竞赛课件8：功与能

1、 利用图象求功之方法适用于当力对位移的关利用图象求功之方法适用于当力对位移的关 系为线性时系为线性时;或在表示力对位移关系的或在表示力对位移关系的F-s示功图示功图 中中F(s)图线与图线与s轴围成的图形轴围成的图形“面积面积”有公式可有公式可 依时依时;因为在因为在F-s示功图中，这种示功图中，这种“面积面积”的物理的物理 意义就是功的大小意义就是功的大小 方法方法 A A s F 0 x W 锤子打木桩，锤每次从同一高度落下，每次均有锤子打木桩，锤每次从同一高度落下，每次均有80%的能的能 量传给木桩，且木桩所受阻力量传给木桩，且木桩所受阻力f与插入深度与插入深度x成正比，试求木桩每次打入

2、的深度成正比，试求木桩每次打入的深度 比若第一次打击使木桩插入了全长的比若第一次打击使木桩插入了全长的1/3，全部插入须锤击多少次？，全部插入须锤击多少次？ 本题中的阻力本题中的阻力f为一与位移为一与位移x成正比的变力，即成正比的变力，即f=kx 示功图示功图 x F 0 x1x2x3 l W0 W0 W0 图中各阴影图中各阴影“面积面积” 表示第表示第1、2、 3次锤击中，木桩克服阻力作次锤击中，木桩克服阻力作 的功，数值上等于锤传给木桩的的功，数值上等于锤传给木桩的 能量，设为能量，设为W0 由图由图 2222 1230000 23 n xxxxWWWnW : : : : : : : :

3、123 123 n xxxxn : : : : : : : : 123 12321 n nxxxnx : : :- -: : : : : :1 1 当当xn=l时，由时，由 1 1 n xxn : : : 1 3 l l n 9n 次次 某质点受到某质点受到F=6x2的力的作用，从的力的作用，从x=0处移处移 到到x=2.0 m处，试求力处，试求力F做了多少功？做了多少功？ 本题中的变力本题中的变力F与位移与位移x成成F=6x2关系，关系，F-x图线为抛物线图线为抛物线 示功图示功图 24 x/m F/N 0 2 W 图中图中 “面积面积” 表示表示F力作的功力作的功 “面积面积” 由阿基米德

4、公式由阿基米德公式 2 3 S 弓弓 底底高高 由示功图得由示功图得F力作的功力作的功 1 2 WSS 矩矩弓弓 12 224424J 23 16 J J 如图所示，一质量为如图所示，一质量为m，长为，长为l的柔软绳索，一部分平直地放在的柔软绳索，一部分平直地放在 桌面上，另一部分跨过桌面边缘的光滑定滑轮下垂，柔绳与桌面间的摩擦因数为桌面上，另一部分跨过桌面边缘的光滑定滑轮下垂，柔绳与桌面间的摩擦因数为 柔绳能由静止开始下滑，求下垂部分长度至少多长？由这一位置开始运动，柔绳能由静止开始下滑，求下垂部分长度至少多长？由这一位置开始运动， 柔绳刚离开桌面时的速度多大？柔绳刚离开桌面时的速度多大？

5、设柔绳恰由静止开始下滑时下垂部分长度为设柔绳恰由静止开始下滑时下垂部分长度为x0，则由，则由 00 mm xglxg ll 0min 1 lx 柔绳恰由静止开始下滑至以柔绳恰由静止开始下滑至以v离开桌面，由动能定理离开桌面，由动能定理 2 1 2 Gf WWmv 其中，重力功等于绳重力势能减少其中，重力功等于绳重力势能减少 0 0 22 G xmlm Wlgx g ll 22 0 2 mg lx l 摩擦力为线性变力：摩擦力为线性变力： f m Fxg l 示功图示功图 x Ff 0 l-x0 0 m lxg l Wf x 2 0 2 f mg lx l W 222 0 02 g lx g l

6、x v ll 1 v gl 一质点的质量为一质点的质量为m，被固定中心排斥，斥力的大小，被固定中心排斥，斥力的大小 F=mr，其中，其中r为质点离开此中心的距离在开始时，为质点离开此中心的距离在开始时，r0=a，v0=0， 求质点经过位移求质点经过位移a时所达到的速度大小时所达到的速度大小 斥力为线性变化力！斥力为线性变化力！ ma 示功图示功图 r F 0 a2a 2ma WF 对示功图求梯形阴影对示功图求梯形阴影“面积面积” 2 3 2 1 2 2 Wm aamaa 对质点经过位移对质点经过位移a的过程，由动能定理的过程，由动能定理 22 31 22 mamv 3va 跳水运动员从高于水面

7、跳水运动员从高于水面H10 m的跳台自由落下，运动员的质的跳台自由落下，运动员的质 量量m60 kg，其体形可等效为长度，其体形可等效为长度l1.0 m、直径、直径d0.30 m的圆柱体，略去空气的圆柱体，略去空气 阻力，运动员入水后水的等效阻力阻力，运动员入水后水的等效阻力F作用于圆柱体下端面，作用于圆柱体下端面，F量值随入水深度量值随入水深度y变变 化如图，该曲线近似为椭圆的一部分，长轴和短轴分别与化如图，该曲线近似为椭圆的一部分，长轴和短轴分别与OY和和OF重合，为了确保重合，为了确保 运动员绝对安全，试计算水池中水的运动员绝对安全，试计算水池中水的h至少应等于多少？至少应等于多少？ 5

8、mg/2 Y F 0 h 对全过程运用动能定理对全过程运用动能定理: : 00mg HhWW 浮浮阻阻 其中阻力功根据示功图为四分之一个椭圆其中阻力功根据示功图为四分之一个椭圆 “面积面积” ” : : 示功图示功图 W阻 阻 15 42 mg Wh 阻阻 入水过程中，浮力随入水深度入水过程中，浮力随入水深度y作线性变化作线性变化 2 4 d Fgy 浮浮 示功图示功图 Y F浮 浮 0 l 2 4 gld 2 1 24 gl d Wl 浮浮 2 42 dl Wglhl 浮浮 2 15 100 428 d mhlhmh 1603 m 161 h 4.9 m 如果在某一位移区间，力随位移变化的关

9、系如果在某一位移区间，力随位移变化的关系 为为F=f(s) ，求该变力的功通常用微元法，即将位，求该变力的功通常用微元法，即将位 移区间分成移区间分成n（n）个小区间）个小区间s/n，在每个小，在每个小 区间内将力视为恒定，求其元功区间内将力视为恒定，求其元功Fi s/n ，由于功，由于功 是标量，具有是标量，具有“可加性可加性”，那么总功等于每个，那么总功等于每个 小区间内元功之代数和的极限，即变力在这段小区间内元功之代数和的极限，即变力在这段 位移中所做的功为：位移中所做的功为： 方法方法 B B 1 lim n i n i WW 在数学上，确定元功相当于给出数列通项在数学上，确定元功相当

10、于给出数列通项 式，求总功即求数列式，求总功即求数列n项和当项和当n时的极限时的极限 半径等于半径等于r的半球形水池，其中充满了水，把池内的半球形水池，其中充满了水，把池内 的水完全吸尽，至少要做多少功？的水完全吸尽，至少要做多少功？ r ri 沿着容器的竖直直径，我们将水池内的水均匀细分成沿着容器的竖直直径，我们将水池内的水均匀细分成n 层，每一元层水的高度层，每一元层水的高度 r h n r 1 i 2 每一层水均可看作一个薄圆柱，水面下第每一层水均可看作一个薄圆柱，水面下第i层层 水柱底面的半径水柱底面的半径 这层水的质量这层水的质量 2 2 i r rri n 2 2 i rr mri

11、 nn 将这层水吸出至少应做的元功是将这层水吸出至少应做的元功是 2 2 i rrr Wrig i nnn 将池水吸尽至少要做的功是将池水吸尽至少要做的功是 3 4 24 1 lim n i n i ii WWg r nn 43333 24 11 lim1 2 3123 n g rnn nn 2 2 4 24 11 11 lim 24 n n nnn gr nn 4 1 g 4 r 一个质量为一个质量为m的机动小车，以恒定速度的机动小车，以恒定速度v在半径为在半径为 R的竖直圆轨道绕的竖直圆轨道绕“死圈死圈”运动已知动摩擦因数为运动已知动摩擦因数为，问在小车从，问在小车从 最低点运动到最高点过

12、程中，摩擦力做了多少功？最低点运动到最高点过程中，摩擦力做了多少功？ 小车沿竖直圆内轨匀速率运动到最小车沿竖直圆内轨匀速率运动到最 高点的过程中，由于轨道支持力是变力，高点的过程中，由于轨道支持力是变力， 故而摩擦力为一随位置变化的力！故而摩擦力为一随位置变化的力！ x y O A B 当小车运动在当小车运动在A A处元圆弧段时处元圆弧段时 n mg NA A 2 sin AA v Nmgm R AA fN 2 sin A v mg R 摩擦力在摩擦力在A A处元功为处元功为 2 sin AA vR Wm g Rn 当小车运动在与当小车运动在与A A关于关于x轴对称的轴对称的B B处元圆弧段时

13、处元圆弧段时 B A mg NB B 2 sin BB v Nmgm R n 续解续解 i i n BB fN 2 sin B v mg R 摩擦力在摩擦力在B B处元功为处元功为 2 sin BB vR Wmg Rn 小车在关于水平直径对称的轨道两元段上摩擦力元功之和为小车在关于水平直径对称的轨道两元段上摩擦力元功之和为 2 2 iAB vR WWWm Rn 查阅查阅 摩擦力在半圆周轨道上的总功摩擦力在半圆周轨道上的总功/2 2 1 1 lim2 n n i Wmv n 2 mv 计算水平直径以下段摩擦力的功：计算水平直径以下段摩擦力的功： 2/2 1 limsin n n i vR Wmg

14、i Rnn 下下 续解续解 2/2/2 11 limsin nn n ii vRR mmgi Rnnn 2/2/2 11 limsin nn n ii vRR Wmmgi Rnnn 下下 2/2 1 lims 2 in n n i mgRi nn nmv n 2 lim sinsin2sin 22 n nmvn mgR nnnnn sin 1 sinsin 22 sin 2 n n ann nn S 三三角角 列列前前和和数数项项 2 2 sinsin 44 lim sin 2 2 n nn nn mgR n n n mv n 2 2 2sinsin 44 lim sin 2 2 2 n n

15、nmv n n nn mgR n n 2 2 W mv mgR 下下 水平直径以上段摩擦力的功：水平直径以上段摩擦力的功： 2 2 W mv mgR 上上 将板沿板长均分为将板沿板长均分为n（n）等份等份 fi M Fg n 将木板在水平地面上绕其一端转动角将木板在水平地面上绕其一端转动角，求所需，求所需 要做的功木板长度为要做的功木板长度为L，质量为，质量为M，木板与地面之间的动摩擦因，木板与地面之间的动摩擦因 数为数为 L i n 元摩擦力做功的位移为元摩擦力做功的位移为 1 2i i L xi n 摩擦力对摩擦力对i段做的元功为段做的元功为 i M g i nn W L 则对木板的功则对

16、木板的功 1 lim n n i ML Wg i nn 2 1 1 lim n n i MgLi n 2 1 1 lim 2 n n n MgL n 1 2 MgL 各元段摩擦力为各元段摩擦力为 i x 从一个容器里向外抽空气，直到压强为从一个容器里向外抽空气，直到压强为p容器上容器上 有一小孔，用塞子塞着现把塞子拔掉，问空气最初以多大速率冲有一小孔，用塞子塞着现把塞子拔掉，问空气最初以多大速率冲 进容器？设外界大气压强为进容器？设外界大气压强为p0，大气密度为，大气密度为 p p0 x s 设小孔截面积为设小孔截面积为s，打开塞子，打开塞子 后孔外侧厚度为后孔外侧厚度为 x的一薄层空气的一薄

17、层空气 在内、外压强差作用下冲入容器，在内、外压强差作用下冲入容器， 获得速度获得速度v0，由动能定理由动能定理: : 2 0 1 2 PP SxSx v 0 0 2 p v p 这种求功方法依据功对能量变化的量度关系，这种求功方法依据功对能量变化的量度关系， 只须了解初、未能量状态，得到能量的增量便只须了解初、未能量状态，得到能量的增量便 是相应的功量是相应的功量 方法方法 C C WE 如图所示如图所示,一质量分布均匀的粗绳长一质量分布均匀的粗绳长2a，质量为，质量为2m， 两端悬于水平天花板上相距为两端悬于水平天花板上相距为a的两点而悬垂静止，其重心位于的两点而悬垂静止，其重心位于 天花

18、板下方天花板下方b处处.现施一力于绳之最低点现施一力于绳之最低点C并将绳拉直至并将绳拉直至D点，求拉点，求拉 力所做的功力所做的功 D 3 cos30 24 a ha 3 22 4 p Emg bhmg ba 由几何关系拉直后两段绳的重心位置距天花由几何关系拉直后两段绳的重心位置距天花 重力势能增加了重力势能增加了 由功能原理，拉力功为由功能原理，拉力功为 3 2 4 p Wmg baE 由于拉力做功，使绳之重心高度变化因而重力势由于拉力做功，使绳之重心高度变化因而重力势 能变化，重力势能的增量即为所求拉力功量能变化，重力势能的增量即为所求拉力功量 C h h 一质量为一质量为m的皮球，从高为

19、的皮球，从高为h处自由下落（不计空气处自由下落（不计空气 阻力），反弹起来的高度为原来的阻力），反弹起来的高度为原来的3/4，要皮球反弹回，要皮球反弹回h高处，求高处，求 每次拍球需对球做的功每次拍球需对球做的功 在球与地面接触期间，地面对球的弹力对球做负功，在球与地面接触期间，地面对球的弹力对球做负功， 使球的动能减少地面对球的弹力功是变力功使球的动能减少地面对球的弹力功是变力功! ! 牛顿碰撞定律：牛顿碰撞定律：若两球碰撞前速度依次为若两球碰撞前速度依次为v10、v20，碰，碰 撞后速度为撞后速度为v1、v2，则碰撞后两者的分离速度，则碰撞后两者的分离速度v2 v1与与 碰撞前两者的接近速

20、度碰撞前两者的接近速度v20 v10成正比，比值成正比，比值e称恢复称恢复 系数（或反弹系数），比值由两者的质料决定，即系数（或反弹系数），比值由两者的质料决定，即 21 2010 vv e vv 从从h高度自由下落再反弹高度自由下落再反弹 的全过程的全过程,地面弹力功地面弹力功W1: 1 31 44 Wmghmghmgh 从从h高度拍下再反弹原高高度拍下再反弹原高 的全过程的全过程,地面弹力功地面弹力功W2: 2 WWmghmgWh 拍拍拍拍 续解续解 从从h高下落未速度即与地接近速度高下落未速度即与地接近速度: 2 1 2 mghmv 自自接接近近 由由 2vgh 自自接接近近 2 1 2

21、 Wmghmv 拍拍拍拍接接近近 由由 2 2 W gh m v 拍拍 拍拍接接近近 从地面反弹的起跳速度即与地分离速度从地面反弹的起跳速度即与地分离速度: 2 31 42 h mgmv 自自分分离离 由由 3 2 gh v 自自分分离离 2 1 2 mghmv 拍拍分分离离 由由2vgh 拍拍分分离离 同一球与同一地面碰撞同一球与同一地面碰撞,恢复系数相同恢复系数相同: v v v v e 自自接接近近 拍拍分分离离自自分分离离 拍拍接接近近 2 2 2 3 2 2 gh W gh h h g g m 拍拍 1 3 Wmgh 拍拍 如图所示，有两个薄壁圆筒半径为如图所示，有两个薄壁圆筒半径为

22、R的圆筒绕自己的轴以角的圆筒绕自己的轴以角 速度速度转动，而另一个圆筒静止使两圆筒相接触并且它们的转轴平行，过一会儿，转动，而另一个圆筒静止使两圆筒相接触并且它们的转轴平行，过一会儿， 由于摩擦两圆筒开始作无滑动的转动问有多少机械能转换成内能？（两圆筒的由于摩擦两圆筒开始作无滑动的转动问有多少机械能转换成内能？（两圆筒的 质量分别为质量分别为m1、m2） m1 R m2 1 根据题意，一段时间内根据题意，一段时间内m1线速度从线速度从 R 1R,而而m2线速度从线速度从0 2r= 1R 这种变化是因为两者间有大小这种变化是因为两者间有大小 相等的一对力作用，这对力做功使相等的一对力作用，这对力

23、做功使 系统机械能系统机械能( (动能动能) )转换成内能转换成内能 ! ! 对系统对系统,由动能定理由动能定理: 22 1121 11 22 QmRmmR 又又,由牛顿第二、三定律由牛顿第二、三定律,一对力大小相等一对力大小相等: 1 1 211122 RRR FmFm tt 1 1 1 2 m mm 2212 12 2 mm R mm 功是力的空间积累作用，能是对物体运动的一种量功是力的空间积累作用，能是对物体运动的一种量 度功的作用效应是使物体的能量状态发生变化，做功度功的作用效应是使物体的能量状态发生变化，做功 的过程就是物体能量转化的过程，转化了的能量都可以的过程就是物体能量转化的过

24、程，转化了的能量都可以 由做功的多少来量度，这是我们对功与能之间关系的基由做功的多少来量度，这是我们对功与能之间关系的基 本认识，是我们从能量角度解决运动问题的依据本认识，是我们从能量角度解决运动问题的依据 功能关系基本认识功能关系基本认识 功能关系的具体认识功能关系的具体认识 功能对应功能对应 规律规律 借助功与能的具体对应关系，对运借助功与能的具体对应关系，对运 动的功的量度问题作出正确的操作动的功的量度问题作出正确的操作. . 确定有哪些力对研究对象做了正功或负功，以代数确定有哪些力对研究对象做了正功或负功，以代数 和的形式完成定理中等号左边对合外力的功的表述；和的形式完成定理中等号左边

25、对合外力的功的表述； 分析所研究过程的初、未两状态的动能，完分析所研究过程的初、未两状态的动能，完 成等号右边对动能变化的表述成等号右边对动能变化的表述 ； 选定研究的对象与过程选定研究的对象与过程; 示例示例 0ktk WEE 0gpgpgt WEE 0Qpqpqt WEE 重力功量度重力势能的变化：重力功量度重力势能的变化： 外力外力（可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或其它可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或其它 力力）做的总功量度动能的变化：做的总功量度动能的变化： 弹力弹力功量度弹性势能的变化：功量度弹性势能的变化： 动能定理动能定理 引力引力功量度引力势能的变化：功量度

26、引力势能的变化： 0GpGpGt WEE 0t WEE 非非 非重力弹力功量度机械能的变化：非重力弹力功量度机械能的变化： 势能定理势能定理 功能原理功能原理 电场力功量度电势能的变化：电场力功量度电势能的变化： 0Qpepet WEE （W非 非可以是摩擦力功、电场力功、安培 可以是摩擦力功、电场力功、安培 力功或其它非重力、弹簧弹力的功力功或其它非重力、弹簧弹力的功） 返回返回 如图示，一水塔的蓄水箱底离地面的高度如图示，一水塔的蓄水箱底离地面的高度H0=20 m， 其横断面是半径其横断面是半径R=2 m的圆储水深的圆储水深h=1 m，如果用装在高，如果用装在高H1=5 m 处、截面积为处

27、、截面积为2 cm2的水龙头放水，问需要多久才能将水放完？的水龙头放水，问需要多久才能将水放完？ 11 nn i i iii Q tt Sv 根据题意，水箱中的水从底部截面积为根据题意，水箱中的水从底部截面积为S的的 小孔流出，若流速为小孔流出，若流速为vi，则时间，则时间ti内的水流量内的水流量 Qi= vi ti S；总储水全部流尽的时间应为；总储水全部流尽的时间应为 i Q 2 h R n i v 2 i gh i h 01 2 h gHhHi n 每层水放出时间的通项式为每层水放出时间的通项式为 2 01 2 R h n h gHhHiS n 2 1 01 lim 2 n n i R

28、h n t h g HhHiS n 全部水箱储水放尽的总需时为全部水箱储水放尽的总需时为 小孔流小孔流 速速 续解续解 1 i 2 n 2 1 01 11 lim 2 n n i R h n Sgh HhHi n 2 1 01 01 11 lim 2 1 n n i R h n Sg HhH h i n HhH 1 2 1 11 lim1 16 2 n n i i nn Sg 1 11 1xx x 1 111 lim1 216 2 n n i i nn Sg 2 1 11 1lim12 32 2 n n i n nSg 1 2 nn 1 1 64 2Sg 4 65 64 2 1020 3 3.

29、6 10 s 示例示例 查阅查阅 P0+P水 水 P0 设小孔处一小片厚设小孔处一小片厚x、面积面积S的液的液 片片, ,在内外压力之合力作用下获得在内外压力之合力作用下获得 速度速度v v而离开小孔，而离开小孔，由动能定理由动能定理: : 2 1 2 P SxSx v 水水水水 PgH 水水水水 2vgH P0 2 0 1 2 PP SxgH SxSx v 水水水水 2 0 1 2 P PgHv 水水水水 0 2 P P vgH 水水 返回返回 P P+P水 水 质量为质量为m的小球以某一初速度竖直上抛，若运动中所的小球以某一初速度竖直上抛，若运动中所 受阻力受阻力Ff=kv2，最大阻力为重

30、力的，最大阻力为重力的0.44倍，试求小球上升的最大高度倍，试求小球上升的最大高度 H及落回抛出点时的速度及落回抛出点时的速度vt 本题通过元过程的动能定理本题通过元过程的动能定理, ,用微元法求得终解用微元法求得终解! ! 本题研究过程中有重力功与阻力功本题研究过程中有重力功与阻力功, ,其中阻力功其中阻力功 为耗散功为耗散功, ,且为一按指数规律变化的力且为一按指数规律变化的力! ! 1 lim1 x x e x 取上升过程中的某一元过程：该过程小球上升了高度H/n(n )，速度 从vi减少为vi+1，各元过程中的阻力可视为不变为 2 fii Fkv 2 ii Fmgkv 合外力 根据动能

31、定理，对该元过程有 即 222 1 1 2 iii H mgkvm vv n 对该式变形有 22 1 2 2 ii i mgkvmgkvkH nm mgkv 2 1i mgkv 22 1 2 2 ii i vvH nm m gkv 2 1 2 2 1 i i mgvkH nm mgkv 续解续解 2 1 2 2 1 i i mgkvkH nm mgkv 2 1 2 2 1 i i mgkvkH nm mgkv 由由知知 在各相同的上升高度在各相同的上升高度H/n微元中，合外微元中，合外 力大小成等比数列递减、因而动能的增力大小成等比数列递减、因而动能的增 量是成等比数列递减的，其公比为量是成等

32、比数列递减的，其公比为 则则 2 1 2 2 1 n n i i mgkvkH nm mgkv 2 22 1 nmkH kHmkH nm 对上式两边取极限: 2 2 2 1 2 2 limlim1 nmkH n kHm i nn i mgkvkH nm mgkv 0.44mg 0 2 1 1.44 kH m e ln1.44 2k H m 同理,对下落过程由 222 1 1 2 iii H mgkvm vv n 2 1 2 2 1 i i mgkvkH nm mgkv 对此式两边取n次方当n极限: 续解续解 2 2 2 1 2 2 limlim1 nmkH n kHm i nn i mgkvk

33、H nm mgkv 0 2 t kv 6 ln 5 m k 2 2 kH m t mg e mgkv 2 ln 2 t mmg H k mgkv 2 1.44 t mg mgkv 0.44 1.44 t mg v k 2 0 0.44vgkm 由题给条件 0 5 6 t vv 小球落回抛出点时的速度是抛出时速度的六分之五小球落回抛出点时的速度是抛出时速度的六分之五 查阅查阅 R 一质点在光滑的固定半球面上距球心高度为一质点在光滑的固定半球面上距球心高度为H的任意的任意 点点P，在重力作用下由静止开始往下滑，从，在重力作用下由静止开始往下滑，从Q点离开球面，求点离开球面，求PQ两两 点的高度差点

34、的高度差h 本题除重力外无非保守力的功本题除重力外无非保守力的功, ,机械能守恒机械能守恒! ! 设球半径为设球半径为R R P Q H mg v h 由机械能守恒: 2 1 2 mghmv Q点动力学方程为: 2 sin v mgm R 由几何关系: sin Hh R 3 h H 2HRmgh mg RR 若质点从球顶部无初速滑下，则可沿球面滑下若质点从球顶部无初速滑下，则可沿球面滑下R/3的高度，释放高的高度，释放高 度度H越小，沿球面滑下的高度越短这是一个有趣又有用的模型越小，沿球面滑下的高度越短这是一个有趣又有用的模型 x y 如图甲所示，把质量均为如图甲所示，把质量均为m的两个小钢球

35、用长为的两个小钢球用长为2L的线连接，的线连接， 放在光滑的水平面上在线的中央放在光滑的水平面上在线的中央O作用一个恒定的拉力，其大小为作用一个恒定的拉力，其大小为F，其方向沿，其方向沿 水平方向且与开始时连线的方向垂直，连线是非常柔软且不会伸缩的，质量可忽水平方向且与开始时连线的方向垂直，连线是非常柔软且不会伸缩的，质量可忽 略不计试求：当两连线的张角为略不计试求：当两连线的张角为2时，如图乙所示，在与力时，如图乙所示，在与力垂直的方向上垂直的方向上 钢球所受的作用力是多少？钢球第一次碰撞时，在与力钢球所受的作用力是多少？钢球第一次碰撞时，在与力垂直的方向上，钢球垂直的方向上，钢球 的对地速

36、度为多少？经过若干次碰撞，最后两个钢球一直处于接触状态下运动，的对地速度为多少？经过若干次碰撞，最后两个钢球一直处于接触状态下运动， 试求由于碰撞而失去的总能量为多少？试求由于碰撞而失去的总能量为多少？ O F O 甲甲 F 乙乙 在如示坐标中分解力在如示坐标中分解力F F F 在与在与F F垂直方向上线对钢球的力大小为垂直方向上线对钢球的力大小为 tan 2 y F F 设钢球第一次碰撞时沿设钢球第一次碰撞时沿F方向速度为方向速度为vx， 垂直于垂直于F方向速度为方向速度为vy，设力，设力F的位移为的位移为x， 由动能定理由动能定理 2222 1 2 2 xyxy Fxm vvmvmv 在x

37、方向上: 2 22 2 x v Fmam xL 2 x F xL v m y v FL m 达到终态时，两球达到终态时，两球vy=0=0，F F总位移总位移X，有，有 2 1 2 2 X FXmvE 2 2 F FXmXLE m FEL y F 军训中，战士距墙军训中，战士距墙S0以速度以速度v0起跳，如图所示，再用脚蹬墙面起跳，如图所示，再用脚蹬墙面 一次使身体变为竖直向上的运动以继续升高，墙面与鞋底之间的静摩擦因数为一次使身体变为竖直向上的运动以继续升高，墙面与鞋底之间的静摩擦因数为 求能使人体重心有最大总升高求能使人体重心有最大总升高Hmax的起跳角的起跳角 S0 v0 设抵达墙时战士速

38、度为设抵达墙时战士速度为v，蹬墙后速，蹬墙后速 度为度为v, ,各矢量间关系如示，各矢量间关系如示， v gt 1 tan v0 v v v 从起跳至上升至最高从起跳至上升至最高H H处，由机械能守恒处，由机械能守恒: : 22 10 1 2 mghm vv 2 2 1 2 mgh mv 222 0 2 H vvv g 22 2 00 cossinvvvgt 由矢量图所示关系由矢量图所示关系: : 00 cossinvvvgt 0 0 cos s t v 其其中中 2 2 00 1 sincos2 2 Hvgs g 2221 00 11 1costan2 2 vgs g 当当时时 1 1 ta

39、n 22 0 0max 1 2 v Hs g 质量为质量为M、长为、长为l的板放在冰面上，在板的一端坐着质量为的板放在冰面上，在板的一端坐着质量为m的的 小猫它要跳到板的另一端，问小猫对冰面的最小速度小猫它要跳到板的另一端，问小猫对冰面的最小速度v0min应为多少？小猫为使跳应为多少？小猫为使跳 到板的另一端所消耗的能量最少，到板的另一端所消耗的能量最少， 问它的初速度问它的初速度v0应该与水平面成多大角应该与水平面成多大角？ 猫消耗能量猫消耗能量E耗 耗， ，使猫及木板获得初动能：使猫及木板获得初动能： 22 0 11 22 EmvMV 耗耗 起跳时间t内m与M间水平方向相互作用力大小相等，

40、故有 0 cosvV mM tt 0 cosm Vv M 猫从跳离板一端到落至板另一端历时由竖直方向分运动得 0 2sinv t g 这段时间内猫对板的位移应满足 0 coslvV t 0 0 cos2sinMmv v Mg 2 0 2sincos Mgl v Mm 22 2 2 cos 2sincos mMgl V MMm mgl EMmM Mm cottan 4 耗耗 利用基本不利用基本不 等式性质等式性质 ： 当当时时tan Mm M mglM m E M min 2 耗耗 如图所示，厚度不计的圆环套在粗细均匀、长度为如图所示，厚度不计的圆环套在粗细均匀、长度为L的棒的上端，的棒的上端，

41、 两者质量均为两者质量均为m，圆环与棒间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，大小为一常数，圆环与棒间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，大小为一常数， 为为kmg（k1）棒能沿光滑的竖直细杆）棒能沿光滑的竖直细杆AB上下滑动，棒与地碰撞时触地时间极上下滑动，棒与地碰撞时触地时间极 短，且无动能损失设棒从其下端距地高度为短，且无动能损失设棒从其下端距地高度为H处由静止自由下落，与地经处由静止自由下落，与地经n次碰次碰 撞后圆环从棒上脱落分析棒第二次碰地以前的过程中，环与棒的运动情况，求撞后圆环从棒上脱落分析棒第二次碰地以前的过程中，环与棒的运动情况，求 出棒与环刚达到相对静止时，棒下端距地高度出棒与环刚达到

42、相对静止时，棒下端距地高度h；求出；求出n、k、L、H四个量应满四个量应满 足的关系足的关系 由机械能守恒，棒第一次碰地以前速度由机械能守恒，棒第一次碰地以前速度 A B L H 2gH 棒与地相碰后瞬时速度大小不变、方向向上，棒与地相碰后瞬时速度大小不变、方向向上， 1kg 向向下下 2gH 1kmg 加速度为加速度为 环速度 2gH 2gH 环加速度 1kg 向向上上 mg kmg 棒与环相对初速度 2 2vgH 相相 向向下下相对加速度 2akg 相相 向向上上 棒与环相对静止时棒与环相对静止时 2 1 2 2 v H x ak 相相 相相 相相位位移移对对历历时时 2 2 v H t

43、ak g 相相 相相 环与棒的共同速度环与棒的共同速度 1 1 2 2VgHk gH gt k 从棒从地面向上到与环相对静止的过程中，一对摩擦从棒从地面向上到与环相对静止的过程中，一对摩擦 力做负功，重力分别对环、棒做负功，力做负功，重力分别对环、棒做负功，由动能定理：由动能定理： 2 2 111 11 222 22 kmg xmgh mg h xmVmgH 续解续解 2 1 h k H k 2 2 22211 222 22 gHHH kmgmghmg hmmgH kkk 棒与环一起以棒与环一起以V1自由下落自由下落h至第二次落地至第二次落地时速度仍由机械能守恒时速度仍由机械能守恒 22 12

44、2 2 1112 222 22 kgH mVmgHmvv k k 此后棒与环相对滑动 2 22 2 2 2 2 2 22 2 2 gH Hv x akkg k 相相 则若在碰则若在碰n次后环脱离棒，次后环脱离棒，n、k、L、H四个量应满足的关系：四个量应满足的关系： 23123 11111111 22 nn HLH kk kkkkkk 1 11 11 2 nn nnnn kLk Hkkkk 2 ii x H k 查阅查阅 钢球沿着光滑的长梯弹跳，在每一级台阶上仅跳一次，如图所钢球沿着光滑的长梯弹跳，在每一级台阶上仅跳一次，如图所 示每次与台阶碰撞时，球要损失示每次与台阶碰撞时，球要损失50的机

45、械能试求小球抛出时的初速度的机械能试求小球抛出时的初速度v 及其与竖直线的夹角及其与竖直线的夹角（梯子台阶的高度（梯子台阶的高度h10cm，宽，宽l20cm） l h 根据题意，第一次与平台碰撞前后有 22 11 50% 22 mvmv 起起 2 2 vv 起起 v v v落 落 v起 起 v v 每次跳起到落到下一台阶的过程中,有 22 1 2 mghm vv 落落起起 22 11 50% 22 mvmv 落落起起 v起 起 v起 起 2 2vgh 起起 4vgh m m/ /s s2 v落 落 由水平方向的匀速运动得钢球每一次飞行时间 sin l t v 落落 coscosvvgt 落落起

46、起 2 1 cos 2 hv tgt 起起 2 2cos20gtv th 落落 2 3tan4tan10 代入数据整理后得 1 1 tan 3 1 tan 1 另另 说明起跳速度说明起跳速度 变为水平，除变为水平，除 钢球落在拐点钢球落在拐点 情况外，应舍情况外，应舍 去此解去此解 取元功作微元，以功能原理为基本依据求取元功作微元，以功能原理为基本依据求 得一类物理问题解答的方法，我们称之为得一类物理问题解答的方法，我们称之为“元元 功法功法”. .这种解法所循基本原理是分析力学中这种解法所循基本原理是分析力学中 的的“虚功原理虚功原理”，由伯努利首先提出的用元，由伯努利首先提出的用元 功法可

47、以处理某些平衡问题，且颇为简单功法可以处理某些平衡问题，且颇为简单 元功法元功法 元功法处理平衡问题基本思路元功法处理平衡问题基本思路 取与原平衡状态逼近的另一平衡状态，从取与原平衡状态逼近的另一平衡状态，从 而虚设一个元过程，此过程中所有元功之和为而虚设一个元过程，此过程中所有元功之和为 零，以此为基本关系列出方程，通过极限处理，零，以此为基本关系列出方程，通过极限处理， 求得终解求得终解 如图所示，质量为如图所示，质量为m、长度为、长度为l的均匀柔软粗绳，的均匀柔软粗绳， 穿过半径穿过半径R的滑轮，绳的两端吊在天花板上的两个钉子上，两钩间的滑轮，绳的两端吊在天花板上的两个钉子上，两钩间 距

48、离为距离为2R，滑轮轴上挂一重物，重物与滑轮总质量为，滑轮轴上挂一重物，重物与滑轮总质量为M，且相互间，且相互间 无摩擦，求绳上最低点无摩擦，求绳上最低点C处的张力处的张力 本题用元功法求解本题用元功法求解! ! 分析粗绳、滑轮和重物构成的系统的受力情况分析粗绳、滑轮和重物构成的系统的受力情况 AO C R B TA (M+m)g 1 2 A TmM g 分析绳之一半的受力情况分析绳之一半的受力情况 TC 设想在设想在A处以力处以力TA将将ABC段绳竖直向上拉过一极小距离段绳竖直向上拉过一极小距离x AA WTx CC WTx 2 mlR ExgR l 由功能原理由功能原理 1 22 c mlR mM gxTxxg R l lR R 2 2 2 c MlmR g l T x a b a b 如图示，一轻三足支架每边长度均为如图示，一轻三足支架每边长度均为l,每边与竖直线成同一角度，每边与竖直线成同一角度， 三足置于一光滑水平面上三足置于一光滑水平面上,且恒成一正三