简单拉压的静不定问题

1、 第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形 本章主要研究本章主要研究: : 轴向拉压变形轴向拉压变形分析的基本原理分析的基本原理 简单拉压静不定问题简单拉压静不定问题分析分析 热应力与预应力分析热应力与预应力分析 结构优化设计概念结构优化设计概念简介简介 研究变形研究变形求求桁架节点位移桁架节点位移 求解求解静不定静不定 1 拉压杆的变形与叠加原理拉压杆的变形与叠加原理 2 桁架的节点位移桁架的节点位移 3 3 拉压与剪切应变能拉压与剪切应变能 4 简单拉压静不定问题简单拉压静不定问题 5 热应力与预应力热应力与预应力 6 结构优化设计概念简介结构优化设计概念简介 第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变

2、形 轴向变形与胡克定律轴向变形与胡克定律 横向变形与泊松比横向变形与泊松比 叠加原理叠加原理 例题例题 1 拉压杆的变形与叠加原理拉压杆的变形与叠加原理 轴向变形与胡克定律轴向变形与胡克定律 拉压杆的轴向变形拉压杆的轴向变形 A FN l l )( p时 时当当 E EA lF l N 胡克定律胡克定律 EA杆截面的杆截面的抗拉压刚度抗拉压刚度 l伸长为正，缩短为负伸长为正，缩短为负 轴向变形一般公式轴向变形一般公式 N( )d ( ) Fxx EA x l x xEA xF ld )( )( N n i ii ii AE lF l 1 N 变截面变轴力杆变截面变轴力杆 轴力分段（阶梯形杆）轴

3、力分段（阶梯形杆） FNi杆段杆段 i 轴力轴力（设正）（设正） n总段数总段数， l伸长为正伸长为正 若若 nBB，如何求变形？，如何求变形？ 取微段取微段dx, 微段变形微段变形 横向变形与泊松比横向变形与泊松比 拉压杆的横向变形拉压杆的横向变形 bbb 1 b b 横向变形横向变形 横向应变横向应变 横截面内横截面内任一点，任一点， 任意面内方向任意面内方向上的应变上的应变 横向变形与泊松比横向变形与泊松比 E 泊松比泊松比 试验表明试验表明 ：在比例极限内，：在比例极限内， ，并异号，并异号 泊松比泊松比 ( (横向变形系数）横向变形系数） Poissons Ratio E 0 00

4、0. .5 5 对于绝大多数各向同性材料对于绝大多数各向同性材料 1 10 0. .5 5 弹性理论证明：弹性理论证明： 等温下各向同性线弹性材料等温下各向同性线弹性材料 0 0. .3 39 9 铜泡沫铜泡沫 叠加原理叠加原理 算例算例 1.1.分段解法分段解法 12N1 FFF 2N2 FF EA lF EA lF l 2N21N1 )( 分段分段 EA lF EA llF l 11212 )( )( 分段分段 试分析杆试分析杆 AC 的轴向变形的轴向变形 l EA lF EA lFF 22112 )( EA llF lF )( 212 2 2. 分解载荷法分解载荷法 EA lF lF 1

5、1 1 21 )( FF lll 分分解解载载荷荷 3. 比较比较 分解载荷分解载荷分段分段 )()(ll EA lF EA llF 11212 )( EA lF EA llF l 11212 )( )( 分段分段 载荷载荷同时同时作用作用 载荷载荷单独单独作用之和作用之和 F F2 (F2) F1 (F1) F1+F2 (F1+ F2) 1 k kF F 2 n n c cF F 1 11 12 21 11 11 12 2 ( () )( ( ) )( () )F FF FF FF F 2 21 12 22 21 12 22 2 ( () )( () )( () )F FF FF FF F

6、叠加原理（力的独立作用原理）叠加原理（力的独立作用原理） “ 几个载荷同时作用所产生的总效果几个载荷同时作用所产生的总效果 ，等于各载荷单独作用产生的效果的总和，等于各载荷单独作用产生的效果的总和 ” 应用条件：应用条件： 载荷的效果（载荷的效果（内力内力、应力应力、变形）变形）与与载荷载荷成成线性线性 说明：说明： 1）1 1-支反力、内力、应力、位移、应变，支反力、内力、应力、位移、应变， F -F -广义载荷：力、力偶矩、分布力；广义载荷：力、力偶矩、分布力； 2 2）同一点（或截面）处的同类量叠加；）同一点（或截面）处的同类量叠加； 3 3）标量、共线矢量代数和；）标量、共线矢量代数和

7、； 非共线矢量矢量和。非共线矢量矢量和。 例例 题题 例例 1-1 长度长度 l = 54 mm ，内径，内径 di = 15.3 mm，E200 GPa， 0.3。经预紧后，。经预紧后，轴轴 向变形向变形 l 0.04 mm。试。试求：求： (a) 螺拴横截面上的正应力螺拴横截面上的正应力 (b) 螺拴的横向变形螺拴的横向变形 d 解：解：1. 横截面正应力横截面正应力 4- 10.417 l l MPa 2148 .E 2. 螺拴横向变形螺拴横向变形 4 10222 . mm 00340 i .dd 螺拴直径缩小螺拴直径缩小 0.0034 mm 若杆件截面为空心圆，若杆件截面为空心圆， 内

8、、外径如何变化？内、外径如何变化？ 横截面内横截面内任一点、任一点、 在任一方向在任一方向上的应变上的应变 叶片叶片 例例 1-2 图示涡轮叶片，单位体积的质量为图示涡轮叶片，单位体积的质量为r r ，求叶片，求叶片 横截面上的正应力与轴向变形横截面上的正应力与轴向变形 解：解：1. 叶片外力叶片外力 r rddd 22 AmF 作用在作用在 d 微段上的离心力：微段上的离心力： 2. 叶片轴力与应力叶片轴力与应力 r r dd 2 AF 处的向心加速度：处的向心加速度： 2 r a x 截面的轴力：截面的轴力： o 2 N d)( R x AxF r r )( 2 22 o 2 xR A r

9、 r x 截面的应力：截面的应力： )( 2 )( 22 o 2 xRx r r 3. 叶片的轴向变形叶片的轴向变形 x EA xF l R R d )( o i N )32( 6 3 ii 2 o 3 o 2 RRRR E r r 2. 叶片轴力与应力叶片轴力与应力 节点位移分析节点位移分析 小变形概念小变形概念 例题例题 2 桁架的节点位移桁架的节点位移 节点位移分析节点位移分析 图示对称桁架，图示对称桁架，已知已知 ：E1A1= E2A2=EA， l1=l2=l，试求试求节点节点 A 的铅垂位移的铅垂位移f fA A a a a a l l A F b b B l 1 A A b ba

10、a ()coscos A fABlll b ba a a a a a a a 2 coscos() cossin() cos a aa a a a 2 cossin ()( ) c s ( )o A llfl ll 11 ()llA BA A 切线代圆弧切线代圆弧 a aa aa a a a costgsin cos A l fllAA 节点位移分析节点位移分析 1. 轴力与变形分析轴力与变形分析 )( 2 N1 拉伸拉伸FF )( N2 压缩压缩FF EA lF AE lF l 22 11 1N1 1 )( 22 2N2 2 缩短缩短 EA Fl AE lF l 图示桁架，图示桁架，试求试求

11、节点节点 A 的水平与铅垂位移，的水平与铅垂位移， 已知已知 ：E1A1= E2A2=EA，l2=l )( 2 伸长 EA Fl 圆弧法圆弧法 作圆弧作圆弧A1A、A2A 切线代圆弧法切线代圆弧法 2. 作图法作图法求节点位移求节点位移 3. 节点位移计算节点位移计算 )( 2 2 lAA Ax 5AAAy 将将圆弧圆弧A1A用用 其其切线切线A1A3代替代替 )( 45cos 2 1 l l 小变形概念小变形概念 小变形：小变形：与结构原尺寸相比为很小的变形与结构原尺寸相比为很小的变形 应应 用：用：在小变形条件下，通常即可在小变形条件下，通常即可： 按结构的原有几何形状与尺寸，计算约束按结

12、构的原有几何形状与尺寸，计算约束 反力与内力反力与内力刚性假定；刚性假定； 采用切线代圆弧的方法确定节点位移；采用切线代圆弧的方法确定节点位移； 内力、应力与载荷成线性内力、应力与载荷成线性 位移与应变成线性位移与应变成线性 例例 题题 刚体刚体 EA 例例 2-1 F1 = F2 / 2 = F ，求截面求截面 A 的位移的位移 解：解：1. 计算计算 FN与与 l F FF F6 30sin 2 21 N EA Fl EA l F l 34 60sin 6 0 B M 2. 画变形图画变形图 3. 位移计算位移计算 2CCAA Ay 60cos 2 l )( 316 EA Fl 刚性杆不变

13、形刚性杆不变形 应变能概念应变能概念 轴向拉压应变能轴向拉压应变能 拉压与剪切应变能密度拉压与剪切应变能密度 例题例题 3 拉压与剪切应变能拉压与剪切应变能 应变能概念应变能概念 应变能与功能原理应变能与功能原理 弹性体因变形而储存的能量弹性体因变形而储存的能量应变能应变能 V 外力在变形过程中所作之功外力在变形过程中所作之功外力功外力功 W 弹性体功能原理弹性体功能原理WV 功能原理成立条件：载荷由零逐渐缓慢功能原理成立条件：载荷由零逐渐缓慢 增大，弹性体处于准静态，以致动能与热能增大，弹性体处于准静态，以致动能与热能 等的变化，均可忽略不计等的变化，均可忽略不计。 根据能量守恒定律，弹性体

14、因变形所储根据能量守恒定律，弹性体因变形所储 存的应变能存的应变能 ，数值上等于外力所作的功，数值上等于外力所作的功 构件在载荷作用点、沿载荷方向的位移构件在载荷作用点、沿载荷方向的位移相应位移相应位移 轴向拉压轴向拉压应变能应变能 线弹性杆线弹性杆的外力功的外力功 f ddfW fW 0 d 2 F W 线弹性拉压杆的外力功线弹性拉压杆的外力功 EA lFlF W 22 2 N 线弹性杆的线弹性杆的拉压拉压应变能应变能 WV EA lF V 2 2 N 拉压与剪切应变能密度拉压与剪切应变能密度 2 ddd d yzx V 单位体积内应变能单位体积内应变能应变能密度应变能密度 E v 22 2

15、 2 ddd d yzx V G v 22 2 拉压应变能密度拉压应变能密度 剪切应变能密度剪切应变能密度 zyxddd 2 zyxddd 2 例例 题题 解：解：1. 轴力分析轴力分析 （拉）（拉） 2 N1 FF（压压） N3N2 FFF 例例 3-1 用能量法计算节点用能量法计算节点 B 的铅垂位移的铅垂位移 By 2. 应变能计算应变能计算 3 1 2 N 2 i ii ii AE lF V EA lF EA lF EA lF V 222 2 2 N3 2 N2 2 1N 3. 位移计算位移计算 EA lFF By )12( 2 2 EA Fl By )12(2 VW 2 By F W

16、 EA lF)12( 2 由由 可得可得 用解析法如何求？用解析法如何求？ 静不定问题与静不定度静不定问题与静不定度 静不定问题分析静不定问题分析 例题例题 4 简单拉压静不定问题简单拉压静不定问题 静不定问题与静不定度静不定问题与静不定度 静不定问题静不定问题 仅由平衡方程不仅由平衡方程不能确定全部未知力的问题能确定全部未知力的问题 静不定度静不定度 未知力数与有效未知力数与有效平衡方程平衡方程数之差数之差 静定问题静定问题 仅由平衡方程即可仅由平衡方程即可确定全部未知力（确定全部未知力（约束反约束反 力与内力力与内力）的问题）的问题 一一 度度 静静 不不 定定 静定问题静定问题静不定问题

17、静不定问题 静不定问题分析静不定问题分析 分析方法分析方法 求解思路求解思路 一度静不定一度静不定 建立平衡方程建立平衡方程 分析变形，分析变形，建立补充方程建立补充方程 E1A1= E2A2 各杆变形间满各杆变形间满 足一定关系足一定关系 0),( 321 lllf0),( N3N2N1 FFFF )3 , 2 , 1( N iFl ii 补充方程补充方程 变形协调条件变形协调条件 变形与受力关系变形与受力关系 平衡方程平衡方程 0sin-sin N1N2 a aa aFF 0coscos N3N2N1 FFFFa aa a 变形几何关系变形几何关系 a acos 31 ll 保证结构保证结

18、构连续性连续性所应所应 满足的变形几何关系满足的变形几何关系 胡克定律胡克定律 11 1N1 1 AE lF l 33 1N3 3 cos AE lF l a a 补充方程补充方程 N3 2 33 11 N1 cosF AE AE F a a 变形协调方程变形协调方程 用内力表示的变形协调方程用内力表示的变形协调方程 联立求解平衡与补充方程联立求解平衡与补充方程 a a a a 3 11 33 2 N2N1 cos2 cos AE AE F FF N3 3 11 33 12cos F F E A E A a a 综合考虑三方面综合考虑三方面 外力与外力与 FNi 之间满足静力平衡方程之间满足静

19、力平衡方程 各各 li 之间满足变形协调方程之间满足变形协调方程 li 与与FNi 之间满足给定物理关系（例如之间满足给定物理关系（例如胡克定律胡克定律） 综合考虑静力、几何与物理三方面综合考虑静力、几何与物理三方面 静不定问题的内力特点静不定问题的内力特点 内力分配与杆件刚度有关内力分配与杆件刚度有关 一般讲，一般讲，EiAi ，FNi 例例 题题 例例 4-1 求两端固定杆的支反力求两端固定杆的支反力 解解：1. 静力学方面静力学方面 支反力支反力2，平衡方程平衡方程1，1 度静不定度静不定 (a) 0 , 0 BxAxx FFFF 2. 几何方面几何方面 0 CBAC ll 4. 建立补

20、充方程建立补充方程 (b) 0 21 lFlF BxAx 5. 支反力计算支反力计算 联立求解平衡方程（联立求解平衡方程（a）与补充方程（）与补充方程（b），得），得 21 2 ll Fl FAx 21 1 ll Fl FBx 3. 物理方面物理方面 EA lF EA lF l Ax AC 11N1 EA lF EA lF l Bx CB 12N2 )( (a) 0 BxAx FFF 0 CBAC ll 解：解：1. 问题分析问题分析 未知力未知力4，平衡方程，平衡方程3，一度静不定，一度静不定 2. 画变形与受力图画变形与受力图 注意受力图与变形图协调：注意受力图与变形图协调： 伸长拉力；缩

21、短压力伸长拉力；缩短压力 先画变形图，判断轴力正负先画变形图，判断轴力正负 例例 4-2 已知：已知：F = 50 kN， 1 = 160 MPa， 2 = 120 MPa ，A1= A2。试问：。试问：A1=? A2=? 3. 建立平衡方程建立平衡方程 求解略求解略 解：解： 1. 画变形与受力图画变形与受力图 注意受力图与变形图协调：注意受力图与变形图协调： 伸长拉力；缩短压力伸长拉力；缩短压力 先画变形图，判断轴力正负先画变形图，判断轴力正负 例例 4-3 已知：已知：F = 50 kN， t = 160 MPa， c = 120 MPa ，A1= A2。试问：。试问：A1=? A2=?

22、 一度静不定一度静不定 0 B M 3. 建立补充方程建立补充方程 CCl2 2 1 N1 1 2 EA lF l 2 N2 2 EA lF l N1N2 4FF 2. .建立平衡方程建立平衡方程 02)( 2 N2N1 lFF l F 12 22ll 02)( 2 , 0 N2N1 lFF l FMB N1N2 4FF 5. 截面设计截面设计 N 1059. 4 128 28 4 4 N1N2 F FF 2 t N1 1 mm 7 .71 F A 2 c N2 2 mm 383 F A 2 21 mm 383 AA结论：结论： 4. 内力计算内力计算 例例 4-4 试画试画图示静不定桁架的变

23、形图与受力图图示静不定桁架的变形图与受力图 解：解：1. 画变形图画变形图 设节点设节点C位移至位移至 ，过，过 点向三杆作垂线。点向三杆作垂线。 CC 2. 根据变形图，画受力图根据变形图，画受力图 热应力与初应力概念热应力与初应力概念 例题例题 5 热应力与初应力热应力与初应力 热应力与初应力概念热应力与初应力概念 引起应力的非力学因素引起应力的非力学因素 T T l l a a 1. 温度变化温度变化 2. 杆长制造误差杆长制造误差 EA lF Tll l R a a0 TE A F l a a R T 0 R EA lF l l E A F R 热应力与初应力热应力与初应力 由于由于温

24、度变化温度变化或或杆长制造误差杆长制造误差，结构在未受载时即已，结构在未受载时即已 存在的应力，依次称为存在的应力，依次称为热应力热应力与与初应力（预应力、装配初应力（预应力、装配 应力）应力）。 在静不定结构中，各杆段或各杆的轴向变形必须服在静不定结构中，各杆段或各杆的轴向变形必须服 从变形协调条件，因此，从变形协调条件，因此，温度变化温度变化或或杆长制造误差杆长制造误差， 一般将引起应力一般将引起应力。 由于由于温度变化温度变化或或杆长制造误差杆长制造误差，静不定结构将可能，静不定结构将可能 存在热应力与初应力存在热应力与初应力静不定结构的特点静不定结构的特点 例例 题题 例例 5-1 杆

25、杆 1 温度升高温度升高 T，求，求 FN1 ，FN2 与与 支座支座 C 反力反力 解：解：1. 画变形图画变形图 2. 画受力图画受力图 注意分清哪一段是轴向变形注意分清哪一段是轴向变形 l 注意轴力注意轴力 FN 与轴向变形与轴向变形 l 的协调的协调 l1 l1 3. 建立平衡方程建立平衡方程 0 , 0 N3N1R FFFFy 0 4 3 4 , 0 N3N1 a F a FMC 4. 建立补充方程建立补充方程 3AABB )(3 1T2 ll EA lF Tl EA lF l N1N2 3a a 5. 计算结果计算结果 10 9 3 N3N1 TEA FF l a a 5 6 3

26、RN1 TEA FF l a a li TFa a, N 例例 5-2 试建立平衡与补充方程（结构左右对称）试建立平衡与补充方程（结构左右对称） 解：解： 画变形图画变形图 cos 1 3 l l cos 1 cos 11 N1 33 3 AE lF AE lF 0cos2 N1N3 FF 画受力图画受力图 建立平衡与补充方程建立平衡与补充方程 优化设计的几个名词优化设计的几个名词 结构结构优化设计简单优化设计简单算例算例 6 结构优化设计概念简介结构优化设计概念简介 结构结构优化设计的几个名词优化设计的几个名词 结构优化设计：所设计的结构或构件，不仅满足强度、所设计的结构或构件，不仅满足强度、 刚度与稳定性等方面的要求，同时又刚度与稳定性等方面的要求，同时又在追求某种或某些在追求某种或某些 目标方面目标方面（例如重量最轻、承载能力最高等），（例如重量最轻、承载能力最高等），达到最达到最 佳程度佳程度。 设计变量：在工程设计中可由设计者调整的量在工程设计中可由设计者调整的量, ,例如例如 构件的截面尺寸构件的截面尺寸 约束条件：设计变量必须满足的限制条件设计变量必须满足的限制条件 目标函数：目标