线弹性断裂力学1

1、复合材料（先进材料）性能表征与失效分析 z复合材料与结构 复合材料的宏微观力学与结构力学，它自然涉及到复合 材料的性能表征问题。 z复合材料性能试验 在这里也自然涉及到复合材料的性能表征问题。 z复合材料性能表征与失效分析 复合材料失效分析（复合材料破坏力学） 复合材料破坏力学 复合材料破坏力学，它是研究复合材料损伤破坏行为的力学科学。 与传统的均质各向同性材料相比，复合材料明显的特点是多相性（非均非均 匀性匀性）、各向异性各向异性，这些就决定了复合材料的损伤破坏行为比传统的均 质各向同性材料的损伤破坏行为复杂的多， 现在我要问大家对“传统的传统的 均质各向同性材料的损伤破坏行为均质各向同性材

2、料的损伤破坏行为” 了解多少？现在请允许我给大家提 一个问题： 大家不久前学习了 “复合材料力学复合材料力学” ” 这门课，大家也曾学习过 “材材 料力学料力学” ” 这门课，这两门课中都包含有最大应力强度理论最大应力强度理论，现在我想请 大家把“材料力学材料力学”中的最大应力强度理论最大应力强度理论与“复合材料力学复合材料力学”中的最最 大应力强度理论大应力强度理论进行比较。 我想大家对均质各向同性材料的破坏力学未必清楚，所以我给大家 讲授“断裂力学”，从均质各向同性材料的断裂力学到复合材料的断裂 力学(限于界面断裂力学与多层介质断裂 ）。 参考书： 宏微观断裂力学，扬卫著，国防工业出版社，

3、1995。 复合材料破坏力学 材料力学（最大应力强度理论）最大应力强度理论）： 复合材料力学（最大应力强度理论）最大应力强度理论） ： 1 t t t Z Y X 3 2 1 2323 1313 1212 S S S c c c Z Y X 3 2 1 复合材料破坏力学（用有限元法对复合材料结构做破坏分析） 首先，需要建立一个结构坐标系（x,y,z)，划分单元，记每一单元 的节点坐标(xi,yi,zi) (i=1,2,8) (六面体8节点单元）；对每一单元建立 单元坐标系(，)，记单元的节点坐标(i，i，i) (i=1,2,8);记坐 标轴的方位角为（ ， ， ） （各向同性材料） （复合材料

4、） 单元刚度变换公式（两阶张量）（应力分析） 应力变换公式（两阶张量）（破坏分析） 把在结构坐标系下的应力场变换为在材料坐标系下的应力场。 Ve t e dVBDBK Ve t e dVBDBK 断裂力学 线弹性断裂力学: 研究含裂纹的线弹性体的破坏力学(线弹性材料) 弹塑性断裂力学: 研究含裂纹的弹塑性体的破坏力学(弹塑性材料) 线弹性断裂力学线弹性断裂力学 如同在经典的强度理论中，有以应力为参 数和以能量为参数的强度理论一样，在这 里，我们有 以应力为参数的断裂理论 应力强度因子理论（应力强度因子理论（ Irwin 应力强度因子理论） 以能量为参数的断裂理论 能量释放率理论（能量释放率理论

5、（Griffith脆断理论） 应力强度因子理论应力强度因子理论 在这里，我需要强调，断裂力学是基于弹性力学和塑性力 学所获得的应力场、应变场及位移场的基础上，研究含裂 纹材料的破坏行为。所以不论在线性断裂力学还是弹塑性 断裂力学中，我们都重点研究裂纹体（含裂纹的线弹性体 或弹塑性体）关键区域中场量（应力场、应变场及位移场） 的结构，进而进行破坏行为研究。由于裂纹体中关键区域 是裂纹尖端，所以我们重点研究裂纹尖端场量的结构，进 而进行破坏行为研究。 在应力强度因子理论应力强度因子理论 中，我们首先来学习： 裂纹类型（分类）； 线弹性裂纹尖端场； 进而建立断裂准则。 （crack) 张开型：I型（

6、Mode I）（Opening Mode） 滑开型：II型（Mode II）（Shear Mode） 撕开型：III型（Mode III）（Tearing Mode） Irwin 应力强度因子理论 z I 型裂纹尖端场的表达式 对线弹性各向同性材料, I 型裂纹尖端应力场和位移场一般表达式为 ： 和 为普遍适用的角分布函数为普遍适用的角分布函数 。（渐进解）。（渐进解） （几何、加载方式）（几何、加载方式） )( 0 )( 2 2211 33 I ij I ij r K ),( 22 i I i U rK u 2 3 cos 2 sin1 2 3 sin 2 sin1 2 3 sin 2 si

7、n1 2 cos 12 22 11 I I I 2 sin 2 cos )cos( 2 1 I I U U ) 1 ( )2( 无限大中心裂纹板 Irwin 应力强度因子理论 受均匀外力作用具有长度为2a 的无限大板，KI 为： 是一与外载和裂纹几何尺寸相关的量，通常称为应力强度因子应力强度因子， 它是裂纹尖端应力场幅值大小的度量。 z 裂纹尖端应力场的几点重要特点裂纹尖端应力场的几点重要特点： （1） 裂纹尖端应力场具有 r -1/2 的奇异性； （2）应力强度因子 KI 是一与外载和裂纹几何尺寸相关的量，是裂纹尖端 应力场幅值大小的度量； （3）裂纹尖端应力场的表达式具有普遍性，不同裂纹体

8、几何的影响通过应 力强度因子 KI 来反映。 aKI )3( Irwin 应力强度因子理论 一般地，I 型裂纹应力强度因子 KI 可以表达为 其中Y(g) 称为几何影响因子几何影响因子。 (4) 裂纹尖端应力场是渐进解，仅仅适合于裂纹尖端附近. agYK)( )4( arr K 02. 0)5( Irwin 应力强度因子理论 鉴于裂纹尖端应力场的上述特点，尤其应力强度因子 的特点：即它是一与外载和裂纹几何尺寸相关的量，是裂 纹尖端应力场幅值大小的度量，人们很自然地可以把应力应力 强度因子强度因子作为含裂纹材料或结构的破坏的力学参量来建立 破坏准则： 其中K KIc Ic 称为材料的断裂韧性 断

9、裂韧性，是材料常数，是材料抵抗 断裂的抗力，可以通过实验来确定。 该破坏准则称为应力强度因子断裂准则应力强度因子断裂准则，简称K K 准则准则. 在八十年代初期，美国 ASME 就将该准则作为含裂纹材料 或结构的评定方法。 IcI KK )6( Irwin 应力强度因子理论 鉴于应力强度因子应力强度因子的重要性，在断裂力学这门科学近半 个世纪的快速发展中，应力强度因子的分析计算一直是一个 经久不衰的研究课题，这可从这方面的专著（如二十世纪七 十年代Sih的专著3,4和近期的专著如6,7,15-17）和专门 的应力强度因子手册（如8）可见一斑。从研究方法上， 从解析的Westergaard st

10、ress function 17、 Muskhelishvili stress function 17 到解析的或半解析的Green Function 17、Singular Integral Equation 17、Conforming Mapping17, 及数值方法如Boundary Collocation Method17， Finite Element Method17 (有限元法)和 Boundary Element Method15-17 (边界元法)。 Irwin 小范围屈服理论 线弹性裂纹尖端场，其应力场具有 r -1/2 的奇 异性， 该奇异性的幅值大小可用应力强度因子应力

11、强度因子来 表征。但从物理学物理学的角度来看，真正奇异的应力 是不可能的，在裂纹尖端附近的材料必定发生屈 服。 Irwin 研究了小范围屈服的情况，指出在该情 况下应力强度因子K 仍有意义。 Irwin 小范围屈服理论 Irwin 小范围屈服理论 前面已指出，裂纹尖端应力场是渐进解渐进解，仅仅适合于裂纹尖端附近： 小范围屈服是指： z 塑性区形状的估算： 作下列假定： （1）忽略裂纹尖端材料屈服后对塑性区外K场的影响； （2）材料为理想塑性，且遵循 Von-Mises 屈服条件。 arr K 02. 0 arr Kp 02. 0 ) 1 ( )2( Irwin 小范围屈服理论 z 可以得到塑性

12、区尺寸可以得到塑性区尺寸rp 为为： 对平面应力情况 对平面应变情况 z 在裂纹延长线上塑性区尺寸在裂纹延长线上塑性区尺寸ro为为： 对平面应力情况 对平面应变情况 ) 2 sin31 () 2 cos( 2 1 22 s I p K r ) 2 sin3)21() 2 cos( 2 1 222 s I p K r 2 )( 2 1 s I o K r 2 2 )( 2 )21 ( s I o K r )3( )4( )5( )6( Irwin 小范围屈服理论 Irwin 小范围屈服理论 z 裂纹尖端附近材料的屈服必定引起应力再分布应力再分布，这便导致 塑性区尺寸发生变化，其结果为： 对平面应

13、力情况 对平面应变情况 即裂纹尖端附近材料的屈服引起的应力再分布使裂纹延长 线上的塑性区尺寸扩大了一倍。 o s I r K R2)( 1 2 o s I r K R2)( )21 ( 2 2 )8( )7( Irwin 小范围屈服理论 z 等效裂纹长度 从图看，裂尖应力场的BC 段像长度为 a+ro 裂纹的前沿应力场。 因此Irwin 建议采用等效裂纹长度 来代替原裂纹长度。等效裂纹的尖端在屈服区的中点，它由修正裂尖 的K场所包围。 在引入小范围屈服情况下等效裂纹长度等效裂纹长度的概念后，线弹 性断裂力学中的应力强度因子理论仍然有效。只要将应力 强度因子K 中的裂纹长度 a 用等效裂纹长度a

14、+ro 代替即可. oeff raa)9( Irwin 小范围屈服理论 Irwin 小范围屈服理论 z 前面我们已经有 I 型裂纹应力强度因子 KI 的表达式 其中Y(g，a) 称为几何影响因子。 z 引入小范围屈服情况下的等效裂纹长度， z 由于 z 而塑性区长度 ro 又依赖于应力强度因子 KI，所以， 考虑小范围屈服修正后的应力强度因子需要迭代计算。 aagYagYKI),()( effeffI aagYK),( oeff raa )10( )11( )12( 线弹性断裂力学线弹性断裂力学 以应力为参数的断裂理论 应力强度因子理论（应力强度因子理论（ Irwin 应力强度因子理论） 以能

15、量为参数的断裂理论 能量释放率理论（能量释放率理论（Griffith脆断理论） 能量释放率理论能量释放率理论 = + 能量释放率理论能量释放率理论 能量释放率理论能量释放率理论 能量守恒定律： 能量守恒定律能量守恒定律是自然界的一条普遍规律，它指出：系系 统能量的增加等于输入的能量统能量的增加等于输入的能量。对于热力学系统又可 表述为：作用于系统上功功的增量W加上系统接受的热热 的增量Q等于系统内能内能的增量E加上动能动能的增量K, 即 若增量无限小且诸量可微，则可写成率的形式： QWKE QWKE 能量释放率理论能量释放率理论 把能量守恒定律应用于裂纹体： E 为储存在介质中的内能；T 为动

16、能；为裂纹表面能； 为 外力功率； 传热率。 作如下假设： 断裂过程中总体热交换效果可忽略（近似绝热假设）， 准静态过程，T0， 介质为弹性的，E = U W Q 0Q WU dt d )( ) 1 ( )2( QWTE 能量释放率理论能量释放率理论 受有均匀外力作用具有长度为2a 的无限大板，其位移场为： 其中：对平面应变情况 对平面应力情况 考虑线弹性裂纹体的应变能： 现建立裂纹扩展的临界条件（考虑 时,裂纹有微扩展da） 应变能率： axxaxv 22 ) 1( 4 )( 43 1 3 k 22 0 8 1 2 1 4 BadxvBU a ) 3( )4( )5( )( 4 1 2 da

17、 d dt da dt d dt da aB dt dU c c 能量释放率理论能量释放率理论 表面能： 表面能率: 外力功率： 把应变能率、表面能率及外力功率代入能量平衡方程（2）： 或 )7( )6( )8( )9( dt da aB dx dt da axaBdx dt dv Bw c a c c a c 2 2 1 22 00 2 1 2)( 2 1 4 ) 1( 44 aB e 4 dt da B dt d e 4 e ca 2 8 1 2 e c Ea 2 能量释放率理论能量释放率理论 于是由能量守恒定律得到裂纹扩展的临界条件： 其中 方程式右端为材料参数组合，应为材料常数。 因此方程式左端的载荷与裂纹几何参数的组合亦应为常数。 （含裂纹体的破坏条件） 下面把破坏条件（9）普遍化： 把能量守恒定律应用于裂纹体： 将之改写为： 即 )9( 2 1 E E E )10( WU dt d )( AA WU )( AA e c Ea 2 能量释放率理论能量释放率理论