高中数学__选修2-11.2.1充分条件与必要条件

1、 同学们，当某一天你和你妈妈在街上遇到老师的时同学们，当某一天你和你妈妈在街上遇到老师的时 候，你向老师介绍你的妈妈说：候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈这是我的妈妈”。那。那 么大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：么大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“这这 是我的孩子是我的孩子”呢？呢？ 不会了！为什么呢？不会了！为什么呢？ 因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足以保证因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足以保证 你是她的你是她的 孩子。那么，这在数学中是一层什么样的孩子。那么，这在数学中是一层什么样的 关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题关系呢？今天我们就来学习这个有意义

2、的课题 充分条件与必要条件。充分条件与必要条件。 【实例引入】 2021-6-27 音乐欣赏音乐欣赏我是一只鱼我是一只鱼 提问：鱼非常需要水，没了水，鱼就提问：鱼非常需要水，没了水，鱼就 无法生存，但只有水，够吗？无法生存，但只有水，够吗？ 探究：探究： p：“有水有水”；q：“鱼能生存鱼能生存” 判断判断“若若p，则，则q”和和“若若q，则，则p”的真假的真假 一、引入一、引入 2021-6-27 有一位母亲要给女儿做一有一位母亲要给女儿做一 件衬衫，母亲带女儿去商店买件衬衫，母亲带女儿去商店买 布，母亲问营业员：布，母亲问营业员：“要做一要做一 件衬衫，应该买多少布料？件衬衫，应该买多少布

3、料？” 营业员回答：营业员回答：“买三米足够买三米足够 了！了！” 一、引入一、引入 （2）因为若）因为若ab=0 则应该有则应该有a=0 或或b=0。 所以并不能得到所以并不能得到a一定为一定为0。 例例 :判断下列命题的真假。判断下列命题的真假。 （1）若）若xa2+b2，则，则x2ab 。 （2）若）若ab=0,则则a=0。 真命题真命题 假命题假命题 解解（1）因为若）因为若xa2+b2 ，而，而a2+b2 2ab，所以可以，所以可以 得到得到 x2ab 。 【问题探究】 如果命题如果命题“若若p则则q”为真，则记作为真，则记作()ppqq或 如果命题如果命题“若若p则则q”为假，则记

4、作为假，则记作()pqqp或 符号“”的含义 （2）因为若）因为若ab=0 则应该有则应该有a=0 或或b=0。 所以并不能得到所以并不能得到a一定为一定为0。 例例 :判断下列命题的真假。判断下列命题的真假。 （1）若）若xa2+b2，则，则x2ab 。 （2）若）若ab=0,则则a=0。 真命题真命题 假命题假命题 解解（1）因为若）因为若xa2+b2 ，而，而a2+b2 2ab，所以可以，所以可以 得到得到 x2ab 。 在真命题（在真命题（1）中，）中，p足以导致足以导致q，也就是说条件，也就是说条件p充分充分了。了。 在假命题（在假命题（2）中条件）中条件p不不充分充分。 【问题探究

5、】 在真命题（在真命题（1）中，）中， q 是是p成立所必须具备的前提。成立所必须具备的前提。 在假命题（在假命题（2）中，）中， q不是不是p成立所必须具备的前提。成立所必须具备的前提。 定义定义：如果命题：如果命题“若若p，则，则q”为真命题为真命题,即即p q, 那么我们就说那么我们就说p是是q的的充分条件充分条件；q是是p的的必要条必要条 件件 【定义得出】 充分性：条件是充分的，也就是说条件是充足的，足够充分性：条件是充分的，也就是说条件是充足的，足够 的，足以保证的。符合的，足以保证的。符合“若若p则则q”为真（为真（p=q）的形式）的形式, 即即“有之必成立有之必成立”。 必要性

6、：必要就是必须的，必不可少的。符合必要性：必要就是必须的，必不可少的。符合“若非若非q则则 非非p” 为真（非为真（非q=非非p）的形式，即）的形式，即“无之必不成立无之必不成立”。 注：注： p是是q的充分条件与的充分条件与q是是p的必要条件是的必要条件是完全等价完全等价的，它的，它 们是同一个逻辑关系们是同一个逻辑关系“p=q”的不同表达方法。的不同表达方法。 P10练习练习 用符号用符号 与与 填空。填空。 （1） x2=y2 x=y； （2）内错角相等）内错角相等 两直线平行；两直线平行； （3）整数）整数a能被能被6整除整除 a的个位数字为偶数；的个位数字为偶数； （4）ac=bc

7、a=b 例例1，下列，下列“若若p，则，则q”形式的命题中，哪些命形式的命题中，哪些命 题题 中的中的p是是q的充分条件？的充分条件？ （1）若）若x=1，则，则x2 4x+3=0； （2）若）若f（x）=x，则，则f（x）为增函数；）为增函数； （3）若）若x 为无理数，则为无理数，则x2 为无理数为无理数 解：命题（解：命题（1）（）（2）是真命题，命题（）是真命题，命题（3）是假命）是假命 题，所以命题（题，所以命题（1）（）（2）中的）中的p是是q的充分条件的充分条件. 【典例演练】 练习练习1： (1) 若两个三角形全等，则这两个三角形相似；若两个三角形全等，则这两个三角形相似； (

8、2) 若若x 5，则，则x 10。 解：命题解：命题（1）是真命题，命题（）是真命题，命题（2）是假命题）是假命题 所以命题（所以命题（1）中的）中的p是是q的充分条件。的充分条件。 例例2 下列下列“若若p，则，则q”形式的命题中，哪些命题形式的命题中，哪些命题 中的中的q是是p的必要条件？的必要条件？ (1) 若若x=y，则，则x2=y2。 (2) 若两个三角形全等若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等则这两个三角形的面积相等. (3) 若若ab，则，则acbc。 解：命题解：命题（1）（）（2）是真命题，命题（）是真命题，命题（3）是假命）是假命 题，所以命题（题，所以命题（1）（）

9、（2）中的）中的q是是p的必要条件。的必要条件。 练习练习2 下列下列“若若p，则，则q”形式的命题中，哪些命形式的命题中，哪些命 题中的题中的p是是q的必要条件？的必要条件？ (1) 若若a+5是无理数，则是无理数，则a是无理数。是无理数。 (2) 若（若（x-a）（）（x-b）=0，则，则 x=a。 解：命题解：命题（1）（）（2）的逆命题都是真命题，）的逆命题都是真命题， 所以命题（所以命题（1）（）（2）中的）中的p是是q的必要条件。的必要条件。 分析：注意这里考虑的是命题分析：注意这里考虑的是命题中的中的p是是q的必要条件。的必要条件。 所以应该分析下列命题的逆命题的真假性。所以应该

10、分析下列命题的逆命题的真假性。 认清条件和结论。认清条件和结论。 考察考察p q和和q p的真假。的真假。 可先简化命题。可先简化命题。 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。将命题转化为等价的逆否命题后再判断。 否定一个命题只要举出一个反例即可。否定一个命题只要举出一个反例即可。 【方法小结】 p q，相当于，相当于P q ，即，即 P q 或或 P、q P足以导致足以导致q,也就是也就是 说条件说条件p充分了；充分了； q是是p成立所成立所 必须具必须具 备的前提。备的前提。 从集合的角度来理解充分条件、必要条件从集合的角度来理解充分条件、必要条件 答：命题答：命题（1）为真命题：）为真命题

11、： 练习练习3，判断下列命题的真假：，判断下列命题的真假： （1）x=2是是x2 4x+4=0的必要条件；的必要条件； （2）圆心到直线的距离等于半径是这条）圆心到直线的距离等于半径是这条 直线为圆的切线的必要条件；直线为圆的切线的必要条件； （3）sinA=sinB是是A=B的充分条件；的充分条件； （4）ab0是是a 0的充分条件。的充分条件。 命题（命题（2）为真命题；）为真命题； 命题（命题（3）为假命题；）为假命题； 命题（命题（4）为真命题。）为真命题。 能能 力力 测测 试试 1、用符号、用符号“充分充分”或或“必要必要”填空：填空： （1）“0 x 5”是是“ x 2 0”是是

12、“ x+y = x + y ”的的_条件。条件。 （4）“个位数是个位数是5的整数的整数”是是“这个数能被这个数能被5整除整除” 的的_条件。条件。 充分 必要 充分 充分 练习练习4.用用“充分充分”或或“必要必要”填空，并说明理由：填空，并说明理由： 1. “a和和b都是偶数都是偶数”是是“a+b也是偶数也是偶数”的的 条件；条件； 2. “四边相等四边相等”是是“四边形是正方形四边形是正方形”的的 条件；条件； 3. “x3”是是“|x|3”的的 条件；条件； 4. “x1=0”是是“x21=0”的的 条件；条件； 5. “两个角是对顶角两个角是对顶角”是是“这两个角相等这两个角相等”的

13、的 条件；条件； 充分充分 必要必要 必要必要 充分充分 充分充分 6. “至少有一组对应边相等至少有一组对应边相等”是是“两个三角形全两个三角形全 等等”的的 条件；条件； 7. 对于一元二次方程对于一元二次方程ax2+bx+c=0(其中其中a,b,c都不都不 为为0)来说，来说，“b24ac0”是是“这个方程有两个正这个方程有两个正 根根”的的 条件；条件； 8. “a=2，b=3”是是“a+b=5”的的 条件；条件； 必要必要 必要必要 充分充分 2. m=2是直线是直线 (2m )xmy+3=0和和 直线直线 xmy3=0互相垂直的互相垂直的 _ . 充分而不必要的条件充分而不必要的条

14、件 例3开关A闭合作为命题的条件p， 灯泡B亮作为命题的结论q，你 能根据下列各图所示判断p是 q的什么条件吗？ 【课堂小结课堂小结】 如果已知如果已知p q，则说，则说p是是q的充分的充分 条件，条件， q是是p的必要条件。的必要条件。 认清条件和结论。认清条件和结论。考察考察p q和和q p的真假。的真假。 可先简化命题。可先简化命题。 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。将命题转化为等价的逆否命题后再判断。 否定一个命题只要举出一个反例即可。否定一个命题只要举出一个反例即可。 自自 学学 导导 引引(学生用书学生用书P8) 1.通过具体实例中条件之间的关系的分析通过具体实例中条件之间的关

15、系的分析,理解充分条件理解充分条件,必要必要 条件的含义条件的含义. 2.通过具体实例理解充分条件通过具体实例理解充分条件,必要条件在思考和解决数学问必要条件在思考和解决数学问 题中的作用题中的作用. 课课 前前 热热 身身(学生用书学生用书P8) 1.一般地一般地,命题命题“若若p则则q”为真为真,可记作可记作“_”;“若若p则则q” 为假为假,可记作可记作“_”. 2.一般地一般地,如果如果pq,那么称那么称p是是q的的_,同时称同时称q是是p的的 _. p q p q 充分条件充分条件 必要条件必要条件 名名 师师 讲讲 解解(学生用书学生用书P8) 1.对充分条件对充分条件 必要条件的

16、理解必要条件的理解 一般地一般地,若若p q,则则p是是q的充分条件的充分条件.“充分充分”的意思是的意思是:要使要使q 成立成立,条件条件p成立就足够了成立就足够了.即是说有条件即是说有条件p成立成立,q就一定成就一定成 立立.另一方面另一方面,q又是又是p的必要条件的必要条件.“必要必要”是说缺少是说缺少q,p就不就不 会成立会成立. 例如例如,“x=2”是是“x2=4”的充分条件的充分条件,即即x=2x2=4,但但x2=4的充分的充分 条件还有条件还有x=-2,可见可见pq,p不一定是唯一的不一定是唯一的.同时同时x2=4是是x=2 的必要条件的必要条件.因为因为x2=4不成立不成立,x

17、=2一定不成立一定不成立. 我们可以用集合的关系来理解我们可以用集合的关系来理解:若若A B,则则A是是B的充分条件的充分条件, 同时同时B是是A的必要条件的必要条件.例如例如A=0,1,B=0,2.若若xA,则则xB, 所以所以A是是B的充分条件的充分条件.若若x B,则一定有则一定有x A,也就是说也就是说,若若B 不成立不成立,A也就不成立了也就不成立了.因此因此,B是是A的必要条件的必要条件. 2.充分不必要条件充分不必要条件,必要不充分条件必要不充分条件 如果如果“pq且且qp ”,那么称那么称p是是q的充分不必要条件的充分不必要条件.例例 如如,x=2x2=4,反过来反过来x2=4

18、x=2,所以称所以称x=2是是x2=4的充分不的充分不 必要条件必要条件. 如果如果“p q且且qp”,则称则称p是是q的必要不充分条件的必要不充分条件.例例 如如,p:“四边形对角线相等四边形对角线相等.”q:“四边形为正方形四边形为正方形.”显然显然pq 且且qp,所以所以p是是q的必要不充分条件的必要不充分条件. 典典 例例 剖剖 析析(学生用书学生用书P8) 题型一题型一 用定义判定充分条件与必要条件用定义判定充分条件与必要条件 例例1:下列命题中下列命题中,p是是q的充分条件的是的充分条件的是( ) p:a+b=0,q:a2+b2=0; p:x5,q:x3; p:四边形是矩形四边形是

19、矩形;q:四边形对角线相等四边形对角线相等; 已知已知、是两个不同的平面是两个不同的平面,直线直线a ,直线直线b ,命题命题p:a与与 b无公共点无公共点,命题命题q:. A. B. C. D. 解析解析:a+b=0a2+b2=0,即即pq, p不是不是q的充分条件的充分条件. x5x3,即即pq, p是是q的充分条件的充分条件. 四边形是矩形四边形是矩形对角线相等对角线相等,即即pq, p是是q的充分条件的充分条件. a、b无公共点不能推出无公共点不能推出 无公共点无公共点,即即pq, p不是不是q的充分条件的充分条件. 答案答案:B 变式训练变式训练1:下列命题中下列命题中,p是是q的必

20、要条件的是的必要条件的是( ) A.p:x=1或或x=2, B.p:m0,q:x2-x-m=0无实根无实根 C.p:a0且且a1,q:y=ax是增函数是增函数 D.p:f(x)=loga(x+1),q:f(x)为增函数为增函数 :11q xx 2 1 1,1, (1)1,( :1,B C D. BCD.A. 2,A,1 x1x 1)( 2,qp,A. 2)0, x xx x xxxx 解析 方法 可用排除法 易知 均不合题意 排除 、 、所以 正确 方法对于选项 或故选 答案答案:A 题型二题型二 充分不必要条件充分不必要条件,必要不充分条件的判定必要不充分条件的判定 例例2:指出下列各组命题

21、中指出下列各组命题中,p是是q的什么条件的什么条件? (1)p:数数a能被能被6整除整除,q:数数a能被能被3整除整除; (2)p:x1,q:x21; (3)p:ABC有两个角相等有两个角相等,q:ABC是正三角形是正三角形; (4)p:|ab|=ab,q:ab0. 分析分析:判断判断p是是q的什么条件的什么条件,主要判断主要判断pq及及qp两个命题的两个命题的 正确性正确性,若若pq为真为真,则则p是是q成立的充分条件成立的充分条件;若若qp为真为真, 则则p是是q成立的必要条件成立的必要条件. 解解:(1)pq,且且qp,p是是q的充分不必要条件的充分不必要条件. (2)pq,且且qp,p

22、是是q的充分不必要条件的充分不必要条件. (3)pq,且且qp,p是是q的必要不充分条件的必要不充分条件. (4)ab=0时时,|ab|=ab,|ab|=abab0, 而而ab0时时,有有|ab|=ab, p是是q的必要不充分条件的必要不充分条件. 变式训练变式训练2:指出下列各组命题中指出下列各组命题中,p是是q的什么条件的什么条件? (1)在在ABC中中,p:AB,q:tanAtanB; (2)p:x=3,q:(x+2)(x-3)=0; (3)p:ab0, (4)p:|x-2|3,0 xBtanAtanB.反过来反过来 tanAtanBAB.(可举反例可举反例,取取A=30,B=120),

23、 p是是q的既不充分也不必要条件的既不充分也不必要条件. (2)x=3(x+2)(x-3)=0, 而而(x+2)(x-3)=0 x=-2或或x=3. pq,但但qp. p是是q的充分不必要条件的充分不必要条件. 3ab0,ab0. pq,qp,pq. 4p: 1x5,q:0 x5,pq,qp. pq. 11 aa bb 而 但是 的充分不必要条件 但 是 的必要不充分条件 题型三题型三 充分条件充分条件 必要条件的应用必要条件的应用 例例3:是否存在实数是否存在实数m,使使“4x+m0”的充分条件的充分条件? 如果存在如果存在,求出求出m的取值范围的取值范围. 分析分析:“4x+m0”是结论是

24、结论,先解出这两个不等先解出这两个不等 式式,再探求符合条件的再探求符合条件的m的范围的范围. 2 2 2 :202x1, 4x0 x x,x2x1,1,m4, m4,1120. m4,4x0 . 4 44 2 4 0. m xx m xxx mm m mxx 解的解是x或 由得 要想使时或成立 必须有即 所以当 时 所以当 时是的充分条件 规律技巧规律技巧:本题用集合的包含关系去理解更容易解答本题用集合的包含关系去理解更容易解答,注意结注意结 合数轴确定合数轴确定m的范围的范围. 变式训练变式训练3:使不等式使不等式x2-2x-30成立的充分不必要条件是成立的充分不必要条件是( ) A.x3

25、或或x5 C.x0 D.x0 x3或或x3是是x2-2x-30成立的充分不必要条件成立的充分不必要条件,而而x5x3. x5是使不等式成立的充分不必要条件是使不等式成立的充分不必要条件. 答案答案:B 技技 能能 演演 练练(学生用书学生用书P9) 基础强化基础强化 1.使使x(y-2)=0成立的一个充分条件是成立的一个充分条件是( ) A.x2+(y-2)2=0 B.(x-2)2+y2=0 C.x2+y2=1 D.x+y-2=0 解析解析:x2+(y-2)2=0 x=0且且y=2x(y-2)=0,故选故选A. 答案答案:A 2.ab,b0( ) A.ab0B.ab0 .1.1 aa CD b

26、b 的一个必要条件是 解析解析:ab,b0a0,b0a+b2的一个必要不充分条件是的一个必要不充分条件是( ) A.x1 C.x3 D.x2x1,而而x1x2,故选故选B. 答案答案:B 4.已知平面已知平面和两条不同直线和两条不同直线m n,则则mn的一个必要条件的一个必要条件 是是( ) A.m,n B.m,n C.m,n D.m n与与成等角成等角 答案答案:D 22 5.ab( ) A.ab B. ab 11 .1CDab ab 的一个充分不必要条件是 解析解析:a-b1ab+1ab,而而abab+1. a-b1是是ab的充分不必要条件的充分不必要条件.故选故选D. 答案答案:D 6.

27、设设a、b、cR,在下列命题中在下列命题中,真命题是真命题是( ) A.“acbc”是是“ab”的必要条件的必要条件 B.“acbc”是是“ab”的充分条件的充分条件 C.“ac=bc”是是“a=b”的必要条件的必要条件 D.“ac=bc”是是“a=b”的充分条件的充分条件 解析解析:排除选项排除选项A、B、D知知,C正确正确. 答案答案:C 7.在在“x2+(y-2)2=0是是x(y-2)=0的充分不必要条件的充分不必要条件”这句话中这句话中, 已知条件是已知条件是_,结论是结论是_. 答案答案:x2+(y-2)2=0 x(y-2)=0 2 2 8.p,q,pq? 1xaxb0,0; 2f x2x3x1,f x(); 3a, 3 , 4 .a 下列 若则形式的命题中 哪些 是 的充分条件 若有解 则 若则函数在上是增函数 若 是有理数 则是无理数 解解:命题命题(1)与与(2)为真命题为真命题,而而(3)为假命题为假命题, 命题命题(1)与与(2)中的中的p是是q的充分条件的充分条件. 能力提升能力提升 9.指出下列条件中指出下列条件中,p是是q的什么