材料力学(I)第二章0

1、1 第第二二章章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 2 2-1 轴向拉伸和压缩的概念轴向拉伸和压缩的概念 3 杆的两端各受一对集中力杆的两端各受一对集中力P作用，两个作用，两个P P大小相大小相 等等，指向相反指向相反，且作用线与杆轴线重合且作用线与杆轴线重合。 PP PP a b 称为轴向拉伸，称为轴向拉伸， 杆发生纵向伸长杆发生纵向伸长。 a b称为轴向压缩称为轴向压缩 杆发生纵向缩短。杆发生纵向缩短。 4 工程中有很多构件的变形是轴向拉伸或压缩。工程中有很多构件的变形是轴向拉伸或压缩。 屋架结构简图屋架结构简图 5 6 7 2-2 内力内力截面法截面法轴力及轴力图轴力及轴力图 物体内各质点间

2、原来相互作用的力由于物体物体内各质点间原来相互作用的力由于物体 受外力作用而改变的量。受外力作用而改变的量。也就是由于外力作用于也就是由于外力作用于 构件而产生的附加内力。构件而产生的附加内力。 . 内力内力 根据可变形固体的连续性假设，内力在物根据可变形固体的连续性假设，内力在物 体内连续分布。体内连续分布。 8 截面法是求内力的一般方法截面法是求内力的一般方法截面法截面法 求图示等直杆件求图示等直杆件 横截面横截面 mm 上的上的内力内力。 m m PP . 截面法截面法 轴力及轴力图轴力及轴力图 9 m m PP 在求内力的截面在求内力的截面 mm 处，假想地将杆截为处，假想地将杆截为

3、两部分两部分。 截开截开 代替代替 取左部分部分作为研取左部分部分作为研 究对象。弃去部分对究对象。弃去部分对 研究对象的作用以截研究对象的作用以截 开面上的内力代替。开面上的内力代替。 合力为合力为 FN m m P FN P 10 平衡平衡 对研究对象列平衡方程对研究对象列平衡方程 FN = P 式中：式中：FN 为杆件任一横为杆件任一横 截面截面 mm 上的内力。上的内力。 m m PP m m P FN 与与杆的轴线重合，称为杆的轴线重合，称为 轴力轴力。 11 FN 若取若取 右侧为研究对象右侧为研究对象 m m PP m m P FN m P m 则在截开面上的轴力则在截开面上的轴

4、力 与部分左侧上的轴力与部分左侧上的轴力 数值相等而指向相反数值相等而指向相反 12 FN 轴力符号的规定轴力符号的规定 若轴力背离截面，若轴力背离截面， 则规定为则规定为 正正，称为，称为 拉力。拉力。 若轴力指向截面，若轴力指向截面， 则规定为则规定为 负负，称为称为 压力。压力。 m m PP m m P FN m P m 13 若用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用若用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用 垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值， 所绘出的图线可以表明轴力与截面位置的关系，所绘出的图线可以表明轴力与截面位置的关系， 称为

5、称为轴力图轴力图。 F F FN图 F F F FN图 F 将正的轴力画在上侧，负的画在下侧。将正的轴力画在上侧，负的画在下侧。 14 例题例题 ：一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图。：一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图。 CABD 600 300500 400 E 40KN 55KN25KN20KN 15 解：（解：（1)求支座约束力求支座约束力 F0 x R 020255540R CA B D E 40KN 55KN25KN20KN CABD 600 300500 400 E 40KN 55KN25KN20KN KN10R 16 求求AB段内的轴力段内的轴力 FN1-R=0 F

6、N1=R= 10KN 20KN CA B D E 40KN 55KN25KNR 1 R FN1 (2) 求轴力求轴力 (+) 17 040RF N2 求求BC段内的轴力段内的轴力 R 40KN FN2 CA B D E 40KN 55KN25KNR 2 KNRFN5040 2 20KN (+) 18 CA B D E 40KN 55KN25KN20KNR 3 FN3 求求CD段内的轴力段内的轴力 02025 3 N F 5KN FN3 20KN 25KN () 19 求求DE段内的轴力段内的轴力 20KN FN4 20KN FN4 CA B D E 40KN 55KN25KN20KNR 4 (

7、+) 20 FN1=10KN （）（） FN2=50KN （）（） FN3= - 5KN （）（） FN4=20KN （）（） FNmax=50KN 发生在发生在BC段内任一横截面上段内任一横截面上 10 50 5 20 + + CABD 600 300500 400 E 40KN 55KN25KN20KN 1234 FN图（图（KN) (3) 做轴力图做轴力图 21 注意注意 计算横截面上的轴力时，应先假设轴力为正值，计算横截面上的轴力时，应先假设轴力为正值， 则轴力的实际符号与其计算符号一致。则轴力的实际符号与其计算符号一致。 22 例题：试作此杆的轴力图。 R Fq F F 022Flq

8、FR F F F l2ll l F q 解：（解：（1)求支座约束力求支座约束力 FR AB C D 23 FR N1 F q F FR F x1 N2 F F F q 1 12 23 3 FR x (2) 求轴力求轴力 FF N1 0 xq-2 0 1N2 RFF X F l Fx F 1 N2 F 3N F FF N3 AB CD 24 F F F F l Fx F 1 N2 FFN 1 FFN 3 1 1 3 3 F F F l2ll l F q 2 2 FN图图 AB C D (3) 做轴力图做轴力图 25 2-3 应力应力拉拉(压压)杆内的应力杆内的应力 26 1 1. 应力的概念应

9、力的概念 A P pm m m 应力应力 分布内力集度分布内力集度 求：求：m-m截面上截面上 c 点的应力点的应力 平均应力平均应力 c A P 在在 m-m截面上，围绕截面上，围绕 c 点取点取 微小面积微小面积 A 27 P称为称为c点的应力，反映内力在点的应力，反映内力在c点的强弱程度。点的强弱程度。P 是矢量，通常将其分解为：是矢量，通常将其分解为： 垂直于截面的分量垂直于截面的分量 称为称为正应力正应力 A P p A 0 lim p c 切于截面的分量切于截面的分量 称为称为切应力切应力 28 Pa 应力单位应力单位 2 N/m1Pa1 Pa10MPa1 6 MPa Pa10GP

10、a1 9 GPa 正应力：正应力：拉为正，压为负拉为正，压为负 切应力：切应力：对截面内一点产生顺时针力矩的切应力为对截面内一点产生顺时针力矩的切应力为 正，反之为负正，反之为负 p k 29 2. 拉压杆横截面上的应力拉压杆横截面上的应力 取一等直杆，在其侧面上画出纵向线和横向线取一等直杆，在其侧面上画出纵向线和横向线 在两端施加一对轴向拉力在两端施加一对轴向拉力 P 30 PP 所有的纵向线伸长都相等，而横向线保持为直线且与所有的纵向线伸长都相等，而横向线保持为直线且与 纵向线垂直。纵向线垂直。 31 平面假设平面假设 ：原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，原为平面的横截面在杆变形后仍为平

11、面， 且垂直于轴线。且垂直于轴线。 32 亦即横截面上各点处的正应力亦即横截面上各点处的正应力 都相等。都相等。 推论：推论： 1、等直、等直拉（压）杆受力时没有发生剪切变形，拉（压）杆受力时没有发生剪切变形， 因而横截面上没有切应力，只有正应力。因而横截面上没有切应力，只有正应力。 2、拉拉( (压压) )杆受力后任意两个横截面之间纵向线杆受力后任意两个横截面之间纵向线 段的伸长段的伸长( (缩短缩短) )变形是均匀的。变形是均匀的。 F F ac bd ac bd 33 轴向拉轴向拉( (压压) )杆横截面上正应力的计算公式杆横截面上正应力的计算公式 A FN m m F F m m F

12、FN m m F FN 34 A F N 式中，式中，FN 为轴力，为轴力，A 为杆的横截面面积。为杆的横截面面积。 的符号与的符号与 正应力正应力 FN 的符号相同的符号相同 当当轴力为正号时（拉伸），轴力为正号时（拉伸），正应力也正应力也为正号，称为拉为正号，称为拉应力，应力， 当轴力为负号时（压缩），当轴力为负号时（压缩），正应力也正应力也为负号，称为压为负号，称为压应力，应力， 35 注意：注意： (1) 上述正应力计算公式来自于平截面假设；对上述正应力计算公式来自于平截面假设；对 于某些特定杆件于某些特定杆件,例如锲形变截面杆，受拉伸例如锲形变截面杆，受拉伸(压缩压缩) 时，平截面假

13、设不成立，故原则上不宜用上式计算时，平截面假设不成立，故原则上不宜用上式计算 其横截面上的正应力。其横截面上的正应力。 (2) 即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面 上的应力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。上的应力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。 36 试求图试求图a所示正方形所示正方形 砖柱由于荷载引起的横砖柱由于荷载引起的横 截面上的最大工作应力。截面上的最大工作应力。 已知已知F = 50 kN。 例题例题 37 1. .作轴力图作轴力图 38 2 分别求各段柱的工作应力。分别求各段柱的工作应力。段柱横段柱横 截面上的正应力截面上的正应力

14、段柱横截面上的正应力段柱横截面上的正应力 MPa87. 0Pa1087. 0 )m24. 0()m24. 0( N1050 6 3 1 1N 1 A F ( (压应力压应力) ) MPa1 . 1Pa101 . 1 m37. 0m37. 0 N10150 6 3 2 2N 2 A F ( (压应力压应力) ) 39 结果表明，最大工作应力为结果表明，最大工作应力为 max= 2= -1.1 MPa ( (压应力）压应力） 40 拉拉(压压)杆的纵向变形杆的纵向变形 纵向总变形纵向总变形 l = l1-l （反映绝对变形量）（反映绝对变形量） 纵向线应变纵向线应变 （反映变形程度）（反映变形程度

15、） l l 41 一、纵向变形一、纵向变形 纵向绝对变形纵向绝对变形 -每单位长度的变形，每单位长度的变形， 无量纲无量纲 1 lll l l 纵向线应变纵向线应变 长度量纲长度量纲 F F d l l1 d1 2-4 拉拉(压压)杆的变形杆的变形 胡克定律胡克定律 42 二、胡克定律二、胡克定律 实验表明在材料的弹性范围内，轴向拉、压杆实验表明在材料的弹性范围内，轴向拉、压杆 件的伸长或缩短量件的伸长或缩短量 l ，与轴力与轴力 FN和杆长和杆长 l 成正成正 比比,与横截面面积与横截面面积 A 成反比。成反比。 EA lF l N 式中式中 E 称为称为 弹性模量弹性模量 ，单位为单位为

16、Pa 胡克定律胡克定律 EA为为 抗拉（压）刚度抗拉（压）刚度 。 43 EA lF l N E l l El l l l E 胡克定律：胡克定律：在弹性范围在弹性范围，正应力与线应变成正比。，正应力与线应变成正比。 44 F F d l l1 d1 d d 横向绝对变形横向绝对变形 1 ddd 横向线应变横向线应变 - - - 泊松比泊松比 l l 二、横向变形二、横向变形 45 例例 一阶梯状钢杆受力如图，已知一阶梯状钢杆受力如图，已知AB段的横截面段的横截面 面积面积A1=400mm2， BC段的横截面面积段的横截面面积A2=250mm2, 材料的弹性模量材料的弹性模量E=210GPa。

17、试求：。试求：AB、BC段的段的 伸长量和杆的总变形。伸长量和杆的总变形。 F=40kN C BA 解：解： AB、BC两段的轴力均为两段的轴力均为 FF N l1 =300l2=200 46 故故 1 1N 1 EA lF l mm143. 0 2 2N 2 EA lF l mm152. 0 6-9 3 1040010210 0.31040 6-9 3 1025010210 0.21040 F=40kN C BA l1 =300l2=200 47 AC杆的总变形杆的总变形 21 lll mm295. 0152. 0143. 0 F=40kN C BA B C 48 例题：图示为一变截面圆杆例

18、题：图示为一变截面圆杆ABCD。已知。已知P1=20KN， P2=35KN，P3=35KN。l1=l3=300mm，l2=400mm。 d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm。试求：。试求： B截面的位移及截面的位移及AD杆的变形杆的变形 P1 P2 P3 l1l2l3 A BC D 49 P1 P2 P3 l1l2l3 A BC D R 解：解：(1)求支座约束力求支座约束力 R = -50KN 0X 0203535R 50 P1 P2 P3 l1l2l3 A BC D R (2) 作轴力图作轴力图P1 FN1 -FN1+P1=0 FN1= 20KN （+） 1 1 51 P1 P2

19、 P3 l1l2l3 A BC D R -FN2+P1-P2=0 FN2= -15KN （-） P2 P1 FN2 2 2 52 P1 P2 P3 3 3 l1l2l3 A BC D R FN3-R=0 FN3=R= - 50KN （-） R FN3 53 P1 P2 P3 1 1 2 2 3 111 l1l2l3 A BC D R FN2=-15KN （-） FN1=20KN （+） FN3=- 50KN （-） 15 + - 20 50 FN图（图（KN) 54 (3) B截面的位移及截面的位移及AD杆的变形杆的变形 m EA lF l N BC1042. 1 4 2 22 m EA lF

20、 l N AB1053. 2 4 1 11 m EA lF l N CD1058. 1 4 3 33 P1 P2 P3 1 1 2 2 3 3 l1l2l3 A BC D AB段：段： BC段：段： CD段：段： FN2=-15KN （-） FN1=20KN （+） FN3=- 50KN （-） 55 m lBC1042. 1 4 m lAB1053. 2 4 m lCD1058. 1 4 P1 P2 P3 1 1 11 11 111 111 l1l2l3 A BC D )(3 . 0 mm llu CDBCB llll CDBCABAD )( 1047. 0 4 缩短m 56 2-62-6

21、材料在拉伸和压缩时的力学性能材料在拉伸和压缩时的力学性能 力学性能力学性能材料受力时在强度和变形方面所表 材料受力时在强度和变形方面所表 现出来的性能。现出来的性能。 力学性能力学性能 取决于取决于 内部结构内部结构 外部环境外部环境 本节讨论的是常温、静载、轴向拉伸（或压缩）本节讨论的是常温、静载、轴向拉伸（或压缩） 变形条件下的力学性能。变形条件下的力学性能。 57 拉伸试样拉伸试样 圆截面试样：圆截面试样：l = 10d 或或 l = 5d ( (工作段长度称为标距工作段长度称为标距) )。 矩形截面试样：矩形截面试样： 或或 。 Al3 .11Al65. 5 一一. . 低碳钢拉伸时的

22、力学性能低碳钢拉伸时的力学性能 58 实验装置（万能试验机） 试验设备试验设备 ： (1) (1) 万能试验机：强迫试样变形并测定试样的抗力。万能试验机：强迫试样变形并测定试样的抗力。 (2) (2) 变形仪：将试样的微小变形放大后加以显示的仪器。变形仪：将试样的微小变形放大后加以显示的仪器。 59 拉伸图拉伸图 材料力学实验演示.swf 60 低碳钢的应力应变曲线( 曲线) 为消除试件尺寸的影响，将低碳钢试样拉伸图中的纵 坐标和横坐标换算为应力和应变，即 ， 其中：A试样横截面的原面积， l试样工作段的原 长。 A F l l 61 低碳钢试样在整个拉伸过程中的四个阶段：低碳钢试样在整个拉伸

23、过程中的四个阶段： (1) (1) 阶段阶段弹性阶段弹性阶段(OB)(OB) A点是应力与应变点是应力与应变 成正比的最高限。成正比的最高限。 p 比例极限比例极限 e 弹性弹性极限极限 B点是弹性阶段的点是弹性阶段的 最高点。最高点。 62 (2) (2) 阶段阶段屈服阶段屈服阶段(BC)(BC) 在此阶段伸长变形急剧在此阶段伸长变形急剧 增大，但抗力只在很小增大，但抗力只在很小 范围内波动。范围内波动。 此阶段产生的变形此阶段产生的变形 主要是塑性变形；在主要是塑性变形；在 抛光的试样表面上可抛光的试样表面上可 见大约与轴线成见大约与轴线成4545 的滑移线的滑移线 屈服极限屈服极限 s

24、63 (3) (3) 阶段阶段强化阶段强化阶段(CG)(CG) 强度极限强度极限b b 此阶段如要增此阶段如要增 加应变，必须加应变，必须 增大应力增大应力 64 卸载及再加载规律卸载及再加载规律 若在强化阶段卸载，则卸载过若在强化阶段卸载，则卸载过 程中程中应力应变应力应变关系为直线。关系为直线。 卸载后立即再加载时，卸载后立即再加载时，应应 力力应变应变关系起初基本上仍为关系起初基本上仍为 直线，直至当初卸载的荷载直线，直至当初卸载的荷载 冷作硬化现象冷作硬化现象。 提高材料的提高材料的p pe 65 (4) (4) 阶段阶段颈缩阶段（颈缩阶段（GHGH） 试件上出现急试件上出现急 剧局部

25、横截面剧局部横截面 收缩收缩颈缩颈缩， 直至试件断裂。直至试件断裂。 66 伸长率伸长率 %100 1 l ll 断面收缩率：断面收缩率：%100 1 A AA A1断口处最小横截面面积。 低碳钢：60% 1 l 低碳钢： %30%20 (通常 5%的材料称为塑性材料) (通常 5%的材料称为脆性材料) 67 无屈服阶段的塑性材料，以无屈服阶段的塑性材料，以 0.2作为其名义屈服极限作为其名义屈服极限 0.2 对应于对应于p=0.2%时时 的应力值的应力值 68 无屈服现象和颈缩现象。无屈服现象和颈缩现象。 二、铸铁拉伸时的应力应变曲线二、铸铁拉伸时的应力应变曲线 脆性材料拉伸时的唯脆性材料拉

26、伸时的唯 一强度指标：一强度指标： b 69 压缩试样压缩试样 圆截面短柱圆截面短柱( (用于测试金属材料的力学性能用于测试金属材料的力学性能) ) 31 d l 正方形截面短柱正方形截面短柱( (用于测试非金属材料的力学性能用于测试非金属材料的力学性能) ) 31 b l 三三. . 材料在压缩时的力学性能材料在压缩时的力学性能 70 低碳钢拉、压时的E、 s基本相同。 低碳钢压缩时的曲线 1. 1. 低碳钢在压缩时的力学性能低碳钢在压缩时的力学性能 测不出抗压强度极限。 71 低碳钢材料轴向压缩时的试验现象 72 铸铁压缩时的b 比拉伸时大得多； 抗拉强度低，塑性性 能差，但抗压能力强，适

27、 用做受压的构件。 2.铸铁压缩时的曲线 73 试样沿着与横截面大致成5055的 斜截面发生错动而破坏。 74 四、四、 几种非金属材料的力学性能几种非金属材料的力学性能 (1) 混凝土压缩时的力学性能混凝土压缩时的力学性能 使用标准立方体试块测定使用标准立方体试块测定 端面润滑时端面润滑时 的破坏形式的破坏形式 端面未润滑时端面未润滑时 的破坏形式的破坏形式 75 压缩强度压缩强度 b及破坏形式与端面润滑情况有关及破坏形式与端面润滑情况有关 混凝土的标号系根据其压缩强度标定，如混凝土的标号系根据其压缩强度标定，如 C20混凝土是指经混凝土是指经28天养护后立方体强度不低于天养护后立方体强度不

28、低于 20 MPa的混凝土。的混凝土。 压缩强度远大于拉伸强度。压缩强度远大于拉伸强度。 76 木材的力学性能具有方向性，为各向异性材料。木材的力学性能具有方向性，为各向异性材料。 如认为木材任何方面的力学性能均可由顺纹和横如认为木材任何方面的力学性能均可由顺纹和横 纹两个相互垂直方向的力学性能确定，则又可以纹两个相互垂直方向的力学性能确定，则又可以 认为木材是认为木材是正交异性材料正交异性材料。 松木在顺纹拉伸、压缩和松木在顺纹拉伸、压缩和 横纹压缩时的横纹压缩时的 - 曲线如图。曲线如图。 (2) 木材拉伸和压缩时的力学性能木材拉伸和压缩时的力学性能 木材的横纹拉伸强度很低木材的横纹拉伸强

29、度很低 (图中未示图中未示)，工程中也避免，工程中也避免 木材横纹受拉。木材的顺纹木材横纹受拉。木材的顺纹 拉伸强度受木节等缺陷的影拉伸强度受木节等缺陷的影 响大。响大。 77 2-7 强度条件强度条件安全因数安全因数许用应力许用应力 . 拉拉(压压)杆的强度条件杆的强度条件 强度条件强度条件保证拉保证拉(压压)杆在使用寿命内不发生杆在使用寿命内不发生 强度破坏的条件：强度破坏的条件： 其中：其中： max拉拉(压压)杆的最大工作应力，杆的最大工作应力， 材料拉伸材料拉伸(压缩压缩)时的许用应力。时的许用应力。 max max A FN 78 材料的拉、压许用应力材料的拉、压许用应力 塑性材料

30、：塑性材料： , s 2 . 0p s s nn 或或 脆性材料：许用拉应力脆性材料：许用拉应力 ，许用压应力，许用压应力 b bc c b b t nn 其中，其中，ns对应于屈服极限的安全因数对应于屈服极限的安全因数 其中，其中，nb对应于拉、压强度的安全因数对应于拉、压强度的安全因数 79 常用材料的许用应力约值常用材料的许用应力约值 ( (适用于常温、静荷载和一般工作条件下的拉杆和压杆）适用于常温、静荷载和一般工作条件下的拉杆和压杆） 170 230 160200 7 10.3 10 170 230 3454 0.44 0.6 6.4 Q235 16Mn C20 C30 低碳钢低碳钢

31、低合金钢低合金钢 灰口铸铁灰口铸铁 混凝土混凝土 混凝土混凝土 红松（顺纹）红松（顺纹） 许用应力许用应力 / /MPa 牌号牌号 材料名称材料名称 轴向拉伸轴向拉伸轴向压缩轴向压缩 80 . 关于安全因数的考虑关于安全因数的考虑 (1) 考虑强度条件中一些量的变异。如极限应考虑强度条件中一些量的变异。如极限应 力力( s， p0.2， b， bc)的变异，构件横截面尺寸的的变异，构件横截面尺寸的 变异，荷载的变异，以及计算简图与实际结构的差变异，荷载的变异，以及计算简图与实际结构的差 异。异。 (2) 考虑强度储备。计及使用寿命内可能遇到考虑强度储备。计及使用寿命内可能遇到 意外事故或其它不

32、利情况，也计及构件的重要性意外事故或其它不利情况，也计及构件的重要性 及破坏的后果。及破坏的后果。 81 强度计算的三类问题强度计算的三类问题 （1） 强度校核强度校核 （2） 截面设计截面设计 （3） 确定许可荷载确定许可荷载 max FN A max A FN max max A FN 82 例：例： 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的 分布集度为：分布集度为：q q =4.2kN/m=4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径，屋架中的钢拉杆直径d d =16mm=16mm，许用应力，许用应力 =170MPa=170MPa。试校核刚拉杆的强度。试校核刚拉杆的强度。 钢拉杆 4.2m q 8.5m A B C 83 求支座约束力求支座约束力解：解： FAy q 钢拉杆 8.5m 4.2m FB FAx 0 0 Ax FX 以整体为研究对象以整体为研究对象 kN85.17 2 0 ql FM AyB KN ql FY B 85.17 2 0 84