第7章 刚体力学

1、P261（习题）：（习题）： 7.1.3，7.2.2，7.3.3 第七章部分习题第七章部分习题 第七章第七章 刚体力学刚体力学 (9(9学时学时) ) 7.1 7.1 刚体运动的描述刚体运动的描述 7.2 7.2 刚体的动量和刚体的动量和质心运动定理质心运动定理 7.3 7.3 刚体刚体定轴转动的角动量定轴转动的角动量转动惯量转动惯量 7.4 7.4 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 7.5 7.5 刚体刚体平面运动的动力学平面运动的动力学 7.6 7.6 刚体的平衡刚体的平衡 7.7 7.7 自转与转动自转与转动 刚体刚体: : 是受力时不改变形状和体积的物体是受力时不改变形状和

2、体积的物体. . 是一种是一种理想模型理想模型. . 特点特点 (1)(1)是一个是一个质点系质点系（刚体可以看成由许多质点组（刚体可以看成由许多质点组 成，每一个质点叫做刚体的一个成，每一个质点叫做刚体的一个质元质元. .） (2)(2)组内组内任意两质元间的距离保持不变任意两质元间的距离保持不变. . 刚体是一个不变的（连续分布）质点系刚体是一个不变的（连续分布）质点系 c N i i amF 1 k0k EEAA 内内外外 t L t L M i i d d d d 外外 dt pd F N i iN i i 1 1 质点系质点系动量定理动量定理 质点系对参考点的质点系对参考点的角动量定

3、理角动量定理 质点系的质点系的动能定理动能定理 质点系的质点系的质心运动定律质心运动定律 7.1 刚体运动的描述刚体运动的描述 7.1.2 刚体绕固定轴的转动刚体绕固定轴的转动 7.1.1 刚体的平动刚体的平动 7.1.3 角速度矢量角速度矢量 7.1.4 刚体的平面运动刚体的平面运动 7.1.1 刚体的平动刚体的平动 O j r i r ij r 平动平动刚体运动时刚体运动时,刚体内任一直线恒保持平行的刚体内任一直线恒保持平行的 运动运动. 7.1 刚体运动的描述刚体运动的描述 t r t r i j d d d d ij vv ij aa 2 2 2 2 d d d d t r t r i

4、 j ,的的矢矢量量指指向向质质元元表表示示质质元元图图中中jirij ijij rrr 为为恒恒矢矢量量由由平平动动定定义义 ij r 取参考点取参考点O 结论：结论：刚体平动时刚体平动时,其上各点具有相同的速度、加速其上各点具有相同的速度、加速 度度.可用一个质点的运动代替刚体的运动可用一个质点的运动代替刚体的运动. O j r i r ij r 若刚体运动时若刚体运动时, ,其上各质元都在垂直于某一直线的平面内作圆其上各质元都在垂直于某一直线的平面内作圆 周运动且圆心在该直线上周运动且圆心在该直线上. .这种运动称定轴转动这种运动称定轴转动. .该直线称为转该直线称为转 轴轴. . 二、

5、刚体绕固定轴的转动二、刚体绕固定轴的转动 (1) 刚体上各点都在垂直于固定轴的平面内刚体上各点都在垂直于固定轴的平面内(转动平面转动平面) 做圆周运动做圆周运动.其圆心都在一条固定不动的直线其圆心都在一条固定不动的直线(转轴转轴)上上. (2) 刚体上各点到转轴的垂直线在同刚体上各点到转轴的垂直线在同 样的时间内所转过的角度都相同样的时间内所转过的角度都相同.因而因而 用用角量角量描述刚体的运动描述刚体的运动. 1.1.定轴转动特征定轴转动特征 O O x O p 称称角位置或角坐标角位置或角坐标. 规定逆时针转向规定逆时针转向 为正为正. 2. 定轴转动的描述定轴转动的描述 (1) 角坐标角

6、坐标 刚体定轴转动刚体定轴转动 的运动学方程的运动学方程 (2) 角位移角位移 为为 t时间内刚体所转过的角度时间内刚体所转过的角度. = (t) x O p (3) 角速度角速度 tt t d d lim 0 在定轴转动中在定轴转动中,转向只可能有两转向只可能有两 个方向个方向.取逆时针转动取逆时针转动 0，顺顺 时针转动时针转动 0. rad/s 30 60 2nn 每分转每分转n转转 角速度角速度 x O P(t) P(t+ t ) + (4) 角加速度角加速度 tt t d d lim 0 可正可负可正可负, 当当 与与 同号时同号时,转动加快转动加快,异号时减慢异号时减慢. 角加速度

7、角加速度 2 00 2 1 tt 匀变速转动匀变速转动 =常量常量 ）（ 0 2 0 2 2 t 0 与质点匀变速直线运动公式相对应与质点匀变速直线运动公式相对应. tt d)(d tt d)(d t tt 0 0 d)( t tt 0 0 d)( (5)刚体定轴转动运动方程刚体定轴转动运动方程 匀速转动匀速转动 =常量常量 t 0 (6) 角量与线量的关系角量与线量的关系 线量线量质点做圆周运动的位移质点做圆周运动的位移r、速度、速度v、加速度、加速度a 角量角量描述刚体转动整体运动的描述刚体转动整体运动的 rs r r v a 2 2 n ra t rv 注注: r 的原点必须在转轴上的原

8、点必须在转轴上. 弧长弧长 线速度线速度 切向加速度切向加速度 法向加速度法向加速度 ， r s O t e x y 7.1.3角速度矢量角速度矢量 O 角速度是矢量，其方向沿转角速度是矢量，其方向沿转 轴且与刚体转动方向成右手螺旋轴且与刚体转动方向成右手螺旋 系统系统. 若刚体同时参与两个轴的转动，若刚体同时参与两个轴的转动， 则合成角速度按平行四边形法则进则合成角速度按平行四边形法则进 行合成行合成. O 2 1 A A A 注：注：角速度总是与无限小角位移角速度总是与无限小角位移 相联系相联系,无限小角位移是矢量无限小角位移是矢量,所以所以 角速度也是矢量角速度也是矢量.而有限角位移不而

9、有限角位移不 是矢量是矢量. rv 角速度和角加速度在直角坐标系的正交分解式为角速度和角加速度在直角坐标系的正交分解式为 k j i zyx k j i zyx t x x d d 其中其中 t y y d d t z z d d 刚体作定轴转动，令转轴与刚体作定轴转动，令转轴与 z 轴重合，轴重合， 有有k z k z 0 yx 7.1.4刚体的平面运动刚体的平面运动 刚体的平面运动刚体的平面运动刚体内所有的点都平行于某一固刚体内所有的点都平行于某一固 定平面而运动定平面而运动. 如车轮滚动等如车轮滚动等. 1.刚体的平面运动特点：刚体的平面运动特点： (1)每一质元轨迹都是一条平面曲线，质

10、心始终落在每一质元轨迹都是一条平面曲线，质心始终落在 一个平面上一个平面上. (3)刚体内垂直于固定平面的直线上的各点，运动状刚体内垂直于固定平面的直线上的各点，运动状 况都相同况都相同. (2)转轴总是保持平行，并与固定平面垂直转轴总是保持平行，并与固定平面垂直. (4)可用与固定平面平行的平面在刚体内截出一平面可用与固定平面平行的平面在刚体内截出一平面 图形来代表刚体图形来代表刚体. 2. 平面运动的方程平面运动的方程 刚体平面运动刚体平面运动 = B点平动点平动 + 绕绕B点轴转动点轴转动 建立坐标系建立坐标系Oxyz，使平面图形在，使平面图形在Oxyz面内面内, z轴轴 与屏幕垂直与屏

11、幕垂直. 在平面上任取一点在平面上任取一点B，称为基点，以基点，称为基点，以基点B为原为原 点建各坐标轴平行于点建各坐标轴平行于Oxyz的动坐标系的动坐标系Bx y z . B B r B B r A A A A 12 2 jtyitxtr BBB )()()( )(t O x y x y 点点的的位位矢矢点点相相对对是是BA r 3. 平面运动的刚体上任意一点的速度平面运动的刚体上任意一点的速度 平面上平面上A点相对于点相对于Oxyz系的位置矢量系的位置矢量 rrr B vv t r t r t r v B B d d d d d d 刚体绕过基点的角速度刚体绕过基点的角速度 rv rvv

12、B 4.无滑滚动无滑滚动(纯滚动纯滚动)条件条件 (1)有滑动滚动和无滑动滚动有滑动滚动和无滑动滚动 有滑滚动有滑滚动接触面之间有相对滑动的滚动接触面之间有相对滑动的滚动(摩擦力不够大摩擦力不够大). 无滑滚动无滑滚动接触面之间无相对滑动的滚动接触面之间无相对滑动的滚动(摩擦力足够摩擦力足够 大大) 也称纯滚动也称纯滚动. 无滑滚动条件无滑滚动条件: rv zcy ra zcy rvv c 当边缘上一点当边缘上一点P与支承面接触的瞬时，与支承面接触的瞬时，0 v 证证 以圆柱体中心轴线上一点以圆柱体中心轴线上一点C为基点为基点,则边缘上一点则边缘上一点 rv zcy 0 rvc A x yO

13、C r c v v r c v v r c v P 实际上实际上,当柱体绕中心转动当柱体绕中心转动,其中心轴前进的距离其中心轴前进的距离 ryc rvc rac r r y C 2 r 微分微分 例题例题 如图所示如图所示, 初时方轮一尖角在链槽夹角处，经转初时方轮一尖角在链槽夹角处，经转 过过90 ,相邻尖角进入相邻尖槽。转 相邻尖角进入相邻尖槽。转45 时，方形一边中 时，方形一边中 点恰好在链座最高点处点恰好在链座最高点处. 方形轮到中心方形轮到中心A至链座支持面至链座支持面SS 保持等距离保持等距离. 取方轮取方轮 1/8，中心，中心A与方轮的边和链座曲线与方轮的边和链座曲线 之切点的

14、连线总与之切点的连线总与SS垂直垂直.R=AB表示轮中心至其尖角的表示轮中心至其尖角的 距离距离.求链座表面的曲线求链座表面的曲线. x y O A B E T P 解解 取链座某尖槽处为坐标原点建立取链座某尖槽处为坐标原点建立Oxy坐标系坐标系.按已按已 知条件，取知条件，取A至切点至切点T连线并延长至连线并延长至P，它垂直于，它垂直于x轴轴. 因中心因中心A总保持同样高度，故总保持同样高度，故 RTPAT ,cos2/ RAT yTP 令令 RyR cos2/ tan d d x y 因因 22 sectan1 又又 22 )( 2 ) d d (1yR Rx y (2) (1) 故得所求

15、曲线的方程故得所求曲线的方程 用用 表示角位移表示角位移, 它表示链座曲线为一悬链连它表示链座曲线为一悬链连. x R d 2 1 d 2 88137. 02arch)/2(ch kRxk )/2(ch 2 1 1 RxkRy 采用采用 ，（，（1）式变成）式变成 sec 22 d d 1,2/ ）（又又有有 x y RyR x R x y x y d d 2d d d d d d 取取 方程（方程（2）变为）变为 用积分表得用积分表得 回到原来变量回到原来变量 y，有，有 7.2 刚体的动量和质心运动定理刚体的动量和质心运动定理 7.2.1 刚体的质心刚体的质心 7.2.2 刚体的动量和质心

16、运动定理刚体的动量和质心运动定理 7.2 刚体的动量和质心运动定理刚体的动量和质心运动定理 7.2.1 刚体的质心刚体的质心 在在O-xyz坐标中，质点系的质心坐标为坐标中，质点系的质心坐标为 i ii c m xm x i ii c m ym y i ii c m zm z 对质量连续分布的刚体对质量连续分布的刚体, V V c m mx x d d V V c m my y d d V V c m mz z d d 刚体是特殊质点系，上述各式同样适用于刚体刚体是特殊质点系，上述各式同样适用于刚体. V V c V Vx x d d 引入体密度引入体密度 V V c V Vy y d d V

17、 V c V Vz z d d 均质物体均质物体 V Vx x V c d V Vy y V c d V Vz z V c d 例题例题1求质量均匀，半径为求质量均匀，半径为R的半球的质心位置的半球的质心位置. 解解 设半球的密度为设半球的密度为 ，将半球分割成许多厚为，将半球分割成许多厚为dx的圆的圆 片，任取其一片，任取其一 xxRxyVd)(dd 222 R 8 3 3/2 d)( 3 0 22 R xxRx R 33 3 2 3 4 2 1 RRV V Vx x V c d 由对称性得由对称性得 0 cc zy x R O y z y xxd 例题例题2 在半径为在半径为R的均质等厚大

18、圆板的一侧挖掉半径为的均质等厚大圆板的一侧挖掉半径为 R/2的小圆板的小圆板,大小圆板相切大小圆板相切,如图所示如图所示.求余下部分的质心求余下部分的质心. x y O 解解 由对称性，由对称性，yc= 0 余下部分余下部分 0 c x 2 1 4 1 Rm 2/ 1 Rx c 2 2 4 3 Rm 2 2 22 4 3 2 4 1 0 R xR R R c 6 2 R x c 2 Rm 设平板面密度为设平板面密度为 , 大圆板大圆板 小圆板小圆板 7.2.2 刚体的动量和质心运动定理刚体的动量和质心运动定理 刚体动量刚体动量 c vmp 质心运动定律质心运动定律 c c i am t v m

19、F d d 质心加速度质心加速度刚体的总质量刚体的总质量 刚体所受的外力矢量和刚体所受的外力矢量和 例题例题3一圆盘形均质飞轮质量为一圆盘形均质飞轮质量为m=5.0kg，半径为，半径为 r=0.15m,转速为转速为n=400r/min.飞轮作匀速转动飞轮作匀速转动.飞轮质心飞轮质心 距转轴距转轴d=0.001m，求飞轮作用于轴承的压力，求飞轮作用于轴承的压力.计入飞轮计入飞轮 质量但不考虑飞轮重量（这意味着仅计算由于飞轮的转质量但不考虑飞轮重量（这意味着仅计算由于飞轮的转 动使轴承受到的压力，不考虑飞轮所受重力对该压力的动使轴承受到的压力，不考虑飞轮所受重力对该压力的 影响）影响）. rad/

20、s 9 .41rad/s 30 1416. 3400 30 n 解解 根据质心运动定理根据质心运动定理 N 8 . 8N001. 09 .410 . 5 22 dmF P262 P262 习题习题7.2.37.2.3 【分析分析】：设杆在：设杆在o-xy平面内运动。因杆平面内运动。因杆 在运动过程中，只受竖直向上的支承力和在运动过程中，只受竖直向上的支承力和 竖直向下的重力的作用，在水平方向无竖直向下的重力的作用，在水平方向无外外 力作用力作用即质心即质心C无水平方向的移动，只能无水平方向的移动，只能 沿沿y轴作加速直线运动，最后倒在桌面上。轴作加速直线运动，最后倒在桌面上。 N mg x y

21、 o ( , )a x y 【解解】： 建立建立O-XY坐标系如图所示坐标系如图所示 上端点上端点a:cos ; 2 l xsinyl 消去消去 得：得： 222 4xyl 7.3 刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量转动惯量转动惯量 7.3.1 刚体定轴转动对轴上一点的角动量刚体定轴转动对轴上一点的角动量 7.3.2 刚体对一定转轴的转动惯量刚体对一定转轴的转动惯量 7.3.3 刚体定轴转动的角动量定理和转动定理刚体定轴转动的角动量定理和转动定理 7.3.4 刚体的重心刚体的重心 7.3.5 典型例子典型例子 7.3 刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量转动惯量转动惯量 7.3.1

22、刚体定轴转动对轴上一点的角动量刚体定轴转动对轴上一点的角动量 1.转轴为对称轴转轴为对称轴 z m1 m2 O r1 r2 2 r 1 r L 1 L 2 L 如图如图,对对O点点 k 1111 vmrL 2222 vmrL 1111 vmrL 2222 vmrL 因因m1= m2= m kLL coscos 222111 vmrvmrL 2 2mr rrr 21 rvv 21 故总角动量故总角动量 2.转轴为非对称轴转轴为非对称轴 z m1 m2 O 2 1 2 r 1 r L 1 L 2 L k 如图如图, 对对O点同样有点同样有 1111 vmrL 2222 vmrL 1111 vmrL

23、 2222 vmrL 21 LLL 总角动量与转轴成总角动量与转轴成 角角. 刚体绕对称轴转动时，刚体上任一点的角动量刚体绕对称轴转动时，刚体上任一点的角动量 与角速度方向相同与角速度方向相同.一般情况，刚体定轴转动对轴上一般情况，刚体定轴转动对轴上 一点的角动量并不一定沿角速度的方向，而是与之一点的角动量并不一定沿角速度的方向，而是与之 成一定夹角成一定夹角. 7.3.2 刚体对一定转轴的转动惯量刚体对一定转轴的转动惯量 ii i i vmrL 质点系对点的角动量质点系对点的角动量 设刚体绕设刚体绕Oz 轴转动，刚体角动量在轴转动，刚体角动量在 z 轴的投影轴的投影 i izz LL i i

24、ir m )( 2 ziiz rv 2 2 rmI iz 刚体对刚体对 z 轴转动惯量轴转动惯量 刚体对刚体对 z 轴角动量轴角动量 zzz IL 转动惯量是转动惯性的量度转动惯量是转动惯性的量度. 22 ML mkg 单单位位： 1.转动惯量转动惯量 二转动刚体发生完全非弹性碰撞角动量守恒二转动刚体发生完全非弹性碰撞角动量守恒 质量连续质量连续 分布的刚体分布的刚体 Vm Sm lm mrI dd dd dd d 2 体 面 线 其中其中 、 、 分别为质量的线密度、面密度和体分别为质量的线密度、面密度和体 密度密度. 转轴的位置转轴的位置; 质量分布质量分布. 总质量；总质量； 转动惯量的

25、决定因素：转动惯量的决定因素： 例例1求均质圆盘求均质圆盘(m,R)过圆心且与板面垂直的转轴的过圆心且与板面垂直的转轴的 转动惯量转动惯量 . 解解 24 2 1 2 1 mRhR x y z r dr盘由许多环组成盘由许多环组成 mrIdd 2 mrId 2 rhrrd2 2 R rrh 0 3d 2 2.几种典型形状刚体的转动惯量几种典型形状刚体的转动惯量 圆筒圆筒 )( 2 1 2 2 2 1 RRmI 圆环圆环I=mR2 R m O O 圆柱圆柱 2 2 1 mRI L R R2 R1 2 12 1 mlI 细圆棒细圆棒 l R 圆球圆球 2 5 2 mRI 球壳球壳 R 2 3 2

26、mRI (1)平行轴定理平行轴定理 A B C dx mi i i i iiC mI 2 对对C A轴平行轴平行C 轴（质心轴）轴（质心轴） 对对A i i A mI 2 由图由图 iiii dd cos2 222 i i A mI 2 )cos2( 22 iiii ddm dmdmm iiiiii 2cos 22 iiiii xmm cos 故：故： 2 mdII cA 平行轴定理平行轴定理 0 c mx 4.反映转动惯量性质的定理反映转动惯量性质的定理 (2)垂直轴定理（正交轴定理）垂直轴定理（正交轴定理） mi i x y z yi xi O yxz III (3)可叠加原理可叠加原理

27、若一个复杂形状的物体是由许多简单形体组成，若一个复杂形状的物体是由许多简单形体组成， 则这个复杂物体的对某轴的转动惯量等于各简单形则这个复杂物体的对某轴的转动惯量等于各简单形 体对同一转轴的转动惯量之叠加体对同一转轴的转动惯量之叠加. 7.3.3 刚体定轴转动的角动量定理和转动定理刚体定轴转动的角动量定理和转动定理 zz z iz I tt L M d d d d i izz LL zz i ii Irm )( 2 刚体对定轴的角动量刚体对定轴的角动量 角动量定理微分形式角动量定理微分形式 0 d zzzzz IItM 角动量定理积分形式角动量定理积分形式 刚体定轴转动刚体定轴转动 I = 常

28、量常量 zziz IM 刚体定轴转动的转动定理刚体定轴转动的转动定理 说明：说明：地位相当与maFIM) 1 ( 式式中中各各量量对对同同一一转转轴轴)2( .0 0 , ,3 恒量， ，若则常量）（ MMI 验证刚体定轴转动定理的演示实验验证刚体定轴转动定理的演示实验 7.3.4 刚体的重心刚体的重心 重心重心刚体处于不同方位时刚体处于不同方位时,重力作用线都要通过的那重力作用线都要通过的那 一点一点. 如图如图,被悬挂刚体处于静止被悬挂刚体处于静止,C为重心为重心,因因C不动不动,可视为可视为 转轴转轴.因为刚体静止因为刚体静止,所以诸体元重力对所以诸体元重力对C 轴合力矩为零轴合力矩为零

29、. x z C i W y A B D W C C A B D W 0)( cii xxW W zW z ii c gmW ii 则重心坐标与质心坐标同，但概念不同则重心坐标与质心坐标同，但概念不同. 质心是质量质心是质量 中心，其运动服从质心运动定理中心，其运动服从质心运动定理. 重心是重力合力作重心是重力合力作 用线通过的那一点用线通过的那一点. W xW x ii c W yW y ii c 若取若取 7.3.5 典型例子典型例子 例题例题2如图如图(a)表示半径为表示半径为R的放水弧形闸门，可绕图的放水弧形闸门，可绕图 中左方质点转动，总质量为中左方质点转动，总质量为m,质心在距转轴质

30、心在距转轴 处，处， 闸门及钢架对质点的总转动惯量为闸门及钢架对质点的总转动惯量为 ,可用钢可用钢 丝绳将弧形闸门提起放水，近似认为在开始提升时钢丝绳将弧形闸门提起放水，近似认为在开始提升时钢 架部分处于水平，弧形部分的切向加速度为架部分处于水平，弧形部分的切向加速度为a=0.1g，g 为重力加速度为重力加速度,不计摩擦不计摩擦,不计水浮力不计水浮力. 2 9 7 mRI R 3 2 图图(a) （1）求开始提升时的瞬时，钢丝绳对弧形闸门的拉力）求开始提升时的瞬时，钢丝绳对弧形闸门的拉力 和质点对闸门钢架的支承力和质点对闸门钢架的支承力. （2）若以同样加速度提升同样重量的平板闸门）若以同样加

31、速度提升同样重量的平板闸门图图(b) 需拉力是多少？需拉力是多少？ T F W 图图(b) x y O N F T F W 图图(a) 解解（1）以弧形闸门及钢架）以弧形闸门及钢架 为隔离体，受力如图为隔离体，受力如图(a)所示所示. 建立直角坐标系建立直角坐标系Oxy， c amWFF NT 向向x及及y轴投影得轴投影得 根据转动定理根据转动定理 x cx maF N z mRRmgRF 2 T 9 7 3 2 y cy maFmgF NT 0 x c a R a z Ra zcy 3 2 起动时起动时 根据质心运动定理根据质心运动定理 即起动瞬时绳对闸板的拉力为即起动瞬时绳对闸板的拉力为

32、，质点，质点O 对闸门钢对闸门钢 架的支承力竖直向上，大小等于架的支承力竖直向上，大小等于29mg/90. mg 90 67 T F W 图图(b) mgF y 90 29 N mgF 90 67 T 0 N x F (2) 用用 表示提升平板形闸门所用的拉力，对闸门应表示提升平板形闸门所用的拉力，对闸门应 用牛顿第二定律，得：用牛顿第二定律，得： T F mgF 10 11 T 比较上面结果，可见提升弧形闸门比较上面结果，可见提升弧形闸门 所用的拉力较小所用的拉力较小. mamgF T 例题例题3如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。 待测刚体装

33、在转动架上，线的一端绕在转动架的轮轴上，待测刚体装在转动架上，线的一端绕在转动架的轮轴上， 线与线轴垂直，轮轴的轴体半径为线与线轴垂直，轮轴的轴体半径为r，线的另一端通过定，线的另一端通过定 滑轮悬挂质量为滑轮悬挂质量为m的重物，已知转动架惯量为的重物，已知转动架惯量为I0 ，并测得，并测得 m自静止开始下落自静止开始下落 h 高度的时间为高度的时间为 t ,求待测物体的转动求待测物体的转动 惯量惯量I，不计两轴承处的摩擦，不计滑轮和线的质量，线，不计两轴承处的摩擦，不计滑轮和线的质量，线 的长度不变的长度不变. h I I0 r m 解解分别以质点分别以质点 m 和转动系统和转动系统 I+I

34、0 作为研究对象，作为研究对象， 受力分析如图受力分析如图. x y O N F 1T F 2T F W maFmg 2T )( 01T IIrF 2T1T FF ra 2 2 1 gth 0 2 2 )1 2 (I h gt mrI 7.4刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 7.4.1力矩的功力矩的功 7.4.2 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 7.4.3 刚体的重力势能刚体的重力势能 ddddrFrFrFA 对有限角位移对有限角位移 dd 0 0 z MrFA 作用于刚体的外力的功，可用外作用于刚体的外力的功，可用外 力对转轴的力矩力对转轴的力矩 所做的功来计算所做

35、的功来计算. 力矩的功率：力矩的功率： zzz M t M t A P d d d d 7.4.1力矩的功力矩的功 刚体中刚体中P点在力点在力 的作用下位移的作用下位移 则则力元功力元功 F r d F O z r F F d z F P r r d 7.4.2 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 当刚体绕定轴转动时当刚体绕定轴转动时,其动能为所有质点作圆其动能为所有质点作圆 周运动动能的总和周运动动能的总和. 2 k 2 1 z IE 2 kk 2 1 iii vmEE 2 2 2 1 iir m 2 2 )( 2 1 iir m 2 k 2 1 iii vmE 任意质元的动能为：

36、任意质元的动能为： 1. 定轴转动刚体的动能定轴转动刚体的动能 刚体的动能刚体的动能 2. 定轴转动刚体的动能定理定轴转动刚体的动能定理 2 0 2 2 1 2 1 zzi IIAA 外外外外 zz IM d 0 izi MA 外外外外 d d d t I z 0 d z I 作用于刚体的外力对固定轴的力矩所做的功等作用于刚体的外力对固定轴的力矩所做的功等 于刚体绕定轴转动动能的改变量于刚体绕定轴转动动能的改变量. d z I 7.4.3 刚体的重力势能刚体的重力势能 c mgyE p 刚体的重力势能与质量集中在质心上的一个质点刚体的重力势能与质量集中在质心上的一个质点 的重力势能相同的重力势

37、能相同. iigy mEpgym ii )( m gymm ii )( 刚体的重力势能刚体的重力势能 例题例题1装置如图所示，均质圆柱体质量为装置如图所示，均质圆柱体质量为m1，半径为，半径为R， 重锤质量为重锤质量为m2 ，最初静止，后将重锤释放下落并带动，最初静止，后将重锤释放下落并带动 柱体旋转，求重锤下落柱体旋转，求重锤下落 h 高度时的速率高度时的速率v，不计阻力，不计阻力， 不计绳的质量及伸长不计绳的质量及伸长. 1 m 2 m h R 解解 方法方法1. 利用质点和刚体转利用质点和刚体转 动的动能定理求解动的动能定理求解. 2 2T2 2 1 vmhFghm 22 1 2 T 4

38、 1 2 1 RmIRF 由质点动能定理由质点动能定理 由刚体动能定理由刚体动能定理 约束关系约束关系 Rv hR 联立得联立得 21 2 2 2 mm ghm v 方法方法2. 利用质点系动能定理求解利用质点系动能定理求解 将转动柱体、下落物体视作质点系将转动柱体、下落物体视作质点系 由质点系动能定理由质点系动能定理 22 1 2 2 22 22 ) 2 1 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 RmvmIvmghm 约束关系约束关系 Rv hR 联立得联立得 21 2 2 2 mm ghm v 例题例题2均质杆的质量为均质杆的质量为m，长为，长为l,一端为光滑的支点一端为光滑的支点.最最 初

39、处于水平位置，释放后杆向下摆动，如图所示初处于水平位置，释放后杆向下摆动，如图所示. （1）求杆在图示的竖直位置时，其下端点的线速度）求杆在图示的竖直位置时，其下端点的线速度v； （2）求杆在图示的竖直位置时，杆对支点的作用力）求杆在图示的竖直位置时，杆对支点的作用力. O N F n e t e 解解(1)由机械能守恒得由机械能守恒得 2 2 1 Imghc lhc 2 1 2 3 1 mlI 联立得联立得 glv3 CEp=0 W (2)根据质心运动定理根据质心运动定理 c amWF N tNtc maF 分量式分量式 c c r v mmgF 2 Nn 杆处于铅直位置时不受力矩作用，由转

40、动定理，角杆处于铅直位置时不受力矩作用，由转动定理，角 加速度为零，所以加速度为零，所以 0 Nt F gl v vlr cc 3 2 1 2 , 2 1 mgmgmgFF 2 5 2 3 NnN 方向向上方向向上 . 又又 7.5 刚体平面运动的动力学刚体平面运动的动力学 7.5.1 刚体平面运动的基本动力学方程刚体平面运动的基本动力学方程 7.5.2 作用于刚体上的力作用于刚体上的力 7.5.3 刚体平面运动的动能刚体平面运动的动能 7.5.4 滚动摩擦力偶矩滚动摩擦力偶矩 7.5.5 汽车轮的受力汽车的极限速度汽车轮的受力汽车的极限速度 7.5 刚体平面运动的动力学刚体平面运动的动力学

41、7.5.1 刚体平面运动的基本动力学方程刚体平面运动的基本动力学方程 平面运动平面运动 = 平动平动+定轴转动定轴转动 1.求质心的运动求质心的运动 根据质心运动定律根据质心运动定律 ci amF cxix maF cyiy maF m 刚体的质量刚体的质量. 所有外力的矢量和所有外力的矢量和, i F 刚体作平面运动，受力必是平面力刚体作平面运动，受力必是平面力 直角坐标系中的分量式直角坐标系中的分量式 (7.5.1) 2. 刚体绕质心的转动刚体绕质心的转动 在质心系中刚体作定轴转动在质心系中刚体作定轴转动. 选质心坐标系选质心坐标系 Cxyz ,设设z为过质心而垂直于固为过质心而垂直于固

42、定平面的轴定平面的轴. 在质心系中在质心系中 t L MM z i d d 惯惯外外 M外 外i 外力对质心的力矩 外力对质心的力矩, 又又 M惯 惯= 0 M惯 惯 惯性力对质心力矩 惯性力对质心力矩. zzc zzcz i I t I t L M d )(d d d 外外 zzci IM 外外 即刚体相对于质心的轴的转动同样服从定轴转即刚体相对于质心的轴的转动同样服从定轴转 动定律动定律. 式式(7.5.1)和和(7.5.2)称刚体平面运动的基本动称刚体平面运动的基本动 力学方程力学方程. (7.5.2) 7.5.2 作用于刚体上的力作用于刚体上的力 1.作用于刚体上力的两种效果作用于刚体

43、上力的两种效果 滑移矢量滑移矢量 (1) 施于刚体的力的特点施于刚体的力的特点 作用力通过质心，对质心轴上的作用力通过质心，对质心轴上的 力矩为零，使刚体产生平动力矩为零，使刚体产生平动. 力作质心轴的力矩使刚体产力作质心轴的力矩使刚体产 生角加速度生角加速度. 施于刚体的某个点的力施于刚体的某个点的力,决不可以随便移到另一点去决不可以随便移到另一点去. A F BF (2) 施于刚体的力是滑移矢量施于刚体的力是滑移矢量 右图中右图中,施于施于A点的力点的力 F 可用施于可用施于B点的力点的力F 代替代替,即力可沿作用线滑移即力可沿作用线滑移. A B C 作用于刚体的力的三要素：作用于刚体的

44、力的三要素： F F F 大小、方向和作用线大小、方向和作用线. 2.力偶和力偶矩力偶和力偶矩 力偶力偶:大小相等方向相反彼此平行的一对力大小相等方向相反彼此平行的一对力. 21 FF 2211 FrFrM 力力偶偶121 )(Frr 112 Fr 大小大小 FdrM sin 12力力偶偶 与参考点的选择无关与参考点的选择无关. O d m1 m2 2 r 12 r 1 r 2 F 1 F 一般作用于刚体的力等效一般作用于刚体的力等效 于一作用线通过质心的力和一于一作用线通过质心的力和一 力偶，这力的方向和大小与原力偶，这力的方向和大小与原 力相同，而力偶矩等于原力对力相同，而力偶矩等于原力对

45、 质心轴的力矩质心轴的力矩. 7.5.3 刚体平面运动的动能刚体平面运动的动能 22 k 2 1 2 1 cc ImvE 动能动能 动能定理动能定理 ) 2 1 2 1 ( 22 cc ImvA 外外 22 2 1 2 1 ccc ImvmghE 机械机械 如果刚体不太大，若刚体在运动中只有保守力如果刚体不太大，若刚体在运动中只有保守力 作功，则系统的机械能也守恒作功，则系统的机械能也守恒. 例题例题1如图，固定斜面倾角为如图，固定斜面倾角为 ，质量为，质量为 m 半径为半径为 R 的均质圆柱体顺斜面向下作无滑滚动，求圆柱体质心的的均质圆柱体顺斜面向下作无滑滚动，求圆柱体质心的 加速度加速度a

46、c 及斜面作用于柱体的摩擦力及斜面作用于柱体的摩擦力F . x y O C x y 解解 N F F W 根据质心运动定理根据质心运动定理 c amFWF N y 轴上投影轴上投影 c maFW sin 对质心轴的转动定理对质心轴的转动定理 Rac sin 3 1 sin 3 2 mgFgac 2 2 1 mRIFR 无滑滚动无滑滚动 例题例题2质量为质量为m的汽车在水平路面上急刹车，前后轮均的汽车在水平路面上急刹车，前后轮均 停止转动停止转动. 前后轮相距前后轮相距L，与地面的摩擦因数为，与地面的摩擦因数为 .汽车质汽车质 心离地面高度为心离地面高度为h，与前轮轴水平距离为，与前轮轴水平距离

47、为l .求前后车轮对求前后车轮对 地面的压力地面的压力. O C x y x y 1 F 2 F 1N F 2N F 解解 汽车受力如图汽车受力如图. c amFFFFW 2N1N 0 2N1N WFFy 轴投影轴投影 2N21N1 FFFF 0)()( 1N2N21 lFlLFhFF 对质心轴的转动定理对质心轴的转动定理 根据质心运动定理根据质心运动定理 LhlmgF LhlLmgF / )( / )( 2N 1N 由上面方程可解出由上面方程可解出 根据牛顿第三定律，前后轮对地面的压力大小分别为根据牛顿第三定律，前后轮对地面的压力大小分别为 FN1、FN2 ，但方向向下，但方向向下. 例题例

48、题3 在例题在例题1中，设圆柱体自静止开始滚下，求质中，设圆柱体自静止开始滚下，求质 心下落高度心下落高度 h 时，圆柱体质心的速率时，圆柱体质心的速率. x y OC x y N F F W 解解 因为是无滑滚动，静摩因为是无滑滚动，静摩 擦力擦力F 不做功，只有重力不做功，只有重力W 做功，机械能守恒做功，机械能守恒. 222 4 1 2 1 mRmvc Rvc ghvc3 3 2 222 ) 2 1 ( 2 1 2 1 mRmvmgh c 无滑滚动条件无滑滚动条件 7.5.4 滚动摩擦力偶矩滚动摩擦力偶矩 滚动摩擦发生的原因：滚动摩擦发生的原因：是物体与接触面处的非弹是物体与接触面处的非

49、弹 性形变引起性形变引起. 设滚轮在接触区无形变，地面有非弹性形变设滚轮在接触区无形变，地面有非弹性形变. O N F W O N F W P F N F O N F W P F M滚 滚 如图如图 对质心产生反向力矩对质心产生反向力矩 滚动摩擦力矩滚动摩擦力矩M滚 滚N F N FM 滚滚 摩擦因数，由实验测摩擦因数，由实验测. M滚 滚 使物体角速度减小，则接触面各点有向前滑动趋势， 使物体角速度减小，则接触面各点有向前滑动趋势， 从而产生反向摩擦力（滚动摩擦）使物体减速从而产生反向摩擦力（滚动摩擦）使物体减速. 滚动阻力因数滚动阻力因数 ,/r r是轮半径是轮半径. 路面类型路面类型 良

50、好的沥青或混凝土路面良好的沥青或混凝土路面 0.0100.018 一般的沥青或混凝土路面一般的沥青或混凝土路面 0.0180.020 坑洼的卵石路面坑洼的卵石路面 0.0350.050 泥泞土路（雨季或解冻）泥泞土路（雨季或解冻） 0.1000.250 结冰路面结冰路面 0.0100.030 表表7.2常见汽车轮在几种典型路面上的常见汽车轮在几种典型路面上的 值值 滚动摩擦滚动摩擦 滑动摩擦滑动摩擦 C N F W M滚 滚 F f F C F A 设滚子匀速滚动，则阻力和阻力矩分别为设滚子匀速滚动，则阻力和阻力矩分别为 FF f 0 f 滚滚 MrF N FM 滚滚 联立得联立得 WW r

51、F r FF Nf 若滚子匀速平动若滚子匀速平动 WFF N 表表7.2与表与表3.2相比，有相比，有 FF 7.5.5 汽车轮的受力汽车的极限速度汽车轮的受力汽车的极限速度 C N F W M滚 滚 N F F M驱 驱 f F M滚驱 滚驱 C N F W M滚 滚 F f F 驱动轮驱动轮 被动轮被动轮 Nf F r F 0 f 滚滚驱驱 MrFM rMrMMF/ )( f驱驱滚滚驱驱 rM/ 驱驱 汽车牵引力汽车牵引力 例题例题4桑塔纳汽车匀速行驶桑塔纳汽车匀速行驶,汽车横截面积为汽车横截面积为 S=1.89m2, 空气阻力因数空气阻力因数Cv=0.425. 发动机功率为发动机功率为P

52、发 发=60kW,设经内 设经内 部传动机构能量损失部传动机构能量损失10%,空气密度空气密度 =1.2258 Ns2/m4. 汽车行驶所受空气阻力汽车行驶所受空气阻力 求汽车沿水平路求汽车沿水平路 面行驶的最高速率面行驶的最高速率vmax 2 f 2 1 SvCF v 解解 取发动机燃烧物以外的整个汽车为质点系取发动机燃烧物以外的整个汽车为质点系 功功 0 内内外外 AA 功率功率 0 内内外外 PP P外 外= P发发+滚动摩擦力偶矩功率 滚动摩擦力偶矩功率+空气阻力功率空气阻力功率P阻 阻 不计滚动摩擦力偶矩功率不计滚动摩擦力偶矩功率 0 2 1 3 max SvCP v 发发 km/h

53、107 . 1)/2( 23/1 max SCPv v 发发 估算滚动摩擦力偶矩的功率估算滚动摩擦力偶矩的功率 滚动摩擦力偶矩的功率滚动摩擦力偶矩的功率 vW ,W为总车重为总车重 取取 01. 0 km/h107 . 1 2 max v 得滚动摩擦力偶矩的功率得滚动摩擦力偶矩的功率 7.0 kW 影响最高速度的主要因素是空气阻力影响最高速度的主要因素是空气阻力. 7.6 刚体的平衡刚体的平衡 7.6.1 刚体的平衡方程刚体的平衡方程 7.6.2 杆的受力特点杆的受力特点 7.6 刚体的平衡刚体的平衡 7.6.1 刚体的平衡方程刚体的平衡方程 无平动无平动 0 i M 0 i F （对某定点如

54、（对某定点如A） 刚体平衡的充要条件刚体平衡的充要条件 无转动无转动 当两条件满足时，外力对任何定点的力矩的矢当两条件满足时，外力对任何定点的力矩的矢 量和也为零量和也为零. 0 ix F Fiy0 0 iz M 是力对是力对z轴力矩的代数和为零轴力矩的代数和为零,z是垂直于是垂直于Oxy面的任意轴面的任意轴. 其中其中 0 iz M 刚体平衡方程的其它形式刚体平衡方程的其它形式 0 ix F 0 iz M 0 z i M 0 iz M 0 z i M 0 z i M (1) 诸力对任意轴的力矩和为零诸力对任意轴的力矩和为零. 在力的作用平面内选在力的作用平面内选O 和和O 两个参考点，两个参考点，OO 连线不与连线不与Ox轴正交轴正交 (2) 在力的作用平面内选在力的作用平面内选O、O 和和O 三个参考点，三个参考点， O、O 和和O 三点不共线三点不共线 7.6.2 杆的受力特点杆的受力特点 在下面三个条件下，可认为杆仅受两力而平衡在下面三个条件下，可认为杆仅受两力而平衡. 1. 杆件两瑞与其它物体的联结是光滑铰链联结杆件两瑞与其它物体的联结是光滑铰链联结.对对 光滑铰链联结光滑铰链联结,只有通过节点的压力只有通过节点的压力. 节点节点铰销中心铰销中心. 2. 负荷对杆的作用力过节点负荷对杆的作用力过节