第二章 物理系统的数学模型

1、第二章第二章 物理系统的数学模型物理系统的数学模型 2-1 引言引言 2-2 元件和系统运动方程的建立元件和系统运动方程的建立 2-3 运动方程的线性化运动方程的线性化 2-4 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 2-5 用拉普拉斯变换方法解微分方程用拉普拉斯变换方法解微分方程 2-6 传递函数传递函数 2-7 结构图等效变换结构图等效变换 2-8 反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数 第二章第二章 物理系统的数学模型物理系统的数学模型 引言引言 何谓数学模型 描述系统描述系统输入输入、输出变量输出变量以及以及内部各变量内部各变量之间关系的之间关系的 数学表达式。数学表达式。 数学表达式具有多种

2、形式数学表达式具有多种形式，同一系统的数学模型具有，同一系统的数学模型具有 多样性多样性。 不同形式的数学模型所反映的量和量之间的本质不同形式的数学模型所反映的量和量之间的本质 关系不变。关系不变。 为什么要建立数学模型为什么要建立数学模型 物理系统的内部变量对输入有依赖，内部变量对输出物理系统的内部变量对输入有依赖，内部变量对输出 有影响，内部变量之间也会相互影响，如何影响，影响程有影响，内部变量之间也会相互影响，如何影响，影响程 度如何，都需要用数学语言来精确地定量描述，只有用数度如何，都需要用数学语言来精确地定量描述，只有用数 学语言描述后系统，其特性才得以精确地反映，才能为控学语言描述

3、后系统，其特性才得以精确地反映，才能为控 制器所理解、所利用。制器所理解、所利用。 实际物理系统实际物理系统( (不管是机械的、电气的、热力学的、不管是机械的、电气的、热力学的、 液压，也不管是单一元件组成的简单系统或者众多液压，也不管是单一元件组成的简单系统或者众多 原件组成的复杂系统原件组成的复杂系统) )都可以用微分方程来描述其输都可以用微分方程来描述其输 入输出关系。通过对其求解可以获得系统的响应。入输出关系。通过对其求解可以获得系统的响应。 许多看似非常不同的物理系统，却可以用许多看似非常不同的物理系统，却可以用结构完结构完 全一样全一样的微分方程（数学模型）来表达。的微分方程（数学

4、模型）来表达。本课程就本课程就 是以这些模型为基础，研究不同领域对象共同规律是以这些模型为基础，研究不同领域对象共同规律 的。的。 如何获取系统的数学模型，方法有两类： 1 1、实验法（系统辨识法）实验法（系统辨识法）人为施加某种测试信号，人为施加某种测试信号， 记录基本输出响应。根据测试信号及响应信号随时间的变记录基本输出响应。根据测试信号及响应信号随时间的变 化规律，依赖某种算法，计算出模型的结构及参数。特点：化规律，依赖某种算法，计算出模型的结构及参数。特点： 把系统当黑匣子处理，无需了解其结构、组成及工作机理。把系统当黑匣子处理，无需了解其结构、组成及工作机理。 黑黑 匣匣 子子 输输

5、 入入 （ 已已 知知 ） 输输 出出 （ 已已 知知 ） 2、解析法（机理分析法）解析法（机理分析法） 对系统各部分的运动机理进行分析，依据系统及元件各变对系统各部分的运动机理进行分析，依据系统及元件各变 量之间所遵循的物理、化学定律，列出变量之间的数学表达式，量之间所遵循的物理、化学定律，列出变量之间的数学表达式， 建立数学模型。建立数学模型。 建模步骤建模步骤 l分析系统工作情况，明确各元部件或子系统的输入和输出分析系统工作情况，明确各元部件或子系统的输入和输出 变量变量,并引入必要的中间变量并引入必要的中间变量 l从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循从输入端开始，按照信号

6、的传递顺序，依据各变量所遵循 的物理或化学定律，列写元部件动态方程的物理或化学定律，列写元部件动态方程 l消去中间变量，得到系统输入、输出之间的微分方程消去中间变量，得到系统输入、输出之间的微分方程 l标准化，将关于输入的项按照导数阶次由高到低的顺序写标准化，将关于输入的项按照导数阶次由高到低的顺序写 在等号右边，输出项按照相同的方式写在左边，并将最高阶在等号右边，输出项按照相同的方式写在左边，并将最高阶 项系数归一化项系数归一化 m fr k xc m kxc c dx f dt fr 2 2 c c rc xdx mfkxf dt d d t 2 2 c c cr xdx mfkxf dt

7、 d d t 弹簧弹簧-质量质量-阻尼器系统阻尼器系统 f 牛顿第二定律 若m、k、f为常数，则为 二阶常系数线性微分方程 2 2 1 c c cr xdxmf xf kk dtk d d t 令 2 , m T k 2 f T k , m T k 2 f mk 时间单位，称为时间常数无量纲，称阻尼系数或阻尼比 m fr k xc m kxc c dx f dt F f 2 2 2 1 2 c c cr xdx TTxf dtk d d t 1 , n T 2 2 2 2 2 c cn nncr xdx xf dtk d d t 令 标准形式1： 特点： l最低导数项系数为1 l每项系数的量刚

8、都是时间的若干次幂 ，幂次等于该项的导数阶数 有 标准形式2： n 为无阻尼震荡频率 称 弹簧弹簧-质量质量-阻尼器系统阻尼器系统 + - + - uc (t) (t) RLCRLC电路电路 i(t) 2 c 2 ( ) 1 ( )( ) ( )( ) Lc R c c ci t i di Lidt i dtC d iC dt i tdt LCRCtt dd u uuu Riu u d uu uu tt 又有： 为中间变量，消去，得： iu 克希霍夫回路电压定律 若L、C、R为常数，则为 二阶常系数线性微分方程 2 ,TLC2 TRC令,TLC 2R CL或 2 2 2 ( )( ) 2( )

9、( ) c c ci u tdu t TTu tu t dt d d t 2 22 2 ( )( ) 2( )( ) c c nncnc u tdu t u tu t dt d d t 标准形式： U U1 1 R R1 1R R2 2 U U2 2C C1 1C C2 2 图图2 2- -1 1 R RC C组组成成的的四四端端网网络络 右图为由一RC组成的四 端无源网络。试列写以 U1(t)为输入量，U2(t) 为输出量的网络微分方 程。 RCRC四端网络四端网络 设回路电流i1、i2，根据克希霍夫定律，列写方程： 1111c UiRU dtii C U c )( 1 21 1 1 222

10、1cc UiRU dti C U c2 2 2 1 22c UU i1 i2 1111c UiRU dtii C U c )( 1 21 1 1 2221cc UiRU dti C U c2 2 2 1 22c UU dt dU C dt dU Ci c2 2 2 22 dt dU C dt dU Ci dt dU Ci cc2 2 1 12 1 11 由、得 由导出 11 12 22c UR iR iU 2 2 22 2 2 1 11 )(U dt dU CR dt dU C dt dU CR c 将i1、i2代入、，则得 11 12 22c UR iR iU 2 2 22 2 2 1 11

11、 )(U dt dU CR dt dU C dt dU CR c 2 2 22 2 222211 )(U dt dU CR dt dU CUiR dt d CR 2 2 22 2 21 2 11 2 2 2 2211 U dt dU CR dt dU CR dt dU CR dt Ud CRCR 2 22 121211122221 2 ()= d UdU R R C CR CR CR CUU dtdt 2 T2 T 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 电枢控制的他励直流电动机电枢控制的他励直流电动机 + - e i 负载 L R gM + - u fi f M J 输入的电枢电压u在

12、电枢回 路中产生电枢电流i，再由 电流i与激磁磁通相互作用 产生电磁转距 ，从而拖 动负载运动。因此，直流 电动机的运动方程可由以 下三部分组成。 电枢回路电压平衡方程 电磁转矩方程 电动机轴上的转矩平衡方 程 g M 电枢控制的他励直流电动机电枢控制的他励直流电动机 + - e i 负载 L R gM + - （1）电枢回路(克希霍夫定律) d dt i ieuLR （2）反电势(楞次定律) ( )( ) e tt eC （3）电磁力矩（安培定律） ( )( ) g M Mtt C i （4）轴上动力学方程 ( )( )( )( ) g ffM d JMtttt dt C iMM u fi

13、f M J 消去中间变量, , g i e M 2 2 1 ( ) 1 MeMee LJRJdf u t f C CC CdtC d MeMe dM R d M tC CdtC C Ce反电势系数 （电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量） m eM RJ T C C ， 1 m e K C ， M eM R C C K 忽略电感忽略电感L并认为负载转矩为常数，则方程简化为并认为负载转矩为常数，则方程简化为： 1 ( ) Mee RJd u t f C CdtC Me R M C C ( ) mm d TK u tKM Mf dt d dt 令则 具有时间的量纲， 称为机电时间常数 转速/电压

14、转速/转矩 若以转角为输出，因为 2 2 ( ) mm dd TK u tKM Mf dtdt 2 2 ( ) mm dd TK u t dtdt 有 有些小功率系统，负载较小，则 系统运动方程的列写（教材图系统运动方程的列写（教材图1-71-7的随动系统）的随动系统） 系统原理框图为： 电位器放大器电动机减速器 r 2 uK u , ,u u uu c rc 1 uK c i - 比较元件： 放大器： 电动机： 2 2 ( ) mm dd TK u t dtdt 电位器： 减速器： 消去中间变量得 2 2 1 mcc cr T dd K dtK dt 即： 2 12 2 ,/ cc mcrm

15、 dd TKKKK K Ki dtdt 其中 22 22 22 2,2 cccc crnncr dddd TT dtdtdtdt 标准化： 上述系统表面上虽然很不相同，但都可用二阶常上述系统表面上虽然很不相同，但都可用二阶常 系数线性微分方程描述，这表明其输出对输入的系数线性微分方程描述，这表明其输出对输入的 依赖关系从结构上讲是相同的，我们把这样的两依赖关系从结构上讲是相同的，我们把这样的两 个或多个系统称为个或多个系统称为相似系统相似系统。 能用二阶线性微分方程描述的系统称为二阶系统，能用二阶线性微分方程描述的系统称为二阶系统， 很多系统经过简化后，都可归为二阶系统。三阶很多系统经过简化后

16、，都可归为二阶系统。三阶 或三阶以上系统称为高阶系统。或三阶以上系统称为高阶系统。 微分方程是动态方程，即系统在运动状态下的输微分方程是动态方程，即系统在运动状态下的输 入输出关系，进入稳态后，其关系用代数方程表入输出关系，进入稳态后，其关系用代数方程表 示。示。 上面的系统都是针对线性元器件建立的，其数学上面的系统都是针对线性元器件建立的，其数学 模型是线性微分方程。对非线性元器件又当如何模型是线性微分方程。对非线性元器件又当如何 处理？处理？ 2-3 运动方程的线性化 严格地将，实际物理系统都是非线性的；严格地将，实际物理系统都是非线性的； 建模原则是在保证模型具有可接受精确度的前提下应该

17、建模原则是在保证模型具有可接受精确度的前提下应该 尽量简单，阶数尽量低，最好是线性模型。尽量简单，阶数尽量低，最好是线性模型。采取的方法 是：抓住主要因素忽略次要因素，使系统理想化。 还有些元器件其非线性程度无法在全工作范围内用统一还有些元器件其非线性程度无法在全工作范围内用统一 的线性模型描述；有些较复杂的系统，即使用一系列假的线性模型描述；有些较复杂的系统，即使用一系列假 设简化后，其输入、输出和状态量之间的关系仍是非线设简化后，其输入、输出和状态量之间的关系仍是非线 性的。例如六自由度飞机运动方程。性的。例如六自由度飞机运动方程。 对非线性系统，一种近似处理方法是在工作点附近进行对非线性

18、系统，一种近似处理方法是在工作点附近进行 线性化处理，即小扰动线性化方程。线性化处理，即小扰动线性化方程。 含一个自变量的非线性函数 y=f(x)，在x0处连续可微，则可 将它在该点附件用台劳级数展开 2 00000 1 ( )()()()()() 2! yf xf xfxxxfxxx 0000 ( )()()()yyf xf xfxxx 0 ()yfxxk x 0 xxx 0 yyy 令 增量较小时略去其高次幂项，则有 有 0 yyy 两个变量的非线性函数线性化 y=f(x1,x2)同样可在某工作点（x10,x20）附近用台劳级数 展开 110110 220220 110110 220220

19、 110 220 1212 121020110220 12 2 2 1212 1101020 2 112 2 12 2 2 ( ,)( ,) ( ,)(,)()() ( ,)( ,)1 ()2()() 2! ( ,) ( xxxx xxxx xxxx xxxx xx xx f x xf x x yf x xf xxxxxx xx f x xf x x xxxxxx xx x f x x x 2 220) xx 110110 220220 1212 1020110220 12 1122 ( ,)( ,) (,)()() xxxx xxxx f x xf x x yf xxxxxx xx ykxk

20、x 即： 这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态是可行的这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态是可行的 例：把非线性方程例：把非线性方程 z=f(x,y)=xyz=f(x,y)=xy在区域在区域5x7 5x7 、 10y1210y12上线性化。求用线性化方程来计算当上线性化。求用线性化方程来计算当x=5x=5， y=10y=10时时z z值所产生的误差。值所产生的误差。 由于研究的区域为5x7、10y12，故 选择工作点x0=6，y0=11。于是z0=x0y0=611=66. 求在点x0=6，y0=11，z0=66附近非线性方程的线性 化表达式。将非线性方程在点x0,y0,z0

21、处展开成泰 勒级数，并忽略其高阶项，则有 0 0 0 0 00 00 0000 000 ( , ) ( , )( , ) (,)()() =y()x() =6611 (6(116)6(11) 11666 高阶 线性化增量方 项略去 全量方程 程 x x x x yy yy x xx x yyyy zf x y z f x yf x y f xyxxyy xy zxxyy xy y xy x 全量方程式为： z=11x+6y-66 当x=5,y=10时，z的精确值为z=xy=510=50 由线性化方程求得的z值为z=11x+6y-66=55+60-66=49 因此，误差为50-49=1，表示成百

22、分数 2% 例：铁芯线圈:输入ur,输出i i r u R 0 i 0 i 11 ( )di uK dt 根据克希霍夫定律 1r uuRi 感应电动势u1： ( ) i磁通量 1 ( ) r di di KRiu didt 注意：系数是变量，但和系 统状态以及输入输出无关时 不影响系统的线性性） 不是常数，且和输 出有关 设工作过程中，电压电流只在平衡点（u0,i0）附近微小变化，平衡时磁通量为 0 0 0 100 100 ( )() ()() ( )() ()() r r didii KRiiuu didt didi KRiiuu didt 铁芯线圈:输入ur,输出i i r u R 0 i

23、 0 i 设工作过程中，电压电流只在平衡点（u0,i0）附近微小变化，平衡时磁通量为 0 0 0 100 100 ( )() ()() ( )() ()() r r didii KRiiuu didt didi KRiiuu didt 0 0 0 1 0 1 11 ( ) ( ) ( ) ( ) ()( ) i i i i di ii di di iiCi di diidCidi CC dididi 1100 () r di K CR iRiuu dt 平衡状态有 00 Riu 小扰动线性化方程为（增量方程）： 11 () r di K CR iu dt 如果系统中非线性元件 不止一个，则必须

24、依据 实际系统中各元件所对 应的平衡工作点建立线 性化增量方程。 2.6 传递函数 l以微分方程为模型的系统分析方法的基本思路是： l缺乏直观性，当系统参数改变时，上述过程需要反 复进行，非常不便。 l经典控制理论中主要以传递函数为基础来分析、设 计系统，并同时派生了系统设计的复数域方法（根 轨迹法）和频域法，这些方法绕过了对微分方程的 求解，可方便地用图形表示，直观简便。 l传递函数是经典控制理论中最重要的概念之一。 建立微分方程 代入初值条件 解微分方程 得到响应曲线 计算、分析性能指标 i(t) 0 ( ) ( )( ) 0(0)0 ( )( )( ) 1 ( )( ) 1 o o i

25、ooi oi dt RCU tt dt u RCssss ss RCs u u uuu uu 在 初始条件下() 经过变换后，微分方程成了代数方程 1 1 )( )( )( , 1 1 )( Ts sG s s Ts sG u u i o 则令： )(s ui G(s) )(s uo + uo(t) ui(t) - ( ) 11 ( )11 o i s sRCsTs u u 输入信号的拉氏变换 由输入的形式决定 取决于系统结构及参数 而与输入输出无关 传递函数 )(s ui G(s) )(s uo 传递函数的定义：传递函数的定义： 线性定常系统线性定常系统在在零初始条件零初始条件下，下，输出量

26、的拉氏变换输出量的拉氏变换与与输输 入量的拉氏变换入量的拉氏变换之比。之比。 结构图：结构图： 传递函数给出了元部件（或系统）输出对输入的 依赖关系。在方框图中用传递函数代替元器件的名 称，从而构成结构图结构图（或传递函数方框图），结构 图能从本质上揭示系统的运动规律，因而更为常用。 说明：说明： l仅由系统结构、参数决定，是系统的动态模型，和输入输仅由系统结构、参数决定，是系统的动态模型，和输入输 出无关；出无关； l传递函数是对线性系统定义的，对非线性系统不适用；传递函数是对线性系统定义的，对非线性系统不适用； l线性时变系统在很多情况下在很小的时间区间内可以当做线性时变系统在很多情况下在

27、很小的时间区间内可以当做 时不变系统近似处理，可以得到仅适用于该时段的传递函数；时不变系统近似处理，可以得到仅适用于该时段的传递函数； l因为系统具有惯性且能源功率有限，传递函数是复变量因为系统具有惯性且能源功率有限，传递函数是复变量s的的 实系数有理真分式，通常分子多项式次数小于等于分母多项实系数有理真分式，通常分子多项式次数小于等于分母多项 式次数。否则，系统物理不可实现。式次数。否则，系统物理不可实现。 )(s ui G(s) )(s uo l 零初始条件含义有二：输入是在t=0以后才作用于系统，系 统输入的各阶导数在t=0-时的值为零；输入作用之前系统 是相对静止的，系统输出量及其各阶

28、导数在t=0-时的值为 零。 2 10102 2 1010 2 10110 ( )( )( )( )( ) (0)(0)(0)0 ( )(0)(0)( )(0)( )( )(0)( ) ( )(0)(0) 系统微分方程 系统输出及其一阶导数的初值分别为和，输入函数的初值为。 ddd r tar ta r tbe tbe t dtdtdt rre s R ssrra sR sra R sb sE seb E s sa s aR ss a rrbs b 1 101 222 101010 ( )(0) 1 ( )( )(0)(0) E sbe bs bs a R sE srr sa s asa s

29、asa s a l 为什么要规定零初始条件: 便于分析研究；为“公正地” 分析评价系统，需要对他们在相同条件下考察。如：初始 条件都规定为零；输入通常都用阶跃信号。如同跑步比赛， 都跑完100米，都从静止开始。 l 为什么可以规定零初始条件：研究系统的响应，都是从开 始研究它的瞬时才把信号加上去的；绝大多数系统，当输 入为0时，都处于相对静止状态；零初始条件的规定，并 不妨碍非零初条件时系统全响应的求解(可以由G(s)回到系 统微分方程，加上初条件求解). l传函的局限性1：对非零初始条件的系统，传递函数不能完 全描述其行为。 l传函的局限性2：传递函数只是通过系统的输入变量与输出 变量之间的

30、关系来描述系统，即系统的外部描述，对内部其 他变量却不完全知道。能同时反映内部变量运动特性的模型 是状态空间模型。 l传函的局限性3：只适合单输入单输出（SISO）系统 )(. 01 )1( 1 )( 01 )1( 1 )( trbrbrbrbcacacaca m m m m n n n n )( . . )( )( 01 1 1 01 1 1 sG asasasa bsbsbsb sR sC n n n n m m m m )(.)(. 01 1 101 1 1 sRbsbsbsbsCasasasa m m m m n n n n 微分方程一般形式微分方程一般形式： 拉氏变换拉氏变换： 传递

31、函数：传递函数： r(t)为输入，为输入，c(t)为输出，为输出，a0，,an以及以及b0，,bm是由系统结构及参数决定的。是由系统结构及参数决定的。 11 110110 (s).(s). mmnn mmnn Mb sbsbsbNa sasa sa 令； ( ) ( ) ( ) M s G s N s 0s 令令 0 0 (0) b G a 得系统放大系数 系统放大系数的物理意义：系统达到稳态时，输出与输入之比系统放大系数的物理意义：系统达到稳态时，输出与输入之比 传递函数的一般形式传递函数的一般形式 首首1 1标准型：标准型： 尾尾1 1标准型：标准型： )( . . )( )( 01 1

32、1 01 1 1 sG asasasa bsbsbsb sR sC n n n n m m m m 分子分母系 数都除以an 分子分母系 数都除以a0 n i i m j j ps zsK sG 1 1 * )( )( )( 零极点模型 21 12 1 22 1 1 22 1 )12()1( )12()1( )( n j jj n i i m k ll m l k sTsTsTs sss KsG v 典型环节形式 根轨迹增益根轨迹增益 K*=bm/an 增益 K=b0/a0 两种增益间的关系：两种增益间的关系： * (-) (-) m j j n i i Kz K p 1 1 当传函中不存在积

33、分环节时，有当传函中不存在积分环节时，有 ( )( ), ( ) ( ) ( ) y tKx t Y s G sK X s ( )( ), ( )1 ( ) ( ) y tx t dt Y s G s X ss 1.1.比例环节比例环节K K 积分环节积分环节 3.3.纯微分环节纯微分环节 ( ) ( ) ( ) dx t y tK dt G sKs 12 12 22 11 22 11 (1)(21) ( ) (1)(21) v mm kll kl nn ijj ij sss G sK sTsT sT s 1 ( ), 2 2 21 G s T ss T 2 ( )( ) 2 2( )( )0

34、 2 d y tdy t TTy tx tt dt dt ， ( ) ( )( ) ( )1 dx t y tx t dt G ss 1 1 )( )( )( )()( )( TssX sY sG txty dt tdy T 2 2 2 22 ( )( ) ( )2( ) ( )21 x tdx t y tx t dt d G ss d t s n i i m j j ps zsK sG 1 1 * )( )( )( 12 , m z zz 零极点模型零极点模型 零点：使传递函数分子多项式取值为零的点。 12 , m p pp极点：使传递函数分母多项式取值为零的点。 零极点分布图：把传递函数的

35、零点和极点同时表示在复平面上的图形 特殊传递函数特殊传递函数频率特性频率特性 令s j ( )() sj G sG j 即称该式为系统的频率特性 频率特性是s只能在虚轴上取值的特殊传递函数 频率特性是描述系统特性的另一种数学模型 频率特性是系统频域分析、设计方法的基础 例例 已知某系统在已知某系统在0 0初条件下的单位阶跃响应为：初条件下的单位阶跃响应为： 试求试求：（：（1 1） 系统的传递函数；系统的传递函数； （2 2） 系统的增益；系统的增益； （3 3） 系统的特征根及相应的模态；系统的特征根及相应的模态； （4 4） 画出对应的零极点图；画出对应的零极点图； （5 5） 求系统的单

36、位脉冲响应；求系统的单位脉冲响应； （6 6） 求系统微分方程；求系统微分方程； （7 7） 当当 c(0)=-1, c(0)=0; r(t)=1(t) c(0)=-1, c(0)=0; r(t)=1(t) 时，求系统的响应。时，求系统的响应。 解解. .（1 1） )4)(1( )2(2 4 1 3 1 1 1 3 21 )( sss s sss sC )4)(1( )2(2 )( 1 )( )( )( )( ss s sGs s SC sR sC sG tt eetc 4 3 1 3 2 1)( 1 4 22 K t t e e 4 2 1 4 1 41)4)(1( )2(2 )()( 2

37、1111 s C s C L ss s LsGLtk 3 2 4 )2(2 lim 1 1 s s C s tt ee ss Ltk 41 3 4 3 2 4 1 3 4 1 1 3 2 )( )( )( 45 42 )4)(1( )2(2 )( 2 sR sC ss s ss s sG 2 1 (54) ( )(24) ( ) :( )5 ( )4 ( )2 ( )4 ( ) ssC ssR s Lc tc tc tr tr t (2)(2) (4) (4) 如图所示如图所示 (3)(3) (5)(5) (6)(6) 3 4 1 )2(2 lim 4 2 s s C s 1 (s 1) C(

38、s)2(s2) 2 G(s) 1 R(s)(s 1)(s4) (s 1)( s 1) 4 3 4 4 )5( lim 1 1 s s C s )(4 )0()( 5 )0()0()(: 2 sC cssC cscsCsL 22 2(2)15 ( ) 5454 ss C s sssss 4 1 3 1 1 1 3 4 41)4)(1( )5( )( 21 0 sss C s C ss s sC 4 0 41 33 ( ) tt c tee 44 0 2141 ( )( )( )11 2 3333 ttttt r c tc tc teeeee （7 7） 其中初条件引起的自由响应部分其中初条件引起

39、的自由响应部分 )()2(2)0()0()5()()45( 2 sRsccssCss 3 1 1 )5( lim 4 2 s s C s 1 :( )5 ( )4 ( )2 ( )4 ( )Lc tc tc tr tr t 结构图等效变换及梅逊公式 + - + - uc(t) ru (t) i(t) R RC网络网络 1 ( )( )( )( )-( )( ) 1 ( )( ) rcrc c UsRI sUsUsUsI s R UsI s Cs 即 ( ) c Us 不消掉中间变量，而是直接进行拉氏变换 1 rc c uRiu uidt C ( ) r Us( )I s 1 R ( )I s

40、1 Cs ( ) c Us - ( ) c Us ( ) r Us( )I s 1 R ( )I s 1 Cs ( ) c Us - ( ) c Us ( ) r Us 1 RCs ( ) c Us - ( ) c Us ( ) r Us 1 1RCs l建立系统结构图的步骤 建立控制系统各元部件的微分方程 对各元部件的微分方程分别进行拉氏变换，并作出各 元部件的结构图 按照系统中各信号的传递顺序，依次将各元件结构图 连接起来，便得到系统的结构图 教材图教材图1-71-7的随动系统的随动系统 系统原理框图为： 电位器放大器电动机减速器 r 2 uK u uu c rc 1 uK c i - 比

41、较元件： 放大器： 电动机： 2 2 ( ) mm dd TK u t dtdt 电位器： 减速器： 拉 氏 变 换 ( )( )( ) rc sss 1 ( )( )UsKs 2 ( )UK Us 1( )( ) mm s T ssK U s 1 ( )( ) c ss i 2 uK u rc 1 uK c i 比较元件： 放大器： 电动机： 2 2 ( ) mm dd TK u t dtdt 电位器： 减速器： 拉 氏 变 换 ( )( )( ) rc sss 1 ( )( )UsKs 2 ( )( )U sK Us 1( )( ) mm s T ssK U s 1 ( )( ) c ss

42、 i ( ) c s ( )U s ( ) s (1) m m K s T s ( ) s 1 i ( ) r s ( ) c s - ( ) s ( )Us 1 K ( ) s ( )U s 2 K ( )Us 控制系统结构图是一种描述系统各组成元部件之 间信号传递关系的数学图形，它同时能表述系统 输入输出之间的关系，还能表示系统内各变量之 间的关系 结构图是一种数学模型，它是原理方框图和数学 方程的结合。原理方框图不是系统数学模型 采用直接对元器件微分方程进行拉氏变换的方法 建立的结构图往往比较复杂，如何简化？ 简化的原则：保持系统输出、输入之间的关系不 变，即所谓的等效变换 ) s (

43、G ) s ( G 21 ) s ( Xc ) s ( Xr ) s ( G1 ) s ( G2 ) s ( Xr ) s ( Xc ) s ( X1 ) s ( G ) s ( G ) s ( X ) s ( X ) s ( X ) s ( X ) s ( X ) s ( X ) s (G ) s (G ) s ( X ) s ( X ),s ( G ) s ( X ) s ( X ),s ( G ) s ( X ) s ( X 21 1 c r 1 r c r c 2 1 c 1 r 1 则： 又 结论：两个传递函数串联后的等效传递函数等于这两个传递函数的乘积结论：两个传递函数串联后的等效

44、传递函数等于这两个传递函数的乘积 推广：推广：N N个传递函数串联后的等效传递函数等于这个传递函数串联后的等效传递函数等于这N N个传递函数的乘积个传递函数的乘积 ) s ( G1 ) s ( G2 ) s ( Xr ) s ( X1 ) s ( X2 + + ) s ( Xc ) s ( G ) s ( G 21 ) s ( Xr ) s ( Xc 12 1212 12 12 c rr c rr ss ssssXs ss sss G sss ss XX GGXX XX XXX GG XX ( )( ) ( ),( ),又( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) 有： ( )( )

45、( ) ( )( ) 结论：两个传递函数并联的等效传递函数等于这两个传递函数的结论：两个传递函数并联的等效传递函数等于这两个传递函数的代数和代数和 推广：推广：N N个传递函数并联的等效传递函数等于这个传递函数并联的等效传递函数等于这N N个传递函数的代数和个传递函数的代数和 ) s (G ) s (H ) s ( Xr B(s) + - E(s) ) s ( Yc ) s (H) s (G1 ) s (G ) s ( Xr ) s ( Yc ) s ( Y ) s (H) s (B )s (B) s ( X )s (G) s ( Y c rc ( )( )( )( )( ) ( )( )(

46、)( )( )( ) crc ccr sG ssH ss sG s H ssG ss YXY YYX )()(1 )( )( )( sHsG sG s s X Y r c 当H(s)=1时，上述系统称为单位反馈系统。对单位负反馈系统有 ( ) ( ) ( )1( ) c r s G s sG s Y X ) s (G ) s (H ) s ( Xr B(s) + + E(s) ) s ( Yc ( ) 1( )( ) G s G s H s ) s ( Xr ) s ( Yc ( )( )( )( ) ( )( )( ) cr c sG ssB s B sH ss YX Y ( )( )( )

47、( )( ) ( )( )( )( )( )( ) crc ccr sG ssH ss sG s H ssG ss YXY YYX ( ) ( ) ( )1( )( ) c r s G s sG s H s Y X 当H(s)=1时，上述系统称为单位反馈系统。对单位负反馈系统有 ( ) ( ) ( )1( ) c r s G s sG s Y X ( ) c Us ( ) r Us( )I s 1 R ( )I s 1 Cs ( ) c Us - ( ) c Us ( ) r Us 1 RCs ( ) c Us - ( ) c Us ( ) r Us 1 1RCs 1 1 1 1 1 RCs RCs RCs R 1 X 1 C 2 X R 2 X 2 C 1 X 112 221 12 CRXX CRXX CC +- ) s (G Y X1 X2 ) s (G ) s (G X1 X2