静电学基础(导体电介质部分)

1、4.2.2 有导体存在时的静电场有导体存在时的静电场 1. 导体的静电平衡导体的静电平衡 导体：导体：具有大量能够自由移动的带电粒子，具有大量能够自由移动的带电粒子， 因而能够很好因而能够很好地传导电流的物质。地传导电流的物质。 不论导体是否带电或是否受外电场的作用，不论导体是否带电或是否受外电场的作用， 只要导体只要导体内部内部和和表面上表面上任何一部分任何一部分都没有宏观电都没有宏观电 荷运动荷运动，我们就说导体处于，我们就说导体处于静电平衡状态。静电平衡状态。 第一类导体：依靠电子导电，如金属等；第一类导体：依靠电子导电，如金属等； 第二类导体：依靠粒子导电，如酸、碱、第二类导体：依靠粒

2、子导电，如酸、碱、 盐的溶液等。盐的溶液等。 静电平衡条件：静电平衡条件： 根据根据静电平衡条件静电平衡条件 l dEdU 求证求证 导体表面是等势面证明导体表面是等势面证明 0d lEdU 导体内部电势相等导体内部电势相等0d AB AB lEU lE d （1）导体内部场强处处为零，即导体是）导体内部场强处处为零，即导体是等势体等势体。 （2）导体表面紧邻处的电场强度垂直于导体）导体表面紧邻处的电场强度垂直于导体 表面，即导体表面是一个表面，即导体表面是一个等势面等势面。 2. 实心导体电荷分布实心导体电荷分布 0 0d q SE S e 0E 0 q实心导体的电荷分布在表面上实心导体的电

3、荷分布在表面上 P S 0E 接地效应接地效应 导体接地意味着导体与大地等电势（为零）导体接地意味着导体与大地等电势（为零） 证明：证明：导体表面上不再有任何电荷导体表面上不再有任何电荷 静电平衡条件静电平衡条件 3. 静电感应现象静电感应现象 + + + + + + 感应电荷感应电荷 在外场作用下，引起导体上电荷重新分布的在外场作用下，引起导体上电荷重新分布的 现象称为现象称为静电感应现象。静电感应现象。 + + + + 0 E 0 0 EEE 0 E + + + + + + + + E 0 E 0E 导体内电场强度导体内电场强度外电场强度外电场强度感应电荷电场强度感应电荷电场强度 0 E

4、0 E E 0E 4. 尖端放电现象尖端放电现象 s S SdESdE 上底 0 S SEEdS s 上底 导体紧邻处一点的电场强度导体紧邻处一点的电场强度 n eE 0 对于对于孤立的带电导体来孤立的带电导体来说，它的表面电荷分说，它的表面电荷分 布大致遵循这样的定性规律：布大致遵循这样的定性规律：导体表面突出而尖导体表面突出而尖 锐的地方，曲率较大，电荷面密度较大；锐的地方，曲率较大，电荷面密度较大；导体表导体表 面较平坦的地方，曲率较小，电荷面密度较小；面较平坦的地方，曲率较小，电荷面密度较小； 表面凹陷处，曲率为负，电荷面密度更小。表面凹陷处，曲率为负，电荷面密度更小。 5. 空腔导体

5、电荷分布空腔导体电荷分布 ( 1 ) 导体腔内无电荷时的电荷分布导体腔内无电荷时的电荷分布 S Q 根据高斯定理和静电平衡条件判断根据高斯定理和静电平衡条件判断 处于静电平衡导体腔内无电荷时，腔内的场处于静电平衡导体腔内无电荷时，腔内的场 强为零，整个空腔导体（包括空腔）是一个等势强为零，整个空腔导体（包括空腔）是一个等势 体，体，导体空腔内表面上处处无净电荷，电荷只能导体空腔内表面上处处无净电荷，电荷只能 分布在空腔导体外表面上，分布在空腔导体外表面上，其分布特点和实心导其分布特点和实心导 体完全一样。体完全一样。 00d i S qSE， 0d lEU AB AB 内表面内表面不不带电带电

6、 ( 2 ) 导体腔内有电荷时的电荷分布导体腔内有电荷时的电荷分布 q q S qQ 00d 2 i S qSE， 做高斯面包围空腔做高斯面包围空腔 qq 内 空腔内电荷量为空腔内电荷量为+q，所以，所以 结论结论 当空腔内有电荷当空腔内有电荷+ +q时时, ,内表面因静电感应内表面因静电感应 出现等值异号的电荷出现等值异号的电荷- -q，外表面有感应电荷外表面有感应电荷+ +q （电荷守恒）（电荷守恒） 6 静电屏蔽现象静电屏蔽现象 空腔导体对外场的屏蔽作用空腔导体对外场的屏蔽作用 为保证导为保证导 体壳的电体壳的电 势不变，势不变， 可以把导可以把导 体壳体壳接地接地 0E q q 0E

7、空腔导体消除了腔外电场对腔内物体的影响空腔导体消除了腔外电场对腔内物体的影响 精密电磁仪器的保护；高压作业时金属丝织成的工作服精密电磁仪器的保护；高压作业时金属丝织成的工作服 接地空腔导体对腔内带电体的屏蔽作用接地空腔导体对腔内带电体的屏蔽作用 q q q + q 接地接地空腔导体消除了腔内电荷对腔外的影响空腔导体消除了腔内电荷对腔外的影响 腔内电荷只影响腔内电荷只影响 内表面电荷分布内表面电荷分布 R l O q dq Q 解解：电荷电势公式电荷电势公式和和电势叠加原理电势叠加原理 金属球是个等势体金属球是个等势体 l q R dq U Q 00 44 l q R Q U 00 44 金属球

8、的电势为金属球的电势为 接地后金属球上的带电量为接地后金属球上的带电量为 q 0 44 00 l q R q U q l R q 例例4.12 半径为半径为R、带电量为、带电量为Q的金属球外有一点电的金属球外有一点电 荷荷q，两者相距，两者相距l，（，（1）若取无穷远为势能零点，求）若取无穷远为势能零点，求 金属球的电势；（金属球的电势；（2）若将金属球接地，球上的带）若将金属球接地，球上的带 电量为多少？电量为多少？ 选取无穷远处为电势零点选取无穷远处为电势零点 例例4.13 有一均匀带电的大平面，面电荷密度为有一均匀带电的大平面，面电荷密度为00。 如果在其近旁平行地放置一块不带电的相同大

9、小的如果在其近旁平行地放置一块不带电的相同大小的 金属平板，在不考虑边缘效应情况下，求：金属平板，在不考虑边缘效应情况下，求： （1）金属板上的电荷分布及周围空间的电场分布；）金属板上的电荷分布及周围空间的电场分布； （2）若把金属板接地，情况又如何？）若把金属板接地，情况又如何？ 解解：静电感应静电感应和和场的叠加原理场的叠加原理 0 1 2 P 假设假设1和和2带正电，带正电，P点场强为点场强为0 0 222 0 2 0 1 0 0 P E 根据电荷守恒定律根据电荷守恒定律0 21 2 , 2 0 2 0 1 0 0 2 EEE1和和2大小相等、方向相反大小相等、方向相反 金属板接地后，板

10、与地成为一个导体，电势为零金属板接地后，板与地成为一个导体，电势为零 0 22 0 1 0 0 P E 01 0 1 0 2 P 0 0 , 0 EEE 例题：例题：两平行且面积相等的导体板的面积比两板间两平行且面积相等的导体板的面积比两板间 的距离平方大得多，即的距离平方大得多，即Sd2，两板带电量分别为，两板带电量分别为qA 和和qB 。试求静电平衡时两板各表面上电荷的面密度。试求静电平衡时两板各表面上电荷的面密度。 1 2 3 4 A q B q A P B P d S 解解：根据根据电荷守恒定律电荷守恒定律 A qSS 21 B qSS 43 设各面所带电荷均为正，以向右为正设各面所带

11、电荷均为正，以向右为正 0 2222 0 4 0 3 0 2 0 1 A P E 0 2222 0 4 0 3 0 2 0 1 B P E S qq BA 2 41 S qq BA 2 32 5. 电容电容 电容器电容器( 1 ) 孤立导体的电容孤立导体的电容 电势零点选无穷远处，孤立导体球的电势电势零点选无穷远处，孤立导体球的电势 为为 R Q U 0 4 R U Q 0 4 孤立导体的电容孤立导体的电容 U Q C 单位：单位：1 F = 1 C/VF10pF1 12 F10F1 6 如果导体球的半径为如果导体球的半径为1m，刚它的电容为，刚它的电容为 F1009. 7,m104 . 6

12、4 E 6 E CR地球的电容地球的电容 F1011. 111085. 814. 344 1012 0 RC ( 2 ) 电容器电容器 A Q B Q D + + + + + + + + + + + Q Q 物理意义物理意义: : 为两极板间电势差升高一个单位时所需的电量为两极板间电势差升高一个单位时所需的电量 in BA l dEUU BA UU Q C U Q UU Q C 电电 容容 器器 d S + + + + + + QQ - - - - - - 例题：例题：求平行板电容器的电容求平行板电容器的电容 解：解：Sd 2，忽略边缘效应的影响，忽略边缘效应的影响 （1）设两导体板分别带电）

13、设两导体板分别带电Q （2）两带电平板间的电场强度）两带电平板间的电场强度 （3）两带电平板间的电势差）两带电平板间的电势差 （4）平板电容器电容平板电容器电容 d S U Q C 0 S Q E 0000 22 S Qd Edl dEU 0 例题：例题：求球形电容器的电容求球形电容器的电容 解：解：球形电容器是由半径分别为球形电容器是由半径分别为R1 和和R2 的两同心的两同心 金属球面所组成，带电量分别为金属球面所组成，带电量分别为 +Q 和和 -Q。 根据高斯定理根据高斯定理 1 R 2 R r P * r 2 0 4 e r Q E 21 RrR 2 1 21 dlEUUU 210 2

14、 0 11 4 d 4 2 1RR Q r rQ R R 12 210 4 RR RR U Q C 2 R 10 4RC 例题：例题：求圆柱形电容器的电容。求圆柱形电容器的电容。 解：解：圆柱形电容器由两个同轴的导体圆柱面组成。圆柱形电容器由两个同轴的导体圆柱面组成。 1 R 2 R l 2 Rl + + + + - - - - 两个圆柱带电量两个圆柱带电量 +q 和和 -q，线密度，线密度+和和- 2 Rl 圆柱形电容器可看圆柱形电容器可看作作“无限长无限长” 高斯定理高斯定理 21 RrR r E 0 2 12 0 ln 2 RR l U q C 2 1 0 2 1 21 2 d R R

15、r r l dEUUU 1 2 01 2 0 ln 2 ln 2R R l q R R 4.2.3 有电介质存在时的静电场有电介质存在时的静电场 电介质电介质就是通常所说的绝缘体，导电能力非常差。就是通常所说的绝缘体，导电能力非常差。 无极性分子无极性分子：正负电荷中心重合，不存在分子自身的电矩：正负电荷中心重合，不存在分子自身的电矩 有极性分子有极性分子：正负电荷中心不重合，相当于一个电偶极子：正负电荷中心不重合，相当于一个电偶极子 1. 电介质的极化电介质的极化 有极分子电介质有极分子电介质 无极分子电介质无极分子电介质 0 E F F 0 E F F 取向极化取向极化 位移极化位移极化

16、电介质极化现象电介质极化现象束缚电荷或极化电荷束缚电荷或极化电荷 0 Q 0 Q + + + + + + + - - - - - - - 2. 电介质对电容的影响电介质对电容的影响 r 0 E E 0r 0 00 C U Q U Q C r r 0 U U 1 r 相对相对电容率电容率电容率电容率 r0 0 U 0 CC U r 0 Q 0 Q + + + + + + + - - - - - - - 3. 电介质对静电场的影响电介质对静电场的影响 0 Q 0 Q 0 0 0 E E E 0 0 0 E 0 E 00 0 0 EEE 实验表明：实验表明： rr E E 0 00 0 1 1 r

17、极化电荷和自由电荷的关系：极化电荷和自由电荷的关系： 以充满各向同性均匀电介质的平行板电容器为例以充满各向同性均匀电介质的平行板电容器为例 4. 有介质时的高斯定理有介质时的高斯定理 0 Q 0 Q 0 0 r E E 0 S 做高斯面，用高斯定理做高斯面，用高斯定理 SSdE S 1 0 0 0 1 1 r 利用：利用： int, 0 00 0 1 qSSdE r S r int, 00 qSdE S r 引入引入电位移矢量电位移矢量 EED r 0 （均匀各相同性介质）（均匀各相同性介质） int, 0 qSdD S 电介质中的高斯定理电介质中的高斯定理 在有电介质存在时的静电场中，通过任

18、意闭合在有电介质存在时的静电场中，通过任意闭合 曲面的电位移通量等于该闭合曲面包围的自由电荷曲面的电位移通量等于该闭合曲面包围的自由电荷 的代数和，与极化电荷和高斯面外的电荷无关。的代数和，与极化电荷和高斯面外的电荷无关。 电位移线：电位移线：起始于正自由电荷终止于负自由电荷。起始于正自由电荷终止于负自由电荷。 与束缚电荷无关。与束缚电荷无关。 电场线：电场线：起始于正电荷终止于负电荷。起始于正电荷终止于负电荷。 包括自由电荷和束缚电荷。包括自由电荷和束缚电荷。 例例4.15 平板电容器极板面积为平板电容器极板面积为S，两极板面积为，两极板面积为d， 两极板间各带两极板间各带Q的电量，一半充满

19、的电量，一半充满r的均匀介质。的均匀介质。 用介质中的高斯定理求：用介质中的高斯定理求： （1）未充介质空间中的场强和电位移矢量；）未充介质空间中的场强和电位移矢量； （2）充满介质空间中的场强和电位移矢量；）充满介质空间中的场强和电位移矢量； （3）平板电容器的电容。）平板电容器的电容。 r Q Q 1 S 2 S 1 D 2 D 1 E 2 E 2d 2d y 解：极板电荷和介质的面对称性解：极板电荷和介质的面对称性 介质表面是等势面介质表面是等势面 （1）选取高斯面，介质中高斯定理）选取高斯面，介质中高斯定理 SSDSdD S 011 01 DjD 01 上半区间上半区间1 r j D

20、E r 0 0 0 1 1 （2）同理）同理SSDSdD S 022 02 DjD 02 1 0 0 0 2 2 1 Ej D E rrr （3）根据电势和电场强度的积分关系）根据电势和电场强度的积分关系 d d dd l dEl dEl dEU 2 2 2 0 1 0 此平板电容器的电容为此平板电容器的电容为 d S U S U Q C r r 1 2 00 可看做两个电容器串联而成可看做两个电容器串联而成 2 , 2 0 2 0 1 d S C d S C r d S CC CC C r r 1 2 0 21 21 0 0 21 1 222 r r d E d E d 例例4.16 有一充

21、满有一充满r均匀介质的球形电容器，其内均匀介质的球形电容器，其内 外两极的半径分别是外两极的半径分别是R1和和R2。试用介质中高斯定。试用介质中高斯定 理求其电容，并求出介质表面的极化电荷面密度理求其电容，并求出介质表面的极化电荷面密度 与极板上自由电荷面密度之间的关系。与极板上自由电荷面密度之间的关系。 Q Q 1 R 2 R r 210 2 0 11 44RR Q dr r Q l dEU r B A r B A 两极板间的电势差为两极板间的电势差为 解：由电荷分布和介质的球对称性解：由电荷分布和介质的球对称性 选取同心球面为高斯面选取同心球面为高斯面 QrDDdSSdD SS 2 4 2

22、 4 r Q D 2 0 4r Q E r ED r 0 Q Q 1 R 2 R r 充满充满r均匀介质的球形电容器的电容为均匀介质的球形电容器的电容为 12 210 4 RR RR U Q C r 对于介质空间的电场，对于介质空间的电场， 电容器的内极电荷贡献为电容器的内极电荷贡献为 2 0 0 4r Q E 介质内表面上极化电荷贡献为介质内表面上极化电荷贡献为 2 0 4 r Q E r E EEE 0 0 QQ Q r 4 4 2 1 0 2 1 RQ RQ 0 1 1 r 0 0 r 5. 静电场的能量静电场的能量 qq dq 设某时刻电容器带电量为设某时刻电容器带电量为q， C q

23、U dq C q UdqdA C Q dq C q UdqdAA QQ 2 2 00 2 2 2 1 2 1 2 UCUQ C Q We 再移动再移动dq 使极板带电量使极板带电量Q，非静电外力做功为，非静电外力做功为 未充有介质未充有介质充各向同性介质充各向同性介质 电容器的能量电容器的能量 两极板间的电势差为两极板间的电势差为 d S C 0 0 d S C r 0 两极板的电势差为两极板的电势差为 EdU 电容为电容为 d S C r 0 SdEEd d S UCW r r e 2 0 2 0 2 2 1 2 1 2 1 电场能量密度电场能量密度 2 0 2 1 E V W w r e

24、e EDDEEE V W w r e e 2 1 2 1 2 1 2 1 22 0 ED r 0 对于任意电场，这是一个普适性的公式对于任意电场，这是一个普适性的公式 利用积分可求出任意带电系统的电场总能量利用积分可求出任意带电系统的电场总能量 VV ee dVEdVwW 2 2 1 例例4.17 计算一均匀带电球面电场的静电能。设球计算一均匀带电球面电场的静电能。设球 面的半径为面的半径为R，带电量为，带电量为Q，球面内外为真空。，球面内外为真空。 解：均匀带电球面内外的场强分布为解：均匀带电球面内外的场强分布为 Rr Rr r Q E 0 4 2 0 取半径取半径r、厚、厚dr的球壳的球壳

25、 drrdV 2 4 球壳内电场能量为球壳内电场能量为 dr r Q drr r Q dVEdWe 2 0 2 2 2 2 0 0 2 0 8 4 42 1 2 1 带电球面的静电能带电球面的静电能 R Q r drQ dWW RV ee 0 2 2 0 2 88 Q R r dr 例题：例题：球形电容器中充满了相对介电常数为球形电容器中充满了相对介电常数为r的各的各 向同性均匀电介质。给电容器充电，使其两极上带向同性均匀电介质。给电容器充电，使其两极上带 电为电为q，如图，试求电容器中电场的能量。，如图，试求电容器中电场的能量。 q dr q r 1 R 2 R 解：在球形电容器中取半径解：

26、在球形电容器中取半径r、厚为、厚为dr的球壳的球壳 利用介质中的高斯定理利用介质中的高斯定理 电位移矢量为：电位移矢量为： 2 4 r q D 电场强度为：电场强度为： 2 0 4r q E r 球壳体积为：球壳体积为： drrdV 2 4 dr r q dVEdW r re 2 0 2 2 0 82 1 12 210 2 210 2 4 2 111 8 RR RR q RR q W r r e 根据根据 C q We 2 2 可得可得 0 12 210 12 210 44 C RR RR RR RR C rr r 210 2 2 0 2 11 88 2 1RR q dr r q dWW r

27、R R r ee 例例4.18 忽略边缘效应，计算圆柱形电容器的能量。忽略边缘效应，计算圆柱形电容器的能量。 设其内极圆柱的半径为设其内极圆柱的半径为R1，外极薄圆筒的半径为，外极薄圆筒的半径为R2， 长为长为L，单位长度带电，单位长度带电，且两极之间充满相对介电，且两极之间充满相对介电 常数为常数为r的均匀介质。的均匀介质。 解：此圆柱形电容器的电容为解：此圆柱形电容器的电容为 12 0 0 ln 2 RR L CC r r 圆柱形电容器的能量为圆柱形电容器的能量为 2 0 12 2 2 ln 2 1 2 L L RR C Q W r e 1 2 0 2 ln 4R RL r 此能量储存于两

28、极之间的电场中此能量储存于两极之间的电场中 用电场能量的密度公式来求用电场能量的密度公式来求 r D 2 r E r 0 2 取半径取半径r、厚为、厚为dr的同轴圆柱球壳的同轴圆柱球壳 2 1 2 2 1 R RV ee rLdrEDdWW 1 2 0 2 0 2 ln 44 2 1R RL dr r L r R R r 2 R 1 R r dr L 导体、电介质、电场能量课后作业题：导体、电介质、电场能量课后作业题： P242 4.23、 4.28、 4.30、 4.33、 4.36、 思考题思考题4.9 在真空中有两个相对放置的平行板，相在真空中有两个相对放置的平行板，相 距为距为d，板面

29、积均为，板面积均为S，分别带电量，分别带电量+q和和-q。则两。则两 板之间的作用力大小为（板之间的作用力大小为（ ） 2 0 2 4d q （A） S q 0 2 2 （C） S q 0 2 （B） 2 0 2 8d q （D） 思考题思考题4.14 在技术工作中常把整机机壳作为电势零在技术工作中常把整机机壳作为电势零 点。若机壳未接地，能不能说机壳电势为零，人站点。若机壳未接地，能不能说机壳电势为零，人站 在地上就可以任意接触机壳？若机壳接地则如何？在地上就可以任意接触机壳？若机壳接地则如何？ 思考题思考题4.16 在空间的匀强电场区域内，下列说法在空间的匀强电场区域内，下列说法 正确的是（正确的是（ ） （A）电势差相等的各等势面距离不等；）电势差相等的各等势面距离不等； （B）电势差相等的各等势面距离不一定相等；）电势差相等的各等势面距离不一定相等； （C）电势差相等的各等势面距离一定相等；）电势差相等的各等势面距离一定相等； （D）电势差相等的各等势面一定相交。）电势差相等的各等势面一定相交。 思考题思考题4.17 面电荷密度为面电荷密度为的无限大均匀带电平的