八年级数学上册苏科版 第1章《三角形》 与等腰三角形有关的分类讨论 复习题（含答案）

第1章《三角形》复习题--与等腰三角形有关的分类讨论【题型1腰与底不明时需分类讨论】1.在古代文明中，人们开始观察并研究各种自然形状和图案，其中包括等腰三角形．古希腊数学家对几何学进行了系统的研究，并提出了许多与等腰三角形相关的定理和性质．已知等腰三角形的一边长为7cm，且它的周长为18cm，则它的底边长为cm．2.等腰三角形两条边长分别为6和10，则这个等腰三角形的周长为．3.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A和B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数为．4.已知等腰三角形的腰长为4，一个内角的度数为α，若该等腰三角形可以唯一确定，则α满足的条件是．【题型2顶角或底角不明时需分类讨论】1.等腰三角形中，一个内角比另一个内角的3倍还多20°，则该等腰三角形中最小的内角的度数是．2.等腰三角形一个内角为80°，则这个等腰三角形的顶角为．3.若等腰三角形一个外角是128°，则这个等腰三角形的顶角的度数是．4.在△ABC中，AB=AC，其中一个内角度数是40°，点D在直线BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为．【题型3高在形内或形外需分类讨论】1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是58°，则这个等腰三角形的顶角的度数是．2.若等腰三角形的一个内角为50°，则它一腰上的高与底边所夹的角的度数是．3.等腰三角形两腰上的高所在的直线形成的锐角为40°，则该等腰三角形的顶角的度数为．4.一个等腰三角形一边上的高等于一边长度的一半，则这个三角形的顶角是．【题型4遇中线时需分类讨论】1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，AD是△ABC的中线，E为边AC上的一点．若△ADE是等腰三角形，则∠AED的度数是°2.等腰三角形ABC，AB=AC，中线BD把这个三角形的周长分成12cm和15cm的两部分，则三角形的底边长为3.等腰三角形腰长为6，一腰上的中线将其周长分成两部分的差为2，则这个等腰三角形的周长为．4.已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，且∠BAD=40°，点E是边AC上的一点，若△ADE为等腰三角形，则∠EDC的度数是．【题型5遇垂直平分线时需分类讨论】1.△ABC的两边AB、AC的垂直平分线分别交直线BC于D、E，且∠BAC+∠DAE=150°，则∠BAC的度数=．2.等腰三角形一条腰上的垂直平分线与另一腰的夹角为40°，则三角形的底角为．3.在等腰三角形ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线DE交直线AB于点E，连接CE，如果∠AEC=80°，那么∠B的度数为．4.已知，在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交直线BC于点D．当∠BAC=α(0°<α<180°)时，则∠CAD的度数为．（用含α的式子表示)【题型6遇动点时需分类讨论】1.如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，AB=10cm，AC=8cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AB向点B运动．在运动过程中，当△APC为等腰三角形时，点P出发的时刻tA．5 B．5或8 C．52 D．4或2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，点E在边AB上运动（点E不与A，B重合），作∠AED=40°，使DE交边BC于点D，连接AD．在点E的运动过程中，当△ADE是以AE为腰的等腰三角形时，∠CAD的度数为（

）．A．20° B．40° C．50° D．20°或50°3.如图，等边△ABC的边长为4cm，点Q是AC的中点，若动点P以2cm/秒的速度从点A出发沿A→B→A方向运动设运动时间为t秒，连接PQ，当△APQ是等腰三角形时，则t的值为4.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°,∠B=30°．动点P从点C出发，沿边CB，BA向点A运动．在整个运动过程中，点P存在（

）位置，使△ACPA．4个 B．3个 C．2个 D．1个【题型7遇动线段时需分类讨论】1.已知△ABC是等边三角形，将△ABC绕点B旋转90°得到△A′BC′，连接A′C，过点A′作A′2.如图：已知△ABC中，AB=AC，∠A=120°，将△ABC绕点A旋转20°得到△AB′C′，AB′所在的直线与直线BC交于点3.如图，O是△ABC内的点，AB=AC，∠BAC=90°，∠BOC=130°，将△AOB绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△ADC，连接OD．设∠AOB为α，当△COD为等腰三角形时，α为．4.在△ABC中，∠C=90°，∠A=35°，点O是AB的中点，将OB绕着点O向三角形外部旋转α角时0°<α<90°，得到OP，当△ACP恰为轴对称图形时，α的值为．【题型8构造等腰三角形时需分类讨论】1.如图，∠AOB=64°，C是∠AOB平分线上的一点，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为．2.如图，在△ABC中，∠A=110°，∠C=15°，点P在△ABC的三边上运动，当

A．55° B．80° C．70° D．110°3.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上不与端点A、B重合的一动点，过点D作DE⊥AC，垂足为E，将△ADE沿DE翻折，点A的对应点为点F，连接BF．若△BFC为等腰三角形，则AE的长为4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=20°，BP平分∠ABC，点D在射线BP上，连接CD．当△BCD是等腰三角形时，∠BDC的度数是．参考答案【题型1腰与底不明时需分类讨论】1.7cm或【分析】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，分长为7cm【详解】解：当长为7cm的边为腰时，底边长为：18−7×2=4此时：4+7>7，三边能构成三角形，符合题意；当长为7cm的边为底边时，腰长为：18−7此时：5.5+5.5>7，三边能构成三角形，符合题意；故答案为：7cm或42.22或26【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；注意：求出的结果一定要检验时符合三角形三边性质．分类讨论是正确解答本题的关键．分两种情况，底边为6和底边为10时，分别求得周长，并检查两种情况是否都能构成三角形【详解】分两种情况，底边为6，周长为6+10+10=26，经验证，这种情况是成立的；底边为10，周长为10+6+6=22，经验证，这种情况是成立的．故答案为：22或26．3.5【分析】本题考查了等腰三角形的判定,线段的垂直平分线的性质．熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．由题意知，分当AB为底时，当AB为腰时，两种情况求解作答即可．【详解】解：如图，由题意知，当AB为底时，满足要求的点C如C1、C2、C4∴共有5个，故答案为：5．4.0°<α<180°或0°<α<90°【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理即可求解．【详解】解：当α为顶角，则α的取值范围为0°<α<180°；当α为底角，则α的取值范围为0°<α<90°；故答案为：0°<α<180°或0°<α<90°．【题型2顶角或底角不明时需分类讨论】1.32°或20°【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；根据已知条件，先设出三角形的两个角，然后进行讨论即可得出结论．【详解】解：在△ABC中，设∠A=x，当∠A=∠C为底角时，2x+3x+20°=180°，解得x=32°，则∠B=180°−32°−32°=116°；所以，三个分别为当∠B=∠C为底角时，23x+20°+x=180°，解得x=20°，所以，三个分别为当∠A=∠B时，x=3x+20°，此种情况不存在，所以，该等腰三角形中最小的内角的度数是32°或20°．故答案为：32°或20°．2.80°或20°【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．分情况讨论这个80°的角是顶角还是底角．【详解】解：若80°的角是顶角，则这个等腰三角形的顶角为80°；若80°的角是底角，则顶角是180°−2×80°=20°，综上所述，这个等腰三角形的顶角为20°或80°．故答案是：80°或20°．3.76°或52°【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键.根据题意求出等腰三角形的一个内角为52°，再分这个角是顶角、底角两种情况讨论求解即可.【详解】解：∵等腰三角形一个外角是128°，∴等腰三角形一个内角度数是180°−128°=52°，当顶角的度数为52°时，两个底角的度数均为180°−52°2当底角的度数为52°时，顶角的度数为180°−52°×2=76°，∴这个等腰三角形的顶角的度数是76°或52°，故答案为：76°或52°.4.130°、90°或20°【分析】根据题意分为若∠B=∠C=40°及【详解】解：如图1，在△ABC中，AB=AC，若∠B=

∵点D在直线BC边上，△ABD为直角三角形，且当∠BAD=90°时，∴∠ADC=∠B+∠BAD=40°+90°=130°；如图2，在△ABC中，AB=AC，若∠B=∵点D在直线BC边上，△ABD为直角三角形，且当∠ADB=90°时，

∴∠ADC=90°；如图3，在△ABC中，AB=AC，若∠BAC=40°，

∵点D在直线BC边上，△ABD为直角三角形，且当∠ADB=90°时，∴∠ADC=90°；如图4，在△ABC中，AB=AC，若∠BAC=40°，

∵点D在直线BC边上，△ABD为直角三角形，且当∠BAD=90°时，∴∠B=∠ACB=70°，∴∠ADC=90°−∠B=20°；故答案为：130°、90°或20°【题型3高在形内或形外需分类讨论】1.32°或148°【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，根据题意画出图形，分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求出答案．【详解】解：①当原等腰三角形为锐角三角形时可以画图，则∠ABD=58°，∴顶角为∠A=180°−58°−90°=32°；②当原等腰三角形为钝角三角形时可以画图，此时垂足落到三角形外面，则∠ABD=58°，∴顶角为∠BAC=58°+90°=148°；故答案为：32°或148°．2.25°或40°【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分50°的角分别为顶角和底角两种情况进行讨论求解即可．【详解】解：当50°的角为顶角时，则：两个底角的度数为：12∴一腰上的高与底边所夹的角的度数是：90°−65°=25°，当50°的角为底角时，则：一腰上的高与底边所夹的角的度数是：90°−50°=40°；故答案为：25°或40°．3.140°或40°【分析】本题考查等腰三角形的性质等知识，分两种情形画出图形分别求解即可解决问题．【详解】解：①如图1，当∠BAC是钝角时，由题意：AB=AC，∴∠BAC=∠EAD=360°−90°−90°−40°=140°，②如图2，当∠A是锐角时，由题意：AB=AC，∴∠DHE=140°，∴∠A=360°−90°−90°−140°=40°，综上，该等腰三角形的底角的度数为140°或40°，故答案为：140°或40°．4.30°或90°或150°【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是正确解答本题的关键；分三种情况：当三角形是直角三角形时，底边上的高等于底边长度的一半；当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高等于腰长的一半；当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高等于腰长的一半，分类讨论即可；【详解】解：当三角形是直角三角形时，底边上的高等于底边长度的一半，设等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，BC为底边，且AD=1∵AD是底边上的高，∴D为BC中点，即BD=12∵AD=1∴BD=AD，∴∠B=∠BAD=45°，∵AB=AC，∴∠B=∠C=45°∴顶角∠BAC=180°−2×45°=90°；，当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高等于腰长的一半设等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是腰AC上的高，BD=1在Rt△ABD∵BD=1∴∠A=30°，即此时顶角为30°；当等腰三角形是钝角三角形时，设等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是腰CA延长线上的高，，∴∠ADB=90°在Rt△ABD中，∴∠DAB=30°，∴顶角∠BAC=180°−30°=150°，综上所述：这个等腰三角形的顶角是30°或90°或150°．故答案为：30°或90°或150°．【题型4遇中线时需分类讨论】1.80°或140【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．先由AB=AC，AD是△ABC的中线，且∠B=70°得到∠BAC=40°，∠CAD=∠BAD=20°，再分两种情况讨论得出结果．【详解】解：∵AB=AC，AD是△ABC的中线，且∠B=70°，∴∠BAC=180°−2×70°=40°，∴∠CAD=∠BAD=20°，①当AE∠ADE′则∠AE②当AE=AD时，∠ADE=∠AED=180°−20°故∠AED的度数是80°或140°．故答案为：80°或140°．2.11cm或【分析】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的性质，分腰长与腰长的一半是12cm和15【详解】如图，设腰长为xcm①腰长与腰长的一半是12cmx+1∴x=8，∴底边=15−1∵8+8=16>11∴三角形的三边为8cm、8cm、②腰长与腰长的一半是15cmx+1∴x=10，∴底边=12−1∵10+10=20>7，∴三角形的三边为10cm、10cm、故答案为：11cm或73.16或20【分析】由D为AC中点，得到AD=DC，再根据BD将其周长分成两部分的差为2，分别表示出BD分三角形周长的两部分，求出方程的解得到BC的长．【详解】解：AB=AC=6，D为AC中点，∴AD=DC=3，根据题意得：(AB+AD)−(CB+CD)=2或(CB+CD)−(AB+AD)=2，即(6+3)−(CB+3)=2或(CB+3)−(6+3)=2，解得：BC=4或8，故周长为16或20，故答案为：16或20．

4.20°或50°【分析】本题主要考查等腰三角形的性质（三线合一、等腰三角形两底角相等），熟练掌握等腰三角形的性质，分情况讨论△ADE为等腰三角形的各种情况是解题的关键．先根据等腰三角形三线合一得出∠CAD度数和AD⊥BC，再分三种情况讨论△ADE为等腰三角形时∠【详解】解：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD平分∠BAC，AD⊥BC∵∠∴∠CAD=∠情况一：当AE=AD时∵∠CAD=40°，∴∠∵∠∴∠情况二：当DA=DE时∵DA=DE，∠CAD=40°∴∠DAE=∠∵∠ADC=90°，此时情况三：当EA=ED时∵EA=ED，∠CAD=40°∴∠∵∠∴∠综上，∠EDC的度数是20°或50°故答案为：20°或50°．【题型5遇垂直平分线时需分类讨论】1.30°或110°【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角，分三种情况：当∠BAC是锐角时，根据线段垂直平分线的性质得AD=BD,AE=CE，再根据等腰三角形的性质得∠ABD=∠BAD=∠BAC+∠CAD,∠CAE=∠ACE，然后表示∠CAE=∠ACE=150°−∠BAC−∠CAD，最后根据三角形的内角和定理得出答案；当∠BAC是直角，不符合题意；当∠BAC是钝角时，先表示出∠ABD=∠BAD=∠BAC−∠CAD，再表示出∠ACE=∠CAD−150°+∠BAC，然后根据三角形内角和定理得出答案.【详解】解：当∠BAC是锐角时，如图所示，∵△ABC的两边AB,AC的垂直平分线分别交于直线BC于点D，E，∴AD=BD,AE=CE，∴∠ABD=∠BAD=∠BAC+∠CAD,∠CAE=∠ACE.∵∠DAE=150°−∠BAC，∴∠CAE=∠ACE=150°−∠BAC−∠CAD.∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠CAD+∠BAC+解得∠BAC=30°.当∠BAC是直角，不符合题意；当∠BAC是钝角时，如图所示，∵△ABC的两边AB,AC的垂直平分线分别交于直线BC于点D，E，∴AD=BD,AE=CE，∴∠ABD=∠BAD=∠BAC−∠CAD,∠CAE=∠ACE.∵∠DAE=150−∠BAC，∴∠CAE=∠ACE=∠CAD−(150°−∠BAC)=∠CAD−150°+∠BAC.∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC−∠CAD+∠BAC+解得∠BAC=110°.所以∠BAC的度数是30°或110°.故答案为：30°或110°.2.25°或65°【分析】本题考查等腰三角形，三角形内角和的知识，解题的关键是分类讨论垂直平分线的位置，根据等边三角形的性质，三角形的内角和，进行解答，即可．【详解】解：∵等腰三角形一条腰上的垂直平分线与另一腰的夹角为40°，∴当DE是AC的垂直平分线（图1），∠AED=40°，∴∠EDA=90°，∴∠A=50°，∵△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠C=1当DE是AB的垂直平分线（图2），∠ADE=40°，∴∠DEA=90°，∴∠DAE=50°，∴∠BAC=130°，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=1故答案为：25°或65°．3.65°或25°【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．分两种情况讨论：当点E在线段AB上时，当点E在线段BA的延长线上时，继而根据线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质求解即可．【详解】当点E在线段AB上时，∵DE垂直平分AC，∴EA=EC，∴∠A=∠ACE，∵∠AEC=80°，∴∠A=1∵AB=AC，∴∠B=1当点E在线段BA的延长线上时，∵DE垂直平分AC，∴EA=EC，∴∠EAC=∠ACE，∵∠AEC=80°，∴∠EAC=1∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠EAC=∠B+∠ACB，∴∠B=∠ACB=1故答案为：65°或25°．4.90°−3α2【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理等．先由AB=AC得∠B=∠ACB，由此利用三角形的内角和定理可∠B=90°−12α【详解】解：设AB的垂直平分线交AC于F，垂足为E，如图所示：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠BAC=α，∠B+∠ACB+∠ACB=180°，∴α+2∠B=180°，∴∠B=90°−α∵ED为AB的垂直平分线，∴DB=DA，∴∠BAD=∠B=90°−α当0°<α≤90°时，∠CAD=∠BAD−∠BAC=90°−α当90°<α<180°时，∠CAD=∠BAC−∠BAD=α−90°+1故答案为：90°−3α2或【题型6遇动点时需分类讨论】1.B【分析】此题考查了等腰三角形的定义，等边对等角，解题的关键是分情况讨论．根据题意分情况讨论，分别根据等腰三角形的定义求解即可．【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，AC=8根据题意得，AP=t，①当AP=AC时，t=8，②当AP=PC时，∴∠A=∠PCA，∵∠A+∠B=90°，∠PCA+∠PCB=90°，∴∠PCB=∠B，∴PC=PB=PA=1∴t=5；③若AC=PC=8cm时，点P在AB综上所述，t的值是5或8．故选：B．2.D【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，数形结合，分类讨论，①如图所示，AE=AD；②如图所示，EA=ED；由此即可求解，解题的关键是正确分类，熟练等腰三角形的判定和性质．【详解】解：∵AB=AC，∠B=30°，∴∠B=∠C=30°，则∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−30°−30°=120°，①如图所示，AE=AD，即△ADE是等腰三角形，∵∠AED=∠ADE=40°，∴∠DAE=180°−∠ADE−∠AED=180°−40°−40°=100°，∴∠CAD=∠BAC−∠DAE=120°−100°=20°；②如图所示，EA=ED，即△ADE是等腰三角形，

∴∠EAD=∠EDA=1∴∠CAD=∠BAC−∠EAD=120°−70°=50°；综上所述，∠CAD的度数为20°或50°．故选：D3.1或3【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．由等边△ABC的边长为4cm，点Q是AC的中点，可求得AQ的长，然后∠A=60°，可得△APQ为等边三角形，分析△APQ【详解】解：∵等边△ABC的边长为4cm，点Q是AC∴AQ=1∴当△APQ是等腰三角形时，可得三角形APQ为等边三角形，∴AP=AQ=PQ，∵AQ=2，∴AP=2，∵动点P的速度为2cm∴当P从A→B时，t=2÷2=1，当P从B→A时，t=4+2故答案为：1或3．4.C【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的定义．分三种情况：AP=AC，CP=AC，AP=CP，分别画出图形，得出结果即可．【详解】解：∵∠A=90°，∠B=30°，∴∠C=90°−30°=60°，以点A为圆心，AC为半径画弧，交BC于点P1，交AB于点P

则AP∴当点P运动到点P1、P2位置时，以点C为圆心，AC为半径画弧，交BC于点P3

则CP∵∠C=60°，∴△ACP∴AP∴点P2与P作线段AC的垂直平分线，交BC于点P4

则此时AP∵∠C=60°，∴△AP∴AP∴点P4与P综上分析可知：点P存在2个位置，使△ACP为等腰三角形．故选：C．【题型7遇动线段时需分类讨论】1.15°或75°【分析】本题主要考查旋转的性质以及等边三角形的性质，分顺时针旋转90°和逆时针旋转90°两种情况讨论求解．【详解】解：①当顺时针旋转90°时，如图，根据题意得，∠A∴∠BCA∴∠DA②当逆时针旋转90°时，如图，根据题意得，∠A′∴∠BCA′=∴∠D∴∠DA综上，∠DA′C的度数为：15°故答案为：15°或75°．2.10°或50°【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，将△ABC绕点A顺时针或逆时针旋转20°得到△AB'C'，由等腰三角形的性质求出∠ABC=30°，由旋转的性质及三角形外角和定理——三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，可得出答案，掌握知识点的应用及分类思想讨论是解题的关键．【详解】解：如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转20°得到△AB∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=30°，∵∠BAE=20°，∴∠BEB如图2，将△ABC绕点A逆时针旋转20°得到△AB∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=30°，∵∠BAE=20°，∴∠BEB综上可知：∠BEB′的度数是10°或故答案为：10°或50°．3.85°或115°或145°【分析】此题重点考查旋转的性质、等腰三角形的性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，由AB=AC，∠BAC=90°，得∠ABC+∠ACB=90°，由∠BOC=130°，∠AOB=α，求得∠OBC+∠OCB=50°，α=230°−∠AOC，则∠ABO+∠ACO=40°，由旋转得∠ACD=∠ABO，AD=AO，∠OAD=90°，则∠OCD=40°，∠AOD=45°，求出△COD三个内角分别为∠OCD=40°，∠COD=185°−α，∠CDO=α−45°，再分情况讨论分别列方程求解即可．【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABO+∠OBC+∠OCB+∠ACO=90°，∵∠BOC=130°，∠AOB=α，∴∠OBC+∠OCB=180°−∠BOC=50°，α=360°−∠BOC−∠AOC=230°−∠AOC，∴∠ABO+∠ACO=90°−(∠OBC+∠OCB)=40°，∠AOC=230°−α，∵将△AOB绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△ADC，∴△AOB≌△ADC，∠OAD=90°，∴∠ACD=∠ABO，AD=AO，∠ADC=∠AOB=α，∴∠OCD=∠ACD+∠ACO=∠ABO+∠ACO=40°，∠AOD=∠ADO=45°，∴∠COD=∠AOC−∠AOD=230°−α−45°=185°−α，∠CDO=∠ADC−∠ADO=α−45°，∴△COD三个内角分别为∠OCD=40°，∠COD=185°−α，∠CDO=α−45°，当△COD为等腰三角形，分以下三种情况：当OC=OD时，∠ODC=∠OCD，则α−45°=40°，解得α=85°；当OC=CD时，∠COD=∠CDO，则α−45°=185°−α，解得α=115°；当CD=OD时，∠COD=∠OCD，则185°−α=40°，解得α=145°；综上所述，α=85°或α=115°或α=145°，故答案为：85°或115°或145°．4.70°或55°或40°【分析】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，分三种情形讨论①当AC=AP时，②当PC=PA时，③当CA=CP时，分别利用全等三角形的性质计算即可．解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题．【详解】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠BAC=35°，点O是AB∴OC=OA=OB，∴∠OAC=∠ACO=35°，∠COB=70°，∠AOC=110°，①如图，当AC=AP时，在△AOC和△AOP中，OA=OAAC=AP∴△AOC≌△AOP，∴∠AOC=∠AOP=110°，∴α=∠POB=70°．②如图，当PC=PA时，同理可证△OPA≌△OPC∴∠POA=∠POC=1∴α=∠POB=∠POC−∠COB=55°．③如图中，当CA=CP时，同理可证△COA≌△COB，∴∠COP=∠AOC=110°，∴α=∠POB=∠POC−∠COB=40°，故答案为：70°或55°或40°．【题型8构造等腰三角形时需分类讨论】1.32°或74°或116°【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用．掌握等