2021届高考数学教学案：第8章 第8讲　曲线与方程含解析

1、学必求其心得，业必贵于专精2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第8章 第8讲曲线与方程含解析第8讲曲线与方程考纲解读1。了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系,能用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题（重点）2能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，并掌握求曲线方程的两种常见题型：根据曲线确定方程，可用待定系数法；求轨迹方程，可用直接法、定义法、代入法(相关点法)、参数法(难点）考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个命题热点预测2021年高考将会有以下两种命题方式：用定义法求曲线的方程；由已知条件直接求曲线的方程题型为解答题中的一问，试题难度中等偏上考查知识点多,能力要求

2、较高，尤其是运算变形能力解题时注意函数与方程思想及等价转化思想的应用。求曲线方程的基本步骤1概念辨析(1）f(x0，y0）0是点p(x0，y0)在曲线f（x，y）0上的充要条件（)(2）方程x2xyx的曲线是一个点和一条直线（）(3）到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2y2.（）（4）方程y与xy2表示同一曲线（）答案(1）（2）（3）(4） 2小题热身（1)已知点p(x，y)满足方程x2y22x10,则点p（x，y）的轨迹是（）a圆 b一条直线c两条直线 d直线的交点答案c解析点p（x，y)满足方程x2y22x10，即(x1)2y2，可得x1y,即xy10或xy10,故点p(x,

3、y)的轨迹是两条直线（2）在abc中，a(4，0），b(4,0)，abc的周长是18，则顶点c的轨迹方程是（）a。1（y0) b.1（y0)c。1(y0) d.1（y0)答案a解析由已知得，ab8，ca|cb|ab18，所以ca|cb10ab，所以顶点c的轨迹是以a，b为焦点的椭圆(去掉左右两个顶点),其方程为1(y0）(3）已知点o(0，0），a(1，2),动点p满足|pa|3po|，则点p的轨迹方程是(）a8x28y22x4y50b8x28y22x4y50c8x28y22x4y50d8x28y22x4y50答案a解析设点p坐标为(x，y)，由pa|3po得（x1）2(y2)29(x2y2）

4、，整理得8x28y22x4y50.(4）直线1与x轴、y轴交点连线的中点轨迹方程是_答案xy1(x0且x1）解析直线1与x轴、y轴的交点坐标分别为(a,0)和（0，2a），设此直线与x轴、y轴交点连线的中点坐标为（x，y),则消去a，得y1x即xy1。由a0且2a0，得x0且x1，故所求的轨迹方程为xy1（x0且x1）题型一定义法求轨迹方程 1a为双曲线1(a0，b0）上的任意一点,过焦点f1作f1af2的角平分线的垂线，垂足为m,则点m的轨迹方程为_答案x2y2a2解析如图，延长f1m交af2延长线于点n，故|af1|an，af1|af2|2a，故an|af2|2a，所以f2n2a，所以om

5、f2n|a，故m点的轨迹方程为x2y2a2.2如图所示，已知点c为圆（x）2y24的圆心，点a（，0)p是圆上的动点，点q在圆的半径cp所在的直线上，且0，2.当点p在圆上运动时，求点q的轨迹方程解由（x）2y24知圆心c(,0)，半径r2.0,2,mqap，点m为ap的中点，因此qm垂直平分线段ap。如图，连接aq，则|aq|qp|，qc|qa|qcqp|cp|2.又|ac|22，根据双曲线的定义,点q的轨迹是以c(,0)，a(，0)为焦点，实轴长为2的双曲线由c，a1，得b21，故点q的轨迹方程为x2y21.条件探究将本例中的条件“圆c的方程（x)2y24改为“圆c的方程（x）2y216”

6、,其他条件不变，求点q的轨迹方程解由（x)2y216知圆心c（，0），半径r4。0，2，qm垂直平分ap，连接aq,则aq|qp，|qc|qa|qc|qp|r4。根据椭圆的定义，点q的轨迹是以c（，0)，a（，0）为焦点,长轴长为4的椭圆由c，a2，得b.因此点q的轨迹方程为1。定义法求轨迹方程的适用条件及关键点（1)求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程,见举例说明1，2.(2)理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键(3）利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是

7、完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制 abc的顶点a（5,0），b(5，0）,abc的内切圆的圆心在直线x3上，则顶点c的轨迹方程是_答案1（x3）解析如图，ad|ae8，bf|be|2，cd|cf,所以ca|cb|826。根据双曲线的定义，所求轨迹是以a,b为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为1(x3）题型二直接法求轨迹方程 1（2019葫芦岛调研)在abc中，已知a(2，0)，b（2，0)，g，m为平面上的两点，且满足0，|，则顶点c的轨迹为()a焦点在x轴上的椭圆（长轴端点除外）b焦点在y轴上的椭圆(短轴端点除外）c焦点在x轴上的双曲线(实轴端点除外)d焦点在x轴上的抛物线（顶

8、点除外）答案b解析设c(x，y)（y0）,则由0，即g为abc的重心,得g.又|,即m为abc的外心，所以点m在y轴上,又，则有m.所以x224，化简得1,y0.所以顶点c的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(除去短轴端点)2已知abc的顶点b(0,0)，c(5，0），ab边上的中线长|cd|3,则顶点a的轨迹方程为_答案（x10）2y236（y0)解析设a（x，y），由题意可知d。又|cd3，229，即（x10）2y236，由于a，b，c三点不共线，点a不能落在x轴上，即y0，点a的轨迹方程为(x10）2y236(y0)3（2019全国卷节选)已知点a(2，0)，b(2，0），动点m（x，y)满足直线

9、am与bm的斜率之积为.记m的轨迹为曲线c.求c的方程，并说明c是什么曲线解由题设，得，化简得1(x2），所以c为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点1直接法求轨迹方程的应用条件和步骤若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法,其一般步骤是：设点列式化简检验2用直接法求轨迹方程需要注意的问题（1）求动点的轨迹方程时要注意检验,即除去多余的点，补上遗漏的点如举例说明3。（2)若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可,如举例说明2;若是求轨迹,则要说明轨迹是什么图形如举例说明1. 1设点a为圆(x1)2y21上的动点，pa是圆的切线，且|pa|1，则

10、p点的轨迹方程为（)ay22x b(x1）2y24cy22x d（x1）2y22答案d解析如图，设p（x，y），圆心为m（1，0)，连接ma,则mapa，且|ma|1.又pa|1，pm|，即|pm22，(x1)2y22。故选d.2已知动圆过定点a（4，0）,且在y轴上截得的弦mn的长为8.求动圆圆心的轨迹c的方程解如图,设动圆圆心为o1（x，y)，由题意,知|o1a|o1m|，当o1不在y轴上时，过o1作o1hmn交mn于h，则h是mn的中点，o1m|.又|o1a|， ，化简得y28x（x0）又当o1在y轴上时，o1与o重合，点o1的坐标（0，0）也满足方程y28x，动圆圆心的轨迹c的方程为y

11、28x。题型三相关点法（代入法）求轨迹方程 1动点p在抛物线y2x21上移动，若p与点q（0,1）连线的中点为m，则动点m的轨迹方程为（）ay2x2 by4x2 cy6x2 dy8x2答案b解析设m（x，y)，p（x0，y0），因为p与点q(0，1)连线的中点为m，所以x02x，y02y1，又因为点p在抛物线y2x21上移动,所以2y12(2x)21,即y4x2.故选b。2（2019莆田二模)已知a(0，1)，b是曲线yx21上任意一点，动点p满足 0.(1）求点p的轨迹e的方程；(2）过点d（0，1)的直线交e于m，n两点，过原点o与点m的直线交直线y1于点h，求证：dnhn。解(1)设p(

12、x，y),b(x0，y0)，由0得，（x，y1)（xx0,yy0）（0，0），则即因为点b为曲线yx21上任意一点，故y0x1，代入得x24y.所以点p的轨迹e的方程是x24y.（2）证明：依题意，得直线mn的斜率存在，其方程可设为ykx1，m(x1，y1)，n(x2，y2),联立得x24kx40，所以16k2160，x1x24.因为直线om的方程为yx，且点h是直线om与直线y1的交点,所以点h的坐标为。根据抛物线的定义dn|等于点n到准线y1的距离,由于点h在准线y1上，所以要证明|dnhn，只需证明hn垂直准线y1，即证hny轴因为点h的横坐标为x2，所以hny轴成立，所以dn|hn成立

13、代入法求轨迹方程的四步骤 如图，已知p是椭圆y21上一点，pmx轴于m.若。(1）求点n的轨迹方程；(2）当点n的轨迹为圆时，求的值解(1）设点p,点n的坐标分别为p(x1，y1)，n(x，y），则m的坐标为（x1,0),且xx1,（xx1,yy1)(0，yy1)，(x1x，y）（0,y),由得（0，yy1）(0，y）yy1y，即y1(1)y。p(x1，y1)在椭圆y21上，则y1，(1)2y21，故（1）2y21即为所求的点n的轨迹方程（2)要使点n的轨迹为圆,则（1)2，解得或.所以当或时，点n的轨迹是圆组基础关1到点f（0，4)的距离比到直线y5的距离小1的动点m的轨迹方程为（)ay16

14、x2 by16x2cx216y dx216y答案c解析由条件，知动点m到f(0,4)的距离与到直线y4的距离相等，所以点m的轨迹是以f(0，4)为焦点，直线y4为准线的抛物线,其标准方程为x216y.2曲线c：x22xy40的对称性为（)a关于原点成中心对称b关于点(2，0)成中心对称c关于直线yx对称d曲线c不具有对称性答案a解析设点p(a，b）(a，br）在曲线上，则a22ab40,即(a)22(a）(b）40，则p点关于原点的对称点p（a，b)也在曲线上，曲线关于原点对称3(2019长沙模拟）已知点集m（x，y）|xy，则平面直角坐标系中区域m的面积是()a1 b3 c d2答案d解析当

15、xy0时，只需要满足x21，y21即可；当xy0时,对不等式两边平方整理，得x2y21，所以区域m如图易知其面积为2.4如图,已知f1，f2是椭圆:1（ab0）的左、右焦点，p是椭圆上任意一点，过f2作f1pf2的外角的角平分线的垂线，垂足为q，则点q的轨迹为(）a直线 b圆 c椭圆 d双曲线答案b解析延长f2q，与f1p的延长线交于点m，连接oq.因为pq是f1pf2的外角的角平分线，且pqf2m，所以在pf2m中，pf2|pm|，且q为线段f2m的中点又o为线段f1f2的中点，由三角形的中位线定理，得oq|f1m(pf1|pf2|）根据椭圆的定义,得pf1|pf22a,所以oq|a，所以点

16、q的轨迹为以原点为圆心，半径为a的圆，故选b。5若曲线c上存在点m，使m到平面内两点a(5，0)，b（5，0)的距离之差为8，则称曲线c为“好曲线”以下曲线不是“好曲线”的是（)axy5 bx2y29c.1 dx216y答案b解析m到平面内两点a（5，0），b（5，0)的距离之差为8，m的轨迹是以a（5,0)，b（5,0)为焦点的双曲线的右支，方程为1（x4）a项，直线xy5过点(5,0)，与m的轨迹有交点；b项，x2y29的圆心为(0,0），半径为3,与m的轨迹没有交点；c项,1的右顶点为(5，0)，与m的轨迹有交点；d项，将x216y代入1，得y1，即y29y90,0。故选b.6已知两定点

17、a（2，0），b（1，0）,如果动点p满足|pa|2|pb|,则点p的轨迹所包围的图形的面积为_答案4解析设点p的坐标为(x，y）则由|pa|2pb得（x2)2y24（x1)2y2，即(x2）2y24，所以点p的轨迹是以（2,0)为圆心，2为半径的圆，所以点p的轨迹所包围的图形的面积为4.7在平面直角坐标系中，o为坐标原点，a（1，0)，b(2，2),若点c满足t(），其中tr，则点c的轨迹方程是_答案y2x2解析设c(x，y)，则(x，y)，t（)(1t,2t)，所以消去参数t,得点c的轨迹方程为y2x2。8已知点p是椭圆1（ab0）上的任意一点,f1，f2是它的两个焦点，o为坐标原点，且，

18、则动点q的轨迹方程是_答案1解析由于，又22.设q（x，y)，则，即p点坐标为,又p在椭圆上，则有1，即动点q的轨迹方程是1。组能力关1（2019宝鸡二模)设d为椭圆x21上任意一点，a(0，2)，b（0,2)，延长ad至点p，使得|pdbd，则点p的轨迹方程为（）ax2(y2）220 bx2(y2)220cx2（y2)25 dx2(y2)25答案b解析如图，由椭圆方程x21,得a25，b21，c2,则a（0，2)，b（0，2)为椭圆的两焦点,da|db2a2，pd|bd|,|pa|pd|dabd|da2.点p的轨迹是以a为圆心,2为半径的圆，其方程为x2(y2）220.2（2019北京高考）

19、数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线c：x2y21|x|y就是其中之一（如图）给出下列三个结论：曲线c恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；曲线c上任意一点到原点的距离都不超过；曲线c所围成的“心形区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是()a b c d答案c解析由x2y21|x|y，当x0时，y1;当y0时，x1；当y1时，x0，1.故曲线c恰好经过6个整点：a（0，1)，b(0,1），c(1,0），d(1，1)，e(1,0)，f(1，1)，所以正确由基本不等式,当y0时，x2y21x|y1xy|1，所以x2y22，所以，故正确如图，由知长方形cdfe面积为2，三角形bce面积为1,所以曲线c所围成的“心形”区域的面积大于3，故错误故选c。3已知圆c：x2y225，过点m(2，3）作直线l交圆c于a，b两点,分别过a，b两点作圆的切线,当两条切线相交于点q时，点q的轨迹方程为_答案2x3y250解析圆c:x2y225的圆心c为（0,0)，设a(x1，y1）,b（x2，y2)，q（x0，y0)，因为aq与圆c相切，所以aqca，所以（x1x0)(x10）(y1y0）(y10)0,即xx0x1yy0y10，因为xy25，所以x0x1y0y125，同理x0x2y0y225,所以过点a，b的直线方程为xx0