，桩的分段长度必需相同，因为 建立式（5.7）时，为了简便，采用了等间距的差分形式，若 采用矩阵位移法，可求解非均质土中分段长度不等情况下的 桩。 先按图5.3和式（5.6）建立桩身位移方程，得 p KSQR 5.23 改写土的位移方程式（5.15），得 s s d SISR E 5.24 式中 系数矩阵，其值为： F 1 2 1 1 1 1 4 n b l

18、l F d l d l 0 0 0 根据变形相容条件 ，把上式代入式（5.23）后得： SS Ps s d KIFIRQ E 5.25 解上式求得桩段各点的集中摩阻力 后，就不难获得 值以及位移 。 R 12 ,. nb p S 应当指出，桩顶荷载Q并不是作用在桩段结点1处（图5.3），为 了使式（5.25）符合实际情况，在分段时，应尽量使 长度缩小。 1 l 桩-土间的滑移 众所周知，桩土之间的摩阻力是有限的，当桩上荷载足够大时， 桩土间摩阻力得到充分地发挥，以至于桩土间产生滑移丧失支撑 能力。对此，方便的做法是先按式（5.25）计算，然后检查所求 出的各结点的摩阻力 ，是否超过某一指定的极

19、限 值 ；若 ，则在式（5.25）等式左边的矩阵中第i行的主对 角元素充以一个大数（如 ），而在相应的右端项 中第i行充 以 的数，再作一轮计算，直到计算得的摩阻力均小 于 为止。 / ii Rdl u iu 16 10 Q 16 10 ui dl u 非均质土的考虑 为了把均质土中已有的分析公式应用到非均质土的情况，Poulos 近似地假定土体内的应力与原均质体中的分布情况相同，而计 算土位移时所用到土的模量与该点所在的位置有关。于是i点土 的位移计算式变成 1 n ij b ijibb j sisi I d sdIp EdE 5.26 桩身范围内土的位移方程： s s I Sdp E 5.

20、27 式中符号见式（5.15）说明。由于桩的位移方程式（5.23）保 持不变，则按照位移相容条件，联合式（5.27），（5.23）后 便可求得桩身各结点的轴力，位移和摩阻力，Poulos曾经对支 撑在较硬土层中的桩进行分析，结果表明：桩尖土层模量 愈 大，则轴力 的传递作用就愈不明显。 b E z P 对于桩尖以上若干土层的情况，Poulos建议也可取加权平均模 量 来代替，即EaV 1 1 E n aVii i E h L 5.28 式中 分别是土层i的模量和厚度 桩身长度L范围内的土层个数。 , ii E h n 非均质土处理的另一途径是，先用Mindlin应力公式积分后求 得计算点i处的

21、竖向应力 ，然后运用熟知的分层总和法公 式计算该点的位移量（不考虑土的侧胀）。该方法基于下述 假设： 1）地基土非线性性质只对土体的位移有较大的影响，而 对土中应力，特别是对竖向应力影响不大； 2 ）考虑到桩基分析中，计算点离地面较深，而且前勘察 部门一般只提供压缩模量，很少提供土的弹性模量； 3）分层总和法计算变形公式有较长的使用历史，并积累着 与实测变形对比的资料。 采用这一途径进行单桩分析，只需对前述土的位移方程 z 式（5.24）中的竖向位移影响系数 作适当的修改， 而式（5.23）和式（5.25）依旧不变。 , ijbjibbb IIII 有限深度的近似处理 前面土的位移柔度矩 中的

22、元素（见式5.15）仅适用于无限深 的土体。对于有限厚度H的土层，层内任一点的竖向位移影响 系数，可近似地按下式计算： s I ij HijHj III 5.29 式中 在无限土体介质中，单元j上的单位摩阻力引起i 点处的竖向位移影响系数； 在无限土体介质中，单元j上单位摩阻力对地表 下 H深度处点 的竖向位移影响系数（ 在 点的正 下方）。 综上可见，弹性理论法的优点是考虑了实际土体的连续性。就 ij I Hj I i ii 这点而言，它可以考虑桩与桩之间相互影响的群桩分析，比传 递函数法要合理些。但用弹性理论法时，计算土的竖向位移柔 度矩阵 较为费时，另外，如何正确选择土的两个重要指标 值

23、还有待进一步解决。 s I , ss E v 3. 剪切位移法 本方法是把桩身和桩尖变形分别计算。对于桩身的部分，由于 桩上荷载的作用使周围土体发生剪切变形，而剪应力又通过桩 侧周围连续环形土单位向四周传播，如图5.13所示。其结果在 桩尖水平面处产生如形状 那样的变形(见图5.12).而柱底部 分，则按一般弹性理论方法计算其变形，如 形状。然后考 虑两个变形相容条件，求解桩的轴力、位移和摩阻力等。 11 AB 22 A B 桩 上层土 下层土 1 A 2 A 1 B 2 B i P b P s P P r z d rdr dz z r 1 dz z dr r r r dr r z z dz

24、z a a b 图5.12 上层和下层土各自的变形形状图5.13 桩身的变形模型（a）及土单 元的应力（b） (1)桩侧土的位移方程 受荷桩身周围土的变形可理想地视作为同心圆柱体（图5.13a）。 这一假定的正确性已被Cooke（1974）桩的实验结果所证实。此 后Frank（1974,1975）和Baguelin等人（1975）用有限单元分 析也证实这一假定的合理性。 从圆柱体内取一微分体（图5.13a），根据弹性理论可写出竖向平 衡微分方程式： 0 z rz r rz 5.30 由于桩受荷后，桩身附近处的剪应力 的增加远大于竖向应力 因而略去 项后，方程近似的变为： z z z 0 rz

25、r 5.31 用分离变量法可求得该方程的解为： 0 0 rz r r 5.32 式中 分别表示桩侧土表面处的剪应力和桩的半径。 由弹性理论几何方程，剪切变形表达式为 00 ,r uw zr 5.33 略去轴向应变和径向应变。 再根据轴对称课题的物理方程，则有： s G 5.34 把式（5.32），（5.34）代入式（5.33），略去 项，则得： u z 0 0 ss rr wr GGr 5.35 两边积分后求得地表下任一深度z处的水平面上的位移： 0 00 0 ,ln ,0 oom m r ss m rrrr w z rwrrr GrGr w z rrr 5.36 式中 分别为土的径向和竖向位

26、移； 桩身范围内的土的剪切模量； 离桩轴线的水平距离； 剪切变形可忽略的范围（离桩轴线的水平距离）， Randolph(1978)建议可取 ,L为桩长。 , u w s G m r r 2.51 s Lv 0 r s w 0 1 w r w r r 图5.14 某一深度处，桩侧外竖向位 移 随水平径向距离 的变化 w r l z i P b P G Q l G L 图5.15 计算图式 图5.14中： 0 0 0 ln m s r w r Gr 0 0 1 0 ln ss s r w rww rw Gr 或 （2）桩底土的位移方程 由于桩尖犹如一个刚性压块，Randolph(1979)建议Bo

27、ussi- Nesq公式求解，即 2 1 b bmb b v wd p E 对于刚性压块，取0.79，于是 2 1 b bmb b v wd p E 5.37 5.38 式中 分别指桩底标高以下土的泊松比和剪切模量。, bb v G （3）可压缩性桩的解析表达式 由于桩身位移s和土的位移w相等，故桩身位移方程式（5.3） 又可写成 2 2 0 p wk w zAE 5.39 式中 0 2/ln m s r kG r 上式为常系数齐次线性微分方程，其通解为： 12 12 r zr z wc ec e 式中 待定常数； 12 ,c c 12 , pp kk rr AEAE 而桩身轴力方程式（5.1

28、2）可写成： 12 1121 r zr z zpp w PAEAEc r ecr e z 5.41 5.40 合并式（5.40），（5.41）得： 12 12 1 211 r zr z z r zr z zpP wcee PcAEr eAEr e 5.42 或简写成 1 2 z z wc T z Pc 若讨论长度为l的桩段，如图5.15所示。可分别写出该段顶部 和底部处的位移和轴力方程： 顶部： 1 2 tt t cw T zzz cP 底部： 1 2 BB B cw T zzzl cP 消去 ： 12 ,c c 1 tB tBB www T zT zT Ppp 5.43 式中 变换矩阵，其值

29、为： T 12 34 1 P p tt AE T AE tt （均质土情况） 2121 1 2121 2 1 1/2 2 expexpexpexp 2 expexpexpexp 2 t P t t r k z AE 12121 3 2121 4 1/2 2 expexpexpexp 2 expexpexpexp 2 , t P r t t k z AE 由式（5.43）可见，在均质土（剪切模量不随深度变化）情况， 如果已知桩段底部（或桩段顶部）的位移和轴力，就可通过变 换矩阵求得该桩段顶部（或底部）的位移和轴力。这样，就不 需要或减少对桩身的离散程度，以节省计算时间。 5.2.2 竖向荷载下群

30、桩受力的性状 1.弹性理论法 群桩基础的计算是基于单根桩分析的基础上，以弹性理论的应 力叠加原理，把在弹性介质中二根桩的分析结果，通过引入一 个“共同作用系数”，而扩展到一组群桩中去。 （1）二根桩的共同作用分析共同作用系数 现考虑弹性介质中二根截面和所受荷载都相同的桩。同单根桩 一样，把桩分成若干小段，如图5.18。 按照单根桩的分析公式（5.22）或（5.25），求得单根桩上 各桩段上的轴力和位移后，把单根桩桩顶位移 和桩顶荷载 取 t t P 式中 影响系数，它与 等 因素有关（H为土层的厚度，其它符号同前）； 单根桩在桩顶单位荷载作用下的桩顶位移。 I /,/,/,/, bpss dd

31、 L d EE HL v 0khv IIRRR p t tt s P wIP E d 5.44 出；或用下式表示它们之间的关系： 图.5.18 两根桩情况下弹性理论法的分析 S L P 1 2 1 j p 1 j p 1b p P 2b p 2j p d i n 这样，对于二根桩的情况，不难写出： 111111212 2222122 1 ttt ttts wPPpp II wPPppE d 5.45 式中， 位移影响矩阵，其中元素 分别表示 第一根和第二根桩上第j单元上的剪应力对第一根（或第二根） 桩上第i单元的位移影响系数。 上述分析结果，可方便地用一个“共同作用系数”来表示： 12 II

32、12 ijij II , 由第j根桩上的单位荷载对第i根桩所产生的附加沉降量 第i根桩上的单位荷载对第i根桩所产生的沉降量 ij p s s E sL fv dEd 式中 s表示两桩的中心距离。 这样，当由四根桩所构成的一个方形桩群时，桩群的位移量 为： 121 12 G wpP 式中 在每根桩上的荷载； 与间距 有关的共同作用系数。 与间距 有关的共同作用系数2 /s d /s d 1 P 1 2 对于由n根相同的桩的桩群，则其中任一跟桩k的沉降量为： 1 n kkikj j i k wp Pp P 5.46 式中 与桩k和桩j间距有关的共同作用系数，并且是对 桩j的几何尺寸而言的。 对群桩

33、中所有的桩，写出式（5.46），便得到n个位移方程式。 另有竖向荷载平衡条件，可得： kj 1 n Gj j PP 5.47 式中 作用在桩群上的总荷载 G P 于是，根据桩顶上承台板的特性（刚性的或有限刚度的），写出 桩顶平面处的变形协调条件，就可解出作用在各根桩顶上的荷载 和位移。 应当指出，对于有限可压缩土层的情况、大直径桩尖以及土的不 同泊松比等情况，需要对 值进行修正，考虑如下: F 0.5 /1,/1,1 0.5 有限可压缩土层情况 情况 当时 的情况 Fdbbbb Fh d v NddddN v N N 5.48 5.49 5.50 从上可见，群桩受力分析的要点是，先建立在桩顶处

34、（包括土） 的桩顶荷载与其位移之间的关系式；然后，根据竖向静力平衡 条件以及桩顶标高处桩顶（包括土）位移与基础板位移的协调 条件，求解实际作用在桩顶上的荷载和位移值。 （2）桩、筏基础的共同作用分析 与前面一样，先考察带有圆形帽板的二根桩，如图5.28所示。 帽板的直径 ，并分成 个圆环，圆环下的竖向压力 认为 是均匀分布。于是按图5.28右图和式（5.13）、（5.14），可 写出桩1上桩段 处的位移计算式，即 c d v ck p i 121212 11 nv iijijjibibbikikck jk s d wIIpIIpIIp E 5.51 P L P 1 2 1 j p b p b

35、p j p b p j p dc S i n ck p ck p ck p n i 1 2 n i 2 1 桩1桩2 图5.28 桩、筏基础的计算图式 式中 分别是桩1、桩2上第j单元处的剪应力对i点所引起 的位移； 分别是桩1、桩2底面压力对i点所产生的位移； 分别是桩帽第k环板下压力对i点所产生的竖向位移 可用Boussinesq公式求解。 为了把上述两根桩的结果推广到一组m根桩的情况中，这里也引 用一个“共同作用系数 ”，其含义是： 12 , ijij II 12 , ibib II 12 , ikik II r , 单位荷载作用下的邻近桩对讨论的这根桩所产生的附加变形 讨论桩本身在单位

36、荷载下所产生的变形 r c s ds L fv d dd 于是，利用叠加原理，可写出第i根桩顶产生的沉降量： 1 m irijji j i k wPP 5.52 式中 分别是作用在由帽板i、j桩上的荷载； 帽板桩i、j之间的共同作用系数； 单位荷载下单根有帽板桩的变形， 单位荷载下单根无帽板桩的变形； 考虑桩帽的影响系数。 , ij P P rij c R 式（5.52）给出桩顶荷载与位移的m个方程；对于矩形筏板， 可以写出 B KSPR5.53 式中 作用板面结点上的已知荷载 ； 筏板的刚度矩阵， 筏板与桩、土接触面之间的接触压力 ; 筏板的结点位移 P R S B K 11 0000 T

37、RR 111222 T xvzxvz ww 整个接触面积上n个结点中，有m个结点为桩。那么。由m个 结点的桩、 个结点面积 上的接触力 对结点 所产 生变形表达式为： nmj A , jj P Pi 有桩节点处的m个变形表达式： 11 1 / mn irijjiijjj jj m j wPPPA 5.54 无桩结点处的 个变形表达式： nm 11 / mn iijjijjj jj m wPPA 5.55 式中 第j结点处单位均布荷载对结点i所产生变形量， 用Boussinesq公式计算； ij 单位荷载作用下，第j根单桩对i结点所产生的变形量； 其它符号同前说明。于是，按照板底接触面上的变形条

38、件 ，即把由式（5.54）和（5.55）联合而成的n个表 达式代入式（5.53）中，解出未知的接触压力R(包括桩顶 作用力和土反力)。再代入式（5.53）求出板面结点上的位移 S。 ij Sw （3）上部结构与桩、筏基础的共同作用分析 设有如图5.32所示的上部结构，则上部结构的位移U和荷载 P的平衡方程为 b S b K 图5.32 在柱底处的凝聚荷载 和凝聚刚度 b K b S 式中 上部结构的刚度矩阵。 用分块形式把上式写成： st K st PKU 5.56 iiiibi bbibbb PKKU PKKU 5.57 式中 指上部结构与筏基接触点的位移列向量。 展开式（5.57）后为：

39、b U iiiiibb bbiibbb PKUKU PKUKU 5.58 5.59 展开式（5.58）移项后，得 1 iiiiibb UKPKU 5.60 上式代入式（5.59），得 11 bbiiiibbbiiiibb PKKPKKKKU 5.61 或简写成 BBb SKU 5.62 式中 上部结构通过凝聚后为等效的边界荷载列向量； 上部结构通过凝聚后的等效的边界刚度，即图 5.32中的 。 B S B K b K 把 和 叠加到桩、筏基础上，于是即得到上部结构与桩 筏基础共同作用的方程式，即修改式（5.53）后为： BBB KKSSR 5.63 把式（5.54）、（5.55）代入上式，先后

40、求出R、S。把上 部结构与筏板面相接触点的位移 从 中取出,代入式（5.60） 就可求得整个上部结构的结点位移 。 b U S i U 2.剪切位移法 （1）两根桩的共同作用分析刚度系数 值k S 0 r 0 r 1 p 2 p 12 1 s w 2 s w 1 21,2 s ww 1 12,1 s ww 图5.33 两根桩情况，剪切位移法的分析 考虑如图5.33所示的两根桩情况，在某一深度z处1,2两点的 位移，根据图5.14可写成 11 21 121,2 12,12 ss ss wwww wwww 5.64 5.65 式中 在单根桩情况下，由点1的剪应力而引起在 该处的位移； 在两根桩的情

41、况下，由于点2处的 剪应力引起邻近桩第1点处的位移量。 上式可用矩阵形式表示： 1 s w 1 21,2 s ww 11122121 21121222 wfffp wfffp 22222111 11211122121122211221 1 fffpw fffpwffffff 或 5.66 5.67 由于两根桩的尺寸、所受荷载都相同，则有如下关系： 11221221 1212 ; ;. ffffff wwwppp 于是上式写成： 11 2 22 1 2 fffpw fffpwfff 5.68a 或 22 1 222 fff pwwk w ffffffff 5.68b 式中 s为两桩中心距； 00

42、 11 ln;ln; 22 m rs ff GrGr 0 10 1202 2;21/prprkf 应当指出， 物理意义是指在两根相同尺寸桩的情况下，桩侧 土的刚度；而 是单根桩时桩侧土的刚度。 k 0 k （2）群桩桩顶柔度矩阵的建立 对图5.34所示的四根桩群，由于 桩侧土具有剪切刚度G，桩土之 间的共同作用可理想地作为一组 连接桩身且与固定点相连的水平 弹簧，而桩侧土的阻力仅仅与该土 阻力所作用水平标高处的桩身位移 有关。 群桩桩顶柔度矩阵可按下述步骤计 算： （a）按单桩的情况考虑 设柱底处的轴力 ，则按 式（5.38）可求得桩底处位移为： L 土层 土层 1 2 3 桩 12 GmG

43、2 G G A BC D S S 图5.34 群桩的剪切位移法的分析 1 1 b PP 1 0 1 4 b v ww r G 5.69 利用式（5.43）求出第桩段顶部（点2）的柔度 。同 理，再算出桩顶处的柔度 。式中字母“F”记作 桩顶处的柔度；图5.34四根桩截面尺寸相同，则 。 22 /wP 1133 / tt FwPwP AABBCC FFF 11 DD FF （b）按两根桩（如考虑A、B桩）的情况，则由于B桩的存在， 在A桩底部所产生的位移为： 0 11 42 AB bbA b PvPv w r GG s 5.70 式中 s A、B两桩的中心距。 （c）再考虑A、C桩情况，同上述步

44、骤便可得到： 2计算F 时，桩距为s ACAA FFF 5.71 桩顶的柔度矩阵F： ttt wFFPFP5.71 式中 桩顶位移的列向量 ; 桩顶荷载的列向量 。 t w T AB tt ww T AB tt PP t P 5.3 侧向荷载作用下单桩受力分析侧向荷载作用下单桩受力分析 5.3.1 侧向荷载下单桩受力分析 单桩受力性状主要取决于水平方向地基土作用力与其位移之间 的关系。关系表达式不同，就得到不同的计算方法。 1.国内常用计算方法简介“m”法、“c”值法 桩的计算方法都基于地基梁的基本方程。地基梁的微分方程可 写成： 0 4 4 xbC dz xd EJ z 5.72 式中 水平

45、向地基反力系数，通过各种试验方法求得； 桩的直径或宽度。 目前，我国采用的地基系数的几种不同分布形式如图5.40所 示。地基系数与深度z的一般表达式为： z C b n t t z CC z 5.73 式中 、 分别为深度z和第一位移零点处(z=t)的地基系 数； 随土的类别而变的一个指数。 z C t C n L d t z x 0n 01n1n 1n 法c值法cm法k法 t C z C 图5.40 水平向地基系数随深度的变化 假定 ，则由此假定而进行桩的内力计算方法，通常称作 为“m”法；若假定 随深度呈抛物线型增加，即 ，则由此 而得的为“C”值法。 应该指出，图5.40中的几种地基系数

46、虽虽深度z变化，但与水平 向x的位移大小无关，因此它们仍属于线性计算范畴。微分方程 式（5.72)只有在 分布形式简单的情况下才有解析表达式。 把一根桩分成n段（每段长度不一），并在各分段结点上施加一 个刚度为 的水平弹簧，以反映周围土的影响。现以矩阵位移 法（n=3）为例说明求解过程(5.42)。由于每个结点有二个自由 度（水平位移u和转角），它的矩阵方程为： mzC z z C 5 . 0 z CzC z C z C L P KuPR 5.74 式中 结点位移列向量 作用在节点上的荷载列向量 桩的总刚度矩阵（2n+2)(2n+2),是由各桩段刚度矩 阵 （见式（10.1）集合而成； u P

47、 p K 1122 221 T xx n SS 00 221 00 T n HM 0 K L 1 l 2 l 3 l z 2 3 4 0 H 0 M z i M j M i H j H 弹簧反力列向量，它与弹簧的水平位移 有如下关 系： ； ； ； 。 R x S 1 1 11 2 zz Sb l CR 2 21 22 2 xz Sb ll CR xn n znn Sb ll CR 2 11 其中 （表示按“m”法计算），或 （表示按“C”值法 计算）。把 的关系式代入法（5.74），解出 或 ， 再利用静力平衡条件，解得桩身内各点弯矩值。 izi mzC 5 . 0 zizi CC i R

48、xi S u R 图5.42 矩阵位移法的分析图式 2. py曲线法 现场原形观测和室内试验表明，水平荷载作用下土的水平位移 Matlook和Ingram（1970）通过在湖泊和海洋软粘土所做两根 足尺桩的静载试验，提出如图5.43所示的py曲线，并已被美 国石油协会准则（API-RP2A)所采纳。 图5.43 软粘土的p-y曲线 0 0.5 1.0 8 1/3 0.5/ uc ppy y /桩挠度比 静载 c y y 0 0.5 1.0 15 1/3 0.5/ uc ppy y /桩挠度比 动载 c y y 时 cr xx 土的极限阻力 为： u p 131 dcNp upu 5.75 39

49、且 prp u zz NJzzN cd 式中 侵水容重 土的不排水抗剪强度； 桩的直径； 经验系数，J=0.5（软粘土）。 u c d J 而 J c d d z u r 6 33. 0 0 5 . 0 y y pp u dpy ou 50 5 . 2 5.76a 5.76b 式中 土的侧向阻力（单位：力/长度）； 在三轴不排水剪切试验中，在最大偏差应力一半 时所对应的轴向应变。对循环荷载，土的极限阻力取 计。 近年来，有些学者根据足尺桩试验实测到的数据反算地 基土的py曲线；也有的把软粘土与硬粘土的py曲线合并 成一条能考虑桩刚度效应的新的py曲线。一旦py曲线确 定后，则用割线刚度迭代法解

50、式（5.74）（此刻，地基系数 ），具体方法与式（5.6）类同。 3.弹性理论法 图5.42表示一根插在弹性介质中的桩。它被看作是宽为d、长 为L的一根矩形竖直狭条， 表示桩的抗弯刚度。在半无限 弹性体内部，由一个水平力集中力P所引起的水平位移u已被 Mindlln所解得；于是，j点处矩形面积（图5.44）上均布水平 荷载在桩与土接触面上点i处所引起的水平位移 可通过积分求得： 50 p 0.72 u p z p C y d p E I 0, , ij ssy z 2222 22 2 22 22 0, ,34lg () 16(1) ()()()lg ()()() lg ()()() 2() ()lg ()()() () 4 11 2()lg () ij P ssy zudydzzcym G ymzcymzcymzc zcymymzc zymzc ymzcymzc ymzc vvzcym 1 2 22 22 2 2 22 2