高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2.1 双曲线的简单几何性质课后提升训练（含解析）1-1

1、学必求其心得，业必贵于专精双曲线的简单几何性质(45分钟70分）一、选择题(每小题5分，共40分)1。双曲线x2a2-y2b2=1与y2b2x2a2=（0）有相同的（）a。实轴b。焦点c.渐近线d.以上都不是【解析】选c。由题可知,x2a2-y2b2=1的渐近线为y=bax。y2b2x2a2=的渐近线为y=bax，所以它们有相同的渐近线。2。等轴双曲线的一个焦点是f1（6，0),则它的标准方程是()a。y218x218=1b。x218-y218=1c.x28-y28=1d。y28-x28=1【解析】选b.设等轴双曲线方程为x2a2y2a2=1(a0），所以a2+a2=62,所以a2=18,故双

2、曲线方程为x218-y218=1。【补偿训练】以椭圆x216+y29=1的顶点为顶点,离心率为2的双曲线方程为(）a。x216y248=1b.y29-x227=1c.x216-y248=1或y29x227=1d.以上都不对【解析】选c.当顶点为(4，0)时,a=4，c=8，b=43，双曲线方程为x216y248=1;当顶点为(0，3)时,a=3，c=6,b=33，双曲线方程为y29-x227=1.3.(2015全国卷)已知m(x0，y0)是双曲线c:x22-y2=1上的一点，f1,f2是c的左、右两个焦点.若mf1mf20,则y0的取值范围是(）a。-33,33b.-36,36c.-223,2

3、26d.-233,233【解析】选a。由双曲线方程可知f1（3,0),f2（3，0)，因为mf1mf20,所以(3-x0）(3-x0）+(y0)（-y0)0.即x02+y02-30，所以2+2y02+y02-30，y020)的焦点重合,e1,e2分别为c1,c2的离心率,则（）a.mn且e1e21b.mn且e1e21c。m0，所以mn，(e1e2)21，所以e1e21。5。若双曲线x2-y2=1的左支上一点p(a,b）到直线y=x的距离为2,则a+b的值为()a.12b.12c。-2d.2【解析】选a.由题意知a2b2=1，（ab）(a+b)=1,|a-b|2=2，a-b=2，因为(a,b)在

4、双曲线的左支上,所以ab0，b0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为（5，0),则a=_,b=_.【解题指南】焦点在x轴的双曲线的渐近线为y=bax，焦点(c,0）。【解析】因为渐近线方程y=-2x,所以ba=2.焦点(5,0)，所以c=5.所以a2+b2=c2=5.由联立解得a=1，b=2。答案:12三、解答题(每小题10分，共20分）11。(2017济南高二检测）已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0）的左、右焦点分别为f1，f2,点p在双曲线的右支上，且|pf1=4|pf2，求双曲线离心率e的最大值。【解析】设f1pf2=,由|pf1|-|pf2|=2a,|pf1|=4|pf2

5、|,得|pf1|=83a,|pf2|=23a,所以cos=17a2-9c28a2=17898e2，所以e2=17-8cos9.因为cos1，1，所以10，b0),f1（-c，0),f2(c，0)，p(x0,y0）。在pf1f2中,由余弦定理,得f1f22=pf1|2+pf2|22pf1|pf2cos3=（|pf1|-|pf2|）2+|pf1|pf2|，即4c2=4a2+pf1|pf2|。又因为spf1f2=23，所以12|pf1pf2|sin3=23.所以|pf1pf2=8，所以4c2=4a2+8，即b2=2.又因为e=ca=2,所以a2=23。所以双曲线的标准方程为x223y22=1.【能力挑战题】已知双曲线x23y2b2=1的右焦点为（2,0)。(1）求双曲线的方程。(2)求双曲线的渐近线与直线x=2围成的三角形的面积.【解析】(1)因为双曲线的右焦点坐标为(2,0)，且双曲线方程为x23-y2b2=1，所以c2=a2+b2=3+b2=4，所以b2=1，所以双曲线的方程为x23y2=1。（2）因为a=3,b=1，双曲线的渐近线方程为y=33x，令x=2，则y=233，设直线x=2与双曲线的渐近线的交点为a,b，则|ab|=433,记双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形面积为s，则s=12433