平面单元等效结点荷载计算

1、2021年7月平面单元等效结点荷载计算1 x y 1 2 3 u1 v1 u2 v2 u3 v3 (x1, y1) (x2, y2) (x3, y3) 1 1 2 2 3 3 123 456 v e u v u a v u v uxy xy 节点的位移向量： 六个节点位移只能确定六个多项式的系数， 所以取这样的位移函数。该位移函数，将 单元内部任一点的位移设定为坐标的线性 函数，该位移模式很简单。其中1-6为广义 坐标或待定系数，可据节点1、2、3的位 移值和坐标值求出。 2021年7月平面单元等效结点荷载计算2 112131145 161 212232245262 312333345363

2、112314 212325 312336 6 1 2 uxyvxy uxyvxy uxyvxy aaau bbbu A cccu 将节点位移带入： 最终确定 个待定系数： 1231 1232 1233 1 2 aaav bbbv A cccv 2021年7月平面单元等效结点荷载计算3 11 22 33 12332 123 132 111122223333 111122223333 1 21 1 1,2,3 1 ()()() 2 1 ()()() 2 xy Axy xy ax yx y byy cxx uab xc y uab xc y uab xc y u A vab xc y vab xc

3、y vab xc y v A 其中： 轮换 为为2A第第1行各行各 个元素的代个元素的代 数余子式数余子式 2021年7月平面单元等效结点荷载计算4 123 1.(,),1,2,3 2.1 3. ijjij i N xyi j NNN N 插值函数的性质： 的阶数与假设的 位移函数阶数相同 4. 数值在01之间 1111 22223333 1 1 1232 1232 3 3 123 1 () 2 11 ()() 22 000 000 e i Nab xc y A Nab xc yNab xc y AA u v NNNuu uNa NNNvv u v NINININI N 若令： 其中为二阶单位

4、矩阵 ： 插值函数（形状函数） 插值函数 矩阵或形 函数矩阵 2021年7月平面单元等效结点荷载计算5 x y 1 (a,0) 2 (0,a) 3 (0,0) 例题：图示等腰三角形单元，求其插值函数矩阵N。 12332 123 132 0 0 ax yx y byya cxx 23113 231 213 0 0 ax yx y byy cxxa 2 31221 312 321 ax yx ya byya cxxa 2021年7月平面单元等效结点荷载计算6 2 1111 2 2222 2 2 3333 2 2 11 ()(00) 2 11 ()(00) 2 11 ()()1 2 0010 000

5、1 a A x Nab xc yax Aaa y Nab xc yay Aaa xy Nab xc yaaxay Aaaa xyxy aaaa N xyxy aaaa 三角形的面积： 2021年7月平面单元等效结点荷载计算7 连续弹性体离散为单元组合体时，需把弹性体承受的任意分布的载连续弹性体离散为单元组合体时，需把弹性体承受的任意分布的载 荷都向节点转移，而成为节点等效载荷（或节点等效力）。如果弹性荷都向节点转移，而成为节点等效载荷（或节点等效力）。如果弹性 体承受的载荷全都是集中力，则将所有集中力的作用点取为节点，就体承受的载荷全都是集中力，则将所有集中力的作用点取为节点，就 不存在转移的

6、问题，集中力就是节点等效载荷。但实际问题往往受有不存在转移的问题，集中力就是节点等效载荷。但实际问题往往受有 分布的面力和体力，都不可能只作用在节点上。因此，必须进行载荷分布的面力和体力，都不可能只作用在节点上。因此，必须进行载荷 转移。如果集中力的作用点未被取为节点，该集中力也要向节点转移。转移。如果集中力的作用点未被取为节点，该集中力也要向节点转移。 将载荷转移到节点上，必须遵循静力等效的原则。静力等效是指原将载荷转移到节点上，必须遵循静力等效的原则。静力等效是指原 载荷与节点载荷在任意虚位移上做的虚功相等。前面推导时使用的能载荷与节点载荷在任意虚位移上做的虚功相等。前面推导时使用的能 量

7、泛函量泛函p对对ae进行变分之后产生的进行变分之后产生的ae实际上就是虚位移，以上公式实际上就是虚位移，以上公式 可以适用于任意复杂的荷载情况。可以适用于任意复杂的荷载情况。 如果单元为线性单元（如，本章的三节点三角形单元），则可以采如果单元为线性单元（如，本章的三节点三角形单元），则可以采 用直接的静力等效法和虚功等效法。用直接的静力等效法和虚功等效法。 2021年7月平面单元等效结点荷载计算8 图示结构的网格共有四个单元 和六个节点。在节点1、4、6共 有四个支杆支承。结构的载荷 已经转换为节点载荷。 整体分析的四个步骤： 1、建立整体刚度矩阵； 2、根据支承条件修改整体刚度 矩阵； 3、

8、解方程组，求节点位移； 4、根据节点位移求出应力。 2 P3y P3x 3 1 4 5 6 P2x P1y a a aa 1 3 3 2 2 1 11 22 33 2021年7月平面单元等效结点荷载计算9 1,11,21,111,1211 2,12,22,112,1222 11,111,211,1111,121111 12,112,212,1112,121212 KaP kkkkaP kkkkaP kkkkaP kkkkaP 即： 1、建立整体刚度矩阵 上图中的结构有六个节点，共有12个节点位移分量(自由度) 和12个节点力分量，它们之间的关系为： 11 11 11 22 66 1111 66

9、 1212 x y x y PuaP PvaP PuaP PvaP 总体刚度方程 中的自由度与 节点位移之间 的对应关系 2021年7月平面单元等效结点荷载计算10 2、根据支承条件修改整体刚度矩阵。 建立整体刚度矩阵时，每个节点的位移当作未知量看待， 没有考虑具体的支承情况，因此进行整体分析时还要针对 支承条件加以处理。 在上图的结构中，支承条件共有四个，即在节点1、4、6 的四个支杆处相应位移已知为零：u1=u4=v4=v6=0 建立节点平衡方程时，应根据上述边界条件进行处理。 3、解方程组，求出节点位移。 通常采用消元法和迭代法两种方法。 4、根据节点位移求出应力。 2021年7月平面单

10、元等效结点荷载计算11 1、总刚形成的物理背景： 刚度矩阵中的元素，即由节点作单位位移时引起的节点力。在 单刚Ke中，Kije表示第j个位移(自由度)给一单位位移，其它位移 为零时，单元在第i位移方向上引起的节点力；类似，在整体刚阵 中，Ki,j表示第j个自由度给一单位位移，其它自由度为零时，整 体结构在第i个自由度上引起的节点力（即所有与第i、j个自由度 相关的单元在第i个自由度上引起的节点力之和）。 如上图结构，计算K3,5时（第3和5个自由度分别对应第2和3号 节点的u,即x向位移），与节点2和3相关的单元有单元和，当 节点3发生x向单位位移时，相关单元和同时在节点2的x向引 起节点力，

11、将这两个力相加，就得出 K3,5 = K511 + K153 。由 此看出，总刚的刚度系数是相关单刚的刚度系数的集成。 2021年7月平面单元等效结点荷载计算12 2、刚度矩阵的集成规则： 1）在整体离散结构变形后，应保证 各单元在节点处仍然协调地相互连接， 即在该节点处所有单元在该节点上有 相同位移。 2）整体离散结构各节点应满足平衡 条件。即环绕每个节点的所有单元作 用其上的节点力之和应等于作用于该 节点上的节点载荷Ri。 1 2 i 3 4 1 2 i Ri 3 4 2021年7月平面单元等效结点荷载计算13 1、对称性、对称性。由Kij的物理意义和互易定理可以很容易得到此结 论。 利用

12、对称性可以只存贮矩阵的上三角部分，节省近一半 的存贮容量。 2、稀疏性、稀疏性。 矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。 2 3 1 4 5 6 节点1只与周围的两个节点(2、3)用三角形单 元相连，它们是1的相关节点。在矩阵K中， 第1行的非零元素只有6个(对应于相关节点的 x,y向自由度)。 问题的规模越 大，矩阵中的 非零元素所占 的比例就越小 2021年7月平面单元等效结点荷载计算14 3、带形分布规律、带形分布规律。 右图中，矩阵K的非零元素分布在 以对角线为中心的带形区域内，称为 带形矩阵。在半个带形区域中(包括对 角线元素在内)，每行具有的元素个数 叫做半带宽，用d表示

13、。半带宽的一般 计算公式是： 半带宽 d = (相邻结点码的最大差值 + 1) * 2 左图中相邻节点码的最大差值为4， 故d=(4+1)*2=10 利用带形矩阵的特点并利用对称性， 可只存贮上半带的元素，叫半带存贮。 若每行都取不同的半带宽则称作轮廓 线存储。 1 1 1098765432 10 9 8 7 6 5 4 3 2 2021年7月平面单元等效结点荷载计算15 图(a)中的矩阵K为n行n列矩阵，半带宽为d。半带存贮 时从K中取出上半带元素，按图(b)中的矩阵K的排列方式进 行存贮，即将上半部斜带换成竖带。存贮量n*d，存贮量与K 中元素总数之比为d/n，d值越小，则存贮量约省。 矩

14、阵矩阵K 矩阵矩阵K* 对角线对角线 第第1 1列列 r r行行 r r行行 r r列列 4545度斜线度斜线 r r行行s s列列 r r行行s-r+1s-r+1列元素列元素 元素元素 d n (a)K nn d (b) K* 2021年7月平面单元等效结点荷载计算16 同一网格中，如果采用不同的节点编码，则相应的半带 宽d也可能不同。如图，是同一网格的三种节点编码，相邻节 点码的最大差值分别为4、6、8，半带宽分别为10、14、18。 因此，应当采用合理的节点编码方式，以便得到最小的半带 宽，从而节省存贮容量。 1 6 10987 4 3 2 5 1 8 7654 3 9 2 10 1 4

15、 10987 6 3 2 5 2021年7月平面单元等效结点荷载计算17 4 4、K Kii ii0 0 5 5、带入边条件之前，总刚各行（列）元素之和等于、带入边条件之前，总刚各行（列）元素之和等于0 0 6 6、带入边条件之前，总刚奇异、带入边条件之前，总刚奇异 2021年7月平面单元等效结点荷载计算18 无约束结构的整体刚度矩阵是奇异的，即整体平衡方 程的解不唯一。位移约束常分为：节点固定和给定节点位 移两种约束。 由于引入位移约束条件通常在整体刚阵及节点载荷形 成后进行（也有在此之前进行的，如直接删除法），即此 时K、R中的元素均已按一定顺序分别储存于相应的数 组，故引入位移约束时，要

16、求尽量不要打乱K、R的储 存顺序。 引入约束的方法常有： 1）直接带入法 2）对角元素置1法 3）大数法 4）直接删除法（降阶法） 5）罚单元法 2021年7月平面单元等效结点荷载计算19 1）直接带入法（降阶法） bb aa aaab bbabb b aaaaabb a bbaabbb aP aPKK aKK P KaPKa a PKaKa 为已知位移组成的列向量，为对应的支座反力 求得之后可按下式求得支座反力： 改变了原方程 的顺序，只适 用于一些简单 的问题 2021年7月平面单元等效结点荷载计算20 2）对角元素置1法 处理ai=b形式的 边条件。 111111 1 0 010 0 n

17、i i nnnnnni kkaRk b ab kkaRk b 111111 1 1 in iiiinii nninnnn kkkaP kkkaP kkkaP 2021年7月平面单元等效结点荷载计算21 图示结构，对边界支承条件处理后，整体刚度矩阵修改为：图示结构，对边界支承条件处理后，整体刚度矩阵修改为： 2 P3y P3x 3 1 4 5 6 P2x P1y a a aa 1 3 3 2 2 1 11 22 33 100000000000 *00*0 *00*0 *00*0 *00*0 *00*0 100000 10000 *0 *0 *0 1 对称 2021年7月平面单元等效结点荷载计算2

18、2 3）大数法（适合于计 算机处理） 1 111111 1 1 in iiiiniii nninnnn kkkaP kkkak b kkkaP 1 1 1 11111 1 () iiiiinnii iiiiiiiinniiiii i k ak ak ak b k akakak ak ak b ab i 第 行展开之后： 两边同除以 ： 近似满足的条件 2021年7月平面单元等效结点荷载计算23 4）直接删除法 只能处理ai=0的情况。在单刚集成总刚 时，对应与自由度ai的元素不进入 总刚，即 在建立节点自由度与方程号之间的对照表时， 把对应自由度的ID设成0。 这种方法降低了总刚的阶数。 20

19、21年7月平面单元等效结点荷载计算24 5）罚单元法：适于处理自由度耦合的约束 1 1212 m T ii i TT mm T T AuauS uuuuAaaa S AAuS A AAS A 耦合约束方程：为某一实数 采用大数法，同时保证对称性： 为大数 把看成单刚，看成单元荷载列向量 以同样的方法集成到总刚中 2021年7月平面单元等效结点荷载计算25 记 L1=A1/A L2=A2/A L3=A3/A P点对应的面积坐标(L1, L2, L3) 面积坐标相互不完全独立： L1+L2+L3=1 显然 Li(xi,yi)=ij (i,j=1,2,3) 1 2 3 p A2 A3 A1 x y

20、A 三角形的高次单元如 果仍然直角坐标系来 定义插值函数Ni，其 公式将变得很复杂， 若采用面积坐标则很 简单 122111 33 12332123132 1 11 1() 22 1 xy Axyab xc y xy ax yx ybyycxx 其中 1,2,3下 标轮转 2021年7月平面单元等效结点荷载计算26 L1、L2、L3实际上就是推导三节点三角形平面单元时的N1、 N2、N3 面积坐标与直角坐标之间的变换关系： 11111 22221232 33312333 312 123 123123 12 1 11111 1 2 1 () 2 LLabc LabcxxxxxL A abcyyy

21、yyLL LLL bbb xxLxLxLALLL LL yyLy 和 导数关系： 3 123 23123 1 () 2 L ccc LyLALLL 2021年7月平面单元等效结点荷载计算27 12 1 12 12 123 1 0 121212 ! ! () (1 ( , ) ( 2 ) )! abc A p bcb c LL D x yxx J IL L L dxdy b c xpx dxp b JJ LLdxdyJ dLdLAd LL D L L yy LdL c 为 推导公式： 以 和作为独立变量， 推导过程中需利用公式： 求可先求 , 11 0 0 11 0 11() () 11 ()

22、1 p c p bcb p bc d px xpxxdx bbdx c xpxdx b 分部积分 2021年7月平面单元等效结点荷载计算28 1 11 23211 00 1 1 111 0 12 2() ! ! 2(1) (1)! ! ! ! 2 (2)! ! ! (1)! L bca ab c ab l IAL L dL L dL b c ALLdL bc a b c A abc a b L L dsl ab 若在一条边上积分（例，在1-2边上）： 利用此式可以重新 计算线性三角形单 元侧边均布压力的 节点等效力 2021年7月平面单元等效结点荷载计算29 12 ! ! (1)! ab l

23、a b L L dsl ab 利用公式： 例：q为线荷载密度，利用面积坐标计 算节点1、2的等效节点力。 x y 2 q 3 1 11 312 123 11 31 1 221 3 2 3 3 () 0 00 0() 0 00 00 0 x x e s ll y yyyy Tqqbyy yyb Lq yy bN N TNL q yy Pdsds bTN N N 线荷载可写成：其中 2021年7月平面单元等效结点荷载计算30 1122 11112 111122 333 21112 211122 333 1 2 () ()() 2366 () ()() 2633 ll ll yL yL y Lq yyyyyqqlql dsL yL yL y ds bbb L q yyyyyqqlql dsLyL yL y ds bbb 在边上： 所以三角形线荷载在1,2号节点的节 点等效力分别为： 63 00 qlql 和 2021年7月平面单元等效结点荷载计算31 完全二次多项式完全二次多项式。 一次项保证了完备性完备性。 单元边界为二次变化， 完全边界节点决定， 保证了协调性协调性 1(1,0,0) 2(0,1,0) 3(0,0,1) 4(1/2,1/2,0) 5