理论物理导论 第一章

1、LOGO 理论物理导论理论物理导论 赣南师范学院物理与电子信息学院赣南师范学院物理与电子信息学院 LOGO 1 2 3 4 四大力学：四大力学： 理论力学理论力学 量子力学量子力学 电动力学电动力学 热力学统计物热力学统计物 LOGO 牛顿力学回顾牛顿力学回顾 物体的机械运动即物体的空间位置随时间变化。物体的机械运动即物体的空间位置随时间变化。 一、研究对象一、研究对象 rr t 二、牛顿的时空观二、牛顿的时空观（ 狭义相对论的时空观）狭义相对论的时空观） 时间、空间、质量三个基本物理量是绝对的，时间、空间、质量三个基本物理量是绝对的， 它们与运动无关且彼此独立，它们与运动无关且彼此独立，“同

2、时性同时性”和力学规和力学规 律也是绝对的，而物体的坐标和速度是相对的。律也是绝对的，而物体的坐标和速度是相对的。 LOGO 三、力学状态的确定三、力学状态的确定 同时给定物体的坐标和速度（量子力学与此不同）同时给定物体的坐标和速度（量子力学与此不同） 四、力学规律的表达形式四、力学规律的表达形式 力是力学系统的核心。力是力学系统的核心。 力学系统的运动微分方程：力学系统的运动微分方程： 力是力学系统的核心。力是力学系统的核心。 LOGO 五、伽利略相对性原理（爱因斯坦相对性原理）五、伽利略相对性原理（爱因斯坦相对性原理） 六、牛顿力学的适用范围六、牛顿力学的适用范围 低速（低速（ ）、宏观物

3、体（）、宏观物体（ ）的）的 运动。运动。 8 3 10/vm s 10 10lm 力学规律在所有惯性系中都是等价的，不存力学规律在所有惯性系中都是等价的，不存 在特殊的惯性系。在特殊的惯性系。 LOGO 问题：问题：力学规律是否只有牛顿形式？力学规律是否只有牛顿形式？ 力学规律的其它表述形式：拉格朗日形式、哈力学规律的其它表述形式：拉格朗日形式、哈 密顿形式。密顿形式。 分析力学的主 要内容 经典力学：牛顿力学分析力学经典力学：牛顿力学分析力学 LOGO 1-1自由度和广义坐标自由度和广义坐标 一个自由质点在空间的位置可以用一个自由质点在空间的位置可以用三个三个 独立参数来确定，我们说该自由

4、质点有独立参数来确定，我们说该自由质点有3个自个自 由度由度。一般质点运动会受到约束限制，则其。一般质点运动会受到约束限制，则其 自由度数会减少，在完整约束条件下，自由度数会减少，在完整约束条件下，确定确定 质点系位置的独立参数的数目等于系统的自质点系位置的独立参数的数目等于系统的自 由度数。由度数。 LOGO 例如：例如：一质点一质点M 限制在球面的上半部运动，则限制在球面的上半部运动，则 222 ()()zcRxayb 故该质点在空间的位置由故该质点在空间的位置由x、y 就就 可确定，其自由度数为可确定，其自由度数为2。 LOGO 对完整系统，广义坐标数目等于系统的自由度对完整系统，广义坐

5、标数目等于系统的自由度 数。数。 一般讲，一个由一般讲，一个由n 个质点组成的质点系，若受到个质点组成的质点系，若受到s 个完整约束作用，则其在空间的位置可由个完整约束作用，则其在空间的位置可由N=3n-s 个个 坐标完全确定下来，我们把这些描述质点系在空间中坐标完全确定下来，我们把这些描述质点系在空间中 位置的独立参数，称为位置的独立参数，称为广义坐标广义坐标，用，用 来表示。广义坐标对时间的微商来表示。广义坐标对时间的微商 称为称为广义速度广义速度 ，用，用 来表示。来表示。 1233n s qqqq 、 、 i dq dt 1233n s qqqq 、 、 LOGO 222 ) 2 ()

6、 2 ( 2 , 2 baRcz yx 上式说明广义坐标的选择并不是唯一的。上式说明广义坐标的选择并不是唯一的。 如上面例题的质点如上面例题的质点M的位置由的位置由x，y 确定，则确定，则x，y 就是其一组广义坐标，此外，我们也可以选取其它的就是其一组广义坐标，此外，我们也可以选取其它的 一组独立参量来表达其位置：一组独立参量来表达其位置： LOGO 1-2 拉格朗日方程拉格朗日方程 力是力学系统的核心，求解运动方程需要知道力是力学系统的核心，求解运动方程需要知道 物体的受力情况。物体的受力情况。 牛顿力学的运动微分方程：牛顿力学的运动微分方程： 2 2 d r mF dt 拉格朗日方程的特点

7、是避开矢量力，而利用标量拉格朗日方程的特点是避开矢量力，而利用标量 动能和势能动能和势能来描述运动。来描述运动。 LOGO 从牛顿方程出发推导拉格朗日方程从牛顿方程出发推导拉格朗日方程 1、单个质点不受约束需三个独立坐标描述其位置，、单个质点不受约束需三个独立坐标描述其位置， 即有三个自由度。即有三个自由度。 直角坐标系中：直角坐标系中：rxiyjzk UUUU FUijk rxyz 2、单个质点在保守力场中运动：、单个质点在保守力场中运动： 势能函数势能函数 U r LOGO 由牛顿第二定律，质点的运动方程为：由牛顿第二定律，质点的运动方程为： U mrF r 分量形式：分量形式： x y

8、z mxF myF mzF 又记又记x，y，z为为x1，x2，x3，上式又写为：，上式又写为： 11 1 U mxF x 22 2 U mxF x 33 3 U mxF x LOGO 上式合写为：上式合写为： 1,2,3 ii i U mxFi x 说明：说明： (1)、以上选取的是直角坐标系，但坐标系的选取、以上选取的是直角坐标系，但坐标系的选取 要根据具体情况而定。要根据具体情况而定。 (2)、若、若U=U(r)，即势能仅是质点到力心距离的函数，即势能仅是质点到力心距离的函数， 此时适宜于选取球坐标系。此时适宜于选取球坐标系。 LOGO 3、直角坐标系中质点的动能为：、直角坐标系中质点的动

9、能为： 1 2 2 ii i T mxmx x 3 2222 1 11 22 i i Tm xyzmx ii i dT mxF dtx 上式再对时间求微分得：上式再对时间求微分得： 动能对动能对 求偏导求偏导 i x LOGO i i dT F dtx i i U F x 由由 和和 二式相加得二式相加得 ： 0 ii dTU dtxx 4、引入、引入拉格朗日函数拉格朗日函数L LTU 动能动能T仅是速度仅是速度 的函数，势能的函数，势能U仅是坐标仅是坐标 的函数，因此的函数，因此 i x i x iii TUdTddL dtxdtxdtx iii UTUL xxx LOGO 0 ii dLL

10、 dtxx 此式即为用拉格朗日函数表示牛顿运动定律的拉此式即为用拉格朗日函数表示牛顿运动定律的拉 格朗日方程。格朗日方程。 可以证明，将可以证明，将 换成广义坐标换成广义坐标 ， 即可得到用广义坐标表示的具有即可得到用广义坐标表示的具有s个自由度的系统的个自由度的系统的 一般形式的一般形式的拉格朗日方程拉格朗日方程。 123 ,x x x 12 , s q qq 01,2, ii dLL is dtqq LOGO 说明：说明： 1、拉格朗日方程是力学系统的基本运动方程，运动方、拉格朗日方程是力学系统的基本运动方程，运动方 程在牛顿力学中是牛顿第二定律，在分析力学中是拉程在牛顿力学中是牛顿第二定

11、律，在分析力学中是拉 格朗日方程。格朗日方程。 2、在分析力学中特征函数为拉格朗日函数（标量函、在分析力学中特征函数为拉格朗日函数（标量函 数），在牛顿力学中特征函数是力（矢量）。数），在牛顿力学中特征函数是力（矢量）。 3、由、由 可以看出，只要给出力学体可以看出，只要给出力学体 系的坐标和速度就能完全确定经典力学体系的状态。系的坐标和速度就能完全确定经典力学体系的状态。 , ii LTUL q q 4、 不再限于直角坐标，在此为广义坐标。不再限于直角坐标，在此为广义坐标。 i q 5、在很多情况下，由拉格朗日方程得到的关于广义、在很多情况下，由拉格朗日方程得到的关于广义 坐标的运动微分方程

12、是二阶非线性的，求解很困难。坐标的运动微分方程是二阶非线性的，求解很困难。 LOGO 例题：例题：写出有心力场中质点的运动方程。写出有心力场中质点的运动方程。 sin r drdrerd erd e 上式两边除以上式两边除以dt，得：，得： sin r rrer ere 解：选球坐标系，位移解：选球坐标系，位移 在在 球坐标系中的表达式：球坐标系中的表达式： dr LOGO 22 222222 11 22 1 sinsin 2 1 sin 2 rr Tmvmr m rer ererer ere m rrr 动能：动能： 所以拉格朗日函数为：所以拉格朗日函数为： 222222 1 sin 2 L

13、TUm rrrU r LOGO 222 sin LL mrmrmrUr rr 222 sincos LL mrmr 22 sin0 LL mr 求偏导：求偏导： 222222 1 sin 2 LTUm rrrU r LOGO 得到运动方程：得到运动方程： 222 sin d mr mrmrUr dt 222 sincos d mrmr dt 22 sin0 d mr dt 0 0 0 dLL dtrr dLL dt dLL dt 将以上结果代入拉格朗日方程将以上结果代入拉格朗日方程 LOGO 1-3 哈密顿方程哈密顿方程 一、广义动量一、广义动量 将动能将动能T对速度分量求偏导数，即可得动量的

14、分量。对速度分量求偏导数，即可得动量的分量。 ii i T mqp q 2 1 1 2 s i i Tmq 势能函数只与广义坐标有关，与广义速度无关，因此势能函数只与广义坐标有关，与广义速度无关，因此 i iii TUTL p qqq 称为广义动量称为广义动量 i L q LOGO 二、勒让德变换二、勒让德变换 设有设有 ,ff x y , ff dfdxdyP x y dxQ x y dy xy d QyydQQdy又又 d QyfydQPdx两式相减得：两式相减得： 变换后的函数：变换后的函数：gQyf 称为函数称为函数f的勒让德变换的勒让德变换 ,gQyfg x Q 1、若要将变量、若要

15、将变量y变为变为Q LOGO 2、若要将变量、若要将变量x变为变为P , ff dfdxdyP x y dxQ x y dy xy d PxxdPPdx 两式相减得：两式相减得：d PxfxdPQdy ,gPxfg y P 变换后的函数：变换后的函数：gPxf称为函数称为函数f的勒让德变换的勒让德变换 LOGO 3、 三个变量（可推广到三个变量（可推广到N个变量）个变量） , ,ff x y z 要将要将 ，采用与前面一样的方法，有：，采用与前面一样的方法，有：, ,x y zx Q R , , , , fff dfdxdy xyz P x y z dxQ x y z dyR x y z dz

16、 d QyRzydQQdyzdRRdz d QyRzfydQzdRPdx ,gQyRzfg x Q R LOGO 三、哈密顿函数三、哈密顿函数 广义动量广义动量 i i L p q 01,2, ii dLL is dtqq ii ii dLL pp dtqq 根据拉格朗日方程根据拉格朗日方程 1111 ssss iiiiii iiii ii LL dLdqdqp dqp dq qq , ii LL q q又又 LOGO 对对L进行勒让德变换，目的：进行勒让德变换，目的： ii qp 1 1111 11 s ii i ssss iiiiiiii iiii ss iiii ii dp qL p d

17、qq dpp dqp dq q dpp dq 定义定义哈密顿函数哈密顿函数H 1 s ii i Hp qL 11 ss iiii ii dHq dpp dq , ii HH q p LOGO 四、哈密顿函数的物理意义四、哈密顿函数的物理意义 11 2 ss iiii ii Hp qLp qTE 1 1 2 s ii i p qT HE H就是系统的能量就是系统的能量E。 LOGO 五、哈密顿方程五、哈密顿方程 , ii HH q p 由由 得得 ： 11 ss ii ii ii HH dHdqdp qp 比较比较 11 ss iiii ii dHq dpp dq 于是有：于是有： i i i

18、i dqH dtp dpH dtq 哈密顿方程（正则方程，系统的运动方程）哈密顿方程（正则方程，系统的运动方程） LOGO 说明：说明： 1、数学上，哈密顿形式上为一阶微分方程（、数学上，哈密顿形式上为一阶微分方程（2s个），个）， 而拉格朗日形式上为二阶微分方程而拉格朗日形式上为二阶微分方程简化数学计算；简化数学计算； 3、哈密顿正则形式对称，有利于从经典力学到量子、哈密顿正则形式对称，有利于从经典力学到量子 力学的过渡。力学的过渡。 2、哈密顿方程中，、哈密顿方程中， 地位平等地位平等相互共轭的正相互共轭的正 则变量；则变量； , ii q p LOGO 例题：例题：写出有心力场中两个质点

19、系统的运动方程。写出有心力场中两个质点系统的运动方程。 x y z 1 m 2 m r 解：两质点系统的质心坐标为：解：两质点系统的质心坐标为： 1 122 12 1122 12 1 122 12 m xm x x mm m ym y y mm m zm z z mm 选取为球坐标系的原点，球坐标系与直角坐标选取为球坐标系的原点，球坐标系与直角坐标 系的关系为：系的关系为： 21 21 21 sincos sinsin cos xxr yyr zzr LOGO 解上两式得：解上两式得： 2 1 12 2 1 12 2 1 12 sincos sinsin cos m xxr mm m yyr mm m zzr mm 1 2 12 1 2 12 1 2 12 sincos sinsin cos m xxr mm m yyr mm m zzr mm LOGO 222 12 222222 1