第1讲 概率论

1、第一讲第一讲 序言及随机事件序言及随机事件 在我们所生活的世界上， 充满了不确定性 从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的 机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的 诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠 落，到大自然的千变万化落，到大自然的千变万化，我们无时，我们无时 无刻不面临着不确定性和随机性无刻不面临着不确定性和随机性. 甲甲、甲乙、乙甲、乙乙 分赌注问题分赌注问题 甲、乙二人赌博，各出赌注甲、乙二人赌博，各出赌注30元，共元，共60元，每局甲、乙元，每局甲、乙 胜的机会均等，都是胜的机会均等，

2、都是1/2。约定：谁先胜满。约定：谁先胜满3局则他赢得全局则他赢得全 部赌注部赌注60元，现已赌完元，现已赌完3局，甲局，甲2胜胜1负，而因故中断赌情，负，而因故中断赌情， 问这问这60元赌注该如何分给元赌注该如何分给2人，才算公平人，才算公平. 问：赌本应该如何分法才合理？问：赌本应该如何分法才合理？ 概率论的研究对象概率论的研究对象 随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性 1. 1. 早晨，太阳从东方升起早晨，太阳从东方升起 2.2.边长为边长为a a，b b的矩形，其面积必然为的矩形，其面积必然为abab 3. 3. 在装满白球的袋中，不可能取到黑球在装满白球的袋中，不可能取到黑球 4

3、. 4. 在不受外力的作用下，物体的运动状态不可能改变在不受外力的作用下，物体的运动状态不可能改变 5. 5. 明天的最高或最低气温明天的最高或最低气温 6. 6. 金融领域中将来某时刻某证券交易所的指数金融领域中将来某时刻某证券交易所的指数 7. 7. 同一条生产线上用同样的工艺生产出来的灯泡寿命长同一条生产线上用同样的工艺生产出来的灯泡寿命长 短短 8. 8. 打靶射击时，击中环数打靶射击时，击中环数 确确 定定 性性 现现 象象 随随 机机 现现 象象 2. 随机现象是不是没有规律可言随机现象是不是没有规律可言? ? 在一定条件下对随机现象进行在一定条件下对随机现象进行大量大量观测观测

4、会发现某种规律性会发现某种规律性. 1. 什么是随机现象什么是随机现象? ? 带有随机性、偶然性的现象（结果不唯一）带有随机性、偶然性的现象（结果不唯一）. 例如例如: : 一门火炮在一定条件下进行射击，个一门火炮在一定条件下进行射击，个 别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性 的误差，但大量炮弹的弹着点则表现出一的误差，但大量炮弹的弹着点则表现出一 定的规律性，如一定的命中率，一定的分定的规律性，如一定的命中率，一定的分 布规律等等布规律等等. . 再如再如: : 测量一物体的长度，由于仪器及观察受测量一物体的长度，由于仪器及观察受 到的环境的影响，每次测量

5、的结果可能是有到的环境的影响，每次测量的结果可能是有 差异的差异的. . 但多次测量结果的平均值随着测量但多次测量结果的平均值随着测量 次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量 值大多落在此常数的附近，越远则越少，因值大多落在此常数的附近，越远则越少，因 而其分布状况呈现而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右两头小，中间大，左右 基本对称基本对称”. . 请回答请回答: : 在英文文章中字母的出现有一定的规律，在英文文章中字母的出现有一定的规律， QW ERTYUIOP ASDFGHJKL ZXCVBNM 1868年，“打字机之父”美国人克里斯托夫拉森肖尔斯

6、设 计 “QWERTY”键盘。最初，打字机的键盘是按照字母顺序排 列的，而打字机是全机械结构的打字工具，因此如果打字速度 过快，某些键的组合很容易出现卡键问题， QWERTY键盘布局， 他将最常用的几个字母安置在相反方向，最大限度放慢敲键速 度以避免卡键。 缺点：大多数打字员惯用右手，但该键盘左手负担了57%的工 作。两小指及无名指是最没力气的指头，却频频使用。排在中 列的字母，使用率只占30%。 以后有人不断把它算得更精确以后有人不断把它算得更精确. . 1873年，年， 英国学者沈克士公布了一个英国学者沈克士公布了一个的数值，它的的数值，它的 数目在小数点后一共有数目在小数点后一共有707

7、位之多位之多! ! 圆周率圆周率= =3.1415926是一个无限是一个无限 不循环小数，我国数学家祖冲之第一不循环小数，我国数学家祖冲之第一 次把它计算到小数点后七位次把它计算到小数点后七位, ,这个记这个记 录保了录保了1000多年！多年！ 请回答请回答: : 你能猜出他怀疑的理由吗你能猜出他怀疑的理由吗? ? 各数码出现的频率应都接近于各数码出现的频率应都接近于0.1, ,或或 者说，它们出现的次数应近似相等者说，它们出现的次数应近似相等. . 数字数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 9 出现次数出现次数 60 62 67 68 64 56 6

8、2 4460 62 67 68 64 56 62 44 58 67 58 674444 但是，经过几十年后，曼彻斯特的费但是，经过几十年后，曼彻斯特的费 林生对它产生了怀疑林生对它产生了怀疑. . 原因是他统计了原因是他统计了 的的608位小数，得到下面的表位小数，得到下面的表: : 但但7出现的次数过少出现的次数过少. . 概率论渗透到现代生活的方方面面。正如19世纪著 名数学家拉普拉斯所说：“生活中的大部分，最重 要的问题实际上只是概率问题。生活就是一场冒险。 日常生活中出现一些危险在所难免，问题是遭遇某 种危险的概率有多大。一般说来，如果遭遇某种危 险的概率低于十万分之一，我们还能坦然视

9、之；但 如果危险概率提高到万分之一，我们就得小心了。 每年都可能遇到的危险机会有： 受伤：危险概率1/3 难产：1/6 车祸：1/12 心脏病突发（如果您已超过35岁）： 1/77 在家中受伤：1/80 受到致命武器的攻击：1/260 死于心脏病：1/340 家中成员死于突发事件：1/700 死于突发事件：1/290 死于车祸：1/5000 染上艾滋病：1/5700 自杀：1/20000(女)1/5000(男) 因坠落摔死：1/2000 死于火灾：1/50000 如果您自己不吸烟，而您的配偶吸 烟，那么您可能受二手烟污染而死 于肺癌：1/60000 死于手术并发症：1/80000 吃东西噎死：

10、1/160000 被空中坠落的物体砸死：1/290000 死于浴缸中：1/1000000 坠落床下而死：1/2000000 被冻死：1/3000000 双色双色球，球，3333个红球，个红球，1616个蓝球。个蓝球。3333个里选个里选6 6个，个，1616个里选个里选 一个。一个。 6+1 6+1 一等奖一等奖 6+0 6+0 二等奖二等奖 5+1 5+1 三等奖三等奖 5+05+0，4+1 4+1 四等奖四等奖 4+04+0，3+1 3+1 五等奖五等奖 2+12+1，1+11+1，0+1 0+1 六等奖。六等奖。 概率分别计算如下： 一等奖概率：一亿分之5.64 二等奖概率：千万分之8.

11、46 三等奖概率：百万分之9.14 四等奖概率：万分之 4.34 五等奖概率：千分之 7.76 六等奖概率：百分之 5.89. 不中奖概率： 93.3%。（可见中奖是多么困难） 由概率，再根据奖金分配原则。来做进一步分析，每投资多少钱， 能中几等奖呢？ 一等奖 35460992.91 二等奖 2364066.194 三等奖 218818.3807 四等奖 4608.294931 五等奖 257.7319588 六等奖 33.95585739 即理论计算： 投入33.9元，可以中一个六等奖（奖金5元） 投入257.7元，可以中一个五等奖（奖金10元） 投入4608元，可以中一个四等奖（奖金200

12、元） 投入218818，可以中一个三等奖（奖金3000元） 投入2364066，可以中一个二等奖（奖金不定） 投入35460992，可以中一个一等奖 （奖金500万元+不定奖金，最多1000万元）。 如投入257元，除可以中一个五等奖，还能中257/33.9-1的六等奖。 以此类推，计算如下： 投入金额 可获奖金 总回报 一等奖 35460992.91 16933044.04 47.8% 二等奖 2364066.194 690750.6028 29.2% 三等奖 218818.3807 48035.54705 22.0% 四等奖 4608.294931 952.9723502 20.7% 五等

13、奖 257.7319588 42.90560472 16.6% 六等奖 33.95585739 5 14.7% 从表面上看，随机现象的每一次观从表面上看，随机现象的每一次观 察结果都是随机的，但多次观察某个随机察结果都是随机的，但多次观察某个随机 现象，便可以发现，在大量的偶然之中存现象，便可以发现，在大量的偶然之中存 在着必然的规律在着必然的规律. .随机现象的统计规律性是随机现象的统计规律性是概概 率论的研究内容。率论的研究内容。 总总 结结 从观察试验开始从观察试验开始 研究随机现象，首先要对研究对研究随机现象，首先要对研究对 象进行观察试验象进行观察试验. 这里的试验，指的这里的试验，

14、指的 是随机试验是随机试验. 如果每次试验的可能结果不止一个，如果每次试验的可能结果不止一个， 且事先不能肯定会出现哪一个结果，这样且事先不能肯定会出现哪一个结果，这样 的试验称为随机试验的试验称为随机试验. 随机试验：随机试验： H 例如例如, , 掷硬币试验掷硬币试验 掷一枚硬币，观察出正还是反掷一枚硬币，观察出正还是反. T 掷骰子试验掷骰子试验 掷一颗骰子，观察出现的点数掷一颗骰子，观察出现的点数 寿命试验寿命试验 测试在同一工艺条件下生产测试在同一工艺条件下生产 出的灯泡的寿命出的灯泡的寿命. 可重复性、可观察性、随机性可重复性、可观察性、随机性 随机事件：随机事件： 在一次试验中由

15、若干可能结果组成在一次试验中由若干可能结果组成 的集合称为随机事件，简称事件的集合称为随机事件，简称事件.通常记通常记 作作A,B,C 在随机试验中，我们往往会关心某个在随机试验中，我们往往会关心某个 或某些结果是否会出现或某些结果是否会出现. 这就是这就是 例如，在掷骰子试验中，例如，在掷骰子试验中， “掷出掷出1点点”“掷出掷出2点点” 试验：抛1枚硬币掷骰子 打靶 事件： 抛出正面； 抛出方面 掷出1点； 掷出2点； 掷出奇数点； 掷出偶数点； 掷出点数8; 事事 件件 基本事件基本事件 复合事件复合事件 （相对于观察目的相对于观察目的 不不 可再分解的事件可再分解的事件） （两个或多个

16、基本事件并在一（两个或多个基本事件并在一 起，就起，就 构成一个复合事件）构成一个复合事件） 事件事件 B=掷出奇数点掷出奇数点 如在掷骰子试验中，如在掷骰子试验中， 观察掷出的点数观察掷出的点数 . 事件事件 Ai =掷出掷出i点点 i =1,2,3,4,5,6 两个特殊的事件：两个特殊的事件： 必 件 然事 例如，在掷骰子试验中，例如，在掷骰子试验中， “掷出点数小于掷出点数小于7”是必然事件是必然事件; 即在试验中必定发生的事件，常用即在试验中必定发生的事件，常用表示表示; 不 件 可事 能 即在一次试验中不可能发生的事件，即在一次试验中不可能发生的事件， 常用常用表示表示 . 而而“掷

17、出点数掷出点数8”则是不可能事件则是不可能事件. 现代集合论为表述随机试验提供了一现代集合论为表述随机试验提供了一 个方便的工具个方便的工具 . 样本空间与事件样本空间与事件 我们把随机试验的每个基本结果称为我们把随机试验的每个基本结果称为 样本点样本点，记作，记作. 全体样本点的集合称为全体样本点的集合称为样样 本空间本空间. 样本空间用样本空间用表示表示. 样本点样本点 . 若实验将一枚硬币抛掷两次，观察正若实验将一枚硬币抛掷两次，观察正 反面则样本空间由如下四个样本点组成：反面则样本空间由如下四个样本点组成： =(H,H), (H,T), (T,H), (T,T) 第第1次次第第2次次

18、HH T H H T TT (H,T)： (T,H): (T,T)： (H,H): 其中其中 在每次试验中在每次试验中 必有必有一个样本点出一个样本点出 现现. 如果试验是如果试验是测试某灯泡的寿命测试某灯泡的寿命： 则样本点是一非负数，由于不能确知寿则样本点是一非负数，由于不能确知寿 命的上界，所以可以认为任一非负实数都是命的上界，所以可以认为任一非负实数都是 一个可能结果，一个可能结果， = t ：t 0 故样本空间故样本空间 调查城市居民（以户为单位）烟、调查城市居民（以户为单位）烟、 酒的年支出，结果可以用（酒的年支出，结果可以用（x，y）表示，）表示， x，y分别是烟、酒年支出的元数

19、分别是烟、酒年支出的元数. ( , )|0,0 x yxy 0,1,2 1,2,3,4 |0 xx ( , )|0,0 x yxy 可列个可列个 引入样本空间后，引入样本空间后，事件便可以表示为事件便可以表示为 样本空间的子集样本空间的子集 . 例如，掷一颗骰子，观察出现的点数例如，掷一颗骰子，观察出现的点数 = i ：i=1,2,3,4,5,6 样本空间：样本空间： 事件事件B就是就是的一个子集的一个子集 B = 1,3,5 B发生当且仅当发生当且仅当B中的样本点中的样本点 1，3，5中的某一个出现中的某一个出现. 1. 包含关系包含关系若事件若事件 A 发生发生, 必然导致必然导致 B 发

20、生发生 , 则称事件则称事件 B 包含事件包含事件 A,记记 作作 .BAAB 或或 三、随机事件间的关系及运算三、随机事件间的关系及运算 I. .随机事件间的关系随机事件间的关系 实例实例 “长度不合格长度不合格” 必然导致必然导致 “产品不合产品不合 格格” 所以所以“产品不合格产品不合格” ” 包含 包含“长度不合格长度不合格”. 图示图示 B 包含包含 A. B A 若事件若事件A包含事件包含事件B,而且事件而且事件B包含事件包含事件A, 则称事则称事 件件A与事件与事件B相等相等,记作记作 A=B. 2. 相等关系相等关系 B A图示图示 A=B . 3. 事件的和事件的和(并并)

21、, . |. A BAB ABAB 称称 事事件件中中至至少少有有一一个个发发生生 为为事事件件与与事事件件 的的 显显然然 或或 和和事事件件 图示事件图示事件 A 与与 B 的并的并. B A ABAB记作或 12 n 12 1 k=1 , , , , , (); n n nkk k A AAn AAAAA 称称至至少少有有一一个个发发生生 为为个个事事件件 的的和和事事件件 记记作作或或 , ,). 12 12 1 k=1 ( kk k A A AAAA 称称至至少少有有一一个个发发生生 为为可可列列个个事事件件 的的和和事事件件 记记作作或或 推广推广 可以一直往可以一直往 下数得出来

22、下数得出来 的一组数或的一组数或 可以与自然可以与自然 数集建立一数集建立一 一对应关系一对应关系 的的 图示事件图示事件A与与B 的积的积事件事件. A B AB 4. 事件的交事件的交 (积积) |. ABAB ABAB 称称 事事件件 与与 同同时时发发生生 为为事事件件与与 的的积积事事件件 显显然然且且 , , 记作A B或AB 5. 事件的差事件的差 图示图示 A 与与 B 的差的差 A B B BA BA BA BA A 事件事件 “A 发生而发生而 B 不发生不发生”，称为事件，称为事件 A 与与 B 的差的差. 记作记作 A- - B. 6. 事件事件的的互不相容关系互不相容

23、关系 (互斥互斥) 若事件若事件 A 、B不能同时发生，即不能同时发生，即 则称事件则称事件 A与与B互不相容互不相容. . ABBA 图示图示 A与与B互互 斥斥 A B “骰子出现骰子出现1点点” “骰子出现骰子出现2 点点” 互斥互斥 实例实例 2 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数 . 实例实例 1 抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币, “出现花面出现花面”与与 “出现字面出现字面” 是互不相容的两个事件是互不相容的两个事件. 记作 .A 实例实例 “骰子出现骰子出现1点点” “骰子不出现骰子不出现1点点” A . AA AA A 7. 事件的对立关系事件的对立关系 对立对

24、立 “事件事件A不发生不发生”，这一事件称为，这一事件称为A的对立事的对立事 件件 易见,.AA （2）对立事件与互不相容事件的区别）对立事件与互不相容事件的区别 A BA BA A、B 对立对立A、B 互不相容互不相容 . ABBA且,AB 互不相容互不相容对对 立立 例例1.9 1.9 甲乙丙三人各射一次靶，甲乙丙三人各射一次靶，记记A-A-甲中靶甲中靶, , B-B-乙中靶乙中靶,C-,C-丙中靶丙中靶为三个事件为三个事件, ,则则: : 1.1.甲未中靶甲未中靶 2.2.甲中靶而乙未中靶甲中靶而乙未中靶 3.3.三人中只有丙未中靶三人中只有丙未中靶 4.4.三人中恰好有一人中靶三人中恰好有一人中靶 5.5.三人中至少有一人中靶三人中至少有一人中靶 6.6.三人中至少有一人未中靶三人中至少有一人未中靶 ABC ABCABCABC ABC A AB A B C 7