普通物理学：1-4_曲线运动方程的矢量形式

1、1-4 曲线运动方程的矢量形式曲线运动方程的矢量形式 1. 圆周运动方程的矢量形式圆周运动方程的矢量形式 在直角坐标系中，作一般曲线运动的质点的在直角坐标系中，作一般曲线运动的质点的 坐坐 标标x、y、z 为时间为时间t函数：函数： 这就是运动方程的分量形式，写成矢量形式为这就是运动方程的分量形式，写成矢量形式为 ),(zyxrr )(tr 运动的叠加原理：运动的叠加原理：一个运动可以看成几个各自一个运动可以看成几个各自 独立进行的运动的叠加独立进行的运动的叠加。 ),(txx ),(tyy )(tzz 以上两个形式的运动方程等价；前者从三个相互垂直以上两个形式的运动方程等价；前者从三个相互垂

2、直 方向的分运动来描述质点的运动，后者是前述三个相方向的分运动来描述质点的运动，后者是前述三个相 互垂直方向的分运动的叠加，即合运动。互垂直方向的分运动的叠加，即合运动。 x xy y平面内圆周运动的讨论：平面内圆周运动的讨论： ,sin tRx,cos tRy0z 在第一组方程中消去时间参数在第一组方程中消去时间参数t，得到运动，得到运动 的轨迹方程的轨迹方程 , 222 Ryx0z 圆周运动方程的矢量形式圆周运动方程的矢量形式 因此，一个复杂的运动可以分解为几个简单运因此，一个复杂的运动可以分解为几个简单运 动，满足运动的叠加原理动，满足运动的叠加原理。 这显然是这显然是z=0的平面内以原

3、点为圆心、半径为的平面内以原点为圆心、半径为R的圆。的圆。 )cos(sinj ti tRr 和和 两种形式的运动方程可分别写两种形式的运动方程可分别写 出为：出为： 对匀速圆周运动，速度、加速度的分量式为：对匀速圆周运动，速度、加速度的分量式为： t x vx d d )sin( d d tR t tRcos t y v y d d )cos( d d tR t tRsin tR t v a x x sin d d 2 tR t v a y y cos d d 2 jia tRtRcossin 22 r 2 圆周运动方程的矢量形式圆周运动方程的矢量形式 写成矢量形式为写成矢量形式为 j tR

4、i tRv sincos 2. 抛体运动方程的矢量形式抛体运动方程的矢量形式 抛体运动：抛体运动： 从地面上某点向空中抛出的物体从地面上某点向空中抛出的物体 在空中所做的运动称在空中所做的运动称抛体运动抛体运动。 以抛射点为坐标原点建立坐标系，水平方向为以抛射点为坐标原点建立坐标系，水平方向为x 轴，竖直方向为轴，竖直方向为y轴。设抛出时刻轴。设抛出时刻t=0的速率为的速率为v0，抛抛 射角为射角为 ， ,cos 00 vv x sin 00 vv y 而加速度恒定而加速度恒定ga j g 故任意时刻的速度为：故任意时刻的速度为： jiv )sin()cos( 00 gtvv 则初速度分量分别

5、为：则初速度分量分别为： 曲线运动方程的矢量形式曲线运动方程的矢量形式 O y x 0 v y v0 x v0 v g 将上式积分，得到运动方程的矢量形式为将上式积分，得到运动方程的矢量形式为 t tgtvtv 0 00 d)sin(d)cos(jir ji ) 2 1 sin()cos( 2 00 gttvtv 抛体运动方程的矢量形式抛体运动方程的矢量形式 消去此方程中的时间参数消去此方程中的时间参数t，得到抛体运动的轨迹，得到抛体运动的轨迹 方程为方程为 22 0 2 cos2 1 tg v gx xy 此为一抛物线方程，故抛体运动也叫抛物线运动。此为一抛物线方程，故抛体运动也叫抛物线运动

6、。 令令y = 0 ，得到抛物线与，得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标轴的另一个交点坐标H ， 它就是射程：它就是射程： g v H 2sin 2 0 根据轨迹方程的极值条件，根据轨迹方程的极值条件， 求得最大射高为：求得最大射高为： g v h 2 sin 22 0 抛体运动方程的矢量形式抛体运动方程的矢量形式 O y x 0 v x v0 y v0 v g H h 运动的分解可有多种形式。例如，运动的分解可有多种形式。例如，抛体运动也抛体运动也 可以分解为沿抛射方向的匀速直线运动与竖直方向可以分解为沿抛射方向的匀速直线运动与竖直方向 的自由落体运动的叠加的自由落体运动的叠加： jjir 2

7、 00 2 1 )sincos(gttvv jv 2 0 2 1 gtt 知，知，抛体运动可看作是由水平方向的匀速直线运动抛体运动可看作是由水平方向的匀速直线运动 与竖直方向的匀变速直线运动叠加而成与竖直方向的匀变速直线运动叠加而成。这种分析。这种分析 方法称为运动的分解。方法称为运动的分解。 ji ) 2 1 sin()cos( 2 00 gttvtvr由方程由方程 O y x t 0 v t g r 这种分解方法可用这种分解方法可用 下图说明下图说明 还可用子弹打猴子的古老演还可用子弹打猴子的古老演 示来证实：示来证实： 抛体运动方程的矢量形式抛体运动方程的矢量形式 猎人瞄准树上的猴猎人瞄准树上的猴 子射击，猴子一见火光就