物体平衡的临界与极值问题

1、共点力平衡条件的应用共点力平衡条件的应用 物体平衡的临界与极值问题 物体平衡的临界与极值问题物体平衡的临界与极值问题 1动态平衡问题：动态平衡问题： 2临界问题：临界问题： 3极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化 过程中的最大值和最小值问题过程中的最大值和最小值问题 临界问题是指：临界问题是指：某种物理现象转化为另一种物某种物理现象转化为另一种物 理理 现象的转折状态称为临界状态。临界状态可理解为现象的转折状态称为临界状态。临界状态可理解为 “恰好出现恰好出现”或或“恰恰不出现恰恰不出现”，至于是，至于是“出现出现” 还是还是“不出现不出现”，需

2、视具体问题而定。，需视具体问题而定。 平衡问题的临界状态是指物体的所处的平衡状态将是指物体的所处的平衡状态将 要被破坏而尚未被破坏的状态。这类问题称为临界要被破坏而尚未被破坏的状态。这类问题称为临界 问题。极值问题则是在满足一定的条件下，某物理问题。极值问题则是在满足一定的条件下，某物理 量出现极大值或极小值的情况。临界问题往往是和量出现极大值或极小值的情况。临界问题往往是和 极值问题联系在一起的极值问题联系在一起的 l例例1跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体 A和物体B，物体A放在倾角为的斜面上，如 图所示已知物体A的质量为m，物体A与斜 面的动摩擦因数为(tan)，滑轮的摩擦不 计，要使物

3、体A静止在斜面上，求物体B的质 量的取值范围(按最大静摩擦力等于滑动摩擦 力处理) l【解析】先选物体B为研究对象，它受到重力mBg和拉力FT 的作用，根据平衡条件有：FTmBg l再选物体A为研究对象，它受到重力mg、斜面支持力FN、轻绳 拉力FT和斜面的摩擦力作用，假设物体A处于将要上滑的临界 状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向下，这 时A的受力情况如图所示，根据平衡条件有： lFNmgcos0 lFTFfmmgsin0 l由摩擦力公式知：FfmFN l联立四式解得mBm(sin cos ) l再假设物体A处于将要下滑的临界状态，则物体A受的静摩擦 力最大，且方向沿斜面向上，根

4、据平衡条件有： lFNmgcos 0 lFTFfmmgsin 0 l由摩擦力公式知：FfmFN l联立四式解得mBm(sin cos) l综上所述，物体B的质量的取值范围是： lm(sin cos )mBm(sin cos) .例例3、某公园要在儿童乐园中建一座滑梯，已知某公园要在儿童乐园中建一座滑梯，已知 斜面与物体间滑动摩擦因数斜面与物体间滑动摩擦因数= 0.75，那么倾角那么倾角 至少要多少度儿童在斜面上才可以由静止开至少要多少度儿童在斜面上才可以由静止开 始滑下？始滑下？ 此题答案：此题答案： 要多少度要多少度 ？ 倾角倾角至少要至少要37 l【分析分析】这是一个斜面问题。当这是一个斜

5、面问题。当增大时，重力沿斜面的分力增大。增大时，重力沿斜面的分力增大。 当此分力增大到等于最大静摩擦力时，物体处于动与不动的临界当此分力增大到等于最大静摩擦力时，物体处于动与不动的临界 状态。此时状态。此时最小。最小。 l【解答解答】依题意，依题意， l mgsin=mgcos l tg= l arctg l说明：说明：tg=是一重要临界条件是一重要临界条件。 其意义是：其意义是：tg时，重力沿斜面向下的分力大于滑动摩擦力；时，重力沿斜面向下的分力大于滑动摩擦力； l 1.将物体静止置于斜面上，将物体静止置于斜面上， l 如如tg，则物体保持静止；，则物体保持静止； l 如如tg，则物体不能保

6、持静止，而加速下滑。，则物体不能保持静止，而加速下滑。 l 2.将物体以一沿斜面向下的初速度置于斜面上，将物体以一沿斜面向下的初速度置于斜面上， l 如如tg，则物体做加速运动。，则物体做加速运动。 l因此，这一临界条件是判断物体在斜面上会如何运动的一个条件。因此，这一临界条件是判断物体在斜面上会如何运动的一个条件。 例例4、沙堆的形成测出了沙粒之间的动摩擦因数。研究的过、沙堆的形成测出了沙粒之间的动摩擦因数。研究的过 程如下：研究小组通过观察沙堆的形成过程可以发现，由程如下：研究小组通过观察沙堆的形成过程可以发现，由 漏斗落下的细沙总是在地面上形成一个小圆锥体，继续下漏斗落下的细沙总是在地面

7、上形成一个小圆锥体，继续下 落时，细沙沿圆锥体表面下滑，当圆锥体的母线与底面夹落时，细沙沿圆锥体表面下滑，当圆锥体的母线与底面夹 角达到一定角度时，细沙不再下滑，如图所示。经过反复角达到一定角度时，细沙不再下滑，如图所示。经过反复 实验，研究小组得出结论：沙堆的形成与沙粒之间的动摩实验，研究小组得出结论：沙堆的形成与沙粒之间的动摩 擦因数有关。该小组只用一把皮卷尺就测定了沙粒之间的擦因数有关。该小组只用一把皮卷尺就测定了沙粒之间的 动摩擦因数（假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力），则：动摩擦因数（假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力），则： （1）该小组必须测定的物理量是）该小组必须测定的物理量是_。

8、2）动摩擦因数与这些物理量之间的关系是）动摩擦因数与这些物理量之间的关系是_。 例例5、木箱重为、木箱重为G，与地面间的动摩擦因数为，与地面间的动摩擦因数为，用斜向上的力，用斜向上的力 F拉木箱，使之沿水平地面匀速前进，如图所示。问角拉木箱，使之沿水平地面匀速前进，如图所示。问角为何为何 值时拉力值时拉力F最小？这个最小值最小？这个最小值为多大？为多大？ B、D F l例例7、如图所示，物体的质量为、如图所示，物体的质量为2kg，两根轻，两根轻 绳绳oB和和oC的一端连接于竖直墙上，另一端系的一端连接于竖直墙上，另一端系 于物体上，在物体上另施加一个方向与水平于物体上，在物体上另施加一个方向与

9、水平 线成线成60的拉力的拉力F，若要使两绳都能伸，若要使两绳都能伸 直，求拉力直，求拉力F的大小范围。的大小范围。？ l 【解析】对小球进行受力分析如图所示，根据物体的平衡条件有，对小球进行受力分析如图所示，根据物体的平衡条件有，当力当力 F较小时，较小时，OB张紧，张紧，OC有可能松弛，当力有可能松弛，当力F较大时，较大时，OC张紧，张紧，OB有可能有可能 松弛由此可知，松弛由此可知，OC刚要松弛和刚要松弛和OB刚要松弛是此问题的临界条件刚要松弛是此问题的临界条件 l【例例6】如图所示，用绳如图所示，用绳AC和和BC吊起一吊起一 重物，绳与竖直方向夹角分别为重物，绳与竖直方向夹角分别为30

10、和和 60，AC绳能承受的最大拉力为绳能承受的最大拉力为150N， 而而BC绳能承受的最大的拉力为绳能承受的最大的拉力为100N，求，求 物体最大重力不能超过多少？物体最大重力不能超过多少？ l处理平衡物理中的临界问题和极值问题， 首先仍要正确受力分析，搞清临界条件 并且要利用好临界条件，列出平衡方程， 对于分析极值问题，要善于选择物理方 法和数学方法，做到数理的巧妙结合。 (bye) 例例1.1.如图所示，物体如图所示，物体A A靠在竖直墙面上，在力靠在竖直墙面上，在力F F作作 用下，用下，A A、B B保持静止保持静止. .物体物体A A的受力个数为的受力个数为 （ ） A.2A.2B.

11、3B.3 C.4C.4D.5D.5 解析解析 整体分析可知整体分析可知A与墙之间无弹力，所以与墙之间无弹力，所以A仅受重力、仅受重力、 B对对A的弹力及摩擦力的弹力及摩擦力3个力，应选个力，应选B项项. 例2、如图所示，竖直放置的轻弹簧一端固 定在地面上，另一端与斜面体P相连，P 与斜放在其上的固定档板MN接触且处于 静止状态，则斜面体P此刻受到的外力的 个数有可能是： A.2 B3 C4 D、5 l例3如图所示，在水平力F作用下，A、B保 持静止，若A与B的接触面是水平的，且F0， 则关于B的受力个数可能为() l A3 l B4 l C5 l D6 l【解析】以A为研究对象，根据平衡条件A

12、对B有压力和摩擦力的作用， 以B为研究对象，B除受到A施加的压力和摩擦力外，还受到重力和斜面的支 持力作用，斜面与B之间可能存在摩擦力，也可能不存在摩擦力，故选B、C. l例4如右图所示，斜面小车M静止在光滑水 平面上，一边紧贴墙壁若再在斜面上加一 物体m，且M、m相对静止，小车后来受力个 数为 () lA3 B4 lC5 D6 l【解析】对M和m整体，它们必受到重力和地面支持力，因小车静 止，由平衡条件知墙面对小车必无作用力，以小车为研究对象如右 图所示，它受四个力；重力Mg，地面的支持力FN1，m对它的压力FN2 和静摩擦力Ff，由于m静止，可知Ff和FN2的合力必竖直向下，故B项正 确

13、l【答案】B l例5如右图所示，物体M在斜向右下方的推 力F作用下，在水平地面上恰好做匀速运动， 则推力F和物体M受到的摩擦力的合力方向是 () lA竖直向下 lB竖直向上 lC斜向下偏左 lD斜向下偏右 l【解析】物体M受四个力作用，支持力和重力都在竖直方向上，故推力F与摩擦力的合力一 定在竖直方向上，由于推力F的方向斜向下，由此可断定力F与摩擦力的合力一定竖直向 下【答案】A l例例6、光滑斜面上用细线吊着一重物、光滑斜面上用细线吊着一重物G=10N，小，小 球处于静止状态球处于静止状态 =300， =600，求：细绳的拉，求：细绳的拉 力，和斜面的弹力。力，和斜面的弹力。 l例7、直角劈

14、形木块质量M=2kg，用外力顶靠 在竖直墙上，已知木块与墙之间最大静摩擦 力和木块对墙的压力成正比，即fm=kFN，比 例系数k=0.5，则垂直作用于BC边的外力F应 取何值木块保持静止。 物体对斜面上的正压力及其所受到的摩擦力物体对斜面上的正压力及其所受到的摩擦力 FN1 = mgcos m m F FFN2 = mgcos m m F F F F m m FN4 = mgcos Fsin FN3 = mgcos F f f动 动= = F FN N= = mgcosmgcos f f静 静= = mgsinmgsin f f动 动= = mgcosmgcos f f静 静= |F- = |

15、F-mgsinmgsin| | f f动 动= = （mgcosmgcosF F） f f静 静= = mgsinmgsin f f动 动= = （mgcosmgcosF Fsin） f f静 静= | = |mgsin-Fcosmgsin-Fcos| | l例2、如图所示，物体m与斜面体M一起静止 在水平面上若将斜面的倾角稍微增大一 些，且物体m仍静止在斜面上，则 () lA斜面体对物体的支持力变小 lB斜面体对物体的摩擦力变大 lC水平面与斜面体间的摩擦力变大 lD水平面与斜面体间的摩擦力变小 l【解析】应用隔离法对m受力分析，通过正交分解法分解重力，根据力的平衡条件可 得A、B正确应用整

16、体法分析M和m这个整体的受力可知，水平面与斜面体之间的摩擦 力一直为零【答案】AB 例3、如图所示，一个质量为m的物体放在倾 角为的粗糙斜面上，保持静止，现用水平 力F推物体，当F由零增加稍许，而物体仍 保持静止，则（ ） A.物体受到的静摩擦力增加； B.物体所受合力增加； C.物体和斜面间的最大静摩擦力增加； D.斜面对物体的支持力增加； 例4、如图所示.质量为m的物体静止在倾角为 的斜面上当沿水平方向对物体施加一水平恒 力时,物体仍静止不动.下列判断正确的是 ( ) (A)物体对斜面的正压力肯定比原来的大 (B)物体对斜面的静摩擦力肯定比原来的小 (C)物体受到的静摩擦力方向可能发生变化

17、 (D)上述说法都正确 l例5、如图所示，物体A在水平外力F的作用下， 静止在斜面上，现在使水平外力F增大一些， 物体仍静止在斜面上，关于物体A所受斜面支 持力及静摩擦力的变化情况，下面几种说法中 正确的是 (A)支持力和摩擦力都一定增大 (B)支持力和摩擦力不一定都增大 (C)支持力增大摩擦力一定减小 (D)支持力一定增大， 摩擦力不一定增大 l例6、如图所示，物体M在竖直向上的拉力F 的作用下能静止在斜面上，关于M受力的个 数，下列说法中正确的是 () lAM一定受两个力作用 l BM一定受四个力作用 l CM可能受三个力作用 l DM不是受两个力作用就是受四个力作用 l【解析】若拉力F大小等于物体的重力，则物体与斜面间没有相互作用力，此时物 体受两个力作用；若拉力F大小小于物体的重力，则斜面对物体产生支持力和静摩擦 力，此时物体受四个力作用【答案】D l例7、如图所示，斜劈ABC放在粗糙的水平地面 上，在斜劈上放一重为G的物块，物块静止在 斜劈上，今用一竖直向下的力F作用于物