高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明不等式的基本方法 1.5.1 比较法学案 -5

1、学必求其心得，业必贵于专精15。1比较法读教材填要点1定义要证ab,只需要证ab0；要证ab，只需证ab0，这种证明不等式的方法，称为比较法2用比较法证明不等式的步骤（1）求差（2)变形：可用因式分解、配方、乘法公式等，把差变形为乘积式平方和的形式（3）作出判断小问题大思维作差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？提示:作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系。 比较法证明不等式例1求证：(1)当xr时，12x42x3x2；（2)当a，b(0，)时，aabb（ab）.思路点拨（1)利用作差比较法，注意变形分解；

2、(2)利用作商比较法，注意判断底数大小决定商的大小精解详析(1）法一：（12x4)（2x3x2)2x3(x1)（x1）（x1)(x1）(2x3x1)（x1)(2x32xx1)（x1)2x（x21）（x1）(x1）2(2x22x1）（x1）20,12x42x3x2.法二:（12x4)（2x3x2)x42x3x2x42x21(x1）2x2(x21）20，12x42x3x2。(2）ab，当ab时，1；当ab0时，1，0,则1；当ba0时，01。综上可知，当a，b（0,)时，aabb（ab） 成立（1）比较法证明不等式的过程中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或

3、值是多少（2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法(3）因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号,常将“差式”变形为一个常数,或几个因式积的形式,当所得的“差式是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论1已知x1，求证：1。证明:x1，1x0，0。（1)(x1）21（1)20，1.比较法的实际应用例2甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走如果mn，问甲、乙二人谁先到达指定地点？

4、思路点拨本题考查比较法在实际问题中的应用,解答本题需要设出从出发点到指定地点的路程s，甲、乙二人走完这段路程各自需要的时间t1、t2,然后利用作差法比较t1，t2的大小即可精解详析设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1、t2，依题意有：mns,t2。t1，t2。t1t2.其中s，m，n都是正数，且mn，t1t20,即t1t2.从而知甲比乙先到达指定地点应用不等式解决问题时，关键是如何把等量关系不等量关系转化为不等式的问题来解决，也就是建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解解答不等式问题，一般可分为如下步骤：阅读理解材料；建立数学模型；讨论不

5、等式关系；作出问题结论2某人乘出租车从a地到b地,有两种方案第一种方案:乘起步价为10元,超过规定里程后每千米1.2元的出租车；第二种方案：乘起步价为8元，超过规定里程后每千米1。4元的出租车按出租车管理条例，在起步价内,不同型号的出租车行驶的路程是相等的，则此人从a地到b地选择哪一种方案比较合适?解：设a地到b地的距离为m千米起步价内行驶的路程为a千米显然当ma时，选起步价为8元的出租车比较合适当ma时,设max（x0)，乘坐起步价为10元的出租车费用为p（x）元乘坐起步价为8元的出租车费用为q（x）元，则p（x)101。2x，q(x）81.4x。p(x）q（x)20。2x0。2(10x)当

6、x10时,p（x）q（x）,此时选择起步价为10元的出租车较为合适当x0.即a2b20.1.又lg b2lg a2lglg 10。lg b2lg a2。答案：b2已知p，qa2a1，那么p、q的大小关系是（）apq bpqcpq dpq解析：pq，a2a10恒成立且a4a20，pq0.即qp.答案:d3已知a0，b0,m,p，则m,n，p的大小顺序是（)amnp bmnpcnmp dnmp解析：由已知，知m，n，得ab0时mn，可否定b、c。比较a、d项，不必论证与p的关系取特值a4，b1,则m4，n213，mn.可排除d.答案：a4若a,b为不等的正数，则（abkakb)（ak1bk1）(k

7、n）的符号()a恒正 b恒负c与k的奇偶性有关 d与a，b大小无关解析:(abkakb)ak1bk1bk（ab)ak（ba)(ab)(bkak)a0，b0，若ab，则akbk，（ab)(bkak）0；若ab，则akbk,(ab）（bkak)0。答案:b二、填空题5若xy0，m（x2y2)（xy)，n（x2y2)（xy)，则m，n的大小关系为_解析：mn（x2y2）（xy）(x2y2）(xy）（xy）(x2y2)(xy）22xy（xy)xy0，xy0,xy0。即mn.答案：mn6设0x1，则a，b1x，c中最大的一个是_解析：由a22x，b21x22xa2，a0，b0，得ba.又cb（1x）0，

8、得cb,知c最大答案：c7如果a0，b0，则下列两式的大小关系为lg（1）_lg(1a)lg（1b)（填不等关系符号）解析：(1a）（b1）1abab,lg（1a)lg（1b)lg 。（1)2(）22（ab），又ab2，2（ab)0.lg(1）lg（1a）lg（1b)答案：8一个个体户有一种商品,其成本低于元如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2。5，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2的保管费，这种商品应_出售(填“月初”或“月末”）解析：设这种商品的成本费为a元月初售出的利润为l1100（a100）2.5%，月末售出的利润为l21202a，则l1l21000.025a2.51200.02a0.045,a,l1l2，月末出售好答案：月末三、解答题9已知a1，求证，证明:（）（)0，。10设a，b是非负实数，求证：a3b3（a2b2）证明：由a，b是非负实数,作差得a3b3(a2b2）a2（）b2（）（)（)5(）5当ab时,从而（）5(）5，得(）（)5(）50；当ab时，,从而(）50.所以a3b3(a2b2)11设mr，ab1，f（x)，比较f（a)与f(b）的大小解:f（a）f（b)。ab1,ba0，a