结构力学第六章 力法

1、1 第六章 力 法 6-1 超静定结构的组成和超静定次数 6-2 力法基本原理 6-3 力法举例 6-5 力法简化计算 6-6 温度变化及有弹簧支座结构的计算 6-7 超静定结构的位移计算及力法计算校核 6-4 超静定结构在支座移动时的力法计算 2 6-1 超静定结构的组成和超静定次数 一、超静定结构的组成 为了认识超静定结构的特性，我们把它与静定 结构作一些对比。 静定结构：一个结构，当它的支座反力和各截 面的内力都可以用静力平衡条件唯一地确定时，该 结构就叫做静定结构。 超静定结构：一个结构，当它的支座反力和各 截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一地加以确 定时，就叫做超静定结构。 3 即

2、：超静定结构有如下特征： 1、从几何构造分析的观点来看，超静定结构是 有多余约束的几何不变体系 2、若只考虑静力平衡条件，超静定结构的内 力和支座反力不能够由平衡方程唯一确定，还要 补充位移条件。 若只满足平衡条件，超静定结构的内力和支座 反力可以有无穷多组解答。 如下图超静定梁，若只满足平衡条件，支座B 的竖向反力可以是任意值。 4 A B EI , l ql 8 3 q 超静定结构分为：外部、内部、内外部超静定。 这里：(a) 为静定结构，求出支反力后即可求出内力。 (a) 为外部超静定结构。 FP FyA BA FyB FxA (a) FP B A (a ) FxA FyA FyB Fy

3、C 5 这里：(b) 为静定结构，求出支反力后即可求出内力。 (b) 为外部静定、内部超静定结构。 AB (b) FyAFyB FxA (b ) A BFxA FyAFyB 6 这里：(c) 为静定结构，求出支反力后即可求出内力。 (c) 为外部超静定结构。 此外：还有的结构内外部都是超静定的。 (c) AB FyAFyB FxA FxB (c ) AB FxA FyAFyB FxB 7 二、超静定结构的种类二、超静定结构的种类 (a) 连续梁、单跨超静定梁 (b) 超静定刚架 8 (c) 超静定拱 (d) 超静定桁架 (e) 超静定组合结构 9 (f) 排架 三、超静定次数的确定 1、公式法

4、确定(通过计算自由度获得) 超静定次数n = -W = 结构的多余约束数 2、切除多余约束法(选取基本体系) 超静定次数n=把超静定结构变为静定结构时 所需切除的多余约束数 10 即：超静定次数 n = 结构多余约束数目。 规则： 1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束； 2）去掉一个简单铰，相当于去掉两个约束； 3）去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当于去 掉三个约束； 4）在梁式杆上加一个简单铰，相当于去掉一个约束。 基本体系：通过切除多余约束而得到的静定结构。 通常做法：拆除原结构的所有多余约束，代之 以多余力X，而得到静定结构。 11 例： a) 1 X 2 X n=2n=2 1

5、 X 2 X 原结构 1 X 2 X n=2 2 X 1 X 1 X 2 X 1 X 2 X 1 X 2 X 1 X2 X静 定 结 构 静定结构有很多种，但 应选取易于计算的形式。 12 还可以变成组合刚架 b) 原结构 n=2 1 X 2 X 三铰刚架 1 X 2 X n=2 简支刚架 n=2 1 X 2 X 悬臂刚架 静 定 结 构 13 c) n=3 1 X 2 X 3 X 原结构 d) 原结构 1 X 2 X n=2 1 X 2 X 一个封闭框有三个多余约束 14 f) 1 X 2 X n=3 3 X 特别注意：不要把原结 构拆成几何可变体系。此 外，要把超静定结构的多 余约束全部拆

6、除。 原结构 e) 1 X 1 X n=1 原结构 15 6-2 力法基本原理 一、基本思路 力法是计算超静定结构的最基本的方法。 采用力法解超静定结构问题时，必须要把超静 定问题与静定问题联系起来，加以比较，从中找到 由静定过渡到超静定的途径。 将超静定结构问题转化为静定结构问题；利用 熟悉的静定结构的计算方法达到计算超静定结构的 目的。 16 解超静定结构，除应满足平衡条件外，还必须 满足位移协调条件。 二、一次超静定结构的力法计算 利用具有一个多余约束的一次超静定梁，说明力 法的基本解题思路(抗弯刚度EI=常数)。 1、确定基本未知 量(选取基本体系) C B A q ll 撤除支座B的

7、链杆，代之以多余力X1(得到基本体 系)，X1即是基本未知量。当然基本体系还有很多种。 17 其基本结构是简支 梁。 2、基本体系 简支梁AC在q和X1 的共同作用下处于平衡 状态，此时的状态与原 结构等效，称为原结构 的基本体系(不唯一)。 C B A q ll X1 基本体系基本体系 C B A + 11 X1 C B A 1P C B A q 3、基本方程 基本方程就是求解X1 的方程。 18 由基本体系知：求出X1后，问题即获得解决。 原结构：1 =0(B点的竖向位移为零)。 由1 = 1P+ 11 ，可得： 1P+ 11=0 由前面知1P 、11的物理意义是非常明确的。 当位移1、1

8、1、 1P与X1的方向一致时取正值， 但是要注意这里 X1的方向是任意设的。 现在提出的问题是：如何求出11和1P。 1P属静定结构的位移计算问题，可简单求出。 11 由X1引起，可利用叠加原理求解。 19 设X1=1时在B点产生的位移为11，则：11=11 X1， 代入上述变形条件有： 11 X1 + 1P =0 式中：11系数；1P自由项。 此为线性变形条件下一次超静定结构的力法方程。 4、求解 X1 11、1P可用图乘法简单求出，然后X1即可获解。 X1求出后，可按静力平衡方程求出支座反力和内力， 它们就是原结构的反力和内力。 11 1 1 P X 20 上述计算超静定结构的方法就是力法

9、。 基本特点：以多余力作为基本未知量，根据所 去掉的多余约束处相应的位移条件，建立关于多余 力的方程或方程组。特别强调：力法基本方程是位 移协调方程。 5、具体计算 求作上例的弯矩 图(M图) （1）作 图 计算 P MM、 P111 、 CA /2 2 ql 图 P M X1=1 B C A 图 1 M 2/ l 21 111 图自乘得M EI ll l l EI dxM EI6 ) 23 2 22 1 ( 21 3 2 111 PP MM 11 图互乘得和 EI qll l ql EI dxMM EI PP 24 5 ) 16 5 23 2 ( 21 42 11 代入力法方程和，将）求（

10、P X 1111 2 )( 4 5 ) 6 24 5 ( 3 4 11 1 1 ql l EI EI ql X P X1为正，说明其方向与假设方向相同，反之则相反。 22 (3) 作M图(如下页图) 先计算主控截面的弯矩，然后按静定结构作M图 的方法作原结构的弯矩图。 P MXMM 11 )( 84 5 22 22 上部受拉 qlqllql M B C B A M图 /8 2 ql /8 2 ql 23 6、讨论 若取基本体系为右 图(a)，去掉B点的转 动约束，代之以一对 大小相等、方向相反 的力偶X1，可得： A C B X1 q 基本体系基本体系 (a) 此即为B点的弯矩。 需注意的是：

11、两种基 本体系，计算工作量 相差很大。 )( 8 2 1 上部受拉 ql X (b) X1=1 1 C B A 图M 8 2 ql AC B q(c) 8 2 ql 图 P M 24 下面用一简例总结力法求解过程： 如下图示超静定梁，去掉支座B的链杆，用相应的 未知力X1代替，X1称为力法基本未知量。去掉B支座 的多余约束后得到的静定结构称为力法基本结构。 EI FP A B l/2l/2 AB 基本结构 FP AB 基本体系1 X 25 + EI FP （BV=0） A B l/2l/2 原结构 A B 1 X 11 A B 1 1X 11 ）( 1P FP AB AB 基本结构 FP AB

12、 基本体系1 X 0 0 1111 111 P BVP X 26 因为： 11111 X 方程可写为： 1111 0 P X 即：力法方程为： 111 0 PBV 基本结构的位移=原结构的位移 BV 原结构B截面竖向位移 11 基本结构在X1=1作用下沿X1方向的位移。 1P 基本结构在FP作用下沿X1方向的位移。 系数和自由项的物理意义： 27 特别注意： 1）力法方程是位移方程（变形协调方程）。 2）力法方程的物理意义：基本结构在荷载FP和 未知量X1共同作用下沿X1方向的位移等于原结构B支 座竖向位移。 力法计算： 1) 求系数及自由项 l AB 1 1 X l/2 M图 FP A MP

13、图 2 lFP 28 EI l lll EI33 2 2 11 3 11 1 23 1121 () 222332 515 8648 P P PP F lll l EI F lF l l EIEI 3 1111 3 53 / 48 5 ( ) 16 P P P F lEI X EIl F 2) 求未知力X1 29 3) 作内力图 1P MMXM M图 FQ图 A B lFP 16 3 lFP 32 5 P F 16 11 P F 16 5 30 三、多次超静定结构的力法计算 下面给出多次超静定结构的基本结构在荷载和 未知力X分别作用下的位移图。 原结构 AB FP q CD BH=0 BV=0

14、B=0 基本体系 A B FP q CD X1 X3 X2 = 31 FP AB q CD 2P 1P 3P AB C D 22 12 32 X2=1 AB CD 21 11 31 X1=1 A B CD 23 13 33 X3=1 = + + + 1 X 2 X 3 X 32 力法方程为 根据前面给出的位移图讨论力法方程和系数的 物理意义。 0 1313212111 BHP XXX 0 2323222121 BVP XXX 0 3333232131 BP XXX )321(0 332211 、或写成：iXXX iPiii 此即为求解多余力X1、 X2、X3的力法方程组，称 为力法基本方程。

15、33 i 表示位移的方位；j 表示产生位移的原因。 自由项： 可能大于、等于或小于零。 iP 主系数：11、22、33恒大于零。 副系数：ij (ij)可能大于、等于或小于零。 计算系数和自由项： 用静定结构的位 移计算公式计算。 iPijii 、 dxMM EI dxMM EI dxM EI PiiP jiij iii 1 1 1 2 由互等定理： ijii 34 符号说明： 图；作用下基本结构的弯矩1 ii XM 的方向产生的位移；的作用点沿在 iiji XXX1 j 的方向产生的位移。的作用点沿外荷载作用下在 iiiP XX 注意：当选取不同的基本体系时，力法的基本 方程形式相同，只是多

16、余力的含义不同。 求解基本未知量Xi 将 ii、 ij、 iP代入力法方程，求解X1、X2、X3。 作弯矩图 P MXMXMXMM 332211 35 四、n次超静定结构的力法典型方程 符号意义同前。 求解内力(作内力图)的公式： 作内力图可以延用第三章的作法：由MFQFN。 )21(0 2211 niXXX iPninii 、 Pnn MXMXMXMM 2211 QPnQnQQQ FXFXFXFF 2211 NPnNnNNN FXFXFXFF 2211 36 五、力法求解超静定结构的步骤五、力法求解超静定结构的步骤 1、确定基本未知量(选取基本体系)； 2、列力法方程： 注意：对于不同的结构

17、，在计算ij、iP时考虑 的因素不同，如梁和刚架，一般只考虑弯矩的影响， 与第八章位移计算时基本相同。 )21(0 2211 niXXX iPninii 、 3、计算系数和自由项： iPijii 、 4、求解基本未知量Xi； 5、作内力图。计算公式同前。 37 6-3 力法举例 一、连续梁 例6-3-1 作图示连续梁的弯矩图和剪力图。 1、选取基本体系。用力法解连续梁时，其基本 体系是将杆件在中间支座处变为铰，如下图所示。 A B q C D lll EI EI EI A B q C D 基本体系 X1X2 原结构 B=0 C=0 38 A B q C D 1P A BC D X1=1 112

18、1 A B C D X2=1 1222 2、列 力法方程 ）（ ）（ 00 00 2222121 1212111 CP BP XX XX 讨论方程和系数的物理意义。 39 3、求系数和自由项 作 图、 图及MP图如图示。 1 M 2 M B=0 B左右截面相对转角等于零。 C=0 C左右截面相对转角等于零。 位移方程(力法方程) A B C D X1=1 1 1 M图 A B C D X2=1 1 2 M 图 40 0 2 P EI ql qll EI P 242 1 8 1 3 21 3 2 1 EI l l EI3 2 3 2 1 2 12 11 EI l 3 2 22 1221 111

19、11 236 l l EIEI A B q C D 8 2 ql MP图 上述弯矩图的一个特征是：弯矩图局部化。 图乘计算求系数和自由项： 41 3 12 12 2 0 3624 2 0 63 llql XX EIEIEI ll XX EIEI 2 12 12 40 4 40 ql XX XX 解方程得： 5、 作内力图 P MXMXMM 2211 1) 根据下式求各截面M值，然后画M图。 2 1 1 () 15 Xql 2 2 1 () 60 Xql 4、求基本未知量 42 2) 根据M图求各杆剪力并画FQ图。 A B 2 15 1 ql q FQAB FQBA l 0 B M ql qlq

20、l l F QAB 30 13 ) 152 ( 1 22 qlF QBA 30 17 M图A B CD 2 11120ql 2 15ql 2 60ql AB杆： 43 0 C M ql qlql l F QBC 12 1 ) 6015 ( 1 22 qlF QCB 12 1 BC 2 15 1 ql FQBCFQCB l 2 60 1 ql 很容易求得CD杆剪力为: qlFF QDCQCD 60 1 FQ图 A BCD 1730ql 1330ql 60ql 12ql BC杆： 44 二、超静定刚架 例6-3-2 求图示刚架M图，各杆抗弯刚度不同。 A B C E1I1 l E2I2 l 原结构

21、 q k IE IE 22 11 A B C X2 基本体系 q X1 A=0 B=0 解：1、确定基本未知量X1 、 X2 选取基本体系如右上图，原结构A点的转角 ，B点的相对转角 。0 A 0 B 45 2、列力法方程 ）（ ）（ 00 00 2222121 1212111 AP BP XX XX 3、求系数和自由项（ ） 图、作 21 MMM P A BC X1=1 1 1 1 M图 E1I1 l E2I2 l A B C X2=1 1 E1I1 l E2I2 l 2 M图 A B C q 8 2 ql MP图 46 kIE ql IE ql qll IE P 22 3 11 3 2 1

22、1 1 24242 1 8 1 3 21 0 2 P 22 22 3IE l 1221 2222 111 11 236 l l E IE I 11 1 12 2 1 12 2 1 12 21 12 222 112112 1111 2323 1 3333 ll E IE I E IE Illllk E IE IE I E IE Ik 1 1 22 () E I k E I 将求得的系数和自由项代入力法方程就得到： 4、求基本未知量X1 、 X2 47 3 12 2 22 22 2 12 2 22 2 1 ()0 3624 0 63 lklql XX E IkE IE I k ll XX E IE

23、 I 2 12 12 2(1)1 0 4 20 kql XX kk XX 2 1 11 () 234 Xql k 2 2 11 () 434 Xql k 此时因 无具体 数据， 无法作 出内力 图。 48 5、 讨论 1）当k=0，即E1I1很小或E2I2很大，则 22 12 816 qlql XX 刚架弯矩图为： 可见，柱AB相当于在横梁 BC的B端提供了固定约束。 M图 A B C 2 8 1 ql 2 16 1 ql 2 16 1 ql BC 2 8 1 ql 2 16 1 ql 49 2）当k=1，刚架弯矩图如图a)示。 3）当k=，即E1I1很大或E2I2很小。由于柱AB抗 弯刚度趋

24、近于零，只提供轴向支撑，故梁BC相当 于简支梁，M图见图b)。 A B C 2 14 1 ql 2 56 5 ql 2 28 1 qla) M图 A B C 2 8 1 ql b) M图 50 6、结论 在荷载作用下，超静定结构的内力只与各杆抗 弯刚度EI的比值k 有关，而与杆件抗弯刚度EI的绝对 值无关。若荷载不变，只要 k 不变，结构内力也不 变。 例7-3-3 作图作图(a)刚架内力图。刚架内力图。 解：解：1、确定基本未知量、确定基本未知量 X1、X2(选取基本体系选取基本体系) C点的相对水平位移和相点的相对水平位移和相 对竖向位移均为零。对竖向位移均为零。 2EI 2EI EI E

25、DC BA 5kN 1m5m 5m q=10kN/m q (a) 51 EI dx EI MM P P 125 2 2 EI dx EI MM P P 13.328 1 1 EI dx EI M ， 83.145 2 2 22 EI dx EI MM5 .62 21 2112 EI dx EI M ， 5 .62 2 1 11 2、列力法方程 ）（ ）（ 00 00 2222121 1212111 CVP CHP XX XX 3、求系数和自由项（ ） 图、作 21 MMM P 幻灯片 52 52 1 M 55 (m) X1 =1 (c) X2=1 5 5 5 2 M (m) (d) 5 5 5

26、 125 P M (kNm) (e) 27.2 5 22.2 31.2571.55 31.25 M (kNm) (f ) X2 X2 X1 X1 (b) 5kN q 基本体系 返回50返回51 53 62.5 X1 + 62.5 X2 -328.13 =0 62.5 X1 + 145.83 X2 +125 =0 4、求基本未知量X1 、 X2 解得： X1 =10.69kN X2=-5.44kN 由结果可知：多余力Xi只与刚架各杆的抗弯刚 度的相对值有关，而与绝对值无关。 5、作弯矩图 计算公式为： P MXMXMM 2211 (见图f ) 54 然后考虑外荷载用分段叠加法作M图。 求出几个控

27、制截面的弯矩值，如： )(25.315)44. 5(569.105 2211 外拉mkN MXMXMM PAD )(5 .71外拉mkNM BC )(2 .22外拉mkNM DA )(2 .27外拉mkNM DC 55 三 、超静定桁架 原结构 FP a a 例6-3-4 作图示桁架为例讨论两种基本体系的处理方 法。各杆刚度为EA 。 X1X1解：1、确定基本未知量X1 （选取基本体系I） FP A B X1 a a 基本体系I 56 2、列力法方程 0 1111 P X 力法方程的物理意 义是：基本结构在荷载 和X1共同作用下，杆AB 切口左右截面相对水平 位移等于零。基本结构 中包括AB杆

28、。 基本体系I FP A B X1 a a X1X1 3、求系数和自由项（ ） 1 NN P、 求 57 根据上述基本体系I求得各杆FNP及 标于图中。 1N F AB FP a a FP FP 0 0 0 P F2 FNP图 AB a a 1 1 1 1 2 X1=1 2 图 1N F 2 1 11 1 2(2)(2)241 1 14 (12) 442 N F l aa EAEA a aa EAEA AB杆要计算在内 58 1 1 1 (2) (2)221 2(12) NNP PPP P F F l FaFa EAEA F a EA 4、求基本未知量X1 )( 2 1 )21 (4 )21

29、(2 11 1 1 压力 P PP F a EA EA F X 5、求各杆轴力FN 按下式计算FN NPNN FXFF 11 P F 2 2 P F 2 1 P F 2 1 P F 2 2 P F 2 1 P F 2 1 FN图 59 / 11111 11 / 1111 11 ()0 P P a XX E A a X E A 力法方程的物理意义是：基本结构在荷载和X1 共同作用下，结点A、B相对水平位移等于杆AB的伸 长，但符号相反。基本结构中不包括AB杆。 X1X1 AB 基本体系II X1 FP a a 6、讨论：基本体系II 若AB杆的抗拉压刚度为 E1A1，则力法方程为： 60 例6-

30、3-5 图a桁架，斜杆AC、BD的截面积为 ， 其余各杆为A，E为常数。求各杆的内力。 A2 a a AB DC FP FP (a) X1 基本体系1 (b) AB DC FP FP (c) AB DC FP FP 2/2 P F 图 PN F 2/2 P F 2/2 P F 2/2 P F P F 0 +1 (d) X1=1 A B DC 2/2 2/2 2/2 2/2 图 N F 4/3 1P FX 61 基本体系2 AB DC FP (e) X1 FP 1 1 1 N1 (g) A B DC X1=1 2 2 最后内力图N (h) AB DC FP FP 4 3 P F 4 P F 8

31、2 P F 8 2 P F 8 2 P F 8 2 P F 0 0 0 0 (f) AB D C NP图 FP FP P F 0 8/2 1P FX 62 四、超静定组合结构 例6-3-6 图a所示的超静定组合结构，E为常数。 求：(1) 当k=I1/I2=2时，结构的内力； (2)当k值变化时，说明M及NBC的变化规律。 A B CDE EA= EI1 EI2 aa a FP (a) X1 基本体系 (b) A B CDE EI1 EI2 FP 解：1、确定基本未知量X1（选取基本体系） 63 2、列力法方程 MP 2Fpa (d) A B CD E FP 11 X1+1P =0 3、求系数

32、和自由项（ ） 11NPNP FFMM、图，求、作 (c) 2a a/2 X1=1 A B C D E 1N FM 64 )16( 663 8 ) 23 2 () 22 1 ( 2 2 3 2 )22 2 1 ( 1 1 3 2 3 1 3 1 2 1 2 1 11 k EI a EI a EI a a a a EI2 aaa EI dx EA N dx EI M 注意：此处11和1P 的计算，应该考虑什么影响 因素。 1 3 1 3 8 EI aFP P 65 k FP X P 16 16 11 1 1 9 8 1 FP XN BC 11 MXMM P 2FPa/9 4FPa/9 NBC=-

33、8FP/9 M、FN 图 A B CDE FP (e) 4、求基本未知量X1 9/82 1P FXk 时，当 随着k值变化，X1变化， MAB、MCD值随之变化。 6、讨论：改变k值 5、作弯矩图M(如右下图) 66 当k=I1/I2=0时，X1=FP，则 MAB=0，MCD达最大。 当k不断增加，X 1减小， MAB 增加，MCD 减小。 当k(I1)时，X1=0，MCD=0， MAB 达最大。 MAB=2FPa，无变形。 由此，进一步看出：超静定结构的内力与杆件 的抗弯刚度的绝对值无关。 k F X PP 16 16 11 1 1 2FPa/9 4FPa/9 NBC=-8FP/9 M、FN

34、 图 A B CDE FP (e) 67 四 、排架 E1I1 E2I2 E1I1 E2I2 EA 一般有铰结排架和刚结排架，单层厂房，柱顶 与屋盖的联结视为铰结，为铰结排架。其中的柱是 阶梯形变截面杆件，柱底为固定端，柱顶与横梁(屋 架)为铰结。计算时常忽略横梁的轴向变形。 68 例6-3-7 求图示排架M图。 EIEI 原结构 5kN/m EA EI EA 6m2m 排架结构求解时，通常切断链杆以得到力法基本 结构。这样，MP图和 图局部化，求解力法方程系 数比较简单。 1 M 69 解：1、确定基本未知量X1、 X2（选取基本体系） 1111221 2112222 0 0 P P XX

35、XX 基本体系 5kN/m X2 X1 MP图 90kN.m 方程物理意义： 横梁切口左 右截面相对水平 位移等于零。 2、列力法方程 3、求系数和自由项（ ） 图、作 1 MM P 70 EIEI 144 )6 3 2 66 2 1 2( 1 11 X1=1 66 1 M 图 X2=1 2 8 2 M 图 2 8 EIEI 108 )2 3 1 8 3 2 (66 2 11 2112 EIEI3 1024 ) 3 8 2( 1 3 22 1 113810 6 906 34 P EIEI 2 0 P 71 1 7.375()XkN 压 2 2.334()XkN 压5、作M图 M图(kN.m)

36、1.475m 45.7525.5818.67 4.67 5.44 4、求多余未知力 12 12 144108810 0 1081024 0 3 XX EIEIEI XX EIEI 12 12 1441088100 32410240 XX XX 1122P MM XM XM 72 例6-3-8（书中例6-2）求在所示吊车荷载作用下的 内力。计算资料如下： BC E F G A 18m18m IS2 IX2 MH FPH MH H 6.75m 2.6m 4.65m 2.1m IS1 IX1 D FPH A 6.75m 2.6m 基本体系 4.65m2.1m D X2 B F E C G X1 H

37、1.59 8.10 8.10 1.59 2.83 1 (a) mkNM E 6 .17 mkNM H 2 .43 特点？ 73 6-4 超静定结构在支座移动时的 力法计算 超静定结构：支座移动、温度改变、材料收缩、 制造误差等因素都会使结构产生内力和变形。 即：超静定结构的一个重要特点就是在无荷载 作用时，也可以产生内力(称为自内力)。 自内力：无荷载作用时，超静定结构由于支座 移动、温度改变等因素作用产生的内力。 注意：力法计算自内力的步骤与荷载作用时的 情形相同，只是自由项的计算不同而已。 74 自由项计算公式： 超静定结构产生支座移动时的力法计算对理解力 法的解题思路很有帮助。下面讨论超

38、静定结构产生支 座移动时力法的解题思路。 原结构 AB EI l 1CRKK F C 例6-4-1 作图示单跨超静定梁内力图。 75 （受X1及支座转 角共同作用） 解： 1）选两种基本体系如下图示 2）力法基本方程 位移条件0BV 力法方程0 1111 C X A 111X AB EI l 基本体系I X1 B 基本体系II X1 A EI l （只有X1作用，支座转 角 对杆端A无影响） 76 EI l lll EI33 2 2 11 3 11 EI l l EI33 2 1 2 11 11 1111 3 2 3 / 3 () C EI Xl l EI l 1CRKK FCl 3）求系数和

39、自由项 4）求未知力X1 A B M图 lFR 1 X1=1 A B M图 X1=1 1 l 111 3 / 3 () EI X l EI l 不存在？ C1 77 5） 作内力图 在基本体系II中，若X1为逆时针方向，如下图示，则 力法方程成为： 111X AB X1=1 M图 l EI3 BA 2 3 l EI FQ图 2 3 l EI BA 这时注意方程右边的符号。 78 小结： 1）当超静定结构有支座位移时，所取的基本体系上 可能保留有支座移动，也可能没有支座移动。应当 尽量取无支座移动的基本体系。 2）当基本体系有支座移动时，自由项按下式求解： 1CRKK F C RK F为基本体系

40、由X=1产生的支座反力； K C为基本体系的支座位移。 3）当超静定结构有支座移动时，其内力与杆件的抗 弯刚度EI成正比，EI越大，内力越大。 79 例6-4-2 写出图示刚架的力法方程并求出系数iC。 解：1）取两种基本体系如下图示 A CEI l EI l b a 原结构 80 基本体系II C A B b X1 X2 AH=-a A= 2） 建立力法方程 讨论方程及系数的物理意义。 基本体系I C A B b CH=0 CV=0 X1 X2 a 0 1212111 C XX 0 2222121 C XX aXX C 1212111 C XX 2222121 81 基本体系I l B C

41、X1=1 l 1 0 1 M图 A 3） 求自由项 lala C )1( 1 本例主要讨论自由项的求法，其余计算略去。 )()1 ( 2 lblb C l B C X2=1 l 0 1 2 M图 l A l 82 l b b l C ) 1 ( 2 A BC X2=1 2 M图 l 1 1 1 基本体系II A B C 1 X1=1 1 M图 l bb C )1( 1 83 例6-4-3 已知：E支座下沉为a，逆时针转动为， EI=常数，用力法作刚架内力图。 解：1、确定基本未知量X1、X2（选取基本体系）。 E DCB A (b) X1 X2 基本体系 (a) l E D C B A a l

42、/2 l/2l/2 2、列力法方程(保留支座位移)。 84 ic由支座移动引起的Xi作用点沿Xi方向的位移。 0 0 2222121 1212111 C C XX XX 3、求系数和自由项（ ） 图、作 iP MM E D CB A (c) X1=1 l/2 l 11Rk FM 、 0 2/ l E D C B A (d) X2=1 l/2 l/2 l/2 l/2 22kR FM 、 2/ l 1 85 解方程： 4、求未知量X1、X2 2 ) 2 0( 11 ll CF kRkc 2 ) 2 ()1( 22 l a l aCF kRkc EI l EI l EI l 24 11 , 16 3

43、 , 8 3 3 22 3 2112 3 11 0) 2 ( 24 11 16 3 0 216 3 8 3 2 3 1 3 2 3 1 3 l aX EI l X EI l l X EI l X EI l 86 得： 6、讨论： (1) 选择第二种基本体系 E DCB A 基本体系2 X2 X1 5） 作内力图 2211 XMXMM0 P M C C XX XX 2222121 1212111 0 力法方程： 3 1 3 1 )43( 35 24 )1831( 105 8 l EI alX l EI alX 87 注意： 第一个方程的右边为零，是因为在原结 构上与X1相应的位移为零；第二个方程

44、的右边为， 是因为原结构与X2相应的位移为，且与X2同向为 正，反之为负； (2) 选择第三种基本体系 注意：此时，两个方程的右边皆不为零，分别 为-a和-，而1c和2c皆为零。 为什么？请你思考！ 222121 212111 XX aXX 力法方程： E DCB A X1 X2 基本体系3 88 附：单跨超静定梁有支座移动时的弯矩图 A X 111 11 112 1 233 l l EIEI 1 3 () A EI X l 1)一端固定一端简支梁A支座有转动位移 AB M图 X1=1 1 AB EI, lA A B M图 FQ图 2 3 A EI l A B 3 A EI l 89 111X

45、 3 11 3 l EI 1 3 3 ( ) EI X l A B M图 X1=1 l ABEI, l AB M图 2 3EI l FQ图 3 3EI l AB 2)一端固定一端简支梁B支座有竖向位移 90 0 222121 212111 XX XX A EI l 3 2211 EI l 6 2112 02 6 2 21 21 XX l EI XX A 12 42 ( )( ) AA EIEI XX ll A B X1X2 A B X1=1 1 1 M图 AB 1 X2=1 2 M图 AB EI, l A 3)两端固定梁A支座有转动位移 91 FQ图 2 6 A EI l AB A B M图

46、4 A EI l 2 A EI l 11111A l X EI 1 ( ) A EI X l A B EI, l A AB M图 A EI l 1 M图 A B X1=1 1 4)一端固定一端滑动梁A支座有转动位移 92 222121 212111 0 XX XX 3 1122 3 ll EIEI EI l 2 2 2112 12 12 3 2 0 36 2 XX l EI XX ll 1 2 2 3 6 () 12 () EI X l EI X l A B X2 =1 l 2 M 图 A B EI, l A B X1=1 1 1 M图 AB X1 X2 5)两端固定梁B支座有竖向位移 93

47、A B M图 2 6EI l 2 6EI l FQ图 3 12EI l AB 依据3)，很容易得到 右图示内力图。 FQ图 2 6 B EI l AB AB EI, l B 6)两端固定梁B支座有转动位移 A B M图B l EI 2 B l EI 4 94 6-5 力法简化计算 一、力法简化计算的思路 若结构的超静定次数为n，则在荷载作用下其力法 方程为： 11112211 21122222 1122 .0 .0 . .0 nnP nnP nnnnnnP XXX XXX XXX 95 在上列方程中，主系数ii恒大于零，副系数 ij（ij）则可能大于零、等于零或小于零。 若能使全部副系数ij等

48、于零，则方程组解耦，力 法方程变为： 1111 2222 0 0 0 P P nnnnP X X X 即使不能使全部副系数等于零，若能使大部分副 系数等于零，则力法计算也将大大简化。所以，力 法简化计算的目的：使尽可能多的副系数等于零。 96 二、非对称结构的简化计算 对于非对称结构，为简化计算，应尽量使 图及 MP图局部化，以简化方程系数的计算。所以，取基 本结构时应考虑这一因素。 M A B q C D 连续梁基本体系 X2X3 X1 支座处变铰 97 排架结构 基本体系 X2 X1 EA EA 多跨刚架 基本体系 2 X 3 X 1 X 6 X 5 X 4 X 7 X 8 X 9 X 9

49、8 （一）结构对称(视频)(见右图)。 1、条件 (1) 结构的几何形式和 支承情况对某轴对称； (2) 杆件截面和材料性 质也对此轴对称(因此杆件 的截面抗弯刚度EI对此轴 对称)。 三 、对称结构的简化计算 EI1 EI2EI2 l/2l/2 （单跨反对称和双跨反对称视频） 99 2、对称形式 对称、双向对称，见图。 双向对称，具有两个对称轴 竖向荷载下，结构对称 EI1 EI2EI2 l/2l/2 对称结构 3、非对称荷载的处理（荷载分解） 对称结构通常作用有非对称荷载，处理方法为： 100 （1）非对称荷载分解为对称荷载和反对称荷载分别 计算，然后叠加两种情况的结果。 =+ aa FP

50、/2FP /2 EI1EI1 反对称荷载 EI2 aa EI1EI1 （正）对称荷载 FP/2FP /2 EI2 a l/2 FP l/2 EI1EI1 原结构 EI2 101 （2）荷载不分解，只取对称基本体系。 a l/2 FP l/2 EI1 hEI1 h 原结构 EI2 FP Fpa MP图 3 X 1 X 2 X FP 对称基本体系 102 根据 ，MP图的对称性或反对称性可知： M 0, 0 32233113 于是，原力法方程变为： 1111221 2112222 3333 0 0 0 P P P XX XX X （对称） 1 1 1 X 1 1 M图 l/2 （反对称） l/2

51、1 3 X 3 M 图 （对称） 1 2 X 2 M图 hh 两种作法各有 利弊，可根据 情况选用。 103 （二）对称性利用 用力法解对称结构，应取对称的基本结构，只 有这样才能简化计算。 1、对称结构在对称荷载作用下的简化计算 FPa FPFP (对称） FPa MP图 3 X 1 X 2 X FPFP 基本体系 a l/2 a FPFP l/2 EI1 hEI1 h 原结构 EI2 104 X1，X2对称未知力 X3反对称未知力 根据 ，MP 图的对称性或反对称性可知： M 133123323 000 P l/2 （对称） 1 1 1 X 1 1 M图 （对称） hh 1 2 X 2 M

52、图 （反对称） l/2 3 M图 1 3 X 副系数为零 105 于是，原力法方程： 0 0 0 3333232131 2323222121 1313212111 P P P XXX XXX XXX 变为： 1111221 2112222 333 0 0 0 P P XX XX X 0 3 X 结论：对称结构在对称荷载作用下，其反对称未知力 为零，只有对称未知力。 106 2、对称结构在反对称荷载作用下的简化计算 a l/2 a FPFP l/2 EI1 hEI1 h 原结构 EI2 FPFP （反对称） FPaFPa MP图 3 X 1 X 2 X FPFP 基本体系 107 根据 ，MP图

53、的对称性或反对称性可知：M 1331233212 0000 PP （对称） 1 1 1 X 1 1 M图 （对称） 1 2 X 2 M图 （反对称） l/2 1 3 X l/2 hh 3 M 图 X1，X2对称未知力 X3反对称未知力 副系数为零 108 于是，原力法方程： 变为： 0 0 0 3333232131 2323222121 1313212111 P P P XXX XXX XXX 111122 211222 3333 0 0 0 P XX XX X 3333 / P X 0 0 2 1 X X 对于前两个方程组成的方程组，因其右端项为 零，且系数行列式的值通常不等于零，即 111

54、2 2122 0 于是，方程组只有零解：X1=0，X2=0。 109 结论：对称结构在反对称荷载作用下，其对称 未知力为零，只有反对称未知力。 普遍性结论：采用力法计算任何对称结构，只要 所取的基本未知量都是对称力或反对称力，则力法 方程必然分解为独立的两组，其中一组只包含对称 未知力，另一组只包含反对称未知力，原来的高阶 方程组现在分解为两个低阶方程组，因而使计算得 到简化。 110 （三） 奇数跨或偶数跨对称结构的处理 1、若对称结构是奇数跨，则存在与对称轴相交 的截面。切开该截面，则未知力分为两组：对称未知 力和反对称未知力。若荷载对称或反对称，则按前述 方法处理。 3 X 1 X 2

55、X 3 X 2 X 1 X X1, X2为对称未知力; X3为反对称未知力。 111 2、若对称结构是偶数跨，则不存在与对称轴相 交之截面，此时应根据荷载情况分别处理： 1）对称荷载。对称结构在该对称荷载作用下， 其内力和位移均对称。 FPFP 原结构 FP FP 基本体系 2 X 3 X 1 X 2 X 3 X 1 X 112 2）反对称荷载。对称结构在反对称荷载作用 下，其内力和位移均反对称。 FPFP 原结构 FP 基本体系 2 X 3 X 1 X 2 X 3 X 1 X FP 注意：多余力反对称 113 （四） 组合未知力（广义未知力） 结合下图示刚架进行说明。 EI1 基本体系 q

56、EI2 EI1 X1 X2 X1 X2 EI1 原结构 q EI2 EI1 h l/2l/2 114 0 2112 力法方程为： 0 0 2222 1111 P P X X 2222 1111 / / P P X X q2 2 1 ql MP图 X1=1 l X1=1 (对称) 1 M图 X2=1 2l X2=1 l l 2 M图 (反对称) 115 在上题中，X1实质上是对称结构在对称荷载作 用下产生的未知力，而X2则是反对称荷载产生的未 知力。 EI1 对称荷载 EI2 EI1 l/2l/2 X1X1 q/2 EI1 反对称荷载 EI2 EI1 l/2l/2 X2 X2 q/2 q/2 1

57、16 （五）举例 例6-5-1 分析图a所示刚架，作弯矩图。 本题采用两种做法，以示比较。 (a) q=7kN/m B DC A 3EI 2EI2EI 6m 6m 第一种方法：分解荷 载成对称和反对称两组荷 载。 第二种方法：不分解 荷载，选取对称的基本体 系。 117 (a) q=7kN/m B DC A 3EI 2EI2EI 6m 6m (b) 正对称荷载 X1 X2 X1 X3 基本体系 q=3.5kN/m B D C A q=3.5kN/m 第一种方法：分解荷载成对称和反对称两组荷载。 1、考虑对称荷载 (1) 取基本体系如图b，基本未知量X1、X2、X3。 11 X1 + 12 X2

58、 + 1P = 0 21 X1 + 22 X2 + 2P = 0 (2) 列力法方程 直接利用对称性直接利用对称性 118 X3=1 3 3 3 33 (f) B DC A ）图（mM 3 X2=1 11 1 1 11 (e) B DC A 图 2 M 对称荷载作用，利用对称性X3=0 (3) 计算系数和自由项（ ） 图、作 P MMMM 321 66 (d) B DC A X1=1 ）图（mM1 6363 (g) B DC A 图 P M 119 ) m ( 72 6 3 2 )66 2 1 (2 2 1 11 kNEIEI 1 dx EI M 1 M ) 1 ( 18 1)66 2 1 (

59、2 2 1 2112 kNEIEI 1 dx EI M 2 M ) . 1 ( 8 )161 (2 2 1 ) 161 ( 3 1 22 mkNEIEIEI 2 dx EI M 2 M )( 567 )6 4 3 ()663 3 1 (2 2 1 1 EIEI P 1 dx EI MM P m )(无量纲 126 1)663 3 1 (2 2 1 2 2 EIEI dx EI MM P P 有关单位说明：有关单位说明：E (kN/m2)，I (m4)，EI (kN m2) 120 (4) 求未知量X1、X2 0126818 05671872 21 21 XX XX mkNX kNX 5 . 4

60、 9 2 1 (5) 作对称荷载下结构的弯矩图 ，也可以最后叠 加作图（采取最后作弯矩图） M 2、考虑反对称荷载 (1) 取基本体系如图c，基本未知量X1、X2、X3。 此时，图图，只作、不必再作 P MMMM 321 荷载下的弯矩图。图是基本体系在反对称 P M 121 (c) 反对称荷载 X1 X2 X1 X3 基本体系 q=3.5kN/m B DC A q=3.5kN/m 63 (h) B D C A 63 图 P M 反对称荷载，利用对称性，X1 = X2 = 0 (2) 列力法方程 0 3333 P X (3) 计算系数和自由项（ h ） 图作 P M 122 kNEIEI ) m