第三章1劳斯判据

1、Page: 1 jik 081 第第3章章 系统的稳定性系统的稳定性 3.1 系统稳定性的初步概念系统稳定性的初步概念 一、几个例子一、几个例子 1单摆单摆 bc o M 2倒立摆倒立摆 o d f 3小球的稳定性小球的稳定性 a b c d e 4液压位置随动系统液压位置随动系统 p o p o p s p1p2 m o x xi q1 q2 阀芯阀芯 活塞活塞 去掉外力后，阀芯在原位去掉外力后，阀芯在原位 不动的情况下，活塞与阀不动的情况下，活塞与阀 体围绕阀芯反复振荡。体围绕阀芯反复振荡。 自由振荡是减幅的自由振荡是减幅的稳定的稳定的； 自由振荡是增幅的自由振荡是增幅的，不稳定的不稳定的

2、。 Page: 2 jik 082 稳定的含义稳定的含义 系统在任何系统在任何足够小的初始偏差足够小的初始偏差作用下，其过渡过程随着作用下，其过渡过程随着 时间时间逐渐衰减并趋于零逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能，具有恢复原平衡状态的性能， 则称系统是稳定的，则称系统是稳定的， 否则系统是不稳定的否则系统是不稳定的。 讨论讨论： (1)线性系统的稳定性取决于系统本身的结构与参数，线性系统的稳定性取决于系统本身的结构与参数， 与输入无关；与输入无关； (2)外力消失后的振荡是由初始偏差造成的外力消失后的振荡是由初始偏差造成的; (3)不稳定现象的发生和系统具有正反馈相关不稳定现象的发生

3、和系统具有正反馈相关; (4)控制理论中仅讨论输入为零，系统仅存有不为零控制理论中仅讨论输入为零，系统仅存有不为零 的初态时的稳定性。的初态时的稳定性。 二二. 稳定的定义和条件稳定的定义和条件 1稳定的定义稳定的定义 若系统零输入响应随时间逐渐衰减并趋向于零若系统零输入响应随时间逐渐衰减并趋向于零(即回即回 到平衡位置到平衡位置)。则称该系统是稳定的；反之，若系统。则称该系统是稳定的；反之，若系统 的零输入响应发散，则系统是不稳定的。的零输入响应发散，则系统是不稳定的。 Page: 3 jik 083 2稳定性条件稳定性条件 )()()( o01 1 1 txtxapapapa i n n

4、n n 自由响应，即线性齐次方程的通解自由响应，即线性齐次方程的通解 ts n i io i eAtx 1 1 )( 稳定条件：稳定条件：（Re si 0 (i=0,1,2,n)） 稳定稳定: 传函传函G(s)的全部极点位于复平面左半平面的全部极点位于复平面左半平面; 不稳定不稳定: 只要有一个极点位于复平面右半平面；只要有一个极点位于复平面右半平面； 临界稳定临界稳定: 若有部份极点位于虚轴上若有部份极点位于虚轴上， 其余极点全位于左半平面其余极点全位于左半平面。 注意：注意： (1)若有根若有根 si=0，系统为积分环节，仍属稳定；，系统为积分环节，仍属稳定； (2)线性系统稳定与否，只决

5、定于特征方程的根线性系统稳定与否，只决定于特征方程的根 si， 初态只决定初态只决定 e st 的系数的系数 三、李亚普诺夫三、李亚普诺夫()意义下的稳定性意义下的稳定性 Page: 4 jik 084 11892年，发表了博士论文 论运动稳定性的一般问题论运动稳定性的一般问题 给出了运动稳定性的科学概念、严格的数学定义、 研究的方法和科学理论体系。 2渐近稳定性。渐近稳定性。 3.2劳斯稳定性判据(代数判据) 一一.劳斯（劳斯（Routh）判据）判据 1系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件 系统的特征方程系统的特征方程) (s D= n ns a+ 1 1 n n sa+ +sa1+ 0 a

6、=0 系统稳定的系统稳定的必要条件必要条件 (1)各项系数各项系数ai (i=0,1,2,n)都不为零；都不为零； (2)各项系数符号都相同，各项系数符号都相同， ai 0 (i=0,1,2,n) 说明：说明：)( 1 ss )( 2 ss )( n ss =0， i s0，a10，a00 (必要条件与充要条件合一必要条件与充要条件合一)。 三阶系统 3 3s a+ 2 2s a+sa1+ 0 a=0 3 s 3 a 1 a0 2 s 2 a 0 a 0 1 s 2 0312 1 a aaaa A 0 0 0 s 1 01 1 0 A aA B = 0 a 00 Page: 8 jik 088

7、 三阶系统稳定的充要条件三阶系统稳定的充要条件， 必要条件必要条件+中间两项系数之积大于前后两项系数之积。中间两项系数之积大于前后两项系数之积。 2 3 s+4 2 s+3s+10=0 2 3 s+4 2 s+3s10=0 三谢绪恺判据三谢绪恺判据 必要条件：必要条件： 211 iiii aaaa 充分条件：充分条件： 211 3 1 iiii aaaa 211 465. 0 iiii aaaa Page: 9 jik 089 例例1：判断判断 4 s+K 3 s+ 2 s+s+1=0 K取何值时系统稳定。取何值时系统稳定。 4 s 1 1 1 3 s K 0 1 2 s 1 A= K K1

8、2 A=1 0 s 1 B= 1 1 A KA = 1 1 2 K KK 2 B=0 0 0 s 1 C=1 若系统稳定，要求 (1)K0， 由(2) K1，要求 (3) K(K1)+10，(3)K1K20 Page: 10 jik 0810 例例2：说明如图所示系统的稳定条件说明如图所示系统的稳定条件 + Xi ( ) s Xo ( ) s Ts -1 Ts+1Ts -1 K 解：解：求出闭环传递函数求出闭环传递函数 (s)1 )( )( G sG sGB 1 1 1 Ts K Ts K KTs K 1 特征方程特征方程 Ts+(1+K)=0 要求， 01 0 K T ，稳定条件 1 0 K

9、 T 四四. 特殊情况特殊情况 1若第一列的某元为零若第一列的某元为零,则用小正数则用小正数代替代替 例例1:s4+2s3+s2+2s+1=0s4 1， 1， 1 s3 2， 2， 0 s2 00， s 0 22 ， （） s0 1 () 改变符号两次。系改变符号两次。系 统不稳定，且有两统不稳定，且有两 个具有正实部的根个具有正实部的根。 1， 0 () Page: 11 jik 0811 例例2 s3+2s2+s+2=0 s3 1， 1 s2 2， 2 s 0 0， 0 s0 2 上下两行符号不变，说明有虚根存在， 系统临界稳定临界稳定。 0312 aaaa=22=0， 故临界稳定 2若某

10、一行全为零，则用该行的上一行构成辅助若某一行全为零，则用该行的上一行构成辅助 多项式，用该辅助多项式的导数方程的系数组成多项式，用该辅助多项式的导数方程的系数组成 一行，以代替为零的一行，继续计算一行，以代替为零的一行，继续计算。 Page: 12 jik 0812 例例 6 s+2 5 s+8 4 s+12 3 s+20 2 s+16s+16=0 s6 1， 8， 20， 16 s5 2 ， 12 ， 16 ， 0 1， 6， 8， 0 s4 2 ， 12 ， 16 ， 0 1， 6， 8， 0 s3 0， 0， 0， 0 用全为零的上一行构成的辅助多项式用全为零的上一行构成的辅助多项式 s

11、4+6s2+8=0， 求导求导:4s3+12s=0。 s3 4， 12， 0 , 0 s2 3， 8， 0, 0 s 4/3， 0， s0 8， 0 Page: 13 jik 0813 小结小结 1.稳定的必要条件稳定的必要条件ai 0； 2.稳定的充分条件稳定的充分条件 劳斯表的第一列各元大于零。劳斯表的第一列各元大于零。 劳斯表的列法。劳斯表的列法。 3.三阶系统：三阶系统： a2a1a3a0 4.特殊情况的处理特殊情况的处理：第一列某元为零；某一行全为零第一列某元为零；某一行全为零 作业 复习 P76P81,预习：P85P91.习题 3.1 有根在虚轴上，有根在虚轴上，系统临界稳定系统临界稳定。 由辅助多项式方程 s4+6s2+8=0， 0)2)(4( 22 ss 解之 js2 2, 1 ，js2 4, 3 。 Page: 14 jik 0814 提纲提纲 第第3章章 系统的稳定性系统的稳定性 3.1 系统稳定性的初步概念系统稳定性的初步概念 一、几个例子一、几个例子 1单摆单摆 2倒立摆倒立摆 3小球的稳定性小球的稳定性 4液压位置随动系统液压位置随动系统 二二. 稳定的定义和条件稳定的定义和条件 1稳定的定义稳定的定义 2稳定性条件稳定性条件 三、李亚普诺夫三、李亚普诺夫()意义下的稳定性意义下的稳定性 3.2劳斯稳定性判据(代数判据) 一一.劳斯（劳斯