第四章根轨迹(2010自制)

1、第四章 根轨迹法P135 控制系统的稳定性，由其闭环极点唯一确定，系统暂态响 应和稳态响应的基本特性与系统的闭环零、极点在平面上 分布的位置有关。 决定系统基本特性的是系统特征方程的根，如果搞清楚这 些根在平面上的分布与系统参数之间的关系，那就掌握了 系统的基本特性。 为此目的，伊文思在年提出了根轨迹法， 令开环函数的一个参数开环增益（或另一个感兴趣的参 数）从变化到，与此对应，特征方程的根，便在平面上 描出一条轨迹，称这条轨迹为根轨迹。 根轨迹法是研究自动控制系统的一种有效方法，它已发展 成为经典控制理论中最基本的方法之一。 根轨迹的基本概念 一举例说明根轨迹的概念一举例说明根轨迹的概念 特

2、征方程的根为 ， KSS K SR SC S 2 )( )( )( 0 2 KSS KS41 2 1 2 1 1 KS41 2 1 2 1 2 K01/41/23/4 特征特征 根根 S1=0 S2=-1 S1=-1/2 S2=-1/2 S1=-1/2+j/2 S2=-1/2-j/2 S1=-1/2+j S2=-1/2-j KS41 2 1 2 1 1 KS41 2 1 2 1 2 当K=0时，S1=0，S2=-1 令开环增益从变化到，用解 析方法求不同所对应的特征根的值，将 这些值标在平面上，并连成光滑的粗实 线，这就是该系统的根轨迹。箭头表示随 着值的增加，根轨迹的变化趋势。 根轨迹的基本

3、概念 K=0.25 K=0K=0 K K -1 j 当K=0时，S1=0，S2=-1 K01/41/23/4 特征特征 根根 S1=0 S2=-1 S1=-1/2 S2=-1/2 S1=-1/2+j/2 S2=-1/2-j/2 S1=-1/2+j S2=-1/2-j 根轨迹的基本概念 从系统的根轨迹图，可以获得下述信息从系统的根轨迹图，可以获得下述信息: . .稳定性：稳定性：因为根轨迹全部位于左半平面，故因为根轨迹全部位于左半平面，故 闭环系统对所有的值都是稳定的。闭环系统对所有的值都是稳定的。 . .稳态性能：稳态性能：因为开环传函有一个位于坐标原点因为开环传函有一个位于坐标原点 的极点，

4、所以是的极点，所以是I I型系统，阶跃作用下的稳态误差型系统，阶跃作用下的稳态误差 为为0。 K=0.25 K=0K=0 K K -1 j 暂态性能 （）当（）当m，所以根轨迹从n个开环极点处 起始，到m个开环零点处终止，剩下的nm条根轨迹将趋于 无穷远处。 举例如题，起点：，无零点，n=， m=0，nm=2，有两条根轨迹 ) 1( )( SS K SG K=0.25 K=0K=0 K K -1 j 当当nmnm时，开始于时，开始于n n个开环极点的个开环极点的n n支根轨迹，支根轨迹， 有有m m支终止于开环零点，有支终止于开环零点，有n-mn-m支终止于无穷远处。支终止于无穷远处。 无穷远

5、处也称为无穷远处也称为无穷远零点无穷远零点。 当当nmnm时，终止于时，终止于m m个开环零点个开环零点m m支根轨迹，有支根轨迹，有 m m支来自个开环极点，有支来自个开环极点，有m-nm-n支来自无穷远处。支来自无穷远处。 根轨迹的起点和终点是根轨迹的特殊点。根轨迹的起点和终点是根轨迹的特殊点。当当n=m 时，开始于时，开始于n个开环极点的个开环极点的n支根轨迹，正好终止支根轨迹，正好终止 于于 n 个开环零点。个开环零点。 2 2）分支数和对称性）分支数和对称性 P139 根轨迹一定对称于实轴，并且有根轨迹一定对称于实轴，并且有max(n,m)max(n,m)支。支。 特征方程的根要么是

6、实根（在实轴上）要么是特征方程的根要么是实根（在实轴上）要么是 共轭复根（对称于实轴），所以根轨迹一定对称于共轭复根（对称于实轴），所以根轨迹一定对称于 实轴。实轴。 根轨迹由若干分支构成，分支数与开环极点数相同。根轨迹由若干分支构成，分支数与开环极点数相同。 绘制根轨迹的基本规则 3)根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线p140 根轨迹中（nm）条趋向无穷远处的分支的 渐近线的倾角为 mn k a 180) 12( , 2 , 1k，（n-m-1) 当时，求得的渐近线倾角最小，0k 绘制根轨迹的基本规则 .渐近线与实轴的交点 mn zp n i m j ji a 11 渐近线的交点总在实轴上，即 必

7、为实数在计 算时，考虑到共轭复数极点、零点的虚部总是相互 抵消，只须把开环零、极点的实部代入即可 a : G(S) . )22)(4( 1)K(S 2 解解 确确定定根根轨轨迹迹的的有有关关数数据据试试根根据据目目前前所所知知的的法法则则 为为设设控控制制系系统统的的开开环环传传函函例例 SSSS )2( 300 )1( 180 )0( 60 67. 1 14 )1()1()1()4(0 ,3m-(3)n (2) 1Z j-1P j,-1P -4,P 0,P (1) 3 5 )12( a 3 3 )12( a 3 1 )12( a a 1 4321 l l l jj mn l mn l mn

8、l 与与实实轴轴的的交交角角为为 为为其其渐渐近近线线与与实实轴轴的的交交点点条条根根轨轨迹迹终终止止于于无无穷穷远远 实实轴轴有有四四条条根根轨轨迹迹且且对对称称于于 和和无无穷穷远远终终止止于于 根根轨轨迹迹起起始始于于 -4 -3-2-1 绘制根轨迹的基本规则 4)实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 在实轴上存在根轨迹的条在实轴上存在根轨迹的条 件是，其右边开环零点和开件是，其右边开环零点和开 环极点数目之和为奇数。环极点数目之和为奇数。 设系统开环零、极点分布如设系统开环零、极点分布如 图所示。为在实轴上确定属图所示。为在实轴上确定属 于根轨迹的线段，首先在于根轨迹的线段，首先在 和和 之间

9、任选一个试验点之间任选一个试验点 。 3 p 1 z 1 s 绘制根轨迹的基本规则共轭复数极点到的幅角之和为共轭复数极点到的幅角之和为， 相互抵消，因此开环共轭复数极点、零相互抵消，因此开环共轭复数极点、零 点对实轴上根轨迹的位置没有影响，仅点对实轴上根轨迹的位置没有影响，仅 取 决 于 实 轴 上 的 开 环 零 、 极 点 。取 决 于 实 轴 上 的 开 环 零 、 极 点 。 若实轴上的某一段是根轨迹，一定满若实轴上的某一段是根轨迹，一定满 足相角条件。试验点左侧的开环零、极足相角条件。试验点左侧的开环零、极 点提供的相角为点提供的相角为,而右侧的相角为而右侧的相角为 180。点满足相

10、角条件，所以。点满足相角条件，所以 之间是根轨迹。之间是根轨迹。 1 s 1 s 3 p 1 z 180) 12()()( 11 m j n i ij qpszs 相角条件 -2-4 绘制根轨迹的基本规则 例： )4)(2( )3)(1( )( 1 SSS SSK SG （单位反馈） 有三个极点，根轨迹 有三条分支 j n=3,m=2 有条根轨 迹， 条终止于开环零点。 在实轴上不同段上取试 验点 oo -3-1 例 ) 2)(1( )()( 1 SSS K SHSG求根轨迹 解：在平面中确定开 环零、极点的位置。 -1-2 j 确定实轴上的根轨迹。 n=3,m=0,应有三个分 支，并且都趋向

11、无穷远 处。 确定渐近线的位置 180, 1 60, 0 3 180) 12(180) 12( 1 03 210 321 a a a a q q q mn q mn ppp -0.423 2j 2j K1=6 K1=6 -60 60 5 5）根轨迹的分离点）根轨迹的分离点P143 当从当从K K零变到无穷大时，根轨迹可能出现先会零变到无穷大时，根轨迹可能出现先会 合后分离（合后分离（如图如图4-84-8），这样的点称分离点。分离），这样的点称分离点。分离 点对应重闭环极点。点对应重闭环极点。 显然，显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间位于实轴上的两个相邻的开环极点之间 一定有分离点一定有分

12、离点，因为任何一条根轨迹不可能开始于，因为任何一条根轨迹不可能开始于 一个开环极点终止于另一个开环极点。同理，一个开环极点终止于另一个开环极点。同理，位于位于 实轴上的两个相邻的开环零点之间也一定有分离点。实轴上的两个相邻的开环零点之间也一定有分离点。 当然，分离点也可以是复数当然，分离点也可以是复数，两个相邻的开环两个相邻的开环 复极点（或零点）之间可能有分离点，对实际系统，复极点（或零点）之间可能有分离点，对实际系统， 依据规则依据规则1 1到到4 4一般就能确定有无分离点一般就能确定有无分离点。 2 * )1( )( s sK sG j 0 s1 s2 例例: j 0 s1 s2 分离点

13、的特点：分离点的特点： （1） 根轨迹关于实轴对称，根轨迹关于实轴对称，分离点或会合点必分离点或会合点必 然是实数或共轭复数常见的分离点或或会合点位然是实数或共轭复数常见的分离点或或会合点位 于实轴上。于实轴上。 （2）根轨迹在实轴上两相邻开环极点（其中一个可）根轨迹在实轴上两相邻开环极点（其中一个可 为无限极点）之间，至少存在一个分离点；根轨迹为无限极点）之间，至少存在一个分离点；根轨迹 在实轴上两相邻开环零点（其中一个可为无限零点在实轴上两相邻开环零点（其中一个可为无限零点 ）之间，至少存在一个分离点。）之间，至少存在一个分离点。 （3）分离角可由）分离角可由 决定。决定。) 1, 1 ,

14、 0( ,) 12(lklk L 是轨迹的条数是轨迹的条数 基于分离点是重闭环极点的事实可以证明，分基于分离点是重闭环极点的事实可以证明，分 离点的座标离点的座标d d，是下列代数方程的解：，是下列代数方程的解： 11 11 nm ij ij dpdz 必须说明的是，方程只是必要条件而非充分条件，必须说明的是，方程只是必要条件而非充分条件， 也就是说它的解不一定是分离点，是否是分离点还也就是说它的解不一定是分离点，是否是分离点还 要看其它规则。要看其它规则。 p144例题41 没有开环零点时的处 理方法 例 ) 2)(1( )()( 1 SSS K SHSG求根轨迹 解：在平面中确定开 环零、

15、极点的位置。 -1-2 j 确定实轴上的根轨迹。 n=3,m=0,应有三个分 支，并且都趋向无穷远 处。 确定渐近线的位置 180, 1 60, 0 3 180) 12(180) 12( 1 03 210 321 a a a a q q q mn q mn ppp -0.423 2j 2j K1=6 K1=6 -60 60 绘制根轨迹的基本规则 用幅值条件确定分离点的增益： 385.0577.1577.0423.0210 sssK 11 11 nm ij ij dpdz 因为分离点在至之间，故为分离点的坐 标，而舍弃 423. 0 1 s 577. 1 2 s 0 2 1 1 11 ddd -

16、1-2 j -0.423 2j 2j K1=6 K1=6 -60 60 ) 2)(1( )()( 1 SSS K SHSG 根轨迹与虚轴的交点是临界稳定点，该点的坐标根轨迹与虚轴的交点是临界稳定点，该点的坐标 jj和增益和增益K K* *是很重要的，将是很重要的，将s=js=j代入闭环特征方程，代入闭环特征方程， 令特征方程的实部和虚部分别等于零，可以解出令特征方程的实部和虚部分别等于零，可以解出和和 K K* * 。用劳斯（。用劳斯（RothRoth）判据也可以求得）判据也可以求得K K* * 。 7 7）根轨迹与虚轴的交点）根轨迹与虚轴的交点 P148 0)()(1 jHjG 0)()(1

17、Im 0)()(1Re jHjG jHjG 绘制根轨迹的基本规则 续例，将 代入特征方程。 js 023 0)23( 0)2)(1( 23 2 Kjj Kjj Kjjj 当时，系统出现共轭 虚根，此时系统处于临界稳 定状态。 2j 6 K 实部 虚部 63,2 02 03 2 3 2 K K )2)(1( )( * sss K sG 根据规则根据规则7 7）可以确定根轨迹与虚轴的交点，）可以确定根轨迹与虚轴的交点， 我们也可以用劳斯判据，我们也可以用劳斯判据， 根据特征方程系数列出根据特征方程系数列出 劳斯阵列为：劳斯阵列为： Ks K s Ks s 0 1 2 3 3 6 3 21 )2)(

18、1( )( * sss K sG 在确定根轨迹与虚轴的在确定根轨迹与虚轴的 交点，求出分离点，并做交点，求出分离点，并做 出渐近线以后，根轨迹的出渐近线以后，根轨迹的 大概趋势知道了，为了能大概趋势知道了，为了能 较精确的画出根轨迹，需较精确的画出根轨迹，需 在分离点附近取几个试验在分离点附近取几个试验 点，使其满足相角条件。点，使其满足相角条件。 然后连成光滑曲线，最后然后连成光滑曲线，最后 逐渐靠近渐近线。逐渐靠近渐近线。 绘制根轨迹的基本规则 6)根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角 当系统存在共轭复数极点（或零点）时，为了准 确地做出根轨迹的起始段（或终止段），必须确定根 轨迹

19、的出射角（或入射角） 根轨迹离开开环复数极点的切线方向与实轴正方 向的夹角称为出射角出射角表示根轨迹从复数极点 出发时的走向 180 p 开环复数零点处，根轨迹的入射角为 180 z 式中 pz 即为其它开环零、极点对出射点或入射点提供的相角 开环复数极点处，根轨迹的出射角为 绘制根轨迹的基本规则 求从出发根轨迹的出射角。 5 p 35)904070130(105180 )(180 43215 ppppzp 用量角器量后，得， 在图上标出。 的出射角和对称。 5 p 5 p 4 p 5 p 除非系统阶次很低，否则手工解方程求分离点除非系统阶次很低，否则手工解方程求分离点 决非易事；手工求出射角

20、和入射角也不太好操作，决非易事；手工求出射角和入射角也不太好操作， 并且出射角和入射角的意义并不大，因为它仅仅反并且出射角和入射角的意义并不大，因为它仅仅反 映了开环极、零点处根轨迹的走向，稍远一点就不映了开环极、零点处根轨迹的走向，稍远一点就不 起作用了。起作用了。 所以，手工画根轨迹最有用的规则是所以，手工画根轨迹最有用的规则是1 1）到）到5 5），）， 规则规则7 7）。如果想得到更精确的根轨迹图，用）。如果想得到更精确的根轨迹图，用 MatlabMatlab是最为合适不过了。是最为合适不过了。 a a pi c (1) 1.25 45 , 135 (2) d-2.3 (3)-71.6

21、 (4)1.1j k8.16 分离点 -3 -2.5 2 4-4 G(S)H(S) S(S3)(S2S2) : K 例 解 0 j 1 3 . 23 法则法则 8：闭环极点之和、闭环 极点之积与根轨迹分支的走向 m j n l i n j m n i i n n i n l ii n l i nn i n n i n i n l j mm j m i nn i n n l i m j j n i i m j j n i i szKpspmn ssss zszsKpsps sszsKps zsKps sHsG 11 * 111 1 1 111 1*1 11 * 1 1 * 1 ) 1() 1()

22、 1(2 ) 1()( ) 1()() 1()( )()()( 0)()( 0)()(1 结论结论： 若 n-m2 闭环极点之和 = 开环极点之和 = 常数 表明：在某些根轨迹分支（闭环极点）向左移动，而 另一些根轨迹分支（闭环极点）必须向右移动，才能 维持闭环极点之和为常数。 2闭环极点的确定闭环极点的确定 对于特定的K*值下的闭环极点， 可以借助根轨迹图用模值条件确 定。 根据K*值，通常用试探法先确定 在实轴上的闭环极点，然后确定 其它的闭环极点。 例 确定例44 K*=4 的闭环极点。 0 j 1 3 . 23 )3()1()1( * sjsjssK 因为已知分离点 33. 4) 3(

23、3 . 2)1(3 . 2)1(3 . 23 . 2 * jjK 3 . 2d a a pi c (1) 1.25 45 , 135 (2) d-2.3 (3)-71.6 (4)1.1j k8.16 分离点 -3 -2.5 2 4-4 G(S)H(S) S(S3)(S2S2) : K 例 解 对于特定的K*值下的闭环极点，可以借助根轨迹图用模值 条件确定。 根据K*值，通常用试探法先确定在实轴上的闭环极点，然 后确定其它的闭环极点。 。 )3()1()1( * sjsjssK 因为已知分离点 33. 4) 3(3 . 2)1(3 . 2)1(3 . 23 . 2 * jjK 3 . 2d 2

24、4-4 G(S)H(S) S(S3)(S2S2) : K 例 解 于是可知 K*=4 对应的闭环极点在分离点两侧。经过若 干次试探，找出满足模值条件的两个闭环极点 52. 22 21 ss 86. 024. 0 )(52. 2)(2( 4685)(4 4, 3 43 234* js ssssss sssssDK 另外两个根可以从特征方程求出 3)2)(s1)(sS(S G(S)H(S) K a =/4, 3/4, 5/4, 7/4 a=1.5 j 10)1)(sS(S G(S)H(S) K j10 j10- K=110 系统稳定时系统稳定时K的取值范围：的取值范围：0K110 j jjj j

25、j j j j j j j 下图给出了一些不同开环零极点分布时其根轨迹大致走向。 前面学习了根轨迹的基本概念和绘制基本准则（性质）， 这里将手工绘制控制系统根轨迹的步骤罗列如下： 标注开环极点“ ”和零点 “ ”； 画出n-m条渐进线。其与实轴的交点（称为重心）和倾角分 别为： .3, 2, 1, 0, ) 12( ; k mn k mn zp ij 确定实轴上的根迹区间； 计算极点处的出射角和零点处入射角： ）（ ）（ 矢量幅角从其他零点到该极点的 矢量幅角从其他极点到该极点的出射角 ）（ ）（ 矢量幅角从其他零点到该零点的 矢量幅角从各个极点到该零点的入射角 计算根轨迹和虚轴的交点； 计算

26、会合点和分离点： d l 分离角 利用前几步得到的信息绘制根轨迹。 注意： 后两步可能不存在； 在判断大致形状时，需知道根轨迹的支数、连续性和对称性。 11 11 nm ij ij dpdz 4.3 广义根轨迹广义根轨迹p152 参数根轨迹参数根轨迹 附加开环极点和零点的作用附加开环极点和零点的作用 零度根轨迹零度根轨迹 一、参数根轨迹一、参数根轨迹 以以非开环增益非开环增益为可变参数绘制的根轨迹。为可变参数绘制的根轨迹。 绘制参数根轨迹的法则与绘制常规根轨迹的绘制参数根轨迹的法则与绘制常规根轨迹的 法则完全相同。法则完全相同。 绘制参数根轨迹的方法绘制参数根轨迹的方法 写出系统的闭环特征方程

27、：写出系统的闭环特征方程：1+G(s)H(s)=0; 变换该方程为：变换该方程为：1+G1(s)=0;其中其中G1(s)称为称为 等效开环传递函数等效开环传递函数； 按照常规根轨迹法则，再绘制以按照常规根轨迹法则，再绘制以K*为参变为参变 量的根轨迹。量的根轨迹。 例例：对于开环传函为：对于开环传函为 的负反馈系统，试绘制其以的负反馈系统，试绘制其以Ks为参变量的根轨迹。为参变量的根轨迹。 写出系统的闭环特征方程写出系统的闭环特征方程 变形得变形得（关键一步） 等价开环传函为（等价开环传函为（=10） 10(1) ( )( ) (2) s K s G s H s s s 2 ( )(210)1

28、00 s D ssKs 2 10 10 210 s K s ss * 22 10 ( ) 210210 s o K sK s Gs ssss 例已知系统框图，绘制以为参数的根轨迹. 反馈控制系统的根轨迹分析 解：（1）系统的开环传递函数 SSS SG )1( 1 )( 特征方程 0)(1SG01 2 sss （2）以为参变量，特征方程可写为 0 1 1 2 ss s 即 1 )( 2 SS S SG 绘制的根轨迹)(SG 反馈控制系统的根轨迹分析 （3）开环极点 闭环极点 0 2 3 2 1 2,1 z jp （4）实轴上的根轨迹 （5）渐近线倾角 （6）会合点 求 得 为实际会合点，该点 （

29、7）出射角 0,( 180 a 1 1 d 1, 1 21 dd 1 150)90120(180 p 已知系统的开环传递函数如下：试画关于参数b的根轨 迹 )(4( 20 )( bss sG )10( )(30 )( ss bs sG 例：设单位反馈系统的开环传递函数为例：设单位反馈系统的开环传递函数为 ) 1)(1( )( sTss K sG a 其中开环增益可自行选定。试分析时间常数其中开环增益可自行选定。试分析时间常数 对系统对系统 性能的影响。性能的影响。 a T 解：闭环特征方程 Kss ssT sG Kss ssT ssTKssKsTss aa aa ) 1( ) 1( )(0 )

30、 1( ) 1( 1 0) 1() 1(0) 1)(1( 2 1 2 2 要绘制参数根轨迹，首先要求出等效开环传递函数的极点要绘制参数根轨迹，首先要求出等效开环传递函数的极点 关于两个参数的轨迹的画法关于两个参数的轨迹的画法 Kp 4 1 2 1 2, 1等效开环极点 注：若分母多项式为高次时，无法解析求解等效开环极注：若分母多项式为高次时，无法解析求解等效开环极 点，则运用根轨迹法求解。如本例，求解分母特征根的点，则运用根轨迹法求解。如本例，求解分母特征根的 根轨迹方程为：根轨迹方程为： 在本例中，在本例中，K可自行选定，选定不同可自行选定，选定不同K值，然后将值，然后将G1(s) 的零、极

31、点画在的零、极点画在 s 平面上，在令平面上，在令 绘制出绘制出 变化时的参数根轨迹。变化时的参数根轨迹。 aa TT0 a T 0 ) 1( 1 ss K 0 j 25. 0K 1 2 1 0 j K25. 0 n=2,m=3,有三条轨迹，其中一条起点是无穷远处。 有一条渐近线，为负实轴 二、附加开环极点和零点的作用二、附加开环极点和零点的作用 1 附加开环极点的作用附加开环极点的作用 设开环传递函数为 )22( )( )()( 2 1 * sss zsK sHsG 1 z 1 z 附加的开环实数零点，其值可在s左半平面内任意 选择，当 时，表明不存在有限零点。 1 z 令 为不同的数值，对

32、应的根轨迹见P.150 图4-25所 示： （a）无开环零点；（b） ；（c） （d） 3 1 z 2 1 z 0 1 z 2 附加开环零点的作用附加开环零点的作用 1). 附加适当的开环零点可以改善系统的稳定性。附加适当的开环零点可以改善系统的稳定性。 3 c Z 增加一个零点的情况 2 c Z 右移零点 2)2S(S G(S)H(S) 2 S K 2)2S(S )3( G(S)H(S) 2 S SK 2)2S(S )2( G(S)H(S) 2 S SK 2 附加开环零点的作用附加开环零点的作用 1). 附加适当的开环零点可以 改善系统的稳定性。 结论 增加开环零点可使根轨迹左移，增加开环零

33、点可使根轨迹左移，有利于有利于改善改善 系统的稳定性及动态性能；系统的稳定性及动态性能； 零点越靠近虚轴，根轨迹变化越显著；零点越靠近虚轴，根轨迹变化越显著； 增加开环极点一般使根轨迹右移，增加开环极点一般使根轨迹右移，不利于不利于系系 统稳定性和动态特性。统稳定性和动态特性。 1)S(S G(S)H(S) K 1. -1 -0.5 j m=0 n=2: P1=0,P2= -1 2)1)(SS(S G(S)H(S) K j -2 -1 - 0.42 2、增加一开环极点增加一开环极点 （p=-2) m=0 n=2: P1=0,P2= -1,P3=-2 3、增加一开环零点（增加一开环零点（z=-2

34、) 1)S(S 2)(S G(S)H(S) K m=1:Z1 = -2 n=2: P1=0, P2= -1 j -2 - 1 - 0.58 3 - 1 - 0. 5 j 1)S(S 2)(S G(S)H(S) K 2)1)(SS(S G(S)H(S) K 1)S(S G(S)H(S) K m=0 n=2: P1=0,P2= -1,P3=-2 m=1:Z1 = -2 n=2: P1=0, P2= -1 m=0 n=2: P1=0,P2= -1 1）增加开环极点后，闭环根轨迹的增加开环极点后，闭环根轨迹的 分支数增加，渐近线增加，轨迹将分支数增加，渐近线增加，轨迹将 向右移动，向右移动，不利于不利

35、于系统的性能；系统的性能； 2 2）增加开环零点后，闭环根轨迹的）增加开环零点后，闭环根轨迹的 分支数不变，渐近线减少，轨迹将分支数不变，渐近线减少，轨迹将 向左移动，向左移动，有利于有利于系统的性能。系统的性能。 4 4、比较之后得出结论比较之后得出结论 例例 系统开环传递函数系统开环传递函数 )4)(2( )(* )()( 1 sss zsK sHsG 3 1 z1 1 z 1 z 0 j 1 p 3 p 2 p 3 s 2 s 1 s 0 j 3 s 3 p 2 p 1 p 2 s 1 s 1 z n n 2 ) 附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外，附加开环零点的目的，除了改善系

36、统稳定性之外， 还可以改善系统的动态性能。还可以改善系统的动态性能。P156 以上两幅图，附加零点分别为以上两幅图，附加零点分别为3、1， 从相对稳定性来看：（从相对稳定性来看：（b)优于（优于（a） 从动态性能来看：（从动态性能来看：（a)优于优于(b)。 （a）图：主导极点可为共轭复数，闭环系）图：主导极点可为共轭复数，闭环系 统可近似为一个二阶振荡系统；统可近似为一个二阶振荡系统； （b）图：闭环主导极点为实数极点，系）图：闭环主导极点为实数极点，系 统等价为一阶系统。统等价为一阶系统。 2 ) 附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外，附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外， 还

37、可以改善系统的动态性能。还可以改善系统的动态性能。 1 z 0 j 1 p 3 p 2 p 3 s 2 s 1 s 0 j 3 s 3 p 2 p 1 p 2 s 1 s 1 z n n 结论：只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置结论：只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置 选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同时选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同时 得到明显的改善。得到明显的改善。 反馈控制系统的根轨迹分析 根轨迹法分析系统的一般步骤：根轨迹法分析系统的一般步骤： 绘制系统的根轨迹图； 分析根轨迹图，估计系统增益 对闭环零、 极点分布的影响； 根据闭环零、极点的分布估算

38、系统暂态响 应指标； 对高阶系统要尽可能准确地找出它的闭环 主导极点。 1 K 4-4 根轨迹分析根轨迹分析 P156 一一 闭环零、极点与系统的阶跃响应闭环零、极点与系统的阶跃响应 1.闭环零、极点的分布闭环零、极点的分布 如果一个系统的根轨迹绘制出后，可以利用如果一个系统的根轨迹绘制出后，可以利用 幅值条件，求出对应幅值条件，求出对应k的全部闭环极点。的全部闭环极点。 一般可用试探法。一般可用试探法。 下面举例说明：下面举例说明： aa 2 12 .( )( ) (1)(2) . : 1 60 , 180 , 300 111 0 12 3620 0.423 1.577( k G S H S

39、 S SS ddd dd dd 例已知某负反馈系统开环传函为 试画出其根轨迹 解 舍) 0-2-1 当当 k=1.05时，求轨迹上系统所有的闭环极点时，求轨迹上系统所有的闭环极点 2)1)(SS(S G(S)H(S) K 由幅值条件 1 | | 1 m 1 k ps zs i n i i i 05.1 1 |2|1|0| 1 sss 即：即： 满足该式的有三个根，分别分布在三条轨迹上满足该式的有三个根，分别分布在三条轨迹上 先用试探法求出实根先用试探法求出实根S1= -2.34 再利用再利用“根之和根之和”确定另外两个根的实部，确定另外两个根的实部， S1 S2 S3 P1 P2 P3 最后，

40、确定虚部最后，确定虚部 得到，当得到，当k =1.05时，对应的三个闭环极点是时，对应的三个闭环极点是 S12.34 S2= -0.33+0.58j S3 = -0.33- 0.58j -2-1 0 S2 S 3 S1 S12.34 S2= -0.33+0.58j S3 = -0.33-0.58j 2.根轨迹与系统性能之间的关系根轨迹与系统性能之间的关系 我们已知二阶系统闭环极点与系统响应之间的关系我们已知二阶系统闭环极点与系统响应之间的关系 ： 对于高阶系统来说同样适用，总结如下：对于高阶系统来说同样适用，总结如下： S2 S 3 S1 闭环传递函数 闭环特征方程为： 其特征根即为闭环传递函

41、数的极点为 02 22 nn wsws 1 2 2, 1 nn wws 22 2 2 )( nn n wsws w s 1 s 2 s n w 0 )(a 1.当当0 11时，特征方程具有两个不相等的时，特征方程具有两个不相等的 负实根，称为过阻尼状态。（如图负实根，称为过阻尼状态。（如图c c） 1 s 2 s 0 )(d 4.4.当当=0=0时，系统有一对共轭纯虚根，系统时，系统有一对共轭纯虚根，系统 单位阶跃响应作等幅振荡，称为无阻尼或零单位阶跃响应作等幅振荡，称为无阻尼或零 阻尼状态。（如图阻尼状态。（如图d d） 0200400600800100012001400 0 0.2 0.4

42、 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 =0=0 1 1 0 1 轨迹与系统的时间响应：轨迹与系统的时间响应： 根轨迹全部在虚轴的左面，则系统的时间响应是收敛根轨迹全部在虚轴的左面，则系统的时间响应是收敛 的，即系统是稳定的；轨迹与虚轴的交点为临界稳定的，即系统是稳定的；轨迹与虚轴的交点为临界稳定 ，对应的参数，对应的参数K的值为系统稳定的临界值。的值为系统稳定的临界值。 根轨迹在实轴上，则系统的响应为过阻尼状态，是非根轨迹在实轴上，则系统的响应为过阻尼状态，是非 振荡的，永远不会超过稳态值，系统无超调；振荡的，永远不会超过稳态值，系统无超调； 轨迹在实轴上的分离（汇合）点，

43、表明系统有两个相轨迹在实轴上的分离（汇合）点，表明系统有两个相 等的实根等的实根(=1) ，此时系统为临界阻尼状态。，此时系统为临界阻尼状态。 不在实轴上的根轨迹区域，所对应的系统闭环极点为不在实轴上的根轨迹区域，所对应的系统闭环极点为 共轭复根，此时系统响应为振荡状态，系统有超调现共轭复根，此时系统响应为振荡状态，系统有超调现 象。象。 二、利用主导极点估算高阶系统的利用主导极点估算高阶系统的 动态性能指标动态性能指标 1 主导极点的由来：主导极点的由来： 2 主导极点的概念：主导极点的概念： 3 利用主导极点估算性能指标：利用主导极点估算性能指标： 欠阻尼情况欠阻尼情况 当当0 1,二阶系

44、统的闭环特征根为二阶系统的闭环特征根为 Wn无阻尼振荡频率或固有频率，也叫自然振无阻尼振荡频率或固有频率，也叫自然振 荡频率。荡频率。 为阻尼振荡频率 衰减系数 2 2 2, 1 1 1 nd n dnn ww w jwjwws 当系统输入为单位阶跃信号时，系统的输当系统输入为单位阶跃信号时，系统的输 出量为出量为 )sin 1 (cos1)( )()( 1 1 2 )( 2 2222 22 2 twtweth wws w wws ws s swsws w sC dd tw dn n dn n nn n n 拉氏反变换 曲线曲线： 2 2 ( )1sin() 1 1 arccos w t n

45、d e h tw t arctg h h( (t t) ) t t 0 0 1 1 2 2 , 1 1 nn jwws 根离虚轴越远 系统收敛得越快 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线 是按指数规律衰减到稳定值的，衰减速是按指数规律衰减到稳定值的，衰减速 度取决于特征值实部度取决于特征值实部-w wn n的大小，而的大小，而 衰减振荡的频率，取决于特征根虚部衰减振荡的频率，取决于特征根虚部w wd d 的大小。的大小。 角的定角的定 义义 1 2 1 2 2, 1 1 nn jwws %)2( 4 %)5( 3 n s n s w t w t 调整时间调整时间 2

46、 2, 1 1 nn jwws 也可以证明闭环极点离虚轴越远，系统调整得也可以证明闭环极点离虚轴越远，系统调整得 越快越快 高阶系统的闭环极点有多个，这些闭高阶系统的闭环极点有多个，这些闭 环极点中，离虚轴越远的极点对系统环极点中，离虚轴越远的极点对系统 的响应、性能影响越小；的响应、性能影响越小； 离虚轴越近的极点对系统的动态响应离虚轴越近的极点对系统的动态响应 影响越大，对系统的性能起主导作用影响越大，对系统的性能起主导作用 ，称为主导极点。，称为主导极点。 为了简化，在计算高阶系统的动态性为了简化，在计算高阶系统的动态性 能时，忽略主导极点以外的闭环极点能时，忽略主导极点以外的闭环极点

47、，可以把高阶系统降次为低阶系统。，可以把高阶系统降次为低阶系统。 一般主导极点离虚轴的距离比其他极一般主导极点离虚轴的距离比其他极 点离虚轴的距离的五分之一还小。点离虚轴的距离的五分之一还小。 偶极子：如闭环零、极点之间的偶极子：如闭环零、极点之间的 距离，比它们本身的模值小一个距离，比它们本身的模值小一个 数量级，它们就构成偶极子。远数量级，它们就构成偶极子。远 离原点的偶极子，其影响可忽略离原点的偶极子，其影响可忽略 ；接近原点的偶极子，其影响，；接近原点的偶极子，其影响， 必须考虑。必须考虑。 动态指标的定量估算动态指标的定量估算 例例 系统开环传递函数系统开环传递函数 试用根轨迹法分试用根轨迹法分 析析 系统的稳定性，并计算闭环主导极点具有系统的稳定性，并计算闭环主导极点具有 时的性能指标。时的性能指标。 解：解： ) 15 . 0)(1( )( sss K sG 5 . 0 )0122 1 . 1 2* )2)(1( * )( ，）（，）实轴上的根轨迹：（ ）有三条根轨迹（ 作根轨迹图 KK sss K sG 414. 1 36* 0*3 02 0*23)( )5( )(58. 1423. 0 0263 0 1 2 1 1 1 )4( 1180 160 060 3 ) 12 3