线性代数向量组的线性相关性习题课

1、习题课件习题课件习题课件 线性代数线性代数 向量组线性相关性习题讲解向量组线性相关性习题讲解 习题课件习题课件习题课件 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 一、要点复习一、要点复习 二、作业讲解二、作业讲解 三、典型例题介绍三、典型例题介绍 习题课件习题课件习题课件 一、要点复习一、要点复习 一个向量可由一组向量线性表示一个向量可由一组向量线性表示 一组向量可由另一组向量线性表示一组向量可由另一组向量线性表示 两组向量可相互线性表示（等价）两组向量可相互线性表示（等价） 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 线性相关线性相关 线性无关线性无关 线性表示线性表示 习题课件习题课件

2、习题课件 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组 向量组的秩向量组的秩 线性方程组解的结构线性方程组解的结构 基础解系基础解系 利用基础解系表示线性方程组的通解利用基础解系表示线性方程组的通解 线性方程组的解的各种情形的判断线性方程组的解的各种情形的判断 齐次线性方程组齐次线性方程组 非齐次线性方程组非齐次线性方程组 习题课件习题课件习题课件 1.向量的基本定义和运算向量的基本定义和运算 。 ， ，负向量 ， ， 。或 记为维向量组成的有序数组称为个数：由 n nn n nn nn n n n kakakak bababa aaa bababa kbbbaaa a a a aaa naa

3、an , , , , , , , 21 2211 21 2211 2121 2 1 21 21 )( R 定义定义 习题课件习题课件习题课件 2.线性表示线性表示 这两个向量组等价。可相互线性表示，则称与向量组若向量组 线性表示。可由向量组线性表示，则称向量组组 中每个向量都可由向量，若：，：维向量组设 线性表示。可由向量组则称向量 ， ，使，如果存在一组数维向量设 BA ABA BBAn kkk kkkn s s t21s21 s21 s21 s21 , , , 21 21 定义：定义： 定义：定义： 式。的线性方程组求出表示 个相应线性表示。同时可用一可由向量组），则（）（）若（ 线性表示

4、。不可由向量组），则（）（）若（ ，化为，用将向量 的秩是否相等。与矩阵矩阵 线性表示的方法：可否由向量组判断向量 s21 s21 s21 s21s21 s21 RR RR ,2 ,1 , , , BA BA BA 行阶梯形行阶梯形初等行变换初等行变换按列组成矩阵按列组成矩阵 习题课件习题课件习题课件 3.线性相关、线性无关线性相关、线性无关 才能使得上式成立）。线性无关（即只有否则，称向量组 线性相关；则称向量组 ， ，使零的数，如果存在一组不全为维向量组对于 0, , , 21 21 21 s s s kkk kkk kkkn s21 s21 s21 s21 0 定义：定义： 线性相关性的

5、方法：维向量组判断 s21 ,n 线性无关。，则向量组）若（ 线性相关。，则向量组）若（ 的秩求出 。秩与向量个数比较矩阵、 s21 s21 s21 s21 ,2 ,1 , ,1 sr sr r sA 习题课件习题课件习题课件 ）线性无关。（此时，则向量组）若（ ）线性相关。（此时，则向量组）若（ 的行列式进行判断，是方阵，可用时，矩阵、当 sAA sAA AAns )(,02 )(,01 ,2 R R s21 s21 s21 ）线性相关。（此时时，向量组、当snAns)(,3R s21 线性无关。线性无关，则向量组反之，若向量组 线性相关；线性相关，则向量组若向量组 表示，且表示式唯一。向量

6、组 可由线性相关，则向量线性无关，而向量组设向量组 其余向量线性表示。 个可由是：向量组中至少有一）线性相关的充要条件（向量组 s21t1ss21 t1ss21s21 s21 s21s21 s21 , , , , 2, 定理：定理： 定理：定理： 定理：定理：s 习题课件习题课件习题课件 4.向量组的极大线性无关组和秩向量组的极大线性无关组和秩 秩。等价的向量组有相同的 为向量组的秩。组所含向量的个数，称向量组的极大线性无关 。的一个极大线性无关组为向量组则称该部分组 表示，中的任一向量都可由）向量组（ 线性无关；）（ 满足的部分组若向量组 性质：性质： 定义：定义： 定义：定义： A A A

7、 s21 s21 s21 s21 , ,2 ,1 , 习题课件习题课件习题课件 的行向量组的秩。于的列向量组的秩，也等的秩等于矩阵AAA定理：定理： 线性无关组。组的秩，求出一个极大）非零行的个数为向量（ 化为行阶梯形；）用初等行变换将（ ；阵）将各向量按列组成矩（ 关组：的秩和一个极大线性无求向量组 3 2 1 , A A s21 习题课件习题课件习题课件 5.线性方程组解的结构线性方程组解的结构 为任意常数。，其中注：通解可表示为 组成。个向量有非零解，基础解系由，则）若（ 只有零解；，则）若（ ，的秩的系数矩阵元齐次线性方程组如果 的一组基础解系。是则称 表示，线性的任一解都可由）（ 线

8、性无关，）（ 的一组解向量，且满足是设 。的解，是的解，则是若 的解。是的解，则是若 齐次线性方程组 rnrn kkkkkk rnnr nr rn r kk , ,2 1 )( , ,2 ,1 , , 2121 r -n21 r -n21 s21 s21 s21 s21 2121 x 0Ax 0Ax ARA0Ax 0Ax 0Ax 0Ax R0Ax0Ax 0Ax0Ax 0Ax 定理：定理： 定义：定义： 性质：性质： 性质：性质： 习题课件习题课件习题课件 为任意常数。其中 ， 的通解可表示为的一组基础解系，则 的导出组是的一个特解，是非齐次线性方程组设 的解。是的解，则是的解，是若 的解。是的

9、解，则是若 的导出组或对应的齐次线性方程组称为与 非齐次线性方程组 rn rn kkk kkk , , 21 21 r -n21 r -n21 2121 x bAx0Ax bAxbAx bAx0AxbAx 0Ax-bAx, bAxbAx0Ax bAx 定理：定理： 性质：性质： 性质：性质： 习题课件习题课件习题课件 二、作业讲解二、作业讲解 1.设向量 2. ， TT ) 5 7 , 5 4 , 1 ()7 , 4, 5( 5 1 )23()(2 5 1 。 TT ) 5 13 , 5 6 , 1 ()13, 6, 5( 5 1 )(3)23( 5 1 ， T )4, 3 , 2, 1 (,

10、)3, 0, 2, 1( T 及求 .32 解 ,)7, 3 , 4, 0( T 。 TTT ) 1, 6 , 2, 5()9, 0 , 6, 3()8, 6 , 4, 2(32 ,) 1, 0, 1 (23)4 , 2, 2(，求向量，设 TT 解 习题课件习题课件习题课件 3.试将向量 .91411 9100 5110 3011 6111 5110 3011 )2( 321 所以， ， 解（1） 表示为其他向量的线性组合： .22 21000 20100 10010 10001 01111 20111 00011 10001 10001 00011 20111 01111 4321 所以，

11、 ， T TTT TTTTT 1, 1, 0,1 , 1 , 1,1 , 0 , 1,6, 5 , 32 0 , 0 , 0 , 1,0 , 0 , 1 , 1,0 , 1 , 1 , 1,1 , 1 , 1 , 1,1, 0 , 2 , 01 321 4321 ）（ ）（ 习题课件习题课件习题课件 4. 解 线性表示？不能经为何值时，线性表示？ 可经为何值时，问设 321 321321 , ,1 , 6, 1,8 , 7 , 3,5 , 3 , 2, 2, 7 , TTTT a ， 15000 5310 7132 5620 5310 7132 185 2673 7132 aaa 线性表示；可

12、经时，所以，当 321 ,15a 线性表示。不能经时，当 321 ,15a 习题课件习题课件习题课件 。，)( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 313322211 , 111 111 111 , 321321 。 2 1 2 1 0 0 2 1 2 1 2 1 0 2 1 , 111 111 111 , 321 1 321321 重点5. 解 . ,:,: 32133212 3211321321 线性表示用向量组，试将向量组， ，线性表示为：可由向量组已知向量组 BA AB 习题课件习题课件习题课件 6.判断下列向量组的线性相关性： ，016 022 202 220 ) 1 (所以，向量组

13、线性无关. ， 000 000 120 351 8160 5100 12240 351 113 102 315 351 351 102 315 113 )2( 关。，所以，向量组线性无32 R 解 TTT TTT ) 3, 1, 3 , 1(,)5, 0, 1 , 1 (,) 1 , 2, 5, 3()2( )0, 2, 2(,)2, 0, 2(,)2 , 2, 0() 1 ( 321 321 习题课件习题课件习题课件 7. . , 1,8 , 4 , 2 , 1,1, 1 , 1, 1,1 , 1 , 1 , 1, 32 4321 线性无关 向量组取何值时问 T TTT aaaa 解 ),2

14、)(1)(1(6 811 411 211 1111 3 2 aaa a a a 时，向量组线性无关。且所以，当21, 1aaa 习题课件习题课件习题课件 , 500 170 231 670 170 231 23 312 231 时，向量组线性相关。所以，当5 。 213 7 1 7 11 8. 解 ., , 3 , 2,2 , 1, 3,3 , 2 , 1 213 321321 的线性组合表示为并把 线性相关，取何值时，问已知 TTT 习题课件习题课件习题课件 9. ， 使得设有一组数 0 0)()( , 21 21 kk kk ，即0 0)()( 2121 kkkk ，线性无关可知由向量组0

15、, 0, 2121 kkkk ，则0, 0 21 kk 线性无关。故向量组, 证明 .,线性无关组线性无关，证明：向量已知向量组 习题课件习题课件习题课件 10. 0,0,)32()( , 321 321 kkk kkk使得设有一组数 0 0, , 332321 3)2()(kkkkkk即 ，线性无关可知由向量组03, 02, 0, 332321 kkkkkk ，则0, 0, 0 321 kkk 线性无关。故向量组,32 证明 .32,线性无关组线性无关，证明：向量已知向量组, 习题课件习题课件习题课件 . , , , 321133322 211321 线线性性无无关关试试证证 线线性性无无关

16、关已已知知向向量量组组 bbbbb b 例例3 3 0 , 332211 321 bxbxbx xxx使使设有设有 , 0)()( 133322211 xxx）（即即 , 0)()() 332221131 xxxxxx（亦即亦即 线线性性无无关关，故故有有，因因 321 . 0 , 0 , 0 32 21 31 xx xx xx 证证 习题课件习题课件习题课件 02 110 011 101 列列式式由由于于此此方方程程组组的的系系数数行行 ., 0 321 321 线线性性无无关关 向向量量组组，所所以以故故方方程程组组只只有有零零解解 bbb xxx 习题课件习题课件习题课件 11.求下列向

17、量组的秩和一个极大线性无关组： TTTT TTTT )6 , 0, 3, 5(,) 1 , 1, 2, 2(,)0, 0, 1, 1(,) 1 , 1 , 1 , 1 ()2( ) 3 , 2, 1 , 2(,)2 ,10, 5 , 3(,) 1, 2, 1 , 2(,)2 , 6, 3, 1 () 1 ( 4321 4321 解 , 0000 0000 7450 2321 7450 148100 7450 2321 3212 21026 1513 2321 ) 1 ( ，所以，向量组的秩2R。一个极大线性无关组为 21, ，）（ 0000 8000 5310 5211 6000 5310 8

18、000 5211 6101 0101 3211 5211 2 ，所以，向量组的秩3R 。一个极大线性无关组为 421 , 习题课件习题课件习题课件 12. 关组。的秩和一个极大线性无性相关？此时，求出它为何值时，该向量组线）当（ 性无关？为何值时，该向量组线）当（ 设向量组 p p pp TTTT 2 1 ),10, 6, 2(,)2, 1, 2 , 3(,) 1, 5 , 3, 1(,) 3 , 1 , 1 , 1 ( 4321 解 ， 2000 0700 4120 2311 6740 12460 4120 2311 213 10151 6231 2311 ppppp 。时，该向量组线性相关

19、）当（ 。时，该向量组线性无关）所以，当（ 22 21 p p 。为，一个极大线性无关组秩为 321 ,3R 习题课件习题课件习题课件 13. ., , 21 212121 线性无关线性表示，证明： 能由维单位向量组维向量组，已知是一个设 n nnn nn 解 线性表示；可由故向量组 线性表示，维单位向量组维向量都可由由于任一 nn n nn , , 2121 21 线性表示，能由又已知 nn , 2121 等价。与向量组故向量组 nn , 2121 线性无关，维单位向量组而 n n, 21 线性无关。从而 ，故 n nn nRR , ),(),( 21 2121 习题课件习题课件习题课件 .

20、 0AAA T nmnm，证明：矩阵，且是设14. 矩阵，是nn T AA ，而nmRRR TT )(),(min)(AAAA 。 T 0AA所以 证明 习题课件习题课件习题课件 15. 求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并用基础解系 表示方程组的通解： . 0192483 03254 0342 04653 )2( 0 02 0243 ) 1 ( 4321 4321 4321 4321 421 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx xxx xxxx xxxx ， ， ， ； ， ， 解(1) ，系数矩阵 0200 1640 2431 1011 1211 2431 A ，

21、 ， ， 原方程组同解于 02 064 0243 3 432 4321 x xxx xxxx ，得到一组基础解系取自由未知量 1 0 4 1 4 5 1 4 x 。 为所以，原方程组的通解 Rkk, x 习题课件习题课件习题课件 (2) , 0000 0000 5610 3421 101220 151830 5610 3421 192483 3254 3421 4653 A系数矩阵 ， ， 原方程组同解于 056 0342 432 4321 xxx xxxx ，得到一组基础解系取自由未知量 1 0 5 7 , 0 1 6 8 1 0 , 0 1 21 4 3 x x 。为所以，原方程组的通解R

22、kkkk 212211 ,x 习题课件习题课件习题课件 16. 求下列非齐次线性方程组的通解 （用其导出组的基础解系表示）： . 810957 245 33223 132 )2( 0895 4433 13 ) 1 ( 4321 4321 4321 4321 1111 1111 1111 xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx ， ， ， ； ， ， 习题课件习题课件习题课件 解(1) , 00000 17640 11311 08951 44313 11311 bA增广矩阵 ， ， 原方程组同解于 1764 13 432 4321 xxx xxxx ；，得到一个特解

23、取自由未知量 0 0 4 1 4 5 0 0 4 3 x x ， ， 同解于对应的齐次线性方程组 0764 03 432 4321 xxx xxxx ；，得到一组基础解系取自由未知量 1 0 4 7 4 3 , 0 1 2 3 2 3 1 0 , 0 1 21 4 3 x x 。原方程组的通解为Rkkkk 212211 ,x 习题课件习题课件习题课件 (2) 00000 02000 391310 24511 6382620 371310 391310 24511 810957 24511 33223 11312 bA增广矩阵 ， ， ， 原方程组同解于 02 3913 245 4 432 43

24、21 x xxx xxxx ；，得到一个特解取自由未知量 0 0 3 1 0 3 x 习题课件习题课件习题课件 ， ， ， 同解于对应的齐次线性方程组 02 0913 045 4 432 4321 x xxx xxxx ；，得到一组基础解系取自由未知量 0 1 13 8 1 3 x 。原方程组的通解为Rkk, x 习题课件习题课件习题课件 ).(56 ,2,1 , 43212121 4321 ARA oAx bAxoAx 矩阵，求为如果设 的基础解系？是不是方程组）；（）问：（ 的两个解向量，是方程组的一个基础解系，是方程组已知 17. 解 （1）是 （2）不是 的解，且线性无关。）都是（oA

25、x 2121 , 个向量）是而 个向量，的基础解系包含（ 3, 2 4321 oAx 325AR （3） ）即 个向量，的基础解系包含（有非零解时， )(52 )( AR ARoAx n 习题课件习题课件习题课件 ，求该方程组的通解。，解向量，且 是它的三个，的系数矩阵的秩为元非齐次线性方程组设 TT bx )4 , 3 , 2 , 1 ()5 , 4 , 3 , 2( ,34 321 321 A 18. 个解向量，基础解系中包含 的次线性方程组由已知可得，对应的齐 134 oAx 的一个解，是而oAx T )6 , 5 , 4 , 3()(2 321 。的通解可表示为故方程组Rkkbx, 1

26、 xA 解 ）（)()( 3121 习题课件习题课件习题课件 三、典型例题介绍三、典型例题介绍 1. .2 , 0 , 1,5, 2 , 0,3 , 2, 1 321 的线性相关性判断向量组 TTT 解 线性相关。，所以秩 ， 为列构造的矩阵以 法一：利用矩阵的秩 321 321 ,32)( 000 220 101 253 022 101 , )( A A R 线性相关。，所以 为列构造的行列式以 式法二：利用方阵的行列 321 321 ,0 253 022 101 , )( A 习题课件习题课件习题课件 ., 133221321 也线性无关线性无关，试证：设向量组2. 也线性无关。所以 ，即

27、 ，所以方程组只有零解由于系数行列式 线性无关，所以由于已知 ，即 ， ，使得设有一组数 （法一：利用定义） 133221 321 32 21 31 321 332221131 133322211 321 , 0, 0, 0 0 110 011 101 , 0 , 0 , 0 , )()()( )()()( , 0 0 kkk kk kk kk kkkkkk kkk kkk 证明 习题课件习题课件习题课件 也线性无关。，故所以 ，线性无关，故又 ；所以 可逆，所以由于 ，则 ，令 ）（法二：利用矩阵的秩 133221321 321321 321321 321321 133322211 ,3,

28、3, , 110 011 101 02 110 011 101 110 011 101 , , R R RR 习题课件习题课件习题课件 也线性无关。故 所以 线性无关，等价，又与向量组所以向量组 ， 可逆，所以由于 ，则 ，令 的等价）（法三：利用向量组的 133221 321321 321321321 321 1 321 321321 133322211 , 3, , , 110 011 101 , 110 011 101 02 110 011 101 110 011 101 , , RR 习题课件习题课件习题课件 。线性表示？证明此结论能否由）（ ；线性表示？证明此结论能否由）（ 线性无关

29、，问：线性相关，设向量组 3214 321 432321 ,2 ,1 , 证明 （1） 3. 线性表示。可由故 线性相关，又 线性无关，线性无关，所以因为 321 321 32432 , , , 线性表示。不能由故 ，线性相关，与已知矛盾即 ，得 ，代入上式，使得即存在一组数 线性表示，可由可知由 ，使得即存在一组数 线性表示，能由假设 3214 432 332122114 3221121 321 3322114321 3214 , , )()( , ,) 1 ( , , klkklk llll kkkkkk （2） 习题课件习题课件习题课件 ., , 10 6 1 4 , 10 6 2 ,

30、2 1 2 3 , 1 5 3 1 , 3 1 1 1 43214321 4321 其表达式线性表示？若能，写出可否由线性无关？此时 满足什么条件时，问当设 p pp 4. 解 线性无关。，所以时，当 43214321 ,4),(2Rp , 12000 10100 2 3 2 2 1 10 42311 10213 610151 16231 42311 , 4321 pp pp 线性表示，可由，所以此时， 432143214321 ,),(),(RR 。 4321 2 1 2 43 2 p p p p 习题课件习题课件习题课件 5. . 1 3 5 1 3 , 4 5 7 0 5 , 3 2 2

31、 1 2 , 2 1 3 2 1 , 4321 4321 合，其中大线性无关组的线性组并将其余向量表示成极 ，指出该向量组的秩，的一个极大线性无关组求向量组 解 , 0 0 0 1 3 0 0 0 2 5 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 1 3 5 1 3 4 5 7 0 5 3 2 2 1 2 2 1 3 2 1 , 4321 。是一个极大线性无关组， 434321 ,2,R 习题课件习题课件习题课件 , 0 0 0 1 1 0 0 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 3 0 0 0 2 5 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 继续化简，得 。，故

32、 213213 2 习题课件习题课件习题课件 6. .,2 ,1 , 21 21 21 线性无关）（ 线性无关；）（ ，证明：方程组的一个基础解系 是对应的齐次的一个解，是非齐次线性方程组设 rn rn rn bAx 证明（1） 线性无关。故 矛盾。，与的一个解，则是而 ，则 ，使得即存在 线性表示，可由线性无关，则一个基础解系，故 的是齐次方程组线性相关，因为假设 rn rnrnrnrn rnrnrn rnrn rnrn kkkkkk kkkkkk 0b0bbAx 0AAAAA 0Ax , )( , , , 21 22112211 221121 2121 2121 习题课件习题课件习题课件 （2） 线性无关。，所以即 则 即 ， ，使得设有一组数 rnrn rn