数制编码与逻辑代数

1、第八章第八章 数制、编码、与逻辑代数数制、编码、与逻辑代数 1.1.十进制十进制(Decimal)(Decimal)：以十为基数的记数体制。以十为基数的记数体制。 表示数的十个数码：表示数的十个数码： 1、2、3、4、5、6、7、8、9、0 遵循逢十进一的规律。遵循逢十进一的规律。 157 = 012 107105101 一个十进制数数一个十进制数数N N 可以表示成：可以表示成： i i i i i iD D 1010K K(N)(N) 若在数字电路中采用十进制，必须要有十个若在数字电路中采用十进制，必须要有十个 电路状态与十个记数码相对应。这样将在技术上电路状态与十个记数码相对应。这样将在

2、技术上 带来许多困难，而且很不经济。带来许多困难，而且很不经济。 一、数制：一、数制： 2.2.二进制二进制(Binary)(Binary)： 以二为基数的记数体制。以二为基数的记数体制。 表示数的两个数码：表示数的两个数码：0、1 遵循逢二进一的规律。遵循逢二进一的规律。 i i iB KN2）（ （1001）B = 0123 21202021= (9)D 二进制的优点二进制的优点：用电路的两个状态用电路的两个状态-开关来表示开关来表示 二进制数，数码的存储和传输简单、可靠。二进制数，数码的存储和传输简单、可靠。 二进制的缺点二进制的缺点：位数较多，使用不便；不合人们位数较多，使用不便；不合

3、人们 的习惯，输入时将十进制转换成二进制，运的习惯，输入时将十进制转换成二进制，运 算结果输出时再转换成十进制数。算结果输出时再转换成十进制数。 3.3.八进制数八进制数( (Octal) ) 八进制数的进位规则是逢八进一，其基数八进制数的进位规则是逢八进一，其基数R=8， 采用的数码是采用的数码是0、1、2、3、4、5、6、7，每位的权，每位的权 是是8 8的幂。任何一个八进制数也可以表示为：的幂。任何一个八进制数也可以表示为： 1 8 8)( n mi i i aN 例如：例如： 10 1012 8 )5 .254(5 . 0687643 84868783)4 .376( 注注:有时也用有

4、时也用O代替代替8这个脚注。这个脚注。 十六进制数码：十六进制数码：逢十六进一逢十六进一 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A(10)、 B(11)、C(12)、D(13)、E(14)、F(15) (2A.7F)16= 2 161+10 160+7 16-1+ 15 16-2 =(42.4980937)10 1 16 16 n mi i i aN 展开式为：展开式为： 例如：例如： 注注:有时也用有时也用H代替代替16这个脚注。这个脚注。 4.十六进制数十六进制数(Hexadecimal)(Hexadecimal) 二进制数的运算二进制数的运算 (1011.01)2= 二二. 数制间的转

5、换数制间的转换 (1) 二进制、八进制、十六进制二进制、八进制、十六进制 转化为十进制转化为十进制 例如例如: 2 10123 21 2021212021 =(11.25)10 (2) 十进制数转换为二进制、八进制、十六进制十进制数转换为二进制、八进制、十六进制 先讨论整数的转换先讨论整数的转换 假定十进制整数为（假定十进制整数为（S）10，等值的二进制数为，等值的二进制数为 2011nn )kkkk( ，则有，则有 （S）10 0 0 1 1 1n 1n n n 2k2k2k2k 01 2n 1n 1n n k)k2k2k( 2 若将（若将（S）10除以除以2，则余数为，则余数为 k0 商可

6、写成：商可写成： 12 3n 1n 2n n1 2n 1n 1n n k)k2k2k( 2k2k2k 不难看出，若将（不难看出，若将（S）10除以除以2所得的商再次所得的商再次 除以除以2，则所得余数为，则所得余数为 k1 。 依次类推，反复将每次得到的商再除以依次类推，反复将每次得到的商再除以2， 就可求得二进制整数的每一位了。就可求得二进制整数的每一位了。 23 11 5 2 1 2 2 2 2 2 余0 余1 余1 余1 余1 0 b b b b b 0 1 2 3 4 读 取 次 序 解：解： 用用“除除2 2取余取余”法转换法转换: : 则则（23)23)D D = =（10111)

7、10111)B B 例：例： 将十进制数将十进制数2323转换成二进制数。转换成二进制数。 2m21 )kkk . 0( 其次讨论小数的转换其次讨论小数的转换 若（若（S）10是一个十进制的小数，对应的二进是一个十进制的小数，对应的二进 制小数为制小数为，则，则 m m 2 2 1 110 2k2k2k)S( 将上式两边同乘以将上式两边同乘以2得到得到 1m m 2 3 1 2110 2k2k2kk)S( 2 显然，所得乘积的整数部分为显然，所得乘积的整数部分为k-1 将乘积的小数部分再乘以将乘积的小数部分再乘以2，得，得 )22( )222(2 21 32 12 3 1 2 m m m m

8、kkk kkk 所得乘积的整数部分为所得乘积的整数部分为k-2 依次类推，将每次乘依次类推，将每次乘2后所得乘积的小数部后所得乘积的小数部 分再乘以分再乘以2，便可求出二进制小数的每一位。，便可求出二进制小数的每一位。 例如，将（例如，将（0.8125）10化为二进制小数可如下化为二进制小数可如下 进行（见下页）。进行（见下页）。 0.8125 2 1.6250整数部分整数部分=1=k-1 0.6250 2 1.2500整数部分整数部分=1=k-2 整数部分整数部分=0=k-3 0.2500 2 0.5000 0.5000 2 1.0000 整数部分整数部分=1=k-4 故（故（0.8125）

9、10=（0.1101）2 (3) 二进制二进制 八进制相互转换八进制相互转换 对整数和小数分别转换。对整数和小数分别转换。 整数：从小数点左第一位开始，每三位一组，整数：从小数点左第一位开始，每三位一组， 每组用一位等价八进制数替换每组用一位等价八进制数替换 小数：从小数点右第一位开始，每三位一组，小数：从小数点右第一位开始，每三位一组， 不足补零，每组用一位等价八进制数替换不足补零，每组用一位等价八进制数替换 101 011 011 . 110 101 110 5 3 3 . 6 5 6 (4) 二进制二进制 、十六进制相互转换、十六进制相互转换 每四位每四位2进制进制 数对应一位数对应一位

10、 16进制数进制数 (0101 1110 . 1011 0100 )2 = ( )16 4BE5 . ( )16= 8 CA F8 . (1000 1111 1010 1100 0110)2 . 每一位每一位16进进 制数对应四制数对应四 位位2进制数进制数 8.2 8.2 二进制的编码二进制的编码 用不同数码表示不同事物时遵循的规则用不同数码表示不同事物时遵循的规则 例如：例如： 学号，身份证号，运动员号学号，身份证号，运动员号 目前，数字电路中都采用二进制和基于二进制目前，数字电路中都采用二进制和基于二进制 基础上的八、十六和二基础上的八、十六和二- -十进制。十进制。 表示数量时称二进制

11、。表示数量时称二进制。 表示事物时称二值逻辑。表示事物时称二值逻辑。 数字系统的信息数字系统的信息 数值数值 文字符号文字符号二进制代码二进制代码 编码编码 为了表示字符为了表示字符 编码：一般来说用文字符号或者数码编码：一般来说用文字符号或者数码 来表示某种信息的过程来表示某种信息的过程 在在BCD码中，用四位二进制数表示码中，用四位二进制数表示09 十个数码。四位二进制数最多可以表示十个数码。四位二进制数最多可以表示16个个 字符，因此字符，因此09十个字符与这十个字符与这16中组合之间可中组合之间可 以有多种情况，不同的对应便形成了一种编以有多种情况，不同的对应便形成了一种编 码。这里主

12、要介绍：码。这里主要介绍： 8421码码 5211码码 余余3码码2421码码 余余3循环码循环码 1. 二二-十进制码（十进制码（BCD码）码） 8421码的各位系数与它代表的十进制数的关系为： (92.35)D=(1001 0010 . 0011 0101)8421 一：8421码 二、“2421”码 2421码是另一种有权码，它也是由4位二进制 数表示的BCD码，其各位的权值是：2、4、2、 1，它所代表的十进制数表示为（注意04前5 个数的最高位为0，59后5个数的最高位为1） 三、“余3”码 余3码是由8421码加3（0011）得来的。余3码 每位无固定的权，因此它是一种无权码。 十

13、进制 转换为 余3码 余3码 转换为 十进制 2. 检错纠错码检错纠错码 以数字形式传递信息比模拟形式传递信息 有较强的抗干扰能力，但在进行大量的数据交 换，数据远距离传输以及数据存贮过程中免不 了要出错误，产生错误可能有多种因素，如设 备的临界工作状态，高频干扰，电源偶然的瞬 变现象等等。为了减少这种错误，人们在具体 的编码形式上想办法减少出错，或者一旦出现 错误时易于发现或改正，因此，纠错编码和容 错技术受到普遍重视，目前已发展成为信息论 学科的重要组成部分。 具有检错、纠错能力的编码，称之为“可 靠性编码”。目前，常采用的代码有格雷码、 奇偶校验码和海明码(Hamming Code)等。

14、 一：格雷码一：格雷码 在一组数的编码中，如果任意相邻的代码只有一 位二进制数不同，即为格雷码。 典型二进制格雷码编码规则： 11 nn BG iii BBG 1 例：例：13的格雷码的格雷码：1 1 0 1 1 0 1 1 二进制码： 格雷码： 模模2加加 例8-8 已知二进制数1110101，求其格雷码。 11 nn BG iii BBG 1 典型二进制格雷码转换成二进制数的方法：典型二进制格雷码转换成二进制数的方法： iii GBB 1 11 nn GB 0 1 0 0 0 1 1 1 例：例：7的典型格雷码为的典型格雷码为 0100 从高位开始模从高位开始模2加加 二进制码： 格雷码：

15、 例8-11 已知格雷码为1110101，求其二进制码。 iii GBB 1 11 nn GB 8.3 8.3 逻辑代数逻辑代数 一、基本概念 逻辑：事物的因果关系 数字电路要研究的是电路的输入输出之间的 逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路，相应的 研究工具是逻辑代数（布尔代数）。 逻辑代数中的变量称为逻辑变量，一般用大 写字母A、B、 C、表示，逻辑变量的取值只有 两种，即逻辑0和逻辑1。 0和1称为逻辑常量。但 必须指出，这里的逻辑0和1本身并没有数值意义， 它们并不代表数量的大小，而仅仅是作为一种符 号，代表事物矛盾双方的两种对立的状态。 二、基本逻辑运算（与、或、非）二、基本逻辑运算（

16、与、或、非） “与与”运算又称运算又称“与与”逻辑、逻辑、“逻辑乘逻辑乘”。 与运算：决定事件发生的各条件中，所有条件都与运算：决定事件发生的各条件中，所有条件都 具备，事件才会发生（成立）。我们具备，事件才会发生（成立）。我们 把这种因果关系称为与运算。把这种因果关系称为与运算。 E Y ABC 规定规定: 开关合为逻辑开关合为逻辑“1” 开关断为逻辑开关断为逻辑“0” 灯亮为逻辑灯亮为逻辑“1” 灯灭为逻辑灯灭为逻辑“0” 1.“1.“与与”运算运算 Y=ABC 逻辑式：逻辑式： 逻辑乘法逻辑乘法 逻辑与逻辑与 AYBC 0000 1000 0100 1100 0010 1010 0110

17、 1111 真值表真值表 该真值表的特点该真值表的特点: : 任任0 0则则0, 0, 全全1 1则则1 1 与逻辑运算规则：与逻辑运算规则： 0 0=0 0 1=0 1 0=0 1 1=1 图形符号：图形符号： 2.“或或”运算运算 “或或”运算又称运算又称“或或”逻辑、逻辑、“逻辑加逻辑加”。 或运算或运算：决定事件发生的各条件中，有一个或一个：决定事件发生的各条件中，有一个或一个 以上的条件具备，事件就会发生（成立）。以上的条件具备，事件就会发生（成立）。 我们把这种因果关系称为我们把这种因果关系称为或运算或运算。 A E Y B C 规定规定: 开关合为逻辑开关合为逻辑“1” 开关断为

18、逻辑开关断为逻辑“0” 灯亮为逻辑灯亮为逻辑“1” 灯灭为逻辑灯灭为逻辑“0” Y=A+B+C 逻辑式：逻辑式： 逻辑加法逻辑加法 逻辑或逻辑或 AYBC 0000 1001 0101 1101 0011 1011 0111 1111 真值表真值表 该真值表的特点该真值表的特点: : 任任1 1则则1, 1, 全全0 0则则0 0 与逻辑运算规则：与逻辑运算规则：0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1 图形符号：图形符号： 注意：基本逻辑加注意：基本逻辑加 运算和二进制加法运算和二进制加法 规则是不同的规则是不同的 3.“非非”运算运算 “非非”运算又称运算又称“非非”逻辑、逻辑、“反

19、相运反相运 算算”、“逻辑否定逻辑否定”。 非运算：决定事件发生的条件只有一个，条件不非运算：决定事件发生的条件只有一个，条件不 具备时事件发生（成立），条件具备具备时事件发生（成立），条件具备 时事件不发生。我们把这种因果关系时事件不发生。我们把这种因果关系 称为非运算。称为非运算。 规定规定: 开关合为逻辑开关合为逻辑“1” 开关断为逻辑开关断为逻辑“0” 灯亮为逻辑灯亮为逻辑“1” 灯灭为逻辑灯灭为逻辑“0” A E Y R AY 01 10 真值表真值表 该真值表的特点：该真值表的特点： 1 1则则0, 00, 0则则1 1。 逻辑式：逻辑式： AY 逻辑非逻辑非 逻辑反逻辑反 非逻辑

20、运算规则非逻辑运算规则: :10,01 图形符号：图形符号： 反相器反相器 三、几种常用的复合逻辑运算三、几种常用的复合逻辑运算 也称为异或也称为异或 非逻辑非逻辑 8.3.38.3.3 逻辑函数与真值表逻辑函数与真值表 真值表、逻辑函数式、逻辑图、波形图、真值表、逻辑函数式、逻辑图、波形图、 卡诺图。卡诺图。 各种表示方法之间可以相互转换。各种表示方法之间可以相互转换。 Y AB C E 比赛规则：主裁判 (A)同意，两名副裁判(B、C)中 至少有一名同意， 试举才成功，指示灯（Y)亮。 若以1表示开关闭合，0表示开关断开；以1表示灯 亮，0表示灯暗，则指示灯Y是开关A、B、C的二值 函数，

21、即 C)B,(A,Yf )(CBAY Y=ABC+ABC+ABC 例8-12 有A、B、C三个输入信号，当三个输入信号中有 两个或两个以上输入信号为高电平时，输出高电平，其 余情况均输出低电平。列出上述问题的真值表并写出该 问题的逻辑函数表达式。 或者：或者： 逻辑函数的相等逻辑函数的相等 例8-13 设 F=A(B+C), G=AB+AC；试证明 F=G 列出列出F和和G 的的 真值表：真值表： 由真值表：由真值表：F 和和G 是等价的，是等价的， 只是表达式不只是表达式不 同同 左左 右右 BCA BC)CB(A BCACABA )CA)(BA( 1 真值表法：真值表法： 8.3.5 逻辑

22、代数的三个基本定理（规则） 一： 代入定理 在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若 以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则 等式仍然成立。 例8-14 已知等式（A+B）E=AE+BE，试证明将所有E 的地方代以（C+D），等式仍成立。 解： 原等式左边=（A+B）（C+D）=AC+AD+BC+BD 原等式右边=A（C+D）+B（C+D）=AC+AD+BC+BD 所以等式的左边与右边相等。 在对复杂的逻辑式进行运算时，仍需遵守 与普通代数一样的运算优先顺序，即先括 号里的内容，其次算乘法，最后算加法。 注意： 二： 反演定理 注意： 1. 仍需遵守“先括号、然后乘、最后加”的运算 优先次序 2

23、. 不属于单个变量上的反号应保留不变。 对任意一个逻辑式Y，若将其中所有的 “” 换成“+”，“+”换成“”，0换成1，1换成0， 原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得 到的结果就是Y的反函数Y。 Y 例: 已知 CD)CB(AY 求 ，。 解： 根据反演定理可写出 )DC)(C BA(Y D A C BC A D C BD AC BC A 解： 根据反演定理可写出 ，CDCBAY 例 : 若 求。 Y CDCB)A(Y 不属于单 个变量上 的反号应 保留不变 三： 对偶定理 若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等， 这就是对偶定理。 )CA)(BA(BCA 所谓对偶式是这样定义的：对于任何

24、一个逻辑式Y， 若将其中的 “”换成“+”，“+”换成“”，0换成 1，1换成0，则得到一个新的逻辑式 ，这个 就叫做Y的对偶式。 Y Y 例: 试用对偶定理证明下式： 解：根据乘法分配律，有 ACAB)CB(A 根据对偶定理可知： 因为：因为： )CA)(BA(BCA 2：A+AB=A 证明： A+AB=A(1+B)=A1=A 利用运算规则可以对逻辑式进行化简。 例如： CDAB)FE(DABCDAB 被吸收 ABAAB 1： A（A+B）=A BAABABAA BA)AA(BA 证明： 例如：DEBCADEBCAA 被吸收 BABAA 3： 证明： BC)AA(CAAB BCCAAB 1

25、吸收 CAAB BCAABCCAAB CAABBCCAAB 4： 5:BACACAAB 称为交叉互换律 例如： CAAB BCCAAB BCDBCCAAB BCDCAAB 注1. A+B=A+CB=C 注2. AB=ACB=C 逻辑加与代数加不同 如A=B=1，C=0 逻辑乘与代数乘不同 如A=C=0，B=1 8.3.7 逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式 最小项之和最小项之和 最大项之积最大项之积 1：最小项 在n个变量的逻辑函数中，若m为包含n个因 子的乘积项，而且这n个因子均以原变量或 反变量的形式在m中出现一次，则称m为该 组变量的最小项。n个变量共有2n个不同的 组合值，所

26、以有2n个最小项 ）（4个 2 2AB,BA,BA,BA ）（8个 3 2ABC,CAB,CBA,CBA BCA,CBA,CBA,CBA ABC CAB CBA CBA BCA CBA CBA CBA 输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值等于1 BA)CC(BABCACBA BCACBA 与 ）（4个 2 2BA,BA,BA,BA 2：最大项 在n个变量的逻辑函数中，若M为n个变量之 和，而且这n个变量均以原变量或反变量的形 式在M中出现一次，则称M为该组变量的最 大项。 变量的各组取值变量的各组取值 A B C 000 001 010 011 100 101 110 111 对应的最

27、大项及其编号对应的最大项及其编号 最大项最大项编编 号号 CBA CBA CBA CBA CBA CBA CBA CBA o M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 M 三变量函数的最大项：三变量函数的最大项： 输入变量的每一组取值都使一个对应的最大项的值为0 最小项和最大项之间的关系：最小项和最大项之间的关系： 3：最小项表达式：最小项表达式 设F是n个变量组成的“与或”式，若式中每一个 “与”项都是这n个变量的一个最小项，则称F为 最小项表达式。 1）配项法）配项法 2）真值表法）真值表法 解： 找出F=1的变量取值组合： （011）、（101）、（110）、 （111）

28、写出F=1中各组合对应的最 小项。把组合值中“1”写作原 变量，“0”写作反变量。即 将所得最小项“或”，即得到最小项的表达式。 4：最大项表达式：最大项表达式 在“或与”式中，若每个“或”项都是 最大项，则该式称为最大项表达式。 例8-18 函数F的真值表如表8-23所示，求F的最 大项表达式。 F的最大项表达式为： 最大项表达式为 8.4 逻辑函数的公式法化简逻辑函数的公式法化简 逻辑函数逻辑函数“最简最简”的标准与函数本身的类的标准与函数本身的类 型有关。类型不同，型有关。类型不同，“最简最简”的标准也有所不的标准也有所不 同。这里以最常用的同。这里以最常用的“与或型与或型”表达式为例来

29、表达式为例来 介绍介绍“最简最简”的标准。的标准。 FABCABCABCABC 一般而言，一般而言，“与或型与或型”逻辑函数需要同时满逻辑函数需要同时满 足下列两个条件，方可称为足下列两个条件，方可称为“最简最简”： (1)(1)或项最少，即表达式中或项最少，即表达式中“+ +”号最少号最少； (2)(2)每个与项中的变量数最少，即表达式中每个与项中的变量数最少，即表达式中 “”号最少号最少。 1.并项法并项法 利用公式利用公式ABAAB 例例:试用并项法化简下列逻辑函数试用并项法化简下列逻辑函数 CDBACDBAY1 CDABAACDBAY2 ACDBCDBACDBACDBAY1 ）（ 解：

30、解： CDB CDABAACDBAY2 )CDB(A)CDB(A 将两项合并为一项，将两项合并为一项， 消去一个变量。消去一个变量。 2. 吸收项法吸收项法 利用公式利用公式 AABA 例例1: 试用吸收法化简下列逻辑函数试用吸收法化简下列逻辑函数 ADABD)CBA(Y1 ADADADB)CBA( )DC(ABABDCABABY2 AB)DC(DCABAB CAABBCDCAAB BABAA 利用吸收律和包含律利用吸收律和包含律 等有关公式来减少与等有关公式来减少与 项数。项数。 解：解： BC)DCBA(BCAAY3 BCA)DCBA)(BCA()BCA( 例例2:试用消项法化简下列逻辑函

31、数试用消项法化简下列逻辑函数 解：解：CBACCBBAACCBBAACY 1 EDCAEBADCBAY2 A)E)(DC(E)BA(DC)BA( EBADCBA CAABBCDCAAB ACBABCBY1 BABABABABBAY2 D)CA(ACDCDAACY3 DACDACAC 例例3: 试用消因子法化简下列逻辑函数试用消因子法化简下列逻辑函数 3. 配项法配项法 例例: 试化简逻辑函数试化简逻辑函数 ABCBCACBAY AAA (1)利用公式利用公式 BCBA)AA(BC)CC(BA 解：解： BABAA )ABCBCA()BCACBA(Y 例例: 试化简逻辑函数试化简逻辑函数 1AA

32、 (2)利用公式利用公式 解：解： CB ACBACBCBABCABA CB)AA(CB)CC(BABA C)B ABCA()CBAC(BC)BAB(A CACBBA CBCBBABAY CBCBBABAY 4. 综合法综合法 在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法， 才能将逻辑函数化为最简。才能将逻辑函数化为最简。 例例1：化简逻辑函数：化简逻辑函数 EFBEFBABDCAABDAADY EFBEFBABDCAABAY （利用（利用 ） 1 AA EFBBDCAA （利用（利用A+AB=A） EFBBDCA （利用（利用 ）BABAA 例例2 2：化简逻辑

33、函数：化简逻辑函数 G)ADE(FBDDBBCCBCAABY G)ADE(FBDDBBCCBCBAY （利用反演律（利用反演律 ） G)ADE(FBDDBBCCBA （配项法）（配项法） （利用（利用 ） BABAA BDDBBCCBA（利用（利用A+AB=A） )CB(CDDBBC)DC(DBA CBDBCDDBBCDCBCDBA BCDDBBCDCBA DBBCB)B(DCA DBBCDCA （利用（利用A+AB=A） 例例3 3：化简逻辑函数：化简逻辑函数 解解: DEBADBCA)CB(ADCDBCBACY DEBAADCDBCBAC DCDBCBA DEBADBCA)CB(ADCDB

34、CBACY DBCBA DEBA)CB(ADCDBCBAC CAABBCDCAAB 由上例可知，逻辑函数的化简结果不是唯一的。由上例可知，逻辑函数的化简结果不是唯一的。 例例4 4：化简逻辑函数：化简逻辑函数BACBCBBAL CAABBCDCAAB 公式法化简公式法化简 优点是：不受变量数目的限制。优点是：不受变量数目的限制。 缺点是：没有固定的步骤可循；需要熟练运缺点是：没有固定的步骤可循；需要熟练运 用各种公式和定理；在化简一些较为复杂的用各种公式和定理；在化简一些较为复杂的 逻辑函数时还需要一定的技巧和经验；有时逻辑函数时还需要一定的技巧和经验；有时 很难判定化简结果是否最简。很难判定

35、化简结果是否最简。 8.4.2 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法 实质：将逻辑函数的最小项之和的以图形的方式实质：将逻辑函数的最小项之和的以图形的方式 表示出来。表示出来。 以以2n个小方块分别代表个小方块分别代表 n 变量的所有最小项，并变量的所有最小项，并 将它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻的两个最将它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻的两个最 小项在逻辑上也是相邻的（只有一个变量不同），小项在逻辑上也是相邻的（只有一个变量不同）， 就得到表示就得到表示n变量全部最小项的卡诺图。变量全部最小项的卡诺图。 （1）.逻辑函数的卡诺图表示法逻辑函数的卡诺图表示法 在任何两个相邻和轴对

36、称的方块中，其变量的组合之在任何两个相邻和轴对称的方块中，其变量的组合之 间，只允许而且必须有一个变量取值不同，这是构成间，只允许而且必须有一个变量取值不同，这是构成 卡诺图的重要原则。卡诺图的重要原则。 l二变量卡诺图二变量卡诺图l三变量卡诺图三变量卡诺图 l五变量的卡诺图五变量的卡诺图 （2）用卡诺图表示逻辑函用卡诺图表示逻辑函 数数 将函数表示为最小项之和的形式。将函数表示为最小项之和的形式。 在卡诺图上将这些最小项对应的位置上填入在卡诺图上将这些最小项对应的位置上填入 1，其余地方填，其余地方填0。 与或与或式的卡诺图表示式的卡诺图表示. 直接将表达式的直接将表达式的与项与项或或最小项

37、最小项所所 对应的方格标以对应的方格标以1. 其它形式函数的卡诺图表示要转换成其它形式函数的卡诺图表示要转换成与或与或 式再在卡诺图上表示。式再在卡诺图上表示。 CBABCBACACBAF),( 可表示为：可表示为： 例例1： 00 01 11 10 0 1 BC A 1 11 11 例例 2:用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数 BAACDDBADCBAY 解：解： 首先将首先将Y化为最小项之和的形式化为最小项之和的形式 CD)BB(AD)CC(BADCBAY )DD)(CC(BAmmmmmmmm 0100 100 01 00 01 10 11 1 11 151

38、11098641 mmmmmmmmY CD AB 00011110 00 01 11 10 例例 3: 已知逻辑函数的卡诺图如下图所示，已知逻辑函数的卡诺图如下图所示， 试写出该函数的逻辑式。试写出该函数的逻辑式。 CBAABCCBACBAY 解：解： A BC 00011110 0 1 001 1 00 1 1 （3） 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数 l依据：具有相邻性的最小项可合并，消去不同依据：具有相邻性的最小项可合并，消去不同 因子。因子。 l在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形中直在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形中直 观地反映出来。观地反映出来。 l合并最小项的原则：合

39、并最小项的原则： 两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子。两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子。 四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去 两对因子。两对因子。 八个相邻最小项可合并为一项，消去三对因子。八个相邻最小项可合并为一项，消去三对因子。 01 0 1 B A 1 1 01 0 1 B A 1 1 01 0 1 B A 1 1 1 二变量卡诺图的典型合并情况二变量卡诺图的典型合并情况 00 01 11 10 0 1 BC A 1 1 1 1 BC 00 01 11 10 0 1 A 1 1 1 11 1 1 1 0 1 BC A00 0

40、1 11 10 三变量卡诺图的典型合并情况三变量卡诺图的典型合并情况 00 01 11 10 00 01 11 10 CD AB 1 11 11 1 00 01 11 10 00 01 11 10 CD AB 11 11 11 1 00 01 11 10 00 01 11 10 CD AB 11 11 11 11 11 四变量卡诺图的典型合并情况四变量卡诺图的典型合并情况 1 11 . 若两个最小项相邻，则可合并为一项并消去若两个最小项相邻，则可合并为一项并消去 一个因子，合并后的结果中只剩下公共因子一个因子，合并后的结果中只剩下公共因子。 00 01 11 10 00 01 11 10 CD

41、 AB 00 1 1 00 0 0 0 0 0 00 0 00 00 01 11 10 00 01 11 10 CD AB 00 1 0 00 0 0 0 0 0 01 0 00 00 01 11 10 00 01 11 10 CD AB 00 0 0 10 0000 000 100 00 01 11 10 00 01 11 10 CD AB 00 0 0 00 1001 000 000 . 若四个最小项相邻并排列成一个矩形组，则若四个最小项相邻并排列成一个矩形组，则 可合并为一项并消去二对因子。合并后的结果中可合并为一项并消去二对因子。合并后的结果中 只包含公共因子。只包含公共因子。 00

42、01 11 10 00 01 11 10 CD AB 00 1 1 00 0000 010 010 00 01 11 10 00 01 11 10 CD AB 00 0 0 00 1111 000 0 00 00 01 11 8 00 01 11 8 CD AB 00 0 0 01 0001 001 001 00 01 11 8 00 01 11 8 CD AB 00 0 0 11 0000 000 101 00 01 11 8 00 01 11 8 CD AB 00 0 0 00 1001 101 000 00 01 11 8 00 01 11 8 CD AB 10 0 0 1 0000 0

43、00 110 0 . 若八个最小项相邻并排成一个矩形组，则若八个最小项相邻并排成一个矩形组，则 可合并为一项并消去三对因子。合并后的结果可合并为一项并消去三对因子。合并后的结果 中只包含公共因子。中只包含公共因子。 00 01 11 10 00 01 11 8 CD AB 00 1 0 00 1111 111 000 00 01 11 10 00 01 11 8 CD AB 11 1 1 00 0110 010 010 00 01 11 10 00 01 11 10 CD AB 11 0 1 11 0000 000 111 00 01 11 10 00 01 11 10 CD AB 00 0

44、0 11 1001 101 101 3.3.用卡诺图合并最小项的原则（画圈的原则）用卡诺图合并最小项的原则（画圈的原则） 1) 尽量画大圈，但每个圈内只能含有尽量画大圈，但每个圈内只能含有2n （n=0,1,2,3）个相邻项。要特别注意对边）个相邻项。要特别注意对边 相邻性和四角相邻性。相邻性和四角相邻性。 2) 圈的个数尽量少。圈的个数尽量少。 3) 卡诺图中所有取值为卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即的方格均要被圈过，即 不能漏下取值为不能漏下取值为1的最小项。的最小项。 4) 在新画的包围圈中至少要含有在新画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的个末被圈过的1 方格，否则该包围圈是多余

45、的。方格，否则该包围圈是多余的。 4.4.用卡诺图化简逻辑函数的步骤：用卡诺图化简逻辑函数的步骤： 1)1)画出逻辑函数的卡诺图。画出逻辑函数的卡诺图。 2)2)合并相邻的最小项，即根据前述原则画合并相邻的最小项，即根据前述原则画 圈。圈。 3)3)写出化简后的表达式。每一个圈写一个写出化简后的表达式。每一个圈写一个 最简与项，规则是，取值为最简与项，规则是，取值为l l的变量用的变量用 原变量表示，取值为原变量表示，取值为0 0的变量用反变量的变量用反变量 表示，将这些变量相与。然后将所有与表示，将这些变量相与。然后将所有与 项进行逻辑加，即得最简与或表达式项进行逻辑加，即得最简与或表达式。

46、 例：用卡诺图化简逻辑函数例：用卡诺图化简逻辑函数 F(A, B, C, D)= m(0, 3, 5, 8, 7, 10, 11, 13, 15) 解：解： CBABCACDBDD C B AD)C,B,(A,F 00 01 11 10 00 01 11 10 CD AB 01 1 1 1 0111 010 001 0 例：用卡诺图化简逻辑函数例：用卡诺图化简逻辑函数 F(A, B, C, D)= m(2, 3, 8, 9, 10,12, 13) 解：解： 00 01 11 10 00 01 11 10 CD AB 1 11 111 1 00 01 11 10 00 01 11 10 CD A

47、B 1 11 111 1 D BAC B ACAD)C,B,(A,F D C BC B ACAD)C,B,(A,F 或 或或 例：例：用卡诺图把逻辑函数用卡诺图把逻辑函数 F(A, B, C, D)= M( 3, 4, 6, 7, 11, 12, 13, 14,15) 化简成最简化简成最简 或与或与 表达式。表达式。 )15,14,13,12,11, 7 , 6 , 4 , 3(),(MDCBAF解：解： 15141312117643 MMMMMMMMM 15141312117643 mmmmmmmmm 15141312117643 ),(mmmmmmmmmDCBAF DBABCDDCBAF)

48、,( DBABCDDCBAF),( )()(DBBADC 00 01 11 10 00 01 11 10 CD AB 01 1 1 0 1011 111 000 0 15141312117643 ),(mmmmmmmmmDCBAF 1)、 约束项约束项 例如，有三个逻辑变量例如，有三个逻辑变量A A、B B、C C，它们分，它们分 别代表一台电动机的正转、反转和停止的命别代表一台电动机的正转、反转和停止的命 令，令，A=1A=1表示正转，表示正转，B=1B=1表示反转，表示反转，C=1C=1表示停表示停 止。止。ABCABC的取值只可能是的取值只可能是001001、010010、100100当

49、中当中 的某一种，而不能是的某一种，而不能是000000、011011、101101、110110、 111111中的任何一种。因此，中的任何一种。因此，A A、B B、C C是一组具是一组具 有约束的变量。有约束的变量。 可写成：可写成： 0ABCCABCBABCACBA 约束项：恒等于约束项：恒等于0的最小项的最小项 具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简 2)2)、任意项、任意项 有时还会遇到另外一种情况，就是在输入有时还会遇到另外一种情况，就是在输入 变量的某些取值下函数值是变量的某些取值下函数值是1 1还是还是0 0皆可，并不皆可，并不 影响电路的功能。影响电路的功

50、能。 任意项：在某些变量取值下，其值等于任意项：在某些变量取值下，其值等于1 1 或等于或等于0 0的那些最小项称为任意项。的那些最小项称为任意项。 3)3)、无关项、无关项 约束项和任意项统称为无关项。约束项和任意项统称为无关项。 讨论：讨论： 1.1.在存在约束项的情况下，由于约束项的值始终等在存在约束项的情况下，由于约束项的值始终等 于于0 0，所以既可以将约束项写进逻辑函数式中，也，所以既可以将约束项写进逻辑函数式中，也 可以将约束项从函数式中删掉，而不影响函数值。可以将约束项从函数式中删掉，而不影响函数值。 同样即可以把任意项写入函数式中，也可以不同样即可以把任意项写入函数式中，也可

51、以不 写进去，因为输入变量的取值使这些任意项为写进去，因为输入变量的取值使这些任意项为1 1时，时， 函数值是函数值是1 1还是还是0 0无所谓。无所谓。 2. 2. 在用卡诺图表示逻辑函数时，首先将函数化为最在用卡诺图表示逻辑函数时，首先将函数化为最 小项之和的形式，然后在卡诺图中这些最小项对应小项之和的形式，然后在卡诺图中这些最小项对应 的位置上填入的位置上填入1 1。既然可以认为无关项包含于函数式。既然可以认为无关项包含于函数式 中，也可以认为不包含在函数式中，那么在卡诺图中，也可以认为不包含在函数式中，那么在卡诺图 中对应的位置上就可以填入中对应的位置上就可以填入1 1，也可以填入，也

52、可以填入0 0。为此，。为此， 在卡诺图中用在卡诺图中用表示无关项。在化简逻辑函数时既表示无关项。在化简逻辑函数时既 可以认为它是可以认为它是1 1，也可以认为它是，也可以认为它是0 0。 无关项在化简逻辑函数中的应用无关项在化简逻辑函数中的应用 例例: 化简具有约束的逻辑函数化简具有约束的逻辑函数 DCBABCDADCBAY 给定约束条件为：给定约束条件为： 0DCBADABC ABCDDCBADCABDCBACDBA 解：采用公式化简法解：采用公式化简法 )DCBADABC()DCABDCBA( )DCBABCDA()CDBADCBA(Y DADA )DACDCA()BDADBA( 例例:

53、 化简具有约束的逻辑函数化简具有约束的逻辑函数 DCBABCDADCBAY 给定约束条件为：给定约束条件为： 0DCBADABC ABCDDCBADCABDCBACDBA 解：采用卡诺图化简法解：采用卡诺图化简法 DA DA DADAY AB CD 00 01 11 10 00 01 11 10 例例:试化简逻辑函数试化简逻辑函数DCBADCBADCAY 已知约束条件为已知约束条件为 0ABCDDABC DCABDCABCDBADCBA 解：卡诺图化简法解：卡诺图化简法 DC DB DADCDADBY AB CD 00 01 11 10 00 01 11 10 1、基本逻辑门电路、基本逻辑门电

54、路 2、集成逻辑门电路、集成逻辑门电路 3、集成逻辑门电路应用、集成逻辑门电路应用 门电路是用以实现逻辑关系的电子电路，基本和常用门电路 有：与门、或门、非门、与非门、或非门、异或门等。 在数字电路中，一般用高电平代表1、低电平代表0，称为正 逻辑。 如果用高电平代表0、低电平代表1，称为负逻辑。 高电平和低电平为某规定范围的电位值，而非一固定值。 1 1 0 0 高电平高电平 低电平低电平 0 0 1 1 高电平高电平 低电平低电平 正逻辑体制正逻辑体制负逻辑体制负逻辑体制 由门电路种类等决定由门电路种类等决定 门电路分类：门电路分类： 集成门电路集成门电路 双极型双极型 TTL (Tran

55、sistor-Transistor Logic Integrated Circuit ) 晶体管-晶体管逻辑集成电路 ECL（Emitter Coupled Logic) 射极耦合逻辑 NMOS CMOS PMOS MOSMOS型型（M Metal-etal-O Oxide-xide-S Semiconductoremiconductor） 门电路 门电路 分立元件门电分立元件门电 路路 因其体积大，可靠性低等缺点，现已不用 集成电路分类：集成电路分类： 金属氧化物半导体场效应管集成电路 LA B +V D D (a) (b) 3k （+5V） R CC 2 & A B L=AB 1 图8.5

56、.1 二极管与门 （a）电路 （b）逻辑符号 BAL A B L D D1 2 R A B L=A+B 1 (b)(a) 3k 图8.5.2 二极管或门 （a）电路 （b）逻辑符号 L=A+B +V A L T 1 2 3 R Rb CC C （+5V） AL=AL=AA 11 (b) (a) 图8.5.3 三极管非门 1）VA=0V。此时三极管的发射结电压小于死区电压，满足截止条件， 所以管子截止，VL=VCC=5V。 2）VA=5V。此时三极管的发射结正偏，管子导通，只要合理选择电 路参数，使其满足饱和条件IBIBS，则管子工作于饱和状态，有 VL=VCES0V（0.3V）。 0V 5V

57、+V+V L 5V D D D D 3k （+5V） R CC 2 11 CC R 2 （+5V） 0.7V1.4V 3k 图8.5.4 两级二极管与门串接使用的情况 A B C L +V D D D 1 2 3 DD 1 R 2 3 CC（+5V） R1 Rc T 45 P 3k 1k 4.7k 图8.5.5 DTL与非门电路 CBAL （1）当三输入端都接高电平时（即VA=VB=VC=5V），二极管D1D3都截止， 而D4、D5和T导通。可以验证，此时三极管饱和， 即输出低电平。V0.3 L CES VV （2）在三输入端中只要有一个为低电平0.3V时，则阴极接低电平的二极管 导通，由于二

58、极管正向导通时的钳位作用，VP1V，从而使D4、D5和T都截止，V VL=VCC=5V，即输出高电平。 CBAY 1 1、电路组成、电路组成 T T1 1: :多发射极晶体管多发射极晶体管 一、一、TTLTTL与非门与非门 c1 3k b1 A +5V Y R4R2 R1 T2 R5 R3 T3 T4 T1 T5 B C N N P 输入级输入级中间级中间级输出级输出级 8.5.2 集成逻辑门电路集成逻辑门电路 （1) 任一输入为低电平（0.3V）时 “0”“0” 1V 不足以让不足以让 T T2 2、 、T T5 5导通 导通 三个三个PNPN结结 导通需导通需2.1V2.1V +5V Y

59、R4R2 R1 3k T2 R5 R3 T3 T4 T1 T5 b1 c1 A B C T2、T5截止 uo u uo o=5-=5-u uR R2 2- -u ube be3 3- -u ubebe4 4 3.6V 3.6V 高电平！高电平！ N N P 1 1、工作原理、工作原理 +5V Y R4R2 R1 3k T2 R5 R3 T3 T4 T1 T5 b1 c1 A B C “1” 全导通全导通 电位被箝电位被箝 位在位在2.1V2.1V 全反偏全反偏 1V 截止截止 （2）输入全为高电平（3.4V）时或输入全为空 T T2 2、T T5 5饱和导通饱和导通 Y Y=0.3V=0.3V

60、 输出低电平输出低电平 输入为空，相当于输入输入为空，相当于输入“1”1” N N P 1、电压传输特性 二、二、 TTLTTL与非门的特性和技术参数与非门的特性和技术参数 测试电路测试电路 & +5V uiu0 vO/V 1 2 2 1 3 0 3.6 0.5 1.52.5 I v /V3 AB C DE VT TTL与非门的电压传输特性与非门的电压传输特性 （1）AB段（截止区） （2）BC段（线性区） （3）CD段（过渡区） （4）DE段（饱和区) u0(V) ui(V)123 UOH (3.6V) UOL (0.3V) 传输特性曲线传输特性曲线 u0(V) ui(V)123 UOH “