第二章 单粒子轨道理论

1、第二章 单粒子轨道理论 一 引言 二 带电粒子在均匀电磁场中的运动 三 带电粒子在变化磁场中的运动 四 带电粒子在变化电场中的运动 五 绝热不变量 六 带电粒子在环形磁场中的运动 一 引言 l等离子体物理的基本描述方法 单粒子轨道理论 磁流体动力论 (Dynamic Theory) 等离子体动理学 (Kinetic Theory) 计算机数值模拟技术 l等离子体的特征：大量带电粒子的集合体 库仑场带电粒子之间的相互作用 外力场粒子与外场的相互作用 l等离子体行为的双重性 流体单个粒子的集合 l什么是单粒子轨道理论？ 是一种简单近似的理论； 忽略等离子体粒子之间的相互作用，认为集体 效应不重要的

2、理论； 从单个带电粒子在电磁场中的运动方程出发； 用单个带电粒子在电磁场中的运动轨道描述等 离子体。 l 适用条件 稀薄等离子体，粒子密度很低，粒子间的相互 作用可以忽略，认为等离子体是无碰撞的； 电荷及电流的分布在动力学中不起主要作用； 感应场与外加场比起来是小量； 等离子体热压与磁压之比很小。 l 优点 简单直观，物理图象清晰。 l 意义 是一种有用的基本描述方法； 是研究复杂问题的出发点； 在强磁场情况下具有实际意义。 l基本物理模型 对于电荷为 q 、速度为 v 的带电粒子，在电 场强度为 E 、磁感应强度为 B 的电磁场中运 动，在非相对论情况下，其运动方程是 其中, F 为非电磁力

3、。 n这里假定电场和磁场是预先确定的 n只讨论比较简单的情况 FBvE q dt dv m 二、带电粒子在均匀电磁场中的运动 1 均匀恒定磁场均匀恒定磁场 此时，B =常数，E = 0，F = 0，粒子运动方 程变成 （1） 取 z 在 B 的方向 (B = B ez) ，得到 （2） （3.1） （3.2） Bv q dt dv m l 显然，方程（2）给出平行磁场的粒子速度是常 数，于是由动能守恒 知道粒子的垂直速度大小也保持不变。所以在均 匀恒定磁场中，粒子平行于磁场和垂直于磁场的 运动是相对独立的。 l 方程（3）描写的是一个简单谐振子的运动，其 具有回旋频率（cyclotron fr

4、equency），定义如下： m qB 22 | 2 1 2 1 mvmvW 方程（3）的解为 其中 是垂直磁场方向上的运动速度。 再对（4）式求时间积分，可以得到粒子轨道 的方程式 a, x0, y0 和 z0 都由初始条件决定。 (4.2) sin (4.1) cos a a tvv tvv y x 22 yx vvv (5.3) (5.2) cos (5.1) sin 0| 0 0 zvz yt v y xt v x a a 式中 定义为回旋半径。 当一个带电粒子在一个均匀恒定磁场（Bez） 中运动时，这个粒子轨道在垂直磁场的平面上的 投影是以(x0, y0)为圆心以rc为半径的圆，也就

5、是说 粒子在垂直磁场平面内作回旋运动，其回旋频率 为，同时，粒子还以速度 v|沿磁力线作匀速直 线运动。 总之，带电粒子在均匀恒定磁场中作螺旋运动。 这条螺线的半径是粒子回旋半径，螺距为 。 粒子回旋中心的轨道叫做引导中心。 (6) 2 2 0 2 0c ryyxx vr c | vh 0|00 , , ztvyxr G 图1 带电粒子在均匀恒定磁场中的运动 关于粒子回旋频率和回旋半径： 粒子不同，回旋运动的方向不同，回旋频率的 大小也不同。 回旋频率与磁感应强度成正比，与粒子质量成 反比，所以在一定磁场中电子的回旋频率远远大 于离子的回旋频率。 回旋半径的大小与粒子质量和垂直速度成正比， 与

6、磁感应强度的大小成反比。 m qB Bq mvv r c 关于等离子体的抗磁性： 处于磁场中的带电粒子绕磁力线作圆周运动， 于是它们形成了一个“小电流圈”，正负电荷旋 转方向相反，但形成的电流方向是相同的，迎着 磁场看，作回旋运动的带电粒子形成的电流是沿 顺时针流动的，这个环方向电流会产生感应磁场， 感应磁场的方向正好与外磁场相反，它起着“抵 消”或“反抗”外磁场的作用，我们把这种等离 子体的特性称之为等离子体的抗磁性。 n回旋频率 n回旋半径（拉摩半径） n引导中心（导向中心） n磁距 n等离子体抗磁性 二、带电粒子在均匀电磁场中的运动 2 在均匀恒定磁场中的电漂移在均匀恒定磁场中的电漂移

7、现在我们考虑除有均匀恒定的磁场B外，还存 在一个均匀恒定的小电场E，此时带电粒子运动 方程为 方程（7）式只比方程（1）式多了一个电场作用 项，我们把电场分解为沿磁场和垂直磁场的分量， ，显然，方程（7）式的z分量形式为 (7) EBvqq dt dv m EEE | (8) | or |z z E m q dt dv E m q dt dv 从上式我们发现由于 E| 使粒子沿磁力线作匀加 速运动，经过一段时间后，沿磁力线运动的速度 可以达到相当大，以致于非相对论近似不成立； 由于正负电荷沿相反方向运动，引起较大尺度的 电荷分离，产生很大的电场；由于粒子速度大， 会产生较大的宏观电流，这个电流

8、又要产生感应 磁场，于是就会改变原来的磁场形态。总之，这 些情况都导致单粒子轨道理论不再适用。所以， 我们这里必须假设 E|= 0，这样粒子沿磁力线只能 作匀速直线运动。 (9) 0z z z vt m qE v 方程（7）的垂直分量形式为 通过物理直观分析（见图2）可见，电场的存在 使粒子有一个漂移速度，漂移的方向与磁场方向 垂直。 设 ，于是方程（10）写成为 对（11）式求时间导数，得到 (10) EBv | qq dt dv m , yz eEeBEB , , (11.2) (11.1) E m q v dt dv v dt dv x y y x 图2 电漂移 , , (12.2) (

9、12.1) 2 2 2 2 2 2 0v dt vd m qE v dt vd y y x x 很容易得到方程（12）的解 另外， 将（13）式与（4）式比较，显然电场 E 产生了 一个既垂直于磁场又垂直于电场的漂移速度，可 以写成矢量形式： (13.3) (13.2) sin (13.1) cos | vv tvv B E tvv z y x a a 带电粒子在均匀恒定电磁场中的漂移速度公式 由（14）式给出。 这个电漂移速度的特征为： vE 漂移方向垂直于磁场，也垂直于电场； vE 的大小与粒子电荷的正负号无关，与粒子质 量也无关； 电子、离子都以相同的速度朝同方向漂移， 不会引起电荷分离

10、，因此没有漂移电流出现。 . BE v(14) 2 E B 二、带电粒子在均匀电磁场中的运动 3 在均匀恒定磁场中的重力漂移在均匀恒定磁场中的重力漂移 在我们讨论其它力场作用的情况时，只需要将 （7）式中的电场微扰力作用项用一般的作用力F 替代就可以了，即 所以（14）式中E 的换成F/q ，就可以得到一般 力场F 引起的粒子漂移速度公式 (15) FBv q dt dv m . BF v(16) 2 F qB 如果方程（15）中的F 是重力，F = mg, 则存在 一个重力漂移 重力漂移的物理原因也是因为在重力场中粒子得 到和损失能量时所引起的回旋半径变化而导致的。 重力漂移速度的特征为：

11、. Bg v(17) 2 g qB m vg的方向垂直于磁场，也垂直于重力加速度； vg与粒子电荷符号有关，电子、离子朝相反方 向漂移，会产生电荷分离； vg的大小与粒子质量有关，质量越大，漂移速 度越大； vg的大小通常可以忽略，但当磁力线弯曲时， 存在一个因离心力作用引起的有效重力，这个 有效重力与质量无关，是不能忽略的，它是等 离子体不稳定性的基础。 重力漂移会引起漂移电流。电子和离子在 重力作用下以相反的方向漂移，所以在等离子 体中会有一个净电流密度。 漂移运动的特性： 漂移是洛伦兹力和微扰力的平衡决定。电 场力引起的漂移与电荷无关；而非电性力与电 荷无关，可是对应的漂移速度却与电荷有

12、关。 . Bg j(18) 2 B mMn 三、带电粒子在变化磁场中的运动 1 漂移近似漂移近似 一般情况电磁场是空间非均匀的，并且随时 间变化，于是带电粒子在电磁场中的运动方程是 非线性的，很难得到解析解，需要数值积分求解， 但在某些近似条件下，可以不经过数值积分而得 到近似解，下面我们介绍一种近似处理方法。 如果等离子体中 电磁场的空间、时间变化很平缓； , E r , B r E t E B t B EB cc 1 -1 - 电磁场的空间、时间变化平缓就是指在一个回旋 半径或回旋周期内电磁场变化很小。 电场很弱； 电场引起粒子速度的改变为 ，如果 在一个回旋周期内 ，则可以认为 电场很弱

13、。 粒子的横向速度很大 在一个回旋周期内粒子轨迹偏离拉摩圆不大， 或者粒子横向速度远大于回旋中心横越磁力线的 速度，则磁力线可维持螺旋状。 B E v D 1 m eE B E v B E 满足上述三个条件的粒子回旋运动，对等离 子体性质及轨道的影响很小，就是说在粒子绕磁 场一周的距离和时间尺度内几乎感受不到电磁场 的变化，场近似为恒定和均匀的，这样就可以用 粒子导向中心运动来代替粒子的精确运动，使问 题大为简化，这种方法称为漂移近似，也称为导 向中心近似。 三、带电粒子在变化磁场中的运动 2 梯度漂移梯度漂移 是矢量导数，是9个函数构成的一个二阶张 量，描述了磁场的空间非均匀性。定义 散度项

14、： 横向梯度项： 曲率项： 剪切项： 带电粒子在一般非均匀磁场中的运动非常复 杂，下面我们只讨论两种简单的情况：磁场梯度 漂移和曲率漂移。 B xByB zBzB yBxB zByBxB yx yx zz zyx , , , , , 在等离子体中垂直磁场方向如果有梯度，就 会引起带电粒子在垂直于磁场和磁场梯度的方向 的漂移，叫磁场梯度漂移。 设：B 沿z方向，在y轴方向存在梯度，于是 从运动方程（1）式出发 (19.2) , (19.1) , y z e y B yB eyB B , , (20.3) . 0 (20.2) (20.1) dt dv vy dt dv vy dt dv y x

15、y y x 对方程（20）求时间导数，得到 我们采用漂移近似，磁场满足缓变条件 粒子旋转一周的过程中磁场几乎不变，所以可 以在引导中心附近展开 （22） (21.3) . 0 (21.2) (21.1) 2 2 2 2 2 22 2 2 , , dt vd dy d vvv dt vd dy d vv dt vd y yxy y yx x B c Br 0 00000 |y y d yyyyyy dy 将上式带入（21）式，得到： (23.1) (23.2) 与（3）式比较，方程（23）右端的项均为小量 ，可以用均匀磁场的值代替，于是（23）式的 解为下面的（24）式： 2 22 00000

16、2 2 2 00000 2 2 2 x xxy y yyxy d v vyyvv dt d v vyyvv v dt 22 00 00 22 00 2 0 00 2 0 1 cos()cos 2 22 1 cos()sin 2 2 x x z vvtvtv vvtvt vv aa aa （24.1）式右边最后一项垂直于磁场B(y)ez,也垂直 于磁场梯度方向 ，即为垂直于磁场梯 度方向的漂移速度： （25） 其中 为动能 ，上式写成矢量形式 （26） 磁场梯度作用等价于一个广义力 ( ) y dB y Be dy 22 0 2 00 2 2 1 / 22 11 2 B dB vvvB dy dB mv qBdy 2 1 2 mvW