断裂力学讲义Ch5_3

1、第五章：第五章：J J积分和积分和M M积分积分 J积分积分 HRR场场 J积分的实验测量和数值计算积分的实验测量和数值计算 讨论讨论 M积分积分 断裂力学中的三个守恒积分断裂力学中的三个守恒积分 J. K. Knowles, Eli Sternberg, On a class of conservation laws in linearized and finite elastostatics. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 44, 187-211 (1972). , Jwnt ud , Mwx nt ux d B. Budians

2、ky and J. R. Rice, Conservation laws and energy-release rates. Journal of Applied Mechanics, 40, pp. 201-203 (1973). J积分积分 M积分积分 3, Lwx nt ut uxd L积分积分 Knowles-Sternberg 1 J 2D（线积分）（线积分） 能量释放率（缺陷相互作用缺陷相互作用） Physical meaning J-integral: energy change associated with rigid translation of defects. L-in

3、tegral: energy change associated with rigid rotation of defects. M-integral: energy change associated with self-similar expansion of defects. 22 th GbG a 晶体材料的理论强度与实测强度晶体材料的理论强度与实测强度 为什么？为什么？ exp 100 MPa 1GPa 1030 th GE 位错位错 1905年提出Volterra模型描述位错 1934提出并发展位错理论成功解释塑性变形 Vito Volterra Geoffrey Ingram T

4、aylor Michael Polanyi Egon Orowan 刃刃位错（位错（edge dislocation）b Burgers矢量矢量 l 线矢量（垂直于纸面）线矢量（垂直于纸面） 刃位错刃位错滑移滑移（slip） b l 刃位错刃位错攀攀移（移（climb） q 刃位错刃位错攀攀移移需需要空位扩散（即增加或减少空位）辅助，要空位扩散（即增加或减少空位）辅助， 是一种非守恒的运动模式是一种非守恒的运动模式； q 刃位错攀刃位错攀移在垂直于滑移面的方向上；移在垂直于滑移面的方向上； q 刃位错攀刃位错攀移过程涉及到割接（移过程涉及到割接（jog）的形成和运动。）的形成和运动。 刃位错的

5、位移场与应力场刃位错的位移场与应力场 22 212 112 22 12 3 21 Gbxxx xx 22 212 222 22 12 21 Gbxxx xx 22 112 122 22 12 21 Gbxxx xx 2 33 22 12 1 Gb x xx 平面应变平面应变 平面应力（平面应力（情况？情况？） 212 1 22 1 12 arctan 22 1 xx xb u xxx 22 22 12 212 22 12 1 2 log 24 14 1 xxb uxx xx 位移场位移场 应力场应力场 螺位螺位错（错（screw dislocation） b Burgers矢量矢量 l 线矢量

6、线矢量 b / l 2 1331 22 12 2 Gbx xx 2 3 1 arctan 2 xb u x 位移场位移场 应力场应力场 1 2332 22 12 2 Gbx xx 复合位错（复合位错（mixed dislocation） Peierls-Nabarro应力（晶格对于位错运动的阻力）应力（晶格对于位错运动的阻力） 22 exp 1 PN Gw b w 位错芯宽度位错芯宽度 Orowan方程方程 bv 位错位错密密度度 v 位错运动平均速度位错运动平均速度 晶体材料的塑性变形是由于（具有一定位错密度）晶体材料的塑性变形是由于（具有一定位错密度）位错运动位错运动造成的。造成的。 给出

7、了宏观塑性变形和微观位错运动之间的关联。给出了宏观塑性变形和微观位错运动之间的关联。 Peach-Koehler力（外在应力场对于位错的作用力）力（外在应力场对于位错的作用力） PK F bl 晶体材料中的位错晶体材料中的位错 位位错应力场错应力场 量纲分析量纲分析 ij k ijk b F Gr 平衡方程平衡方程 0 ij j x cossin , sincos eh , he eh , i i ii hr e xxr 0 ijijj j h e rr ijij rr 0 ijjijj hh rr 0 ijj h 2 ikk iijj b th r （1） （2） （3） （3） （2） i

8、k材料常数矩阵材料常数矩阵 螺位错螺位错 2 ikk iijj b th r 3 1331 sin 2 Gb r 3 2332 cos 2 Gb r 3 33 2 kk jj b th r 132333 0, 4 G Burger矢量沿矢量沿x3方向方向 刃刃位错位错 1 212223 ,0 21 Gb r 112131 ,0 41 G 2 221223 ,0 21 Gb r 221232 ,0 41 G 各向同性材料各向同性材料 00 41 00 41 00 4 ij G G G 各向同性材料中位错的弹性应变能各向同性材料中位错的弹性应变能 00 2 RR ikk ijjii rr b Uh

9、u drbdr r ii ub:01 0 1 00 2 ln R ikk iikik r bR UUbd drbb rr i i C u dsb s r0 位错芯半径位错芯半径 位错的位错的J积分积分 d ijijij d ijijij , 11 22 1111 2222 11 22 dd ijijijijijij dddd ijijijijijijijij ddd ijijijijiji j w u , , dd jkjjkjkjj dddd jkjjkjjkjjkj uuu uuuu , , jj C ddd iji jjkjkjkjk c Jwnt uds u nununds 0 d j

10、kk c n ds 位位错自平衡错自平衡 , dd iji jjkjk c Ju nunds =1 1,1,12,22,112 dddd iji jjkjkjjjjj cc Ju nu ndsudxu dxb 能量力（能量力（Energetic forceEnergetic force） 【作业题作业题5-7】按照讲义中的推导，求解按照讲义中的推导，求解J2的表达式，并仿照讲的表达式，并仿照讲 义中的解释，尝试说明义中的解释，尝试说明J2的物理意义（针对于不同的的物理意义（针对于不同的Burgers矢矢 量）。量）。 M积积分分 eii Uw sx ndswx ndsM M-integral:

11、 energy change associated with self-similar expansion of defects. 对于一个孔洞对于一个孔洞 ii Mwx nds 代表与孔洞自相似生长相关的能量释放率代表与孔洞自相似生长相关的能量释放率 M 对于闭合路径（不含具有奇异性的缺陷），对于闭合路径（不含具有奇异性的缺陷），M积分为零积分为零 证明过程？证明过程？ , 0 ijkkj ii C Mwnn ux ds M积分是路径无关的守恒积分。积分是路径无关的守恒积分。 推导推导过过程程 , , , , , , , 2 iiiiii i i CAA jk i jkiA jkj kiij

12、kj k A jkj kiij ii k A jkj iijkj ii kk AA jkj iik C wn x dswxdAw xwxdA w xw dA x uxudA uxu xdA u xdAu xdA u x n ds , 0 jk k jk jk w jkkj 裂裂纹的纹的M积分积分 位错的位错的M积分积分 , 0 ijkkj ii C Mwnn ux ds ,ijkkj iiijij C Mwnn ux dsbb 【作业题作业题5-8】 【作业题作业题5-9】 0 ln ikik R Ubb r 0 0 00 ikik rU Urbb rr 0 0 r UM r M积积分可以反映

13、分可以反映1/r的奇异性。的奇异性。 位错之间的相互作用位错之间的相互作用 同号位错（同号位错（Burger矢量同方向）矢量同方向） 224 ijijijij Mbbbb 1 ijij Mbb 2 2 ,11ijj iiiijij Mwnt uxdsJbb 注意注意 12 MMM 1 2 ijij bb J 1 0J 排斥排斥 异号位错（异号位错（Burger矢量反方向）矢量反方向） 0M 12 MMM 1 2 0 ijij bb J 吸引吸引 为什么？为什么？ 位错与裂纹的交互作用位错与裂纹的交互作用 0M 1 0M 2 ijij MJbb 注意注意 12 MMM 取无穷大的闭合围道，可看作

14、位错被取无穷大的闭合围道，可看作位错被 裂纹吸收裂纹吸收 围绕裂尖的闭合围道围绕裂尖的闭合围道 围绕位错的闭合围道围绕位错的闭合围道 ijij Jbb 裂纹表面对位错有吸引作用，称为镜像力（裂纹表面对位错有吸引作用，称为镜像力（Image force）。）。 晶体材料的韧脆转变晶体材料的韧脆转变 考虑一个考虑一个II型裂纹，裂尖前方有一位错型裂纹，裂尖前方有一位错b1=b 脆性脆性韧性韧性 裂纹解裂纹解 理断裂理断裂 裂尖发射位错，裂尖发射位错， 裂纹变钝裂纹变钝 相互竞争相互竞争 ijij Jbb 2 11 1 1 1 41 bbGb J 裂纹对位错的镜像力裂纹对位错的镜像力 由于裂尖弹性场

15、对位错的作用力（由于裂尖弹性场对位错的作用力（Peach-Koehler力）力） 2 dis II PK Kb f JR Rice and RM Thomson, Ductile vs. Brittle Behavior of Crystals, Philosophical Magazine, 29, 1974, 73-97. 位错处于力平衡位错处于力平衡 2 1 412 dis II netPK KbGb ffJ ,0 crnet f cr b Rice-Thomson模型假设模型假设 裂尖发射位错裂尖发射位错 2 21 dis II G b K Griffith理论给出了裂纹解理断裂时理论

16、给出了裂纹解理断裂时 2 1 crack II G K 材料表现为韧性材料表现为韧性 crackdis IIII KK 321 Gb 利用利用M积分计算应力强度因子积分计算应力强度因子 2 2 2 411 GHGH M 1 22 1 1 I K MLJL E 1 MM 2 1 I GH K L 注意注意 附： 通过位错叠加可以是描述一个裂纹 Johannes WeertmanJulia Weertman 作作 业业 题题 【作业题作业题5-7】按照讲义中的推导，求解对于位错的按照讲义中的推导，求解对于位错的J2积分的表积分的表 达式，并仿照讲义中的解释，尝试说明达式，并仿照讲义中的解释，尝试说明J2的物理意义（针对于的物理意义（针对于 不同的不同的Burgers矢量）。矢量）。 22,2jj C Jwnt uds 作作 业业 题题 【作业题作业题5-8】证明对于证明对于I型裂纹，其闭合路径上的型裂纹，其闭合路径上的M积分为零。积分为零。 （提示：可取一个包围裂尖的圆形路径）（提示：可取一个包围裂尖的圆形路径） , 0 ijkkj ii C Mwnn ux ds 【作业题作业题5-9】证明对于位错，其闭合路径上的证明对于位错，其闭合路径上的M积分为如