第4章重庆大学电路((5))一阶电路和二阶电路

1、第四章第四章 一阶电路和二阶电路一阶电路和二阶电路 本章着重讨论一阶线性电路的本章着重讨论一阶线性电路的 零输入响应零输入响应 阶跃响应、冲激响应阶跃响应、冲激响应 对阶跃激励的全响应对阶跃激励的全响应 关键是掌握关键是掌握三要素法三要素法 熟练地确定电路的初始值、稳态熟练地确定电路的初始值、稳态 值值 熟练求解一阶电路的时间常数并深刻理解其含义熟练求解一阶电路的时间常数并深刻理解其含义 了解二阶电路的时域求解方法，通过其特征根了解二阶电路的时域求解方法，通过其特征根 判断电路的工作状态判断电路的工作状态 1. 概念比较多概念比较多 本章难点：本章难点： 2. 具有具有“强迫跳变强迫跳变”现象

2、的电路的分析求现象的电路的分析求 解解 3. 二阶电路的分析求解二阶电路的分析求解 预习知识：预习知识： 1. 高数中一、二阶常系数微分方程的求解高数中一、二阶常系数微分方程的求解 2. 物理中电流与电荷连续性原理及磁通链物理中电流与电荷连续性原理及磁通链 连续性原理连续性原理 4-1 4-1 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应 zero input response，简称为简称为：rzi 一一. 一阶一阶RC电路的零输入响应电路的零输入响应 t 0 的电路 的电路 0 (0 )(0 ) cc uuU 0 )0(Uuc 由换路定则：由换路定则： R U i 0 )0( 0)0( i t

3、0+的电路的电路 0)( )( tu dt tdu RC c c 特征方程为特征方程为 01RCs 特征根为特征根为 RC s 1 通解为通解为 RC t ts c AeAetu )( 又称为电路的又称为电路的固有频率固有频率 代入初始条件得代入初始条件得 零输入响应零输入响应 0 )( 0 teUtu RC t c 0 0 )0(UAAeuc RC t c Aetu )( 0 )( )( 0 te R U R tu ti RC t c 0 )( 0 0 te R U eU dt d C dt du Cti RC t RC t c 0 )( 0 teUtu RC t c 或者或者 )0( i

4、电流曲线电流曲线 0)( 0 te R U ti RC t 0)0( i 电路的时间常数电路的时间常数(time constant) RC 时间常数时间常数 愈小，放电过程进行得愈快，暂态愈小，放电过程进行得愈快，暂态 过程需要的时间越短；反之，过程需要的时间越短；反之， 愈大，放电过愈大，放电过 程进行得愈慢，暂态过程需要的时间越长。程进行得愈慢，暂态过程需要的时间越长。 0 )( 0 teUtu RC t c 0 )( 0 te R U ti RC t (单位单位: s) 在同一个电路中，在同一个电路中， 各电流、电压响应各电流、电压响应 的时间常数的时间常数 相同相同 的图解法的图解法

5、0 )( 0 teUtu t c U.eUuc 0 1 0 3680)( )( 1 1 0 1 0 1 tu e U eU dt d dt du C t tt t tt c 12 1 )(0 tt tu k C )0()0()( tertr t zi t0+后，各电流、电压响应的波形取决于后，各电流、电压响应的波形取决于 r(0+)和和 0 )( 0 teUtu RC t c 0 )( 0 te R U ti RC t MATLAB作图作图 整个放电过程中电阻吸收的能量为整个放电过程中电阻吸收的能量为 )0()0( 2 1 )()( 2 0 0 20 0 2 CC RC t WWCU dte

6、R U RRdtti t0，电路中无激励源，电阻元件消耗的能量是，电路中无激励源，电阻元件消耗的能量是 电容元件的原（初）始储能。电容元件的原（初）始储能。 工程一般认为换路后工程一般认为换路后45，放电过程结束放电过程结束 例例1. 图示电路在换路前已工作了很长时间，求换图示电路在换路前已工作了很长时间，求换 路后的零输入响应路后的零输入响应i(t)和和uo(t) 解：解： 1 1） V 120V )60 4060 200 ()0( c u V 120)0()0( cc uu 2）t 0 的电路 的电路 120 (0 )1.2A 6040 i (0 )1.2 0.5 6036V o u 3）

7、求）求 1004060 eq R sCReq 66 1021002. 0100 4）各零输入响应的表达式）各零输入响应的表达式 5 5 10 ( )(0 )1.2A t t i tiee 5 5 10 ( )(0 )30V t t oo u tuee （t 0+） 解二解二 V 120)0()0()1 cc uu sCReq 6 1022 ） 5 5 10 3( )(0 )120A 0 t t CC utuee t ） （） 5 5 655 10 5 10 ( ) ( ) 0.02 10120 ( 5 10 ) 1.2A0 t t C dut i tC dt e et （） 5 5 10 (

8、)0.5( ) 60 36V 0 t o u ti t e t （） 二二. 一阶一阶RL电路的零输入响应电路的零输入响应 0 )0()0(Iii LL 0 )0()0(RIRiu LL 0 )0(Ii L 0)0( L u 0)( )( tRi dt tdi L L L t 0+ 特征方程为特征方程为 0 RLs 特征根为特征根为 L R s 通解为通解为 t L R t L AeAeti s )( 代入初始条件得零输入响应代入初始条件得零输入响应 0 )0()( 0 teieIti t L R L t L R L 0 )0( )( )( 0 teu eRI dt tdi Ltu t L R

9、 L t L R L L R L ( )(0 )(0 ) t zi rtret 电流曲线 整个放电过程中电阻吸收的能量为整个放电过程中电阻吸收的能量为 )0()0( 2 1 )()( 2 0 0 2 0 0 2 LL t L R L WWLI dteIRRdtti t0+ ，电路中无激励源，电阻元件消耗的能量，电路中无激励源，电阻元件消耗的能量 是电感元件的原（初）始储能。是电感元件的原（初）始储能。 例例2. 在图示电路中，已知在图示电路中，已知i(0+)=150 mA，求，求t 0+时的响时的响 应应u(t)。 解法一见课本解法一见课本 解法二：解法二： )1 . 0(46 ssss ui

10、iu 3 50 s s eq i u R S R L eq 03. 0 0 mA 150)0( 3 100 teeii t t LL 电感电流为电感电流为 电感电压为电感电压为 0 V 5 . 2)( 3 100 te dt di Ltu t 小结：小结： 一阶电路零输入响应的一般表达式为：一阶电路零输入响应的一般表达式为： CReq eq RL/ )0()0()( tertr t zi 例例3. 图示电路在换路前已工作了很长时间，求换图示电路在换路前已工作了很长时间，求换 路后的路后的uc(t) 、i(t)和和u(t)。 解解:1:1） t=0-时时 V 5 .3725. 66)0( c u

11、 50 (0 )6.25A 26 i 2 2）由换路定则：）由换路定则： V 5 .37)0()0( cc uu(0 )(0 )6.25Aii 3 3）t0+ 时时 uRL电路的时间常数电路的时间常数 s 120 1 60 5 . 0 1 1 120 ( )(0 )6.25A0 t t i tieet uRC电路的时间常数电路的时间常数 s 3 63 2 109 631010 ）（ 2 1000 9 ( )(0 )37.5V0 t t CC utueet V 1000 120 9 6 ( )60 ( ) 50( ) 9 37550250 C t t u ti tut eet 图示电路在换路前已

12、工作了很长时间，求换路后图示电路在换路前已工作了很长时间，求换路后 的零输入响应的零输入响应iL(t)、uC(t)和和i(t) 课堂练习课堂练习 sLL Iii )0()0( 2 )0()0(RIuu sCC eq L R L RR L 32 / CR C1 )0( )0()( teI eiti L tR s t LL eq L )0()0()( 1 2 teRIeutu CR t s t CC C 21 )( )( )( R dt tdi L I R tu ti L s C )0( 21 2 1 te R RI Ie R RI L tR eqs s CR t s eq 4-2 4-2 一阶电

13、路的阶跃响应一阶电路的阶跃响应 阶跃响应阶跃响应(step response) ： 电路在电路在阶跃电压阶跃电压或或阶跃电流阶跃电流激励下的激励下的 零状态响应零状态响应 zero state response，简称为简称为：rzs 00 01 )( t t t 单位阶跃函数单位阶跃函数 （零原始状态）（零原始状态） 一一. 一阶一阶RC电路的阶跃响应电路的阶跃响应 电容的充电过程电容的充电过程 0)0( c u 0)0()0( CR ii 0)0()0( cc uu 0 )0( )0( R u i c R (0 )(0 )1A C i 在在t=0+时刻电容时刻电容 相当于短路相当于短路 当当

14、t 0时时 1 )()( R tu dt tdu C cc uc(0+)=0 C tu RCdt tdu c c 1 )( 1)( )()()(tututu cfctc 一阶非齐次微分方程解的一般形式一阶非齐次微分方程解的一般形式 ： 自由分量自由分量 强制分量强制分量 uct(t)为对应齐次微分方程的通解为对应齐次微分方程的通解 0)( 1)( tu RCdt tdu c c RC t ct Betu )( ucf(t)的形式与输入激励相同，则为一常数，设：的形式与输入激励相同，则为一常数，设： ( ) cf utK 其通解为：其通解为： RBetututu RC t cfctc )()()

15、( C tu RCdt tdu c c 1 )( 1)( 将将ucf(t)K带入上式得：带入上式得： K=R 代入初始条件代入初始条件 uc(0+)=0 得：得： B = R ( ) c u t Re t RC R 电容电压的阶跃响应为电容电压的阶跃响应为 )()1()(teRtu RC t c 电容电压曲线电容电压曲线 )()1()(teutu t cfc )()()(tututu cfctc 自由分量自由分量 强制分量强制分量 暂态分量暂态分量 稳态分量稳态分量 （t） 当输入激励为常数或周期性函当输入激励为常数或周期性函 数时，自由分量就是暂态分量，数时，自由分量就是暂态分量， 强制分量

16、就是稳态分量。否则强制分量就是稳态分量。否则 不能这样划分。不能这样划分。 ( ) c u t Re t RC R 电阻电流为电阻电流为 )(1 )( )(te R tu ti RC t c R ）（ 电容电流为电容电流为 )()()()(tetitti RC t Rc )()()1()( 1 )()1( )( )( teteRte C C teR dt d C dt tdu Cti RC t RC t RC t RC t c c 或者或者 电容电流和电阻电流曲线电容电流和电阻电流曲线 例例1. 已知已知uC(0-)=0 ，求，求uC(t) 和和iC(t) 。 解：解：1） 求求ucf (t)

17、 2 2） 求求 20/(812)10k eq R s CReq 236 1051010105 3 3） 20 ( )( )(1) ( ) 100(1) ( )V t ccf t u tutet et 二二. 一阶一阶RL电路的阶跃响应电路的阶跃响应 0)0( L i 0)0( L u 0)0()0( LL ii (0 )1V L u 在在t=0+时刻电感时刻电感 相当于开路相当于开路 t 0 (*) 1 L i L R dt di L L 0)0( L i t L R Lt Beti )( R B R BiL 11 )0( 带入（带入（*）式）式 得：得： 电感电流的阶跃响应为电感电流的阶跃

18、响应为 )()1( 1 )(te R ti t L R L )()1()(teiti t LfL 电感电压的阶跃响应为电感电压的阶跃响应为 )( )()1( 1 )( te te Rdt d Ltu t L R t L R L 或或 )( )()()( te tRittu t L R LL 一阶电路阶跃响应中的一阶电路阶跃响应中的和和 可表示为可表示为: )()1()(tertr t fzs 小结：小结： CReq eq RL/ 电路的其他响应根据电路的其他响应根据KVL、KCL以及电容元件以及电容元件 和电感元件的和电感元件的VCR关系计算。关系计算。 其中其中rf 分别对应时间趋于无穷时（

19、即电路再分别对应时间趋于无穷时（即电路再 次处于稳定状态时）的电容电压和电感电流次处于稳定状态时）的电容电压和电感电流 例例2. 在图示电路中，已知在图示电路中，已知R1=8 ，R2=8 ，R3=6 ， L=1 H，求在单位阶跃电压激励下的阶跃响应，求在单位阶跃电压激励下的阶跃响应i2 (t)与与uL(t)。 解：解：1 1） 求求i2f (t) S 10 1 eq R L 2 2） 求求 1046 / 213 RRRReq A)()1(05. 0)( 10 2 teti t V )(5 . 0 )()05. 005. 0()(5 . 0)( 10 1010 2 te tte dt di Lt

20、u t tt L 3) 电感电流的阶跃响应为电感电流的阶跃响应为 电感电压的阶跃响应为电感电压的阶跃响应为 电感电流波形电感电流波形 电感电压波形电感电压波形 例例3. 图示图示RC并联电路的电流源的电流是一个矩形脉冲并联电路的电流源的电流是一个矩形脉冲, 求零状态响应求零状态响应uc(t)。 1 1）矩形脉冲电流的阶跃函数表达式矩形脉冲电流的阶跃函数表达式 )2(5)(5)( ttti 解法一解法一 )(15)( 1 teRtu RC t c 2）考虑在考虑在 作用下电容电压的阶跃响应作用下电容电压的阶跃响应 )2(15)( 2 2 teRtu RC t C 3）由于电路是线性电路，满足齐次

21、性。）由于电路是线性电路，满足齐次性。 故在故在 作用下电容电压的阶跃响应为作用下电容电压的阶跃响应为 )2(5)( tti 4 4）根据线性电路的叠加原理，待求的零状态响应为）根据线性电路的叠加原理，待求的零状态响应为 电容电压的波形电容电压的波形 解法二：分段计算解法二：分段计算 1 1）在在0t2s的时间区间，为的时间区间，为零输入响应零输入响应 st eeReutu RC t RCRC t CC 2 )1(5)2()( 222 电容电压的波形电容电压的波形 例例4. 已知已知iL(0-)=0，求零状态响应，求零状态响应iL(t)和和i(t) 。 例例5. 开关作用闭合前电路已工作了很长

22、时间，求开关作用闭合前电路已工作了很长时间，求t0+时时 的的iL(t)和和uC(t) 。 例例4. 解：求电路的阶跃响应解：求电路的阶跃响应 1） 求求iLf (t) LfffLff iiiii 3 5 4)(10 2430 f i 3 A 4 Lf i 2） 求求 ii iu s s 3 24 8 s s eq i u R 3） 求求iL(t) 例例5. 解：解： RC电路求零输入响应电路求零输入响应 RL电路求零状态响应电路求零状态响应 1） (0 )(0 ) 300 96V 300150 CC uu 9 0.06A 150 Lf i 2）s C 36 1055010100 s L 3

23、10 450 150300 1 . 0 3） 200 ( )6V0 t C utet 3 10 ( )0.06(1)A 0 t L ite t 4-3 4-3 一阶电路的冲激响应一阶电路的冲激响应 冲激响应冲激响应(impulse response) ： 电路在电路在冲激电压冲激电压或或冲激电流冲激电流激励下的激励下的 1)()( 0 0)( 0 0 dttdtt tt 单位冲激函数单位冲激函数 一一. 一阶一阶RC电路的冲激响应电路的冲激响应 0 0 1 )( 1 )0( C dtt C uC 2. t = 0-0+，有冲激电流流过电容元件，有冲激电流流过电容元件 0)0( c u 电容相当

24、于电容相当于 短路元件短路元件 1. 3. t 0时，时，(t)=0， 输入为零；已充电的电容对电阻放输入为零；已充电的电容对电阻放 电电 )( 1 )()0()(te C teutu RC t RC t CC 1 )0()( RC t RC t Cc e C eutu 综合考虑所有时段，电容电压可表示为：综合考虑所有时段，电容电压可表示为： 电容电压曲线电容电压曲线 1 ( )( )( ) t RC c i ttet RC 4. 讨论电容电流讨论电容电流 0)(0 tit c 综合考虑所有时段综合考虑所有时段 1 ( ) ( ) ( ) t RC C C det dut C itCC dtd

25、t 解二解二 1 ( )( ) tt RCRC etet RC 1 ( )( ) t RC tet RC 电容电流曲线电容电流曲线 例例1. 求求uC(t) 和和iC(t) 。 解：解： 1) uC(0-) =0 6( )2 ( )( )A 633215 c t i tt 0 0 122 (0 )( )V 0.2153 c ut dt 2)从从 00t 3) 求求 523 eq R sCReq12 . 05 4)电容电压的冲激响应电容电压的冲激响应 2 ( )(0 )( )( )V 3 t t CC utuetet 5) 电容电流的冲激响应电容电流的冲激响应 2 ( )0.2( ) 3 2 (

26、 )( )A 15 tC C t dud itCet dtdt tet 二二. 一阶一阶RL电路的冲激响应电路的冲激响应 电感相当于电感相当于 断路元件断路元件 1. 2. t = 0-0+，有冲激电压施加在电感两端，有冲激电压施加在电感两端 3. t 0时，时，(t)=0， 输入为零；电感对电阻放电输入为零；电感对电阻放电 综合考虑所有时段，电感电流可表示为：综合考虑所有时段，电感电流可表示为： 电感电流曲线电感电流曲线 )()( )( 1 )( te L R t te Ldt d L dt di Ltu t L R t L R L L 4. 讨论电感电压讨论电感电压 0)(0 tut L

27、)()(00ttut L 从从 t L R LL e L R tRitut )()(0 综合考虑所有时段综合考虑所有时段 电感电压曲线电感电压曲线 A2)(2 1 )0( 0 0 dtt L iL 1 s 2 L R 例例2.求图示电路的冲求图示电路的冲 激响应激响应iL(t)与与uL(t)。 解：解： 1) iL(0-) =0 ( )2 ( )V L utt 2)从从 00t 3) 求求 4)电感电流的冲激响应为电感电流的冲激响应为 A)(2)( 2 teti t L 5)电感电压的冲激响应为电感电压的冲激响应为 V )(2)(4 )( )( 22 tete dt tdi Ltu tt L

28、L V )(4)(2 2 tet t 三三. . 冲激响应与阶跃响应间的关系冲激响应与阶跃响应间的关系 )(th dt td t )( )( t t dtt)()( dt tdg th )( )( t dthtg t )()( )(tg 求一阶电路的冲激响应的两种方法：求一阶电路的冲激响应的两种方法： u首先确定在冲激函数作用下电容电压或电感电流的首先确定在冲激函数作用下电容电压或电感电流的 初值（初值（uC(0+)或或iL(0+)）；然后求）；然后求t0后的零输入响应。后的零输入响应。 u将电路中的冲激激励函数将电路中的冲激激励函数 (t)换为阶跃激励函数换为阶跃激励函数(t)， 求其阶跃响

29、应，然后再将阶跃响应对时间求一阶导数求其阶跃响应，然后再将阶跃响应对时间求一阶导数 得到冲激响应。得到冲激响应。 用该方法必须注意：（用该方法必须注意：（1）阶跃响应的时间定义域必）阶跃响应的时间定义域必 须用须用 (t)表示，而且表示，而且 (t)必须参与求导运算，否则会遗必须参与求导运算，否则会遗 漏冲激响应中的冲激函数项。（漏冲激响应中的冲激函数项。（2）所求的阶跃响应）所求的阶跃响应 与要求的冲激响应必须是同一支路的电流（或电压）与要求的冲激响应必须是同一支路的电流（或电压） 响应。响应。 续例续例2. 解：解： 1) iLf=1A 2) 求时间常数求时间常数 s 2 1 R L 3)

30、电感电流的阶跃响应为电感电流的阶跃响应为 A)(1)()( 2 tetitg t Li ）（ 22 ( ) ( ) 1( ) 2( )V ttL u ditd gtLetet dtdt （） 4) 电感电压的阶跃响应为电感电压的阶跃响应为 其冲激响应为其冲激响应为 2 22 2 ( ) ( ) 1( ) 2( )1( ) 2( )A ti i tt t dg td h tet dtdt etet et （） （） 其冲激响应为其冲激响应为 2 22 2 ( ) ( )2( ) 4( )2( ) 2 ( ) -4( )V tu u tt t dgtd h tet dtdt etet tet 课堂

31、练习课堂练习 设电路为零状态，设电路为零状态， us(t)分别取分别取 和和 ，试求两种情，试求两种情 况激励情况下的况激励情况下的uC(t) 和和iC(t) 。 )(t )(t 解：解： 1) 当当 V )()(ttus V 3 2 1 63 6 f u 53 63 63 eq R s12 . 05 CReq V )(1 3 2 )()(tetutg t Cu ）（ A)( 15 2 )(1 3 2 )( 3 2 2 . 0 )()( te tete dt du Ctitg t tt c Ci ）（ 2) 当当 V )()(ttus V)( 3 2 )(1 3 2 )( 3 2 )( t t

32、et dt dg th t u u ） ）（ A)()( 15 2 )( 15 2 )( 15 2 )( tet tete dt dg th t tt i i V )(1 3 2 )(tetg t u ）（ A)( 15 2 )(tetg t i 思考题思考题 请分析插头插入或拔出时的火花现象请分析插头插入或拔出时的火花现象 4-4 4-4 一阶电路对阶跃激励的一阶电路对阶跃激励的 全响应全响应 定义：由阶跃激励与原始储能定义：由阶跃激励与原始储能 共同产生的响应共同产生的响应 注意区分注意区分阶跃响应阶跃响应 例例1. 已知已知uc(0 ) = U0 ，求开关求开关 闭合后的闭合后的uC(t

33、)、iR(t) 解法一解法一. 列写及求解微分方程列写及求解微分方程 1）根据换路定则有：）根据换路定则有： uC(0+)=uC(0 ) = U0 2）t0+有：有： s CC I R u dt du C C I u RCdt du s C C 1 ）（ * 1 C I u RCdt du s C C ( )( )( ) CCtCf ututut KtuCf )(带入（带入（*）式）式 得得： RIK s RC t Ct Betu )( RIUBURIBu ssC 00 )0( 0 ( )()0 t RC Css utUI R eI Rt 解法二解法二. 零输入响应零输入响应+零状态响应零状态

34、响应 1）由原始状态）由原始状态uc(0 )=U0引起的零输入响应为：引起的零输入响应为： 0 ( ) 0 t RC Czi utU et 2）由阶跃电流激励）由阶跃电流激励Is (t)引起的零状态响应为：引起的零状态响应为： ( )(1) (1) 0 t RC CzsCf t RC s utue I Ret 3）全响应为：）全响应为： 0 )1()( 0 teRIeUtu RC t s RC t c 0 ( )()0 t RC Css utUI R eI Rt 0 ( )(1) 0 tt RCRC Cs utU eI Ret 自由分量自由分量强制分量强制分量 暂态分量暂态分量稳态分量稳态分量

35、 零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应 ( )(0 )0 t RC CCCfCf utuueut ( )(0 )10 tt RCRC CCCf utueuet IsR U0 IsR U0 IsR 0时时 1 2525 11 ( )8 ( )2 4A 25 tt C C dutd itCee dtdt 25 1 8 ( ) 12 ( )( )A 25 t C ittet 例例6. 图示电路在开关图示电路在开关S断开前工作在稳定状态，试求断开前工作在稳定状态，试求 开关断开后的电流开关断开后的电流iL2(t)和电压和电压uL2(t)。 解：解：1）换路前）换路前t = 0 时时 A6 A 10

36、 60 )0( 1 L i A0)0( 2 L i t = 0+ 时，两电感串联，必有时，两电感串联，必有 )0()0()0( 21 LLL iii 根据根据回路磁通链不变回路磁通链不变的原则可得的原则可得 )0()( )0()0()0()0( 21 22112211 L LLLL iLL iLiLiLiL 1122 2 12 (0 )(0 ) (0 )(0 ) 60 2A 3 LL LL L iL i ii LL s 15. 0 20 3 1010 21 R L A3 A 1010 60 2 fL i A)()32(3)( 15. 0 2 teti t L 2）t = 时时 3）求）求 4)

37、 写出写出iL2 (t) dt tdi Ltu L L )( )( 2 22 V )(4)( 15. 0 2 15. 0 tte t 电压电压uL2(t)中的冲激部分的强度等于电感元件中的冲激部分的强度等于电感元件L2中磁通链中磁通链 的跳变量的跳变量: Wb4 22)0()0( 2222 LL iLiL 5) 求求uL2 (t) )()3(2 15. 0 te dt d t 4-5 4-5 二阶动态电路分析二阶动态电路分析 一、一、 RLC串联电路的冲激响应串联电路的冲激响应 当当t 0时，时， (t) = 0，所求响应为，所求响应为 0)( )( )( tu dt tdi LtRi c d

38、t tdu Cti c )( )( 特征方程为特征方程为 01 2 RCsLCs 特征根特征根( (即电路的即电路的自然频率自然频率) )为为 LCL R L R LC LCRCRC s 1 222 4)( 2 2 2, 1 0)( )()( 2 2 tu dt tdu RC dt tud LC C CC LC L R defdef 1 2 0 令令 2 0 2 2, 1 s （1）当）当 C L R LCL R 2 1 2 0 或或即即 s1、 、s2为不相等的负实根 为不相等的负实根 （2）当）当 C L R LCL R 2 1 2 0 或或即即 s1、 、s2为共轭复数根 为共轭复数根

39、s1、 、s2为相等的负实根 为相等的负实根 （3）当）当 C L R LCL R 2 1 2 0 或或即即 1. 当当s1、s2为不相等的负实根时，微分方程的通解为为不相等的负实根时，微分方程的通解为: tsts C eAeAtu 21 21 )( 初始条件初始条件为为0)0()0( CC uu LCC i uC 1)0( )0( LC AsAs AA 1 0 2211 21 )( 1 )( 1 21 2 21 1 ssLC A ssLC A C L R LCL R 2 1 2 0 或或即即 电容上的冲激响应电压为电容上的冲激响应电压为 )()( )( 1 )( 21 21 tee ssLC

40、 tu tsts C 冲激响应电流为冲激响应电流为 )( )( 1)( )( 21 21 21 teses ssLdt tdu Cti tsts C 非振荡情形非振荡情形 过阻尼情形过阻尼情形 2 0 2 2,1 s (b) tm t t m阶段阶段 (a) 0 t t m阶段阶段 2. 当当s1、s2为共轭复数根时为共轭复数根时 d js 22 02, 1 代入微分方程的通解代入微分方程的通解: d、 0、 三者之间的关系可用三者之间的关系可用 直角三角形表示直角三角形表示 0 arccos d t)costsin()( 21dd t C AAetu C L R LCL R 2 1 2 0

41、或或即即 t)costsin()( 21dd t C AAetu 初始条件初始条件为为 0)0( C u LCC i uC 1)0( )0( 2 2 210 0 1 d A AA LC 0 2 2 0 1 A A d )(sin)( 2 0 ttetu d t d C )(sin )( )( 2 0 tte dt dC dt tdu Cti d t d C )(cossin 2 0 ttte C ddd t d )(cos 0 tte L d t d 振荡情形振荡情形 欠阻尼情形欠阻尼情形 称为称为衰减常数，衰减常数， 或阻尼常数或阻尼常数 d 称为阻尼振荡角频率称为阻尼振荡角频率 在在R =

42、 0的极限情况下，的极限情况下， = 0， LC d 1 0 uc (t)、i (t) 均变为均变为等幅振荡等幅振荡或称为或称为无阻尼振荡无阻尼振荡 )(sin)( 00 tttuC )(cos 1 )( 0 tt L ti t c etAAtu 21 )( 3. 当当s1、 、s2为相等的负实根时，微分方程的通解为 为相等的负实根时，微分方程的通解为: 代入初始条件代入初始条件 LC AA A 1 0 21 1 LC A A 1 0 2 1 C L R LCL R 2 1 2 0 或或即即 )()( te LC t tu t c )( 1 1)( )( tte Ldt tdu Cti t c

43、 故故 由于由于 = 0的情形界于的情形界于 0的非振荡情形与的非振荡情形与 0 时，有时，有 ( )( ) ( )0 cc L du tu t itC dtR 0 1 ( )(0 )( ) t LLc itiu t dt L 0)( )()( 2 2 tu dt tdu RC dt tud LC C CC 2 2 ( )( ) ( )0 CC C d utdut CLGLut dtdt RLC串联串联 电路电路 2 2 1,2 ()41 222 GLGLLCGG s LCCCLC （1）当）当2 C G L 时，时，s1、s2为不相等的负实根为不相等的负实根 （2）当）当 时，时，s1、s2

44、为相等的负实根为相等的负实根2 C G L 过阻尼状态过阻尼状态 临界阻尼状态临界阻尼状态 （3）当）当 时，时，s1、s2为共轭的复数根为共轭的复数根2 C G L 欠阻尼状态欠阻尼状态 4-6 卷积积分及零状态响应的卷积计算法卷积积分及零状态响应的卷积计算法 卷积积分在电路分析中的应用卷积积分在电路分析中的应用 若已知某线性时不变电路的冲激响应若已知某线性时不变电路的冲激响应h(t)，可求出，可求出 该电路对任意激励该电路对任意激励 f(t)的零状态响应的零状态响应r(t) 零输入响应零输入响应 冲激响应冲激响应 t 0 激励无关，体现电路本身的特性激励无关，体现电路本身的特性 )()(t

45、ht )()( tht )()()()( thftf u激励为冲激函数时激励为冲激函数时 u激励延时的冲激函数时激励延时的冲激函数时 u冲激函数的强度为冲激函数的强度为f( )时时 一、卷积积分的导出一、卷积积分的导出 ( )( ) a f tft )2()()( ttf )3()2()2( ttf )()1( )1( ntntnf (0)( )()ftt )()(tftf a 1 0 )1()()( n k ktktkf )1()( )( 1 0 ktkt kf n k 1 0 )()( n k ktkf 函数函数f(t)作用于电路的零输入响应的近似表达作用于电路的零输入响应的近似表达 1

46、0 )()()( n k ktkftf 1 0 )()()( n k kthkftr t dthftr 0 )()( 0 准确表达准确表达 若被积函数中含有冲激函数，则积分下限应为若被积函数中含有冲激函数，则积分下限应为0 )(*)()(thtftr 卷积积分卷积积分 thtftfthtr t dtfhtr 0 )( 卷积的交换律卷积的交换律 tftft 00 ttftftt 二、卷积积分的物理意义二、卷积积分的物理意义 线性电路在任意时刻线性电路在任意时刻 t 对任意激励的零状态响应，对任意激励的零状态响应， 等于从激励函数开始作用的时刻（等于从激励函数开始作用的时刻（ ）到指定）到指定 时

47、刻（时刻（ ）的区间内，无穷多个幅度不同并）的区间内，无穷多个幅度不同并 依次连续出现的冲激响应的和。依次连续出现的冲激响应的和。 0 t 利用卷积积分求任意输入的零状态利用卷积积分求任意输入的零状态 响应仅适用于线性时不变电路响应仅适用于线性时不变电路 卷积积分不能积分到卷积积分不能积分到 t 时刻以外，时刻以外， 因为因为 t 以后的输入并不影响以后的输入并不影响 t 时刻的时刻的 响应响应 三、卷积积分的图解三、卷积积分的图解 求求f(t)与与h(t)的卷积，实质上是求一个新函数的卷积，实质上是求一个新函数f( )h(t )在在 由由0到到t的区间内的定积分。根据定积分的几何意义，函的区

48、间内的定积分。根据定积分的几何意义，函 数在数在0到到t区间内的定积分值，决定于被积函数区间内的定积分值，决定于被积函数f( )h(t ) 的曲线在该区间内与的曲线在该区间内与 轴之间所限定的面积。轴之间所限定的面积。 例例 其其它它0 401 )( st tvs stst stt th 其它其它0 31)1( 2 1 1 10 )( 求卷积积分求卷积积分)(*)()(thtvty s 解：解： 1) t0时时, , 0 ( )( )*( )( )() t SS y th tv thv td ( )0y t 2) 0t1时时, , 2 0 ( )1 2 t t y td 3) 1t3时时, ,

49、 1 01 2 1 ( )(3) 2 133 424 t y tdd tt 4) 3t4时时, , 13 01 13 ( )(3) 22 y tdd 5) 4t5时时, , 13 41 2 1 ( )(3) 2 113 4 22 t y tdd tt 3 2 4 11749 ( )(3) 2424 t y tt dttt 6) 5t7时时, , 7) t7时时, ,( )0y t 例例1、电路如图所示，、电路如图所示，uS=15e-0.5t (t)V。采用卷积计算。采用卷积计算uC。 四、卷积积分在电路分析中的应用四、卷积积分在电路分析中的应用 解：以解：以uC为响应，求单位阶跃响应为响应，求单位阶跃响应 (0 )(0 )0 CC uu ( )(1) ( ) 0.5(1) ( )V t CCf t utuet et 40 10.5V 4040 Cf u 40 40 0.051 4040 RCs 单位阶跃响应为：单位阶跃响应为：( )0.5(1) ( ) t g tet ( )