结构力学教程-难度最大的影响线+让你一目了然

1、1 影响线的概念影响线的概念 静 力 法 作 影 响 线静 力 法 作 影 响 线 结 点 荷 载 下 的 影 响 线结 点 荷 载 下 的 影 响 线 机 动 法 作 影 响 线机 动 法 作 影 响 线 影响线的应用影响线的应用 简 支 梁 的 内 力 包 络 图简 支 梁 的 内 力 包 络 图 2 7.1 移动荷载和影响线的概念 移动荷载作用下内力计算特点:结构内力随荷载的移动而变化,为此需要 研究内力的变化规律、变化范围及最大值，和产生最大值的荷载位置（即 荷载的最不利位置）。 研究方法： 先研究单位移动荷载作用下的内力变化规律， 再根据叠加原理 解决移动荷载作用下的内力计算问题,以

2、及最不利荷载的位置问题。 P=1 RB x Y=RB 1 影响线的定义： 当P=1在结构上移动时，用来表示某一量值Z变 化规律的图形，称为该量值Z的影响线。 在Z的影响线中,横标表示的是P=1的作用位置； 竖标表示的是量值Z的值。 如在RB影响线中的竖标yD表示的是： 当P=1移动到 点时，产生的 支座反力。 Z的影响线与量值Z相差一个力的量纲。所以反力、剪力、轴力 的影响线无 量纲，而弯矩影响线的量纲是长度。 D B yD D P=1 3 以自变量以自变量x x表示表示P=1P=1的作的作 用位置，通过平衡方程，建用位置，通过平衡方程，建 立反力和内力的影响线函数立反力和内力的影响线函数 并

3、作影响线并作影响线 0，a） 1、支座反力影响线 MA=0 RB=x/l 0，l MB=0 RA=（l-x）/l0，l 1 1 RB.影响线 RA.影响线 2、剪力影响线 C ab 当P=1在AC上移时取CB MC QC RB Y=0 QC = =（L-x）/l RB=x/l a/l 当P=1在CB上移时取AC RA QC MC Y=0 QC= （a，l RA b/l + QC.影响线 RA A RB. B 、弯矩影响线 MC=MCRBb=0 0,a MC=x/lb MC=MCRAa=0 ab/l MC.影响线 C Bb A Ca MC=（lx）laa,l x P=1 l 7.2 静力法作单跨

4、静定梁的影响线 4 a/l b/l + QC.I.L ab/l MC.I.L RB. B 1 1 RB.I.L RA.I.L C ab x P=1 l RA A 单跨静定梁的影响线特点单跨静定梁的影响线特点: 反力影响线是一条直线；反力影响线是一条直线； 剪力影响线是两条平行线；剪力影响线是两条平行线； 弯矩影响线是两条直线组弯矩影响线是两条直线组 成的折线。成的折线。 5 C ab x P=1 L ab/LM图 (kN.m) P=1kN C a b L ab/L MC.I.L (m) 弯矩影响线与弯矩图的比较 影响线 弯矩图 荷载位置 截面位置横坐标竖坐标yD 不变变 不变变 单位移动 荷载

5、位置 截面位置 yD D yD D 单位移动荷载移到D点时, 产生的C截面的弯矩 C点的固定荷载作用下, 产生的D截面的弯矩 6 RB=x/L 0,L 当P=1在AC上移动 QC=-x/L （0，a） 当P=1在CB上移动 QC=（L-x）/L C ab x P=1 L RA A B RB. 当P=1在EC上时： QC=-RB=-x/L （-L1，a） 当P=1在CF上时： QC=RA=（L-x）/L （a，L+L2） RB=x/L （-L1，L+L2） 伸臂梁的影响线 由平衡条件可得: 故欲作伸臂梁的反 力及支座间的截面内 力影响线，可先作简 支梁的影响线，然后 向伸臂上延伸。 + 1 -

6、RB.I.L a/L b/L - + -QC.I.L ab/L + _ _ Mc.I.L D 当P=1在D以里移动 时D截面内力等于零， 故伸臂上截面内力 影响线在该截面以外 的伸臂段上才有非零 值。MD.I.L - d 在D以外移动时D 截面才有内力 d + 1 QD.I.L L1 ab L L2 P=1 x ABC RA RB E F 7 d 8 5 d 4 3 d 16 15 横梁 纵梁 主梁 A B CE F RARB l=4d d/2 d/2 D P=1 MD影响线 P=1 P=1 D x P=1 P=1 d xd d x d xd d xdd M D 4 3 8 5 结点荷载下影响

7、线特点 1、在结点处，结点荷载与 直接荷载的影响线竖标相同。 2、相邻结点之间影响线为 一直线。 结点荷载下影响线作法 1、以虚线画出直接荷载 作用下有关量值的影响线。 2、以实线连接相邻结点 处的竖标，即得结点荷载作 用下该量值的影响线。 MD.I.L I.L.QCE 1/2 1/4 C MLI. 4 3d 7-3 结点荷载作用 下梁的影响线 8 l=6d A CBDEF G h 任一轴力影响线 在相邻结点之间为 直线。 反力影响线与简 支梁相同。 7-4静力法作桁架的影响线 9 P=1 7-4静力法作桁架的影响线 l=6d A CBDEF G acbdefg h 任一轴力影响线 在相邻结点

8、之间为 直线。 反力影响线与简 支梁相同。 1 1 Nbc RA RG Nbc=RA2d/h (P=1在C以右时） NCD 同理：NCD=+Mc0/h P=1 平行弦桁架弦杆 影响线可由相应梁 结点的弯矩影响线 竖标除以h得到。 上弦杆为压 下弦杆为拉。 P=1 4d/3/h I.L.NCD I.L.Nbc 4d/3 4d/3/h P=1P=1P=1P=1 或：Nbc=MC0/h Nbc=R4d/h (P=1在C以左时） 10 7-4静力法作桁架的影响线 l=6d A CBDEF G acbdefg h P=1 x ACBDEFG 2 2 RA RG RA RG P=1P=1 I.L.YbC

9、0 BCbC QY 1/6 2/3 NbC 平行弦桁架斜 杆轴力的YbC影响 线就是梁的节 间剪力QBC0影响线。 右下斜为正，右 上斜为负。 P=1在B以右时 YbC=RA P=1在B以左时 YbC=R 可概括为一个式子 11 7-4静力法作桁架的影响线 l=6d A CBDEF G acbdefg h P=1 x ACBDEFG RA RG RA RG P=1 P=1 0 CDcC QN NcC 1 1 1/2 1/3 I.L.NcC 1/6 竖杆轴力NcC影响 线就是负的梁的节 间剪力QCD0影响线。 作桁架影响线时要 注意区分是上弦承 载，还是下弦承载。 下承 上承 0 bccC QN

10、 2/3 I.L.NcC P=1在D以右时 NcCRA P=1在C以左时 NcCRG 可概括为一个式子 在CD之间为直线 12 7-4静力法作桁架的影响线 l=6d A CBDEF G acbdefg h I.L.NdD=0 下承 上承 I.L.NdD 1 P=1 A CBDEF G acbdefg h P=1 P=1P=1P=1P=1 任一轴力影响线在相邻结点之 间为直线。 平行弦桁架 弦杆影响线可由相应梁结点 的弯矩影响线竖标除以h得到。 上弦杆为压下弦杆为拉。 斜杆轴力的YbC影响线就是 梁的节间剪力QBC0影响线。右下 斜为正，右上斜为负。 竖杆轴力NcC影响线就是梁 的节间剪力QCD

11、0影响线。作桁架 影响线时要注意区分是上弦承载， 还是下弦承载。 静定结构某些量值的影响线， 常可转换为其它量值的影响线来 绘制。 13 绘制影响线的方法 静力法:列影响线方程,作影响线. 机动法:根据虚功原理,将作影响线的静力问 题转化为作位移图的几何问题。 机动法的优点：不经计算快速的绘出影响线的形状。 P=1 x ab l C P=1 Z(x) Z P(x) zP Pz xxZ xPxZ )()( 0)()( 1 1 机动法作影响线的步骤： 1）撤除与Z相应的约束，代以未知力。 2）使体系沿Z的正方向发生虚位移， 作出荷载作用点的竖向虚位移图，即Z的 影响线轮廓。 3）再令Z=1，定出影

12、响线竖标的值。 4）基线以上为正的影响线,基线以下 为负的影响线， 7-5机动法作影响线 14 b/l a/l I.L.QC P=1 C QC P=1 x ab l C P=1 C P=1 x ab l C 1 b ab/l I.L.MC 所作虚位移图要满足支承连接条件！ 15 1m3m1m3m1m2m2m1m P=1 HAKBECFDG 1 1m 1/4 3/4 9/4 9/2 9/4 I.L.MK I.L.Mk(m) 1/4 3/4 9/4 9/2 9/4 16 Qk 1 1/4 3/4 1/4 3/4 3/2 3/4 I.L.QK MC 1 1 I.L.QK I.L.MC 1m3m1m3

13、m1m2m2m1m P=1 HAKBECFDG 1/4 3/4 1/4 3/4 3/2 3/4 2 2 I.LMC(m) 1 17 1 2 1 RD 1 1.5 1m3m1m3m1m2m2m1m P=1 HAKBECFDG I.L.QE I.L.RD I.L.QE 1 2 1 I.L.RD 1.5 QE 18 1）求影响量 b/l a/l I.L.QC y1 P1 y2 P2 y3 P3 a）集中荷载 QC=P1y1+ P2y2 + P3y3 一般说来： Z= Piyi ab l C a b l q AB qdx b）均布荷载 d=ydx QC=q 正的影响线取正面积 ydxq B A yqd

14、xQ B A C wdq B A b/l a/l y x dx QCydxq B A 0 yqc 0 qctgxb qdtgxxb x dtgqbx 0 定理：当一组平行力作用在影 响线的同一直线段上时， 这组平行力产生的影响等 于其合力产生的影响。 I.L.QC y0 c 7-6影响线的应用 19 例：利用影响线求图示梁K截面的弯矩。 6 4 5 4 I.L.MK (m) MK=P1y1+ P2y2 +q11+q22 q33m =1004100550 1 2 3 2 1 630 1.51830 1925kN.m 6m3m6m6m3m 3m3m 100kN100kN 50kN/m 30kN/m

15、 K 30kN.m 301/3 1）利用影响线求各种固定荷载作用下的影响量 一般说来： Z= Piyi+qm tg 集中力偶影响梁计算 20 m b m/bm/b Z=m/ba+m/bc =m(ac)/b =m tg a c Z的影响线 集中力偶引起的Z值等于力偶矩乘以力偶所 在段的影响线的倾角正切。两者同向取负值。 21 2）利用影响线求荷载的最不利位置 如果荷载移动到某个位置，使某量达到最大值，则此位置 称为荷载最不利位置。 判断荷载最不利位置的一般原则：应当把数值大、排列密 的荷载放在影响线竖标较大的部位。 a）单个移动集中荷载： ab l P b）可按任意方式分布的移动均布荷载： I.

16、L.Z 求Z的最大值 求Z的最小值 c）行列荷载（间距不变的一系列移动荷载） 22 2m 12m K P1=P P2=2P 4m 5/3 4/3 1 2/3 I.L.MK(m) P1=P P2=2P MK x P1=P P2=2P 10P/3 8P/3 MK=P1y1+P2y2 =P15/3+P21=11P/3 11P/3 P1=P P2=2P 2P/3 P1=P P2=2PP1=PP2=2P x MK的综合 影响线 P1=P P2=2PP1=PP2=2P 满足这种条件的位于影响线顶点的集中力叫临界荷载，与此对 应的行列荷载位置，称为临界位置。 3）临界荷载不只一个，但也并非行列荷载中的每一个

17、荷载都是 临界荷载。 1) 当行列荷载移动时,MK按折线规律变化。 2) MK的极值表现为尖点值。其特点是：a）有一集中力Pcr位于 影响线顶点上。b)将行列荷载自此向左或向右稍移一点, MK的值均 减少。 23 Z影响线 P1P2P3P4P5P6 R1R2 R3临界荷载 的判断条件 3 y2 y 1 y 1 yD 2 yD 3 yD 10 20 30 P1=P2=P3=P4=P5=90kN P2P3P4P1P5 q=37.8kN/m 1.51.51.51.51.530m 8m4m6m 1.0 0.75 1 3 2 Z影响线 P2P3P4P1P5 q=37.8kN/m 1.51.51.51.5

18、1.530m tg1=1/8tg2=0.25/4tg3=0.75/6 荷载稍向右移: R1=270kN R2=90237.81=217.8kN R3=37.86=226.8kN Ritgi=2701/8+217.8(0.25/4)+226.8(0.75/6)=8.20 荷载稍向左移: R1=360kN R2=9037.81=127.8kN R3=37.86=226.8kN kN455 2 675. 0 1 2 75. 081. 0 8 .37 906. 090Z1 8 5 . 6 8 5 8 5 . 3 90 所以P4是个临界荷载。 （中活载） 0.906 8 5 . 6 8 5 8 5 .

19、3 0.81 26 当影响线为三角形时： Pcr R左R右 tg=c/a tg=c/b 荷载右移： c ab 荷载左移： b R a PR b RP a R cr cr 右左 右左 当影响线为三角形时，临界位 置的特点是：有一集中力Pcr在 影响线的顶点，将Pcr计入那边 那边荷载的平均集度就大。 如Z的达极大值 iitg R=R左tg(PcrR右)tg0 =(R左 Pcr) tgR右tg0 iitg R 27 15m25m C 70kN1305010050100 4m5m4m15m4m 25 200 15 13070 15 70 25 200130 15 150 25 220130 15m2

20、5m C MC影响线(m) 9.38 6.25 7.88 0.75 3.75 2.25 MC=1003.75+506.25+1309.38 +707.88+1002.25 +50 0.75 2720kN.m Mcmax=2720kN.m 130kN是临界荷载 29 1）简支梁的包络图： 将移动荷载作用下 简支梁中各个截面产生 的最大（小）内力值用 曲线连接起来，得到的 图形称为简支梁的内力 包络图。 P x= MCmax=(l- )P/l 0.25Pl 0.21Pl 0.09Pl M包络图 C 12m (l- )/l MC影响线 单个集中力 7-7简支梁的包络图和绝对最大弯矩 30 12m (

21、l- )/l M4影响线 P3 P4 P1 P2 3.53.51.5 P1=P2=P3=P4=82kN 123456789 10 0 M4max=559kN.m 559 M包络图（kN.m) Q包络图（kN) 212 153 94.3 41.7 574 578 弯矩包络图动力系数+M静 =据以设计的弯矩包络图 行列荷载 31 弯矩影响线与弯矩图的比较 影响线 弯矩图 荷载位置 截面位置横坐标竖坐标yD 不变变 不变变 单位移动 荷载位置 截面位置 单位移动荷载移到D点时, 产生的C截面的弯矩 C点的固定荷载移作用下, 产生的D截面的弯矩 弯矩 包络图 变变截面位置 在实际移动荷载作用下, D截

22、面可能产生的最大弯矩 与弯矩包络图的比较 32 2）简支梁的绝对最大弯矩：移动荷载作用下简支梁 各个截面产生的最大弯矩中的最大者，称为简支梁的绝 对最大弯矩。它是荷载移动过程中，简支梁中可能产生 的最大弯矩。 绝对最大弯矩与两个未知因素有关： （1）绝对最大弯矩发生在哪个截面？ （2）行列荷载位于什么位置发生绝对最大弯矩？ 计算依据：绝对最大弯矩必然发生在某一集中力的作用点。 计算途径：任取一个集中力Pcr求行列荷载移动过程中Pcr作用 点产生的弯矩最大值Mmax计算公式，利用这个公 式求出每个集中力作用点的弯矩最大值其中 最大 的，就是绝对最大弯矩。 经验表明：绝对最大弯矩常发生在，梁中央截

23、面弯矩取得最 大值的临界荷载下面。 33 P1PcrPn-1 Pn x R a 推导Pcr弯矩最大值的算式 由 MB0 cr Mx l axl R A l axl RR axl l R 0)2( dx dM 0 cr MRAxxM )( RA al x 22 （79） crmxa M l al RM 1 22 2 （710） l/2l/2 a/2 a/2 Mcr=Pcr以左梁上荷载对Pcr 作用点的力矩之和。 （79）说明Pcr作用点的弯矩为 最大时，梁的中线正好平分Pcr与R 的间距。 Pcr与R的间距a可由合力矩定理确 定。R在Pcr 右a为正。 注意R是梁上实有荷载。安排Pcr 与R的位置时，有些荷载进入或离 开梁，这时应重新计算合力R的值 和位置。 34 例7-9 (P129) 12m P3 P4 P1 P2 3.