第一章复数与复变函数 (1)

1、第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数 1. 复数的概念 1 1 复数及代数运算复数及代数运算 回忆回忆 复数的 一般形 式？ Z=a+bi(a, bR) 实部! 一个复数一个复数 由什么唯由什么唯 一确定？一确定？ a =Re( z )b =Im( z ) 虚部! 复数 z =a + bi (a,bR) 实数 (b=0) 虚数 (b0) 纯虚数 (a=0) 非纯虚数 (a0) 虚数集虚数集 纯虚纯虚 数集数集 复数集复数集 实数集实数集 (A)在复平面内，对应于实数的点都在实在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上；轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在在复平面内，对应于纯虚数的点

2、都在 虚轴上；虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数；数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。数都是纯虚数。 例例1. 辨析：辨析： 1下列命题中的假命题是（下列命题中的假命题是（ ）D 2“a=0”是是“复数复数a+bi (a , bR)是纯是纯 虚数虚数”的（的（ ）。）。 (A)必要不充分条件必要不充分条件 (B)充分不必要条件充分不必要条件 (C)充要条件充要条件 (D)不充分不必要条件不充分不必要条件 C 3“a=0”是是“复数复数a+bi (a , bR)所对所对 应的

3、点在虚轴上应的点在虚轴上”的（的（ ）。）。 (A)必要不充分条件必要不充分条件 (B)充分不必要条件充分不必要条件 (C)充要条件充要条件 (D)不充分不必要条件不充分不必要条件 A D 4 设设z1、z2为复数，则下列结论中正确的是为复数，则下列结论中正确的是( ) (A)若若z21+z220，则，则z21-z22 (B)|z1-z2|=(z1+z2) 2-4z1z2 (C)z21+z22=0z1=z2=0 (D)z1-z1是纯虚数或零是纯虚数或零 例例2 2 是否是否存在存在复数复数z，使其满足，使其满足zz+2iz=3+ai(aR) 如果存在，求出如果存在，求出z 的值；如果不存在，说

4、明理由的值；如果不存在，说明理由 , 222111 iyxziyxz 设两复数设两复数 1) 两复数的和两复数的和 ).()( 212121 yyixxzz 2) 两复数的积两复数的积 ).()( 2112212121 yxyxiyyxxzz 3)两复数的商两复数的商 . 2 2 2 2 2112 2 2 2 2 2121 2 1 yx yxyx i yx yyxx z z 2. 复数的代数运算 3. 共轭复数 , zz 共轭的复数记为共轭的复数记为与与 . , iyxziyxz 则则若若 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数个复数称为共

5、轭复数. . 共轭复数的性质共轭复数的性质 ;)1( 2121 zzzz ; 2121 zzzz ; 2 1 2 1 z z z z ;)2(zz ;)Im()Re()3( 22 zzzz ).Im(2),Re(2)4(zizzzzz 2 2 复数的几何表示复数的几何表示 1. 复平面 . . , , , . ),( 面面 面叫复平面叫复平这种用来表示复数的平这种用来表示复数的平轴轴叫虚轴或叫虚轴或 纵轴纵轴轴轴通常把横轴叫实轴或通常把横轴叫实轴或用来表示复数用来表示复数 的平面可以的平面可以一个建立了直角坐标系一个建立了直角坐标系因此因此对应对应 成一一成一一与有序实数对与有序实数对复数复数

6、 y x yxiyxz （1 1）几何表示法）几何表示法 . ),( 表表示示面面上上的的点点 可可以以用用复复平平复复数数 yx iyxz ),(yx x y x y o iyxz . , , 来表示来表示 也可用向量也可用向量复数复数因此因此平面向量成一一对应平面向量成一一对应 的的指向点指向点与从原点与从原点复数复数在复平面上在复平面上 OPz iyxzz ),(yxP x y x y o iyxz rz 复数的模复数的模(或绝对值或绝对值) , 的模或绝对值的模或绝对值向量的长度称为向量的长度称为 z . 22 yxrz 记为记为 （2 2）向量表示法）向量表示法 关于两个复数的和与差

7、的 模，有以下不等式： |) 1 ( 2121 zzzz、 | )2( 2121 zzzz 2 z 1 z0 21 zz 21 zz 2 z 2 z 1 z 2 z 模的性质 , zx , zy ,yxz . 2 2 zzzz 三角不等式三角不等式 复数的辐角复数的辐角 ., 0,0而辐角不确定而辐角不确定时时当当 zz .0有无穷多个辐角有无穷多个辐角任何一个复数任何一个复数 z , 1 是其中一个辐角是其中一个辐角如果如果 的全部辐角为的全部辐角为那么那么z ).( 2Arg 1 为任意整数为任意整数kkz . Arg , , , 0 z zOPz z 记作记作 的辐角的辐角称为称为为终边

8、的角的弧度数为终边的角的弧度数的向量的向量 以表示以表示以正实轴为始边以正实轴为始边的情况下的情况下在在 .arg , Arg , )0( 0 00 zz z 记作记作的主值的主值称为称为 的的把满足把满足的辐角中的辐角中在在 . 0, 0, , 0, 0,arctan , 0, 0, 2 , 0,arctan arg yx yx x y yx x x y z辐角的主值辐角的主值 0 z ) 2 arctan 2 ( x y 其中其中 辐角的主值辐角的主值 （3）三角表示法 利用欧拉公式利用欧拉公式,sincos ie i 复数可以表示成复数可以表示成 i rez 称为复数称为复数 z 的指数

9、表示式的指数表示式. （4）指数表示法）指数表示法 利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系 ,sin ,cos ry rx 复数可以表示成复数可以表示成)sin(cos irz 例例3 求下列复数的模：求下列复数的模： (1)z1=- -5i (2)z2=- -3+4i (3)z3=5- -5i (2)(2)满足满足|z|=5(zC)|z|=5(zC)的的z z值有几个？值有几个？ 思考：思考： (1)(1)满足满足|z|=5(zR)|z|=5(zR)的的z z值有几个？值有几个？ (4)z4=1+mi(mR) (5)z5=4a- -3ai(a0) 这些复这些复 数对应的点在复平

10、面上构成怎样的图形？数对应的点在复平面上构成怎样的图形？ 例例4(1) 4(1) 已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)i+m-2)i在复平面内在复平面内 所对应的点位于第二象限，求实数所对应的点位于第二象限，求实数m m允许的取值范围。允许的取值范围。 表示复数的点所表示复数的点所 在象限的问题在象限的问题 复数的实部与虚部所满复数的实部与虚部所满 足的不等式组的问题足的不等式组的问题 转化转化 (几何问题几何问题)(代数问题代数问题) 一种重要的数学思想：一种重要的数学思想：数形结合思想数形结合思想 02 06 2 2 mm mm 解：由 1

11、2 23 mm m 或 得 )2 , 1 ()2, 3(m 例例4(2) 4(2) 已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)i+m-2)i，证明对一，证明对一 切切m m，此复数所对应的点不可能位于第四象限。，此复数所对应的点不可能位于第四象限。 点位于第四象限，证明：若复数所对应的 02 06 2 2 mm mm 则 32 21 mm m 或 即 不等式解集为空集不等式解集为空集 所以复数所对应的点不可能位于第四象限所以复数所对应的点不可能位于第四象限. 例例5 试用复数表示圆的方程: 其中，a,b,c,d是实常数。 解： 利用 0)( 22 d

12、cybxyxa yizz xzz yxz z 2 ,2 , 22 0dzzzaz得： ).( 2 1 icb其中， rZZ| 0 22 0 2 0 )()(ryyxx 另解： 例6、复数 图形为一角形，它是一个单连通无界区 域，其边界为半射线： 3)arg(2|izz 2)arg(iz 3)arg(iz 图形 2. 复球面与无穷大复球面与无穷大 1. 南极、北极的定义南极、北极的定义 , 0 的的球球面面点点取取一一个个与与复复平平面面切切于于原原 z , 与原点重合与原点重合球面上一点球面上一点 S , N S 点点直线与球面相交于另一直线与球面相交于另一 作垂直于复平面的作垂直于复平面的通

13、过通过 . , 为南极为南极为北极为北极我们称我们称SN x y P N O S 球面上的点球面上的点, 除去北极除去北极 N 外外, 与复平面内与复平面内 的点之间存在着一一对应的关系的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用我们可以用 球面上的点来表示复数球面上的点来表示复数. 我们规定我们规定: 复数中有一个唯一的复数中有一个唯一的“无穷大无穷大”与与 复平面上的无穷远点相对应复平面上的无穷远点相对应, 记作记作 . 因而球因而球 面上的北极面上的北极 N 就是复数无穷大就是复数无穷大的几何表示的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之球面上的每一个点都有唯一的复数与之 对应对应,

14、 这样的球面称为这样的球面称为复球面复球面. 2. 复球面的定义复球面的定义 称 为扩充复平面，记为 。C C 无穷远点: 关于无穷远点，我们规定其实部、虚部、 辐角无意义，模等于： 它和有限复数的基本运算为： | aa )0( aaa )(0 );0( 0 a a a a 这些运算无意义：. 0/0 ,/,0 , 题： 证明：若|z1|=|z2|=|z3|=1,z1+z2+z3=0, 则z1，z2，z3是内接 于单位圆|z|=1的一个正三角形的三顶点。 证明： 由于, 1 321 zzz 所以 z1，z2，z3 位于单位圆上。又 0 321 zzz 得, 321 zzz 1 3321 zzz

15、z 即 )(1 2121 2 21 zzzzzz 1221 2 2 2 12121 |)(zzzzzzzzzz 1 1221 zzzz 习题Ex1-19 )( 2121 2 21 zzzzzz 1221 2 2 2 1 |zzzzzz 3) 1(2 3 21 zz 同理可以得到 . 3 1332 zzzz 得证。 3 3 复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根 1) 乘积与商乘积与商 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和. ,sin(cos 1111 ）若若 irz ,sin(cos 2222

16、 ） irz )sin()cos( 21212121 irrzz .ArgArg)(Arg 2121 zzzz 则有则有 几何意义 复数相乘就是把模相乘复数相乘就是把模相乘, , 辐角相加辐角相加. . , 2 倍倍再把它的模扩大到再把它的模扩大到 r 从几何上看从几何上看, 两复数对应的向量分别为两复数对应的向量分别为 , , 21 zz , 2 1 旋转一个角旋转一个角 按逆时针方向按逆时针方向先把先把 z . 21 zzz 就表示积就表示积所得向量所得向量 2 o x y r 2 r 1 r 2 z 1 1 z z 两个复数的商的模等于它们的模的商两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个

17、两个 复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差. , 1 2 1 2 z z z z .ArgArgArg 12 1 2 zz z z 的指数形式分别为的指数形式分别为和和设复数设复数 21 zz , 1 11 i erz . )( 1 2 1 2 12 i e r r z z 则则, 2 22 i erz ,sin(cos 1111 ）若若 irz ,sin(cos 2222 ） irz 则有则有 2) 幂与根 (a) n次幂次幂: , , n z nzzn 记作记作 次幂次幂的的的乘积称为的乘积称为个相同复数个相同复数 . 个个n n zzzz .

18、)sin(cos , ninrzn nn 有有对于任何正整数对于任何正整数 . 1 , n n z zn 有有为负整数时为负整数时 .ArgArg,znzzz n n n 因而有因而有 .sincos)sin(cos nini n . , (c)为已知复数为已知复数其中其中的根的根计算方程计算方程zwzw n n k i n k rzw nn 2 sin 2 cos 1 )1, 2 , 1 , 0( nk (b)棣莫佛公式 . , 个顶点个顶点边形的边形的的圆的内接正的圆的内接正 为半径为半径个值就是以原点为中心个值就是以原点为中心的的在几何上在几何上 nn rnz nn 例6、求所有值： 解

19、：由于 4 )1 (i ) 4 sin 4 (cos21 ii 所以有 )2 4 ( 4 1 sin)2 4 ( 4 1 cos2)1 ( 8 4 kiki ) 216 sin() 216 cos(2)1 ( 8 4 k i k i 3 , 2 , 1 , 0k 有四个根。 问题问题： 42 i 有几个根？ 4 4 区域区域 （1 1）邻域）邻域 . : )( , 00 0 的邻域的邻域内部的点的集合称为内部的点的集合称为的圆的圆 为半径为半径任意的正数任意的正数为中心为中心平面上以平面上以 zzz z . 0 0 0 的去心邻域的去心邻域 所确定的点的集合称为所确定的点的集合称为不等式不等式

20、 z zz （2 2）内点）内点 . , , . , 0 0 0 的内点的内点称为称为那末那末 于于该邻域内的所有点都属该邻域内的所有点都属的一个邻域的一个邻域存在存在 如果如果中任意一点中任意一点为为为一平面点集为一平面点集设设 Gz Gz GzG 如果如果 G 内每一点都是它的内点内每一点都是它的内点, ,那末那末G 称为称为 开集开集. . (4) (4) 区域区域 如果平面点集如果平面点集D满足以下两个条件满足以下两个条件, , 则称则称 它为一个区域它为一个区域. . (a) D是一个是一个开集开集； (b) D是是连通的连通的, ,即即D中任何两点都可以用完全中任何两点都可以用完全

21、 属于属于D的一条折线连结起来的一条折线连结起来. (3) 开集 (5) 边界点、边界 设设D是复平面内的一个区域是复平面内的一个区域, ,如果点如果点P P 不属不属 于于D, 但在但在P P 的任意小的邻域内总有的任意小的邻域内总有D中的点中的点,这这 样的样的P P点我们称为点我们称为D的的边界点边界点. (7) (7)有界区域和无界区域有界区域和无界区域 . , , 0, , 界的界的 否则称为无否则称为无称为有界的称为有界的那末那末点都满足点都满足 使区域的每一个使区域的每一个即存在即存在为中心的圆里面为中心的圆里面 点点可以被包含在一个以原可以被包含在一个以原如果一个区域如果一个区

22、域 DMz M D D的所有边界点组成的所有边界点组成D的的边界边界. . (6) 区域区域D与它的边界一起构成闭区域与它的边界一起构成闭区域. 闭区域闭区域 1 z 2 z 区域区域 0 z 邻域邻域 P 边界点边界点 边界边界 以上基本概念的图示以上基本概念的图示 (8) 简单曲线简单曲线 若尔当定理: 若尔当定理：任意一条若尔当闭曲线把整个复平 面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为 内区域，一个无界的称为外区域。 内区域 外区域 (9) (9) 光滑曲线光滑曲线 . 0, )( )( , , )( )( , 22 称这曲线为光滑的称这曲线为光滑的 那末那末有有的每一个值的每一个值且

23、对于且对于 都是连续的都是连续的和和上上如果在如果在 tytxt tytxbta 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线称为按段光滑曲线. . 任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成 三个互不相交的点集. 简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质 (10) 单连通域与多连通域 复平面上的一个区域复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一如果在其中任作一 条简单闭曲线条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于而曲线的内部总属于B, 就称为就称为 单连通域单连通域. 一个区域如果不是单连通域一个区域如果不是单连通域, 就称为就称为 多连通域多连通域. 从几何上看，

24、单连通域就是无洞、无割痕从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕 的域的域. 区域的连通性: 设D是一个区域，在复平面C上，如果D 内任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点都 属于D，则称D是单连通区域; 否则称D是多连通区域。 5 5 复变函数复变函数 ).( ), ( , , , , . zfw zw ivuwz G iyxzG 记作记作复变函数复变函数 简称简称的函数的函数是复变数是复变数那末称复变数那末称复变数之对应之对应 与与就有一个或几个复数就有一个或几个复数每一个复数每一个复数 中的中的对于集合对于集合按这个法则按这个法则个确定的法则存在个确定的法则存在 如果有一如果有一的集合的集合是

25、一个复数是一个复数设设 1.复变函数的定义复变函数的定义: 2.单单(多多)值函数的定义值函数的定义: . )( , 是单值的是单值的我们称函数我们称函数 那末那末的值的值的一个值对应着一个的一个值对应着一个如果如果 zf wz . )( , 是多值的是多值的那末我们称函数那末我们称函数的值的值 两个以上两个以上的一个值对应着两个或的一个值对应着两个或如果如果 zfw z 3.定义集合和函数值集合定义集合和函数值集合: ; )( )( 定义域定义域的定义集合的定义集合称为称为集合集合zfG . , * 称为函数值集合称为函数值集合 值所成的集合值所成的集合的一切的一切中所有中所有对应于对应于G

26、wzG 4. 复变函数与自变量之间的关系复变函数与自变量之间的关系: : )( 相当于两个关系式相当于两个关系式 之间的关系之间的关系自变量自变量与与复变函数复变函数zfwzw ),(),(yxvvyxuu . 的两个二元实变函数的两个二元实变函数和和它们确定了自变量为它们确定了自变量为yx 例如例如, , , 2 zw 函数函数, ivuwiyxz 令令 2 )( iyxivu 则则,2 22 xyiyx : 2 数数对应于两个二元实变函对应于两个二元实变函于是函数于是函数zw , 22 yxu .2xyv 5.2 映射的概念 1. 引入引入: . , , , , 的点集之间的对应关系的点集

27、之间的对应关系 上上必须看成是两个复平面必须看成是两个复平面的几何图形表示出来的几何图形表示出来 因而无法用同一平面内因而无法用同一平面内之间的对应关系之间的对应关系和和 由于它反映了两对变量由于它反映了两对变量对于复变函数对于复变函数 yx vu 2.映射的定义映射的定义: ).( )( * )( )( , , 或变换或变换 的映射的映射函数值集合函数值集合平面上的一个点集平面上的一个点集 变到变到定义集合定义集合平面上的一个点集平面上的一个点集是把是把 在几何上就可以看作在几何上就可以看作那末函数那末函数值值 的的平面上的点表示函数平面上的点表示函数而用另一个平面而用另一个平面 的值的值平

28、面上的点表示自变量平面上的点表示自变量如果用如果用 Gw Gz zfw ww zz . ),( , * )( 的原象的原象 称为称为而而映象映象的象的象称为称为那末那末中的点中的点 映射成映射成被映射被映射中的点中的点如果如果 wzzww GzfwzG . )( 所构成的映射所构成的映射 函数函数这个映射通常简称为由这个映射通常简称为由zfw . )1(构成的映射构成的映射函数函数zw x y o u v o iz32 1 iw32 1 iz21 2 iw21 2 AB C A B C , 11 wz , 22 wz .CBAABC 3. 两个特殊的映射两个特殊的映射: . ibaw wiba

29、zz 的点的点 平面上平面上映射成映射成平面上的点平面上的点将将 x y o u v o iz32 1 iw32 1 iz21 2 iw21 2 AB C A B C , 11 wz , 22 wz .CBAABC . , 映射映射是关于实轴的一个对称是关于实轴的一个对称 不难看出不难看出重叠在一起重叠在一起 平面平面平面和平面和如果把如果把 zw wz o 1 w 2 w 1 z 2 z 且是全同图形且是全同图形. . )2( 2 构成的映射构成的映射函数函数zw . 1 ,43, 1 1,21, 321 321 wiwww zizizz 平面上的点平面上的点映射成映射成 平面上的点平面上的

30、点显然将显然将 x y o u v o 1 z 2 z 2 w 3 w1 w 3 z . )2( 2 构成的映射构成的映射函数函数zw 根据复数的乘法公式可知根据复数的乘法公式可知, . 2 的辐角增大一倍的辐角增大一倍将将映射映射zzw x y o u v o 2 . 2 的角形域的角形域平面上与实轴交角为平面上与实轴交角为 的角形域映射成的角形域映射成平面上与实轴交角为平面上与实轴交角为将将 wz . )2( 2 构成的映射构成的映射函数函数zw : 2 数数对应于两个二元实变函对应于两个二元实变函函数函数zw .2, 22 xyvyxu ,2, 21 22 cxycyx xyz 曲线曲线

31、标轴为渐近线的等轴双标轴为渐近线的等轴双 和坐和坐线线平面上的两族分别以直平面上的两族分别以直它把它把 (如下页图如下页图)., 21 cvcu w 平面上的两族平行直线平面上的两族平行直线分别映射成分别映射成 . )2( 2 构成的映射构成的映射函数函数zw 将第一图中两块阴影部分映射成第二图中将第一图中两块阴影部分映射成第二图中 同一个长方形同一个长方形. x y o x y o . )2( 2 构成的映射构成的映射函数函数zw : 的象的参数方程为的象的参数方程为直线直线 x ) (.2, 22 为参数为参数yyvyu : 得得消去参数消去参数 y),(4 222 uv 以原点为焦点以原

32、点为焦点,开口相左的抛物线开口相左的抛物线.(图中红色曲线图中红色曲线) : 的象为的象为同理直线同理直线 y ),(4 222 uv 以原点为焦点以原点为焦点,开口相右的开口相右的 抛物线抛物线.(图中蓝色曲线图中蓝色曲线) 4. 反函数的定义反函数的定义: .)( * , * , )( 点点或几个或几个中的一个中的一个必将对应着必将对应着每一个点每一个点 中的中的那末那末平面上的集合平面上的集合函数值集合为函数值集合为 平面上的集合平面上的集合的定义集合为的定义集合为设设 Gw GGw Gzzfw . )( , )( , )( )( * 的逆映射的逆映射为映射为映射 也称也称的反函数的反函

33、数它称为函数它称为函数 函数函数或多值或多值上就确定了一个单值上就确定了一个单值于是在于是在 zfw zfwwz G 根据反函数的定义根据反函数的定义, *,Gw ),(wfw 当反函数为单值函数时当反函数为单值函数时, .),(Gzzfz . * . )() ( ,)( )( )( )( 是一一对应的是一一对应的合合 与集与集也可称集合也可称集合是一一对应的是一一对应的射射 映映那末称函数那末称函数都是单值的都是单值的逆映射逆映射 与它的反函数与它的反函数映射映射如果函数如果函数 G Gzfw wz zfw 今后不再区别函数与映射今后不再区别函数与映射. 解解 5.3 、典型例题 例例7 7

34、 : 2 上的象上的象 平面平面下求下列平面点集在下求下列平面点集在在映射在映射wzw ; 4 , 20 )1( r线段线段 , , i i ew rez 设设 ,2, 2 r则则 , 2 , 40 4 , 20 映射为映射为故线段故线段r 还是线段还是线段. x y o u v o 2 zw 例例7 7 : 2 上的象上的象 平面平面下求下列平面点集在下求下列平面点集在在映射在映射wzw ; 4 )2( 22 yx双曲线双曲线 , ivuwiyxz 令令 ivu 则则,2 22 xyiyx , 22 yxu 解解 , 4 4 22 u yx . 轴的直线轴的直线平行于平行于 v x y o

35、2 zw u v o22 4 例例7 7 : 2 上的象上的象 平面平面下求下列平面点集在下求下列平面点集在在映射在映射wzw 解解 . 20 , 4 0 )3( r 扇形域扇形域 , , ii ewrez 设设,2, 2 r则则 , 40, 2 0 映射为映射为 故扇形域故扇形域 20 , 4 0 r 2 zw 仍是扇形域仍是扇形域. 例例8 8 解解 . 2 , 1 的象的象求圆周求圆周对于映射对于映射 z z zw , ivuwiyxz 令令 z zw 1 映射映射 )sin2(cos 1 2sin2cos i i 20 ,sin2 cos2 y x sin 2 3 cos 2 5 si

36、n2(cos sincos 2sin2cos i i i ) 22 : 2z 圆周 20 ,sin 2 3 cos 2 5 v u 所以象的参数方程为所以象的参数方程为 : 平面上的椭圆平面上的椭圆表示表示 w . 1 2 3 2 5 2 2 2 2 vu 6.1 、函数的极限 1.函数极限的定义函数极限的定义: . )( )(,)0(0 )( , 0 , , 0 )( 0 0 0 0 时的极限时的极限趋向于趋向于当当为为那末称那末称 有有时时使得当使得当 相应地必有一正数相应地必有一正数对于任意给定的对于任意给定的 存在存在如果有一确定的数如果有一确定的数内内 的去心邻域的去心邻域定义在定义

37、在设函数设函数 zzzfA Azfzz Azz zzfw )( .)(lim 0 0 AzfAzf zz zz 或或记作记作 注意注意: : . 0 的方式是任意的的方式是任意的定义中定义中zz 6 6 复变函数的极限和连续性 2. 极限计算的定理极限计算的定理 定理一定理一 .),(lim,),(lim )(lim , , ),(),()( 00 000 00 0 0 0 0 0 vyxvuyxu Azfiyxz ivuAyxivyxuzf yy xx yy xx zz 的充要条件是的充要条件是那末那末 设设 证证 ,)(lim 0 Azf zz 如果如果 根据极限的定义根据极限的定义 ,

38、)()(0 00 时时当当 iyxiyx ,)()( 00 ivuivu (1) 必要性必要性. , )()(0 2 0 2 0 时时或当或当 yyxx ,)()( 00 vviuu, , 00 vvuu .),(lim,),(lim 00 0 0 0 0 vyxvuyxu yy xx yy xx 故故 ,),(lim,),(lim 00 0 0 0 0 vyxvuyxu yy xx yy xx 若若 , )()(0 2 0 2 0 时时那么当那么当 yyxx (2) 充分性充分性. , 2 , 2 00 vvuu有有 )()()( 00 vviuuAzf 00 vvuu , 0 0 时时故当

39、故当 zz,)( Azf .)(lim 0 Azf zz 所以所以证毕证毕 说明说明 . ),( ),( , ),(),()( 的极限问题的极限问题和和 函数函数转化为求两个二元实变转化为求两个二元实变的极限问题的极限问题 该定理将求复变函数该定理将求复变函数 yxv yxu yxivyxuzf 定理二定理二 ).0( )( )( lim (3) ;)()(lim (2) ;)()(lim (1) ,)(lim ,)(lim 0 0 0 00 B B A zg zf ABzgzf BAzgzf BzgAzf zz zz zz zzzz 那末那末设设 与实变函数的极限运算法则类似与实变函数的极限

40、运算法则类似. 例例1 1 证证 (一一) . 0 )Re( )( 不存在不存在 时的极限时的极限当当证明函数证明函数 z z z zf , iyxz 令令,)( 22 yx x zf 则则 , 0),(,),( 22 yxv yx x yxu , 趋于零时趋于零时沿直线沿直线当当kxyz 22 00 lim),(lim yx x yxu kxy x kxy x 22 0 )( lim kxx x x )1( lim 22 0 kx x x , 1 1 2 k , 值的变化而变化值的变化而变化随随 k , ),(lim 0 0 不存在不存在所以所以yxu yy xx , 0),(lim 0 0

41、 yxv yy xx 根据定理一可知根据定理一可知, . )(lim 0 不存在不存在zf z 证证 (二二),sin(cos irz 令令 r r zf cos )( 则则,cos , arg 趋于零时趋于零时沿不同的射线沿不同的射线当当 zz .)(趋于不同的值趋于不同的值zf , 0arg 趋于零时趋于零时沿正实轴沿正实轴例如例如 zz , 1)(zf , 2 arg 趋于零时趋于零时沿沿 z , 0)(zf . )(lim 0 不存在不存在故故zf z 例例2 2 证证 . 0 )0( )( 限不存在限不存在 时的极时的极当当证明函数证明函数 zz z z zf ,)(, ivuzfi

42、yxz 令令 ,),( 22 22 yx yx yxu 则则 , 2 ),( 22 yx xy yxv , 趋于零时趋于零时沿直线沿直线当当kxyz 22 00 2 lim),(lim yx xy yxv kxy x kxy x , 1 2 2 k k , 值的变化而变化值的变化而变化随随 k , ),(lim 0 0 不存在不存在所以所以yxv yy xx 根据定理一可知根据定理一可知, . )(lim 0 不存在不存在zf z 6.2 、函数的连续性 1. 连续的定义连续的定义: . )( , )( . )( ),()(lim 0 0 0 内连续内连续在在我们说我们说 内处处连续内处处连续

43、在区域在区域如果如果处连续处连续在在 那末我们就说那末我们就说如果如果 Dzf Dzfz zfzfzf zz . , )()(lim )( 0 0 0 Czzfzf zCzf zz 处连续的意义是处连续的意义是上上在曲线在曲线函数函数 定理三定理三 . ) ,( ),( ),( : ),(),()( 00 000 处连续处连续 在在和和连续的充要条件是连续的充要条件是 在在函数函数 yxyxvyxu iyxzyxivyxuzf 例如例如,),()ln()( 2222 yxiyxzf , )ln(),( 22 处连续处连续 在复平面内除原点外处在复平面内除原点外处yxyxu , ),( 22 在复平面内处处连续在复平面内处处连续yxyxv . ),( 处连续处连续在复平面内除原点外处在复平面内除