高中数学 第三章 导数及其应用 第19课时 导数的实际应用检测 选修1-1

1、学必求其心得，业必贵于专精第19课时 导数的实际应用（限时：10分钟）1以长为10的线段ab为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为（）a10b15c25d50解析：设内接矩形的长为x，则宽为，s2x2y，y50xx3.令y0得x250，x0（舍去），s2625，即s25.答案：c2某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为（单位：米)（）a32,16 b30，15c40,20 d36,18解析：要使材料最省,则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长l2x(x0)，则

2、l2.令l0，得x16或x16(舍去)此时长为32（米)，可使l最小答案：a3已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x（单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（)a13万件 b11万件c9万件 d7万件解析：yx281，令y0，解得x9或x9(舍去),当0x9时，y0；当x9时，y0.所以当x9时，y取得最大值答案：c4某箱子的容积与底面边长x的关系为v（x）x2(0x60)，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为_解析：v（x)，v(x)x260x。令v（x)0，得x40。0x40时，v（x）0；40x60时，v（x)0,x40时，v（x

3、）最大答案：405用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90，再焊接而成(如图）问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少？解析：设容器的高为x，容器的体积为v,则v(902x)（482x)x（0x24），即v4x3276x24 320x。v12x2552x4 320，由v12x2552x4 3200，得x110,x236。0x10时,v0，10x36时，v0,x36时,v0，当x10时，v有极大值v（10）1 960。又0x24，v(10）又是最大值当x10时，v有最大值v(10）1 960.故当容器的高为10 c

4、m时,容器的容积最大,最大容积是1 960 cm3.（限时:30分钟）1某产品的销售收入y1(万元）是产量x(千台)的函数，y117x2；生产总成本y2（万元)也是x的函数，y22x3x2（x0)，为使利润最大，应生产(）a9千台b8千台c6千台 d3千台解析：构造利润函数yy1y218x22x3(x0),求导得y36x6x20，解得x6（x0舍去)所以x6时,函数取得极大值,也是最大值答案：c2有边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起做成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，则剪去的小正方形的边长应为（）a18 b10c8 d1解析：设正方形的边长为x，则v（82x)(5

5、2x）x2（2x313x220x）,v4(3x213x10），令v0，得x1，所以当x1时，容积v取最大值为18.答案：d3若一球的半径为r,则内接于球的圆柱的侧面积最大为(）a2r2 br2c4r2 d。r2解析:如图，设内接圆柱的底面半径为r，母线长为l,则rrcos,l2rsin，s侧2rcos2rsin4r2sincos.s4r2(cos2sin2）4r2cos20，。当，即rr时，s侧最大且(s侧)max2r2。答案:a4用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒所做的铁盒的容积最大时，在四角截去的正方形的

6、边长为(）a6 b8c10 d12解析：设截去的小正方形的边长为x cm,铁盒的容积为v cm3，由题意，得vx(482x)2（0x24），v12（24x)(8x)令v0，则在(0,24）内有x8，故当x8时，v有最大值答案：b5某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品若该商品零售价定为p元，销售为q，销量q（单位：件）与零售价p（单位：元）有如下关系：q8 300170pp2,则最大毛利润为（毛利润销售收入进货支出)（）a30元 b60元c28 000元 d23 000元解析：设毛利润为l（p)，由题意知,l(p）pq20qq（p20)(8 300170pp2)（p20)p3150p2

7、11 700p166 000，所以l（p)3p2300p11 700。令l（p）0，解得p30或p130(舍去）此时，l(30）23 000。根据实际问题的意义知，l(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23 000元答案：d6要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边长之比为12，则它的长为_cm,宽为_cm，高为_cm时,可使表面积最小解析：设底面两邻边长分别为x cm，2x cm，则高h.表面积s4x22（x2x）4x2（x0）s8x(x327）令s0,解得s在(0,)内的唯一可能的极值点为x3，x3时函数取极值，且就是它的最小值答案:6347

8、做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱，它的高为_dm时最省料解析：设底面边长为x dm，则高h,其表面积为sx24xx2,s2x，令s0，得x8,则高h4（dm）答案：48一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示)当帐篷的顶点o到底面中心o1的距离为_时,帐篷的体积最大解析:设oo1为x m，底面正六边形的面积为s m2，帐篷的体积为v m3。则由题设可得正六棱锥底面边长为（m），于是底面正六边形的面积为s6(）2(82xx2)帐篷的体积为v(82xx2)(x1）（82xx2)(82xx2）(1612xx3)，求导数，得v（123x2)令

9、v0，解得x2或x2（不合题意，舍去)当1x2时，v0;当2x4时,v0。所以当x2时，v最大答案:2 m9一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？解析：设轮船速度为x(x0）千米/时的燃料费用为q元，则qkx3，由6k103，可得k。qx3。总费用yx2.y。令y0，得x20。当x(0，20）时，y0,此时函数单调递减，当x（20，）时，y0,此时函数单调递增当x20时，y取得最小值，此轮船以20千米/时的速度行驶每千米的费用总和最小10统计表

10、明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为yx3x8（0x120)已知甲、乙两地相距100千米(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解析：(1）当x40时，汽车从甲地到乙地行驶了2.5小时，要耗油2。517.5(升)（2）当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x）升，依题意得h（x）x2(0x120），h（x)(0x120）令h(x）0，得x80.因为x(0,80）时,h(x）0，h（x）是减函数；x(80，

11、120）时，h(x）0，h（x)是增函数，所以当x80时，h(x)取得极小值h(80）11.25（升）因为h(x）在（0,120上只有一个极小值,所以它是最小值即汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升11为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用c(单位：万元）与隔热层厚度x(单位：cm）满足关系：c（x)（0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和（1）求k的值及f(x）的表达式；（2)隔热层修建多厚时，总费用f(x）达到最小，并求最小值解析:(1）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为c（x），再由c（0）8,得k40,因此c(x）.而建造费用为c1（x)6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x）20c（x）c1(x）206x6x（0x10）（2)f(x）6。令f(x)0，即6