第7章动态测试数据处理的基本方法

1、 按照被测物理量是否随时间而变化，测试技术 可分为静态测试和动态测试两大类。 静态测试静态测试的被测量是静止不变的，仪器的输入量 为常量。 动态测试动态测试的被测量是随时间或空间而变化的，仪 器的输入量及测试结果(数据或信号)也是随时间而 变化的。 表示物理现象或过程的任何数据，都可以 分为确定性的和随机性的两大类。 能够用明确的数学关系式描述的数据称为 确定性数据。 不能用明确的数学关系式来表达的数据称 为随机的或非确定性的数据。 动态测试数据的特征可以用数据的幅值随时间 变化的表达式、图形或数据表来表示，这就是数 据的时域描述。 时域描述比较简单直观(例如示波器上的波形 图)，但它不能反映

2、数据的频率结构。为此，常对 数据进行频谱分析，研究其频率成分及各频率成 分的强度，这就是数据的频域描述。 所谓“域”的不同，是指描述数据的坐标图横 坐标的物理量不同。如时域的横坐标为时间t，频 域的横坐标为频率f或。 随着研究的目的不同，可采用不同的域描述。随着研究的目的不同，可采用不同的域描述。 确定性数据可以根据它的时间历程记录是 否有规律地重复出现，或根据它是否能展 开为博里叶级数，而划分为周期数据和非 周期数据两类。 周期数据又可分为正弦周期数据和复杂 周期数据。 非周期数据又可分为准周期数据和瞬态数 据。 周期数据是经过一定时间间隔重复出现的数据。周期数据是经过一定时间间隔重复出现的

3、数据。 最常见的是正弦周期数据，其幅度随时间作正弦周期波 动，其函数形式如下： （7-2） 时 域 频 域 复杂周期数据是由不同频率的正弦周期数据叠加而成的， 其频率比为有理数，其图形是由基波的整数倍波形叠加而成 的。 若基波频率为f1，各组成项的频率为nfl，nl，2，则 复杂周期数据可以展开为博里叶级数: （7-3） 式中， 式中， （7-4） 可见，复杂周期数据是由一个静态分量可见，复杂周期数据是由一个静态分量A0和无限多和无限多 个谐振分量个谐振分量(振幅为振幅为An，相位为，相位为n)组成，谐振分量的频组成，谐振分量的频 率都是率都是f1的整倍数。的整倍数。 由图可见，即使x(t)可

4、能包含无限多个频率分量，但频 谱仍然是离散的。周期性方波、三角波及锯齿波都是复杂 周期性波形的例子。 在几何量测量中，不圆度误差数据通常也是复杂周期数 据它是由偏心量、椭圆度及各种棱圆度等谐波分量叠加 而成的。 凡能用明确的数学关系式描述的，但又凡能用明确的数学关系式描述的，但又 不是周期性的数据，均称为非周期数据。不是周期性的数据，均称为非周期数据。 它包括准周期数据和瞬态数据。它包括准周期数据和瞬态数据。 准周期数据是由彼此的频率比不全为有理数的两个以上准周期数据是由彼此的频率比不全为有理数的两个以上 正弦数据叠加而成的数据。正弦数据叠加而成的数据。 例如例如 x1(t)为周期性数据。为周

5、期性数据。 1/3，1/7，3/7是有理数。是有理数。 X2(t)为准周期性数据。为准周期性数据。 50/150/3 是无理数是无理数 （7-5） 式中的任一频率成分式中的任一频率成分fn与另一频率成分与另一频率成分fm之比之比 fnfm不全为有理数。不全为有理数。 准周期数据的频域描述如图所示。 在工程实践中，当两个或在工程实践中，当两个或 几个不相关的周期性物理现几个不相关的周期性物理现 象混合作用时，常会产生准象混合作用时，常会产生准 周期数据。例如几个电动机周期数据。例如几个电动机 不同步振动造成的机床或仪不同步振动造成的机床或仪 表的振动，其动态测试结果表的振动，其动态测试结果 即为

6、准周期数据。即为准周期数据。 准周期数据以外的非周期数据均为瞬态数据。准周期数据以外的非周期数据均为瞬态数据。 产生瞬态数据的物理现象很多。如图所示。 图a为热源消除后物体温度变化及其频谱； 图b为激振力解除后的阻尼振荡系统的自由振动及其频谱； 图c为在tc时刻断裂的电缆的应力及其频谱。 与周期数据及准周期数据不同，瞬态数据的特 点是不能用离散频谱表示。 瞬态数据的频谱是连续型的且频率范围无限，瞬态数据的频谱是连续型的且频率范围无限， 这与周期数据及准周期数据有明显区别。这与周期数据及准周期数据有明显区别。 （7-7） （7-8） x(f)的反变换为 大多数情况下，瞬态数据可通过傅里叶变换，得

7、到其频大多数情况下，瞬态数据可通过傅里叶变换，得到其频 域的描述为域的描述为 与确定性数据不同，随机性数据是不能与确定性数据不同，随机性数据是不能 用明确的数学表达式来描述。若在一个动用明确的数学表达式来描述。若在一个动 态试验中，不能在合理的试验误差范围内态试验中，不能在合理的试验误差范围内 预计未来时刻的测试结果数据，则可认为预计未来时刻的测试结果数据，则可认为 此动态试验数据是随机性数据。随机性数此动态试验数据是随机性数据。随机性数 据只能用概率统计的特征量来描述。据只能用概率统计的特征量来描述。 根据随机数据的统计特征量是否随时间根据随机数据的统计特征量是否随时间 变化，可把随机数据分

8、为平稳过程和非平变化，可把随机数据分为平稳过程和非平 稳过程两大类。稳过程两大类。 平稳随机过程又可进一步分为各态历经的平稳随机过程又可进一步分为各态历经的 和非各态历经的。和非各态历经的。 重复测量一个不变的物理量，由于被测量、 测量仪器或测量条件的随机因素，造成所 测得一系列测量结果包含随机误差(偶然误 差)，其中每次测量结果都是取得一个随机 的、但是唯一的测量值，因而，测量结果 是一个随机变量。 随着自动化生产和科学研究的发展，越来越多地需要测 量连续变化的过程，这时被测量可能是随时间而连续变化， 或者是随空间而连续变化。因此测量过程和测量结果也是 随时间而连续变化的。同样，由于检测对象

9、、测量仪器和 测量条件的随机误差，因而被测过程和测量结果都是一个 随机的但是连续变化的函数。它有别于上述随机变量，我 们称之为随机函数随机函数。 对随机函数的分析计算，本质上类似于前几章的随机误 差，但较复杂一些。 随机过程理论就是研究随机性表现为一个过程的随机现 象的学科，通常它是研究动态测量过程及其测量结果的理 论根据。 几何量机械量测量，过去以静态测量为主。今几何量机械量测量，过去以静态测量为主。今 天，随着生产过程的自动化，几何量机械量的动天，随着生产过程的自动化，几何量机械量的动 态测量日益增加。例如机械量测量中的振动测量、态测量日益增加。例如机械量测量中的振动测量、 动载和动态应变

10、测量、速度加速度连续测量，以动载和动态应变测量、速度加速度连续测量，以 及流量、压力、温度等物理量的连续测量等。几及流量、压力、温度等物理量的连续测量等。几 何量测量中的线纹尺和圆分度的动态测量、丝杆何量测量中的线纹尺和圆分度的动态测量、丝杆 或齿轮参数的动态测量、磨削加工中尺寸的测量或齿轮参数的动态测量、磨削加工中尺寸的测量 和控制、圆度测量、表面粗糙度测量等。和控制、圆度测量、表面粗糙度测量等。 显然，用过去静态测量精度评定方法(如前几章 所述)是不能正确评定动态测量结果的，而且不能 进一步分析动态测量中的特殊现象(例如测量速度、 频率响应、记录失真等)。 因此，有必要进一步介绍动态测量及

11、误差计算 的理论基础随机过程理论。 用轮廓仪测量某磨削表面粗糙度的记录曲线中的任一 点的表面轮廓高度是一个随机变量，而沿任一方向的轮 廓曲线是一个随机函数。因而连续测量表面粗糙度可以 看作是一个随机过程。 在动态测量中，对某一个不断变化着的量进行在动态测量中，对某一个不断变化着的量进行 测量，每一个测量结果是一个确定的随时间或空测量，每一个测量结果是一个确定的随时间或空 间变化的函数间变化的函数(例如一条记录曲线例如一条记录曲线)，对于测量的，对于测量的 时间间隔内的每一瞬时，该函数都有一个确定的时间间隔内的每一瞬时，该函数都有一个确定的 数值。但由于随机误差的存在，使得重复多次测数值。但由于

12、随机误差的存在，使得重复多次测 量，会得到不完全相同的函数结果量，会得到不完全相同的函数结果(例如一组记录例如一组记录 曲线曲线)。这种函数，对于自变量。这种函数，对于自变量(时间或空间时间或空间)的每的每 一个给定值，它是一个随机变量，我们称这种函一个给定值，它是一个随机变量，我们称这种函 数为随机函数。数为随机函数。 每个测量结果xi(t)叫做随机函数的一个现实或一个样本， 如x1(t)，x2(t)，xN(t)。而x(t)表示这些随机函数样本 的集合(总体) 表面粗糙度的测量 自变量为时间t的随机函数，通常叫随机过程(例 如磨加工尺寸是磨削时间的随机函数)。自变量为 空间坐标l的随机函数，

13、通常叫随机场(例如丝杠螺 旋线误差是丝杠长度的随机函数)。随机场和随机 过程的研究方法是一样的。因此以下统称随机过 程或随机函数。 所有对自变量为时间t的随机函数计算公式，同 样适用于自变量为空间坐标l或其他参量的随机函 数。 随机过程或随机函数随机过程或随机函数x(t)包含如下的内容：包含如下的内容： 把把x(t)看作是样本集合时，看作是样本集合时，x(t)意味着一组时间意味着一组时间 函数函数x1(t)，x2(t)，xN(t)的集合；的集合； 把把x(t)看作是一个样本看作是一个样本(或一个现实或一个现实)时，时，x(t)意意 味着一个具体的时间函数味着一个具体的时间函数. 例如例如x(t

14、)x3(t)； 若若ttl时，则时，则x(t)意味着一组随机变量意味着一组随机变量x1(t1)， x2(t1)，xN(t1)的集合。的集合。 实际上，含义实际上，含义1、2、3的本质是一样的，只是对随机过的本质是一样的，只是对随机过 程的描述方式不同。程的描述方式不同。 含义含义1是从总体集合意义上讲的。是从总体集合意义上讲的。 含义含义2是从一个时间历程是从一个时间历程(一个现实一个现实)上描述。一个现实是上描述。一个现实是 表示一次实验给定的结果这时，随机函数表现为一个非表示一次实验给定的结果这时，随机函数表现为一个非 随机的确定性函数。随机的确定性函数。 含义含义3则是从一个固定的则是从

15、一个固定的t值上描述，由图值上描述，由图712截取各截取各 个现实，得一组个现实，得一组xl(t1)，x2(t1)，xN(t1)值，这是一组值，这是一组 随机变量，同样反映随机过程随机变量，同样反映随机过程x(t)的特征。的特征。 由此可见，随机函数兼有随机变量与函数的特点。在一般由此可见，随机函数兼有随机变量与函数的特点。在一般 实际测量中，多采用含义实际测量中，多采用含义2描述随机过程，而在理论分析描述随机过程，而在理论分析 中，多采用含义中，多采用含义3进行研究。进行研究。 随机变量通常用它的概率分布函数、算 术平均值和标准差作为特征量来表示。 同样，随机过程也有它的特征量，这些 特征量

16、不象随机变量的特征量那样表现为 一个确定的数，而是表现为一个函数。 常用四种统计函数来表示，即： 概率密度函数； 均值、方差和方均值； 自相关函数； 谱密度函数。 概率密度函数是描述随机数据落在给定区间内的概率。概率密度函数是描述随机数据落在给定区间内的概率。 (7-10) (7-11) (7-12) 对于自变量t的每一个给定值，mx(t)等于随机函数x(t) 在该t值时的所有数值的平均值(数学期望)，即 (7-13) 随机过程的均值是一个非随机的平均函数非随机的平均函数，它确定了 随机函数x(t)的中心趋势，随机过程的各个现实(样本)都 围绕它变动，而变动的分散程度则可用方差成标准差来 评定

17、。 随机函数的方差和标准差也是一个非随机的时间函数，它随机函数的方差和标准差也是一个非随机的时间函数，它 确定了随机函数所有现实相对于均值的分散程度。确定了随机函数所有现实相对于均值的分散程度。 在在tt1时刻，随机函数的方差和标准差计算类似于第二章随时刻，随机函数的方差和标准差计算类似于第二章随 机误差的方差和标准差计算方法。机误差的方差和标准差计算方法。 (7-14) (7-15) 式(714)给出的随机函数方差，实质上是x(t)的二阶中心矩， 而二阶原点矩 (7-16) 随机过程的二阶原点矩又称随机过程的二阶原点矩又称 因因 故故 (7-17) 由此可见，方均值既反映随机过程的中心趋势，

18、由此可见，方均值既反映随机过程的中心趋势， 也反映随机过程的分散度。也反映随机过程的分散度。 均值和方差是表征随机过程在各个孤立时刻的均值和方差是表征随机过程在各个孤立时刻的 统计特性的重要特征量，但不能反映随机过程不统计特性的重要特征量，但不能反映随机过程不 同时刻之间的关系。同时刻之间的关系。 因此，除均值和方差外，我们还要用另一个特因此，除均值和方差外，我们还要用另一个特 征量来反映随机过程内不同时刻之间的相关程度，征量来反映随机过程内不同时刻之间的相关程度， 这特征量叫相关函数或自相关函数。这特征量叫相关函数或自相关函数。 两个随机函数的均值(数学期望)和方差几乎一样，但 x(t)(图

19、a)的特点是变化缓慢，规律性较明显，即x1(t)在不同t 时刻的函数值之间有较明显的联系相关性较强。 而x2(t)(图b)的特点是变化剧烈，即x2(t)在不同t时刻的函数 值之间的联系不明显，而且随首两时刻间隔增大，它的联系 迅速减少,相关性变弱。 自相关函数是一个二元的非随机函数，这个函数在数学自相关函数是一个二元的非随机函数，这个函数在数学 上可用相关矩来定义。上可用相关矩来定义。 (7-20) 在实际应用中，自相关函数还有一种更常用的表示 式称为标准自相关函数，其定义是 (7-18) 当当tt相关函数等于随机函数的方差。相关函数等于随机函数的方差。 由于方差可以由自相关函数表示，故随机函

20、数的基本特征由于方差可以由自相关函数表示，故随机函数的基本特征 量仅为均值与自相关函数。量仅为均值与自相关函数。 自相关函数是对称的。自相关函数是对称的。 在随机函数上加上一个非随机函数时，它的均值在随机函数上加上一个非随机函数时，它的均值(数学数学 期望期望)也要加上同样的非随机函数，但它的自相关函数不也要加上同样的非随机函数，但它的自相关函数不 变。变。 所谓非随机函数可以是一个固定的数，也可以是所谓非随机函数可以是一个固定的数，也可以是t的函的函 数。数。 在随机函数上乘以非随机因子在随机函数上乘以非随机因子f(t)时，它的均值也应乘时，它的均值也应乘 上同一因子，而它的自相关函数应乘上

21、上同一因子，而它的自相关函数应乘上f(t)f(t)。 特别是当特别是当f(t)常数常数C时，它的自相关函数应乘上时，它的自相关函数应乘上c2。 在实际应用中，我们不仅关心作为随机过程的在实际应用中，我们不仅关心作为随机过程的 数据的均值和相关函数，而且往往更关心随机数数据的均值和相关函数，而且往往更关心随机数 据的频率分布情况，也就是要研究随机过程是由据的频率分布情况，也就是要研究随机过程是由 哪些频率成分所组成，不同频率的分量各占多大哪些频率成分所组成，不同频率的分量各占多大 比重等。这种分析方法就是所谓频谱分析法，它比重等。这种分析方法就是所谓频谱分析法，它 在测量误差理论中占有重要地位。

22、在测量误差理论中占有重要地位。 对于随机函数，由于它的振幅和相位是随机的，对于随机函数，由于它的振幅和相位是随机的， 不能作出确定的频谱图。不能作出确定的频谱图。 随机过程的均方值随机过程的均方值 可用来表示随机函数的强度可用来表示随机函数的强度 定义函数定义函数 (7-30) 来描述频谱f到ff范围内随机过程强度。 当随机过程的长度趋于，而频率元素f趋于零时，则有 (7-31) 变换式(731)为定积分形式，则有 (7-32) Gx(f)描述了过程的强度沿描述了过程的强度沿f轴的分布密度，称为轴的分布密度，称为 随机过程的频谱密度或谱密度。如果把随机过程的频谱密度或谱密度。如果把x(t)看作

23、是看作是 电流，则电流，则x2(t)将表示该电流在负载上产生的功率。将表示该电流在负载上产生的功率。 由此可见谱密度的物理意义是表示由此可见谱密度的物理意义是表示f(t)产生的功产生的功 率在频率轴上的分布，而率在频率轴上的分布，而Gx(f)曲线与横坐标所围曲线与横坐标所围 面积表示了随机过程的总功率。面积表示了随机过程的总功率。 因此因此Gx(f)亦称功率谱密度或功率谱。亦称功率谱密度或功率谱。 这样我们便引进了一个描述平稳随机过程新的特这样我们便引进了一个描述平稳随机过程新的特 征征谱密度函数谱密度函数。它是从频率的领域描述随机过程，。它是从频率的领域描述随机过程， 而自相关函数是从时间的

24、领域描述随机过程。而自相关函数是从时间的领域描述随机过程。 因式(731)是定义在0到的频率范围上，因此Gx(f) 称为“单边”谱密度但谱密度函数也可以定义在到 的频率范围上，称为“双边“谱密度，记作Sx(f)。 因随机过程的总功率不变，故有因随机过程的总功率不变，故有 （7-33） Gx(f)与 Sx(f)的关系 谱密度有以下重要性质： 谱密度Sx(f)是非负的实偶函数。 谱密度函数与自相关函数互为傅里叶变 换。 （7-34） 由于自相关函数是偶函数因此式(734)实际上只有实 数值部分。 故可化简为只有实值部分的公式 （7-35） （7-36） 或 已知某随机函数已知某随机函数x(t)的相

25、关函数为指数函数型的相关函数为指数函数型 式中 a0； C常数。 试求该过程的谱密度试求该过程的谱密度Sx(f)。 解：解： 当当a不同，函数曲线也不同。不同，函数曲线也不同。 （1）当）当a减小时，相关函数随着减小时，相关函数随着增加而减少得缓慢，增加而减少得缓慢， 表示随机过程变化较平滑。这时低频成分占主要，频谱上表示随机过程变化较平滑。这时低频成分占主要，频谱上 小频率部分占优势。小频率部分占优势。 （2）当）当a增加，相关函数随增加，相关函数随增大面威小得很快，这意增大面威小得很快，这意 味着随机过程前后相关较弱，过程变动剧烈，过程所含高味着随机过程前后相关较弱，过程变动剧烈，过程所含

26、高 频成份与低频成份均起作用。频成份与低频成份均起作用。 （3）当）当a0时，自相关函数时，自相关函数Rx()C。它意味着随机过。它意味着随机过 程前后完全相关与自变量程前后完全相关与自变量t无关。随机过程不包含任何频无关。随机过程不包含任何频 率成分的波动，故频谱为率成分的波动，故频谱为0。频域为频域为函数。函数。 （4）当）当a时，相关函数时，相关函数0，变成在，变成在0处的处的 函数形式。此时各种频率成份在随机过程中均函数形式。此时各种频率成份在随机过程中均 起作用。且各个作用几乎一样。于是该过程的颇起作用。且各个作用几乎一样。于是该过程的颇 谱表示为一常数，由式谱表示为一常数，由式(7

27、34)得此常数的各种频得此常数的各种频 率的噪声合成的随机噪声过程亦称为率的噪声合成的随机噪声过程亦称为“白噪声白噪声”， 表表71序号序号5便是白噪声的相关函数与谱密度。便是白噪声的相关函数与谱密度。 它在工程实际中是很有用的。它在工程实际中是很有用的。 随机过程分为平稳随机过程和非平稳随机过程两大类。平 稳过程又可分为各态历经过程及非各态历经过程。由于它们 备具特点因此其特征量的计算方法亦有不同。但正如前所 述，对一物理量作系列测量后不可能求得被测量的真值。 同样，由于随机误差的存在及测量次数有限，因而对一随机 过程作一系列动态测试后，也不可能求得随机过程特征量的 真值，而只能通过有限个样

28、本作出估计。在工程实际中的随 机过程大多是干稳随机过程，对于具有N个样本的平稳随机 过程通常采用总体平均法(几何平均法)求其特征量的估计， 而对各态历经随机过程，则可采用时间平均法求其特征量的 估计值。 下面分别介绍这些实际估计方法及其精度。下面分别介绍这些实际估计方法及其精度。 研究图a和图b两个不同的随机过程，可以看出它们的区别。 图a的随机过程x(t)，其特征量(如均值、方差)显然是不 随t1的变化而有明显的变化，而且所选择的tl的起点可以 是任意的。 但图b显示另一种特点，即随机过程的均值及自相关函 数显然随着t1的推移而有明显的变化。 定义定义 若随机过程x(t)的所有特征量与t无关

29、，即其特征 量不随t的推移而变化，则称x(t)为平稳随机过程。 否则，称为非平稳随机过程。 随机过程是“平稳”的第一个条件是其均值为常数： (7-41) 随机过程是“平稳”的第二个条件是其方差为常数： (7-42) 随机过程“平稳”的第三个条件是随机函数的自相关函数 Rx(t，t)应不随t的位置推移而变化，即与t无关： (7-43) 由式(721)可知，方差可由自相关函数表示，因此条件 式(742)只是条件式(7-43)的持殊情况。 当不考虑随机函数的概率密度等其他特征量，当不考虑随机函数的概率密度等其他特征量， 而只满足均值为常数和自相关函数仅与而只满足均值为常数和自相关函数仅与有关这两有关

30、这两 条件时，这样的随机函数称为宽平稳随机函数或条件时，这样的随机函数称为宽平稳随机函数或 广义平稳随机函数。广义平稳随机函数。 在工程实际中，很多随机过程都满足平稳的条在工程实际中，很多随机过程都满足平稳的条 件，或者可以近似看作平稳的。如照明电网的电件，或者可以近似看作平稳的。如照明电网的电 压波动、电阻热电噪声、机床的振动、切削加工压波动、电阻热电噪声、机床的振动、切削加工 平而的表面粗糙度等都是平稳的。因此，我们要平而的表面粗糙度等都是平稳的。因此，我们要 对平稳随机过程作进一步的研究。对平稳随机过程作进一步的研究。 1平稳随机过程的均值和方差 平稳随机过程的均值和方差都是常数，且方差

31、 等于为0的自相关函数值。 2平稳随机过程的自相关函数 因为平稳过程的均值为常数，因此它的自相关 函数就可直接用中心化的自相关函数式表示。 当0时：自相关函数取得最大值，且等于其方差。 即 （7-50） 平稳过程的自相关函数是偶函数，即 （7-51） 均值为零的平稳随机过程，若时x(t)与x(t) 不相关，则其相关函数趋于0。即 （7-52） 在实际应用中，性质、是重要的。 当时，不含周期信号成分的平稳过程x(t)与x(t) 的依赖性甚微(即不相关)，其自相关函数趋于零。而含有 周期信号成分的平稳过程，x(t)与x(t)仍有周期性依赖 关系，其自相关函数仍保持一定值。因此可从自相关函 数是否趋

32、于零来鉴别出均值为零的平稳过程是否混有周 期信号。 上面给出了描述平稳随机过程的特征量 的各个定义，若知道随机函数的类型，便 可知其特征量。但在工程实际中，更多的 情况是预先不知道随机数据的函数形式， 面是通过实验测得如图712所示的随机函 数样本集合。这时可由实验结果来求特征 量。 图712 图712 首先对首先对N个连续的记录采样个连续的记录采样(采集断续的数字样本采集断续的数字样本)，取，取 等间距的等间距的tl，t2，tn，截取图，截取图712的连续记录，得函的连续记录，得函 数值，如表数值，如表72所示。所示。 采样数目的确定：若图采样数目的确定：若图712的记录长度为的记录长度为T， 首先将首先将T分成等间距的分成等间距的n等分即等分即tktk-1Tn， 为了可靠地计算均值和自相关函数为了可靠地计算均值和自相关函数, n要取得足够要取得足够 大，具体确定办法参见有关书籍的采样定理。大，具体确定办法参见有关书籍的采样定理。 采样数目确定后，计算平稳随机过程的特征量，采样数目确定后，计算平稳随机过程的特征量， 就不必用积分形式运算，而可以用代数和