高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.2 指数扩充及其运算性质学案 北师大版

1、学必求其心得，业必贵于专精3。2 指数扩充及其运算性质5核心必知1分数指数幂(1)定义：给定正实数a,对于任意给定的整数m，n(m，n互素）,存在唯一的正实数b，使得bnam,把b叫作a的次幂,记作ba，它就是分数指数幂(2)几个结论：正分数指数幂的根式形式:a（a0）负分数指数幂的意义：a（a0，m，nn,且n1)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义2指数幂的运算性质若a0,b0,对任意实数m,n，指数运算有以下性质：(1)amanamn;（2）（am)namn；(3）（ab)mambm.问题思考1若b253，则b5，b叫作5的次幂吗？提示：不一定，当b0时，可以;当b0时，b不叫

2、作5的次幂 2为什么分数指数幂中规定整数m，n互素?提示：如果没有这个规定将导致幂的运算结果出现矛盾例如:a中,底数ar，当a0时，a0，而如果把a写成a,有两种运算：一是a(a）2就必须a0；二是a(a2),在a0时，a的结果大于0，与a0相矛盾所以规定整数m、n互素3分数指数幂a可以理解为个a相乘,对吗？提示：分数指数幂a不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法，规定:a（)m（a0，n、mn，且为既约分数）,a(a0，n、mn,且为既约分数）讲一讲1用分数指数幂表示下列各式(1)（a0)； (2)；(3）（）（b0）此类问题应熟练应用a（a0,m，nn，且n1）当所求根式含有多重根号时

3、,要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再根据性质进行化简练一练1用分数指数幂表示下列各式(1）8;(2)a2;(3) (a0)；（4)(a0)解:(1)8232232.（2)原式a2aa2a。（3)原式 a.（4）原式a2a.讲一讲2计算或化简（1）a3b2(2ab1）3;（2）(0。064)0（2）3160.75；（3）0.50。1230；(4) (a0）;(5)41232 8。尝试解答(1)原式a3b223a3b38a6b1.(2）原式（0.4)31（2）423(0。1)2(0。4)110.1。(3)原式10231003100.（4)原式aa（)a（)aaa01。(5)原式(22

4、)1232(23)22223222222322238。进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质,并灵活运用一般地,进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题练一练2计算或化简下列各式(1）0。0272（1)0；（2）；（3）。解：（1）原式2149145.(2)原式（22)。(3）原式aaaaaa。讲一讲3已知aa3，求下列各式的值：(1)aa1;(2）a2a2； 。尝试解答（1）将3两边平方，得aa129，即aa17.（2)将aa17两边平方,有a2a2249。a2a247.aa118.对“条件求值问题，一定要弄清已知与未知的

5、联系,然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值要注意正确地变形及平方、平方差等公式的应用，含开方运算时还要注意其符号问题练一练3（1）若102x25， 5，则10yx_;（2）若m，则_。解析:(1）由102x25，得10x5，10x(10x）151，而5,10y52，则10yx10y10x52515。（2)由m，两边平方得：aa12m2，aa1m22,故aa1m22。答案:（1)5（2）m22设a2n3，a0，求的值解法一：由a2n3，a0得an，an，a3n（）33,a3n .法二：a2n1a2n31.尝试用另一种方法解题法三：.1计算等于（)a9 b3 c3 d3解析：选b由35

6、243,得3.2下列各式运算错误的是()a（a2b）2(ab2）3a7b8b（a2b3）3(ab2）3a3b3c（a3)2(b2)3a6b6d(a3)2(b2）33a18b18解析：选c对c，（a3）2（b2)3a6(b6)a6b6a6b6.3。(a0）的值是()a1 ba 解析：选d原式4若b3m2n(b0，m，nn），则b_。解析：由b3m2n,得b答案:5已知x31a，则a22ax3x6的值为_解析:x31a,ax31，a22ax3x6(ax3)21。答案：16求值：2（)680.25（2 013)0。解：原式 41222332721210.一、选择题1下列根式与分数指数幂互化中正确的是

7、（)2将 化为分数指数幂的形式为(）解析:选b原式 3计算的结果是()a. bc. d解析：选a原式。4若x0，则等于（)a23 b23解析：选a原式 二、填空题解析:原式16444.答案：46若x0,则_。解析:原式1。答案：17若xy8，且x0，y0，则_。解析：原式2.答案:28已知102，1003，则_.解析：1003，即1023，10。106.答案:三、解答题9(1）计算：；（2）化简： (a0,b0)解：(1)原式421314.(2）原式.10已知f(x)axax,g（x）axax(a1)(1）求f(x）2g(x）2的值；（2）设f（x)f（y）4,g（x）g（y)8，求的值解:(1)f(x)2g（x)2（axax）2（axax）22ax(2ax)4.(2)f（x）f（y）4，（axax)(ayay)4.axya(xy)axyayx4，即g（xy)g(xy)4。g(x）g（y）8，(axax）(ayay）8.axya(xy）axyayx8