第一章 晶体结构

1、钻石常见晶形 (立方体、八面体) 绿柱石常见晶形 (六方柱) 可以表示为一个二阶张量：可以表示为一个二阶张量： 电位移分量电位移分量 立方对称的晶体立方对称的晶体： 对角张量对角张量 所以：所以： 介电常数可以看作一个简单的标量。介电常数可以看作一个简单的标量。 例：以介电常数为例分析晶体各向同、异性。例：以介电常数为例分析晶体各向同、异性。 张量：张量： 将坐标轴选取在六角轴和垂直于六角轴的平面内将坐标轴选取在六角轴和垂直于六角轴的平面内. 介电常数的形式：介电常数的形式： 正是由于六角晶体的介电性的差别，而具有双折射正是由于六角晶体的介电性的差别，而具有双折射 现象。而立方晶体的光学性质则

2、是各向同性的。现象。而立方晶体的光学性质则是各向同性的。 六角对称的晶体六角对称的晶体： 周期排列（布拉伐格子）是所有晶体的共同性质，而周期排列（布拉伐格子）是所有晶体的共同性质，而 正是在原子周期排列基础上，产生了不同晶体所特有正是在原子周期排列基础上，产生了不同晶体所特有 的各式各样的宏观对称性。的各式各样的宏观对称性。 一、正交变换一、正交变换 要描述一个几何图形的对称性，一般采用几要描述一个几何图形的对称性，一般采用几 何变换的方法。何变换的方法。 例：比较以下图形的对称性。例：比较以下图形的对称性。 (c) 等腰梯形等腰梯形 (b) 正方形正方形 (a) 圆圆 (d) 不规则四边形不

3、规则四边形 从旋转角度看：从旋转角度看： 过中心的轴过中心的轴 （a） (a)(a) 旋转任何角度旋转任何角度 (b)(b)旋转旋转/2/2、3/23/2角度角度 （b） (c)(c)旋转旋转22角度角度 (d)(d)旋转旋转22角度角度 （c） （d） 按一直线作左右反射按一直线作左右反射 (a)(a)任意直径任意直径 (b)(b)只对边中心联线和对角线只对边中心联线和对角线 (c)(c)对两底边中心联线对两底边中心联线 (d) (d) 不存在不存在 AB CD 几何变换中都保持任意两点间的距离不变几何变换中都保持任意两点间的距离不变 正交变换正交变换 （a） （d） 正交变换正交变换在几何

4、变换中若任意两点间的距离不变，在几何变换中若任意两点间的距离不变， 称这种变换为正交变换。在数学上可用正交矩阵表示。称这种变换为正交变换。在数学上可用正交矩阵表示。 在三维情况下，正交变换表示为：在三维情况下，正交变换表示为： 对正交矩阵对正交矩阵 AAI 1A 绕绕z 轴转轴转角的正交矩阵：角的正交矩阵： 中心反演的正交矩阵：中心反演的正交矩阵： 平面反映的正交矩阵：平面反映的正交矩阵： 100 010 001 几种最基本操作几种最基本操作 转动：转动： 中心反演：中心反演： 平面反映：平面反映： 一个物体在某一个一个物体在某一个正交变换正交变换下下保持不变保持不变，则，则 称这个正交变换为

5、物体的一个对称操作。称这个正交变换为物体的一个对称操作。 物体的对称操作越多，其对称性越高。物体的对称操作越多，其对称性越高。 当一个变换为当一个变换为空间转动空间转动，矩阵行列式等于，矩阵行列式等于+1； 变换为空间转动加中心反演，矩阵行列式等于变换为空间转动加中心反演，矩阵行列式等于-1。 二、晶体的对称操作二、晶体的对称操作 点：对称中心；线：对称轴；面：对称面。点：对称中心；线：对称轴；面：对称面。 1) 绕立方轴转动：绕立方轴转动： 3 , , 22 共有共有9 个对称操作；个对称操作； 有有3个立方轴个立方轴 2) 绕面对角线轴转动绕面对角线轴转动 共有共有6 个对称操作；个对称操

6、作； 有有6 条不同的面对角线条不同的面对角线 3) 绕立方体对角线轴转动绕立方体对角线轴转动 24 , 33 共有共有8 个对称操作；个对称操作； 有有4 条不同的体对角线条不同的体对角线 4) 不动也是一个对称操作；不动也是一个对称操作； 5) 以上以上24 个对称操作加中心反演仍是对称操作个对称操作加中心反演仍是对称操作 立方体的对称操作共有立方体的对称操作共有48 个。个。 正四面体的对称操作包含在立方体操作之中。正四面体的对称操作包含在立方体操作之中。 1) 绕三个立方轴转动：绕三个立方轴转动： 共有共有3 个对称操作；个对称操作； 2) 绕绕4 个立方体对角线轴转动个立方体对角线轴

7、转动 24 , 33 共有共有8 个对称操作；个对称操作； 3) 不动也是一个对称操作；不动也是一个对称操作； 4) 绕三个立方轴转动绕三个立方轴转动 3 , 22 后加上后加上中心反演，中心反演， 共有共有6 个对称操作；个对称操作； 5）绕）绕6 条面对角线轴转动条面对角线轴转动后后 加上加上中心反演中心反演， 共有共有6 个对称操作；个对称操作； 正四面体的对称操作共有正四面体的对称操作共有24 个。个。 1) 绕中心轴线转动：绕中心轴线转动： 245 , , 3333 共有共有5 个对称操作；个对称操作； 2) 绕对棱中点连线转动绕对棱中点连线转动， 共有共有3 个对称操作；个对称操作

8、； 3) 绕相对面中心连线转动绕相对面中心连线转动， 共有共有3 个对称操作；个对称操作； 4) 不动也是一个对称操作；不动也是一个对称操作； 5) 以上以上12 个对称操作加中心反演仍是对称操作个对称操作加中心反演仍是对称操作 因此正六角柱的对称操作共有因此正六角柱的对称操作共有24 个。个。 为简洁明了地概括一个物体的对称性，不去一一列举为简洁明了地概括一个物体的对称性，不去一一列举 所有的对称操作，而是描述它所具有的所有的对称操作，而是描述它所具有的“对称素对称素”。 对称素就是一个物体的旋转轴，以及旋转反演轴。对称素就是一个物体的旋转轴，以及旋转反演轴。 一个物体绕某一个转轴转动一个物

9、体绕某一个转轴转动 加上加上 的联合操作，以及其联合操作的倍数不变时，称的联合操作，以及其联合操作的倍数不变时，称 该轴为物体该轴为物体 2 n 2 n n 立方体立方体 立方轴立方轴（ ）为）为4 重轴，记为重轴，记为4； 同时也是同时也是4 重旋转反演轴，记为重旋转反演轴，记为 3 , , 22 4 面对角线面对角线（ ）为）为2 重轴，记为重轴，记为2； 同时也是同时也是2 重旋转反演轴，记为重旋转反演轴，记为 2 体对角线轴体对角线轴（ ）为）为3 重轴，记为重轴，记为3； 同时也是同时也是3 重旋转反演轴，记为重旋转反演轴，记为 3 24 , 33 4重旋转反演轴重旋转反演轴 立方轴

10、立方轴是是4 重旋转反演轴，但不是重旋转反演轴，但不是4 重轴；重轴； 面对角线面对角线是是2 重旋转反演轴，但不是重旋转反演轴，但不是2 重轴；重轴； 体对角线轴体对角线轴是是3 重轴，但不是重轴，但不是3 重旋转反演轴重旋转反演轴. 4 2 3 3 , 22 含义含义：先绕轴转动先绕轴转动，再作中心反演，再作中心反演. 2 A点实际上是点实际上是A点在通过中点在通过中 心垂直于转轴的平面心垂直于转轴的平面M 的的 镜像，表明对称素镜像，表明对称素 存在存在 一个对称面一个对称面M。 2 所以称所以称对称素对称素 为镜为镜 2 面面，用，用 表示。表示。 ,m or 一个物体的全部对称操作构

11、成一个对称操作群。一个物体的全部对称操作构成一个对称操作群。 群的基本知识：群的基本知识： 数学上，群代表一组数学上，群代表一组“元素元素”的集合，的集合， GE,A,B,C,D这些这些“元素元素”被赋予一定的被赋予一定的“乘乘 法法则法法则”，满足下列性质：，满足下列性质： 集合集合G 中任意两个元素的中任意两个元素的“乘积乘积”仍为集合内的元仍为集合内的元 素，素， 即，若即，若A, B G, 则则AB=C G. 叫做叫做群的封闭性群的封闭性。 3) 对于任意元素对于任意元素A, 存在逆元素存在逆元素A-1, 有：有：AA-1=E 2) 存在单位元素存在单位元素E, 使得所有元素满足：使得

12、所有元素满足：AE = A 4) 元素间的元素间的“乘法运算乘法运算”满足结合律：满足结合律：A(BC)=(AB)C 群的基本知识：群的基本知识： 几个简单的群，例子几个简单的群，例子 1) 所有正实数所有正实数(0 除外除外)的集合，以普通乘法为运的集合，以普通乘法为运 算法则，组成正实数群。算法则，组成正实数群。 2) 所有整数的集合，以加法为运算法则，组成整数群。所有整数的集合，以加法为运算法则，组成整数群。 一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义 运算法则：连续操作。运算法则：连续操作。 单位元素：单位元素：不动操作不动操作 任意元素的任意

13、元素的逆元素逆元素：绕转轴：绕转轴角度，其逆操作为绕角度，其逆操作为绕 转轴转轴- 角度；中心反演的逆操作仍是中心反演。角度；中心反演的逆操作仍是中心反演。 说明：连续进行说明：连续进行A 和和B 操作，相对于操作，相对于C 操作操作 A 操作：绕操作：绕OA 轴转动轴转动 2 B 操作：绕操作：绕OC 轴转动轴转动 2 上述操作中上述操作中S 和和O 没动，而没动，而T 点转动到点转动到T点。点。 2 3 表示为：表示为： C = BA 群的封闭性群的封闭性 S T S T P T 可以证明：可以证明：A(BC)=(AB)C 满足结合律满足结合律 连续进行连续进行A 和和B 操作操作: P

14、OA绕 操作A OC B操作 绕 相当于一个操作相当于一个操作C：绕：绕OS 轴转动轴转动 五五 立方对称晶体的介电系数立方对称晶体的介电系数 选取选取X，Y，Z 轴为立方体的三个立方轴方向轴为立方体的三个立方轴方向 假设假设电场电场E沿沿Y 轴轴方向：方向： 表示沿表示沿X，Y，Z 轴的分量轴的分量 可以写成：可以写成： 现将晶体和电场同时绕现将晶体和电场同时绕Y 轴转动轴转动 2 也作相应的转动也作相应的转动 ( )x z ( )y y ()zx 该转动的实施，电场没有变，同时又是一个对称该转动的实施，电场没有变，同时又是一个对称 操作，晶体转动前后没有任何差别。操作，晶体转动前后没有任何

15、差别。 应有：应有： 得到：得到： 和和 表明：表明： 同样如果电场沿同样如果电场沿Z 方向，晶体和电场绕方向，晶体和电场绕Z 轴转动轴转动 2 可以得到：可以得到： 所以所以 0 xzyz 同样如果电场沿同样如果电场沿X 方向，晶体和电场绕方向，晶体和电场绕X 轴转动轴转动 2 0 yxzx 可以得到：可以得到： 再取电场方向沿再取电场方向沿111方向方向 3 xyz E EEE 则有：则有： , 333 xxxyyyzzz EEE DDD 绕绕111轴转动轴转动2 3 ,zx xy yz 电位移矢量变成：电位移矢量变成： , 333 xzzzyxxxzyyy EEE DDDDDD 实施转动

16、后，电场未变，晶体经历一个对称操作：实施转动后，电场未变，晶体经历一个对称操作： DD 所以：所以： 在立方晶体中：在立方晶体中： 上述结果的另外一种证明方法上述结果的另外一种证明方法 设对称操作对应的正交变换：设对称操作对应的正交变换： 111213 212223 313233 aaa Aaaa aaa 1 AA 介电常数：介电常数： 111213 212223 313233 在坐标变换下在坐标变换下, ,二阶张量变换规律为：二阶张量变换规律为： 1 A A A A 因为因为A 为对称操作：为对称操作： 对于立方晶体：选取对称操作对于立方晶体：选取对称操作A 为绕为绕Z 轴旋转轴旋转 2 1

17、11213 212223 313233 cossin0 22 010 sincos0100 22 001 001 aaa Aaaa aaa 分量形式分量形式 进一步选择其它的对称操作，最后得到：进一步选择其它的对称操作，最后得到： 对于对于n n 阶张量形式的物理量，其系数可以用阶张量形式的物理量，其系数可以用n n 阶张量阶张量 来表示：来表示： 在坐标变换下：在坐标变换下： 如果如果A 为对称操作：为对称操作： 这样可以简化这样可以简化n 阶张量。阶张量。 描述晶体周期性的布拉伐格子：描述晶体周期性的布拉伐格子： 1 12233 l al al a 经历对称操作后晶体不变，相应的布拉伐格子

18、也不变。经历对称操作后晶体不变，相应的布拉伐格子也不变。 设想有一个对称轴垂直于平面，平面内晶面的格点可设想有一个对称轴垂直于平面，平面内晶面的格点可 以用以用 来描述来描述. 1 122 l al a 1 a 1 a 11 /,B AaB Aa B Am AB 是的 整 数 倍 ABNAB aABaAB 1 1 ,/的整数倍是 12 c o s 12 c o s BAA B m 即 cos21 cos21 n ABAB 或 n 2 任何晶体的宏观对称性只能有以下任何晶体的宏观对称性只能有以下10种对称素：种对称素： 1,2,3,4,6 1,2,3,4,6 12cosm 二、点群二、点群 由点

19、对称操作组成的对称操作群称为由点对称操作组成的对称操作群称为点群点群。 由对称素组合成群时，对称轴的数目、对称轴之间的由对称素组合成群时，对称轴的数目、对称轴之间的 夹角将受到严格的限制夹角将受到严格的限制. 例如：两个例如：两个2 重轴之间的夹角只能为：重轴之间的夹角只能为： 点对称操作点对称操作：在对称操作过程中：在对称操作过程中至少有一点至少有一点保持不保持不 动。动。 对称素对称素10种：种：1,2,3,4,61,2,3,4,6 证明：证明： 32 种点群种点群 理论证明由理论证明由10 种对称素只能组成种对称素只能组成32 种不同的点群种不同的点群。 即晶体的宏观对称只有即晶体的宏观

20、对称只有32 个不同类型。个不同类型。 C1 ：不动操作，只含有一个元素，表示没有任何对：不动操作，只含有一个元素，表示没有任何对 称性的晶体；称性的晶体； 回转群回转群Cn：只包含一个旋转轴的点群：只包含一个旋转轴的点群： C2， ， C3 ， ， C4 ，C6 ，共，共4 个；下标表示是几重旋转轴个；下标表示是几重旋转轴. Oh群：立方对称的群：立方对称的48个对称操作。个对称操作。 Td群：正四面体的群：正四面体的24个对称操作。个对称操作。 O群：群： Oh群中的群中的24个纯转动个纯转动 T群：群： Td群中的群中的12个纯转动。个纯转动。 Th群：群： T群加中心反演。群加中心反演

21、。 点群与物理性质 从晶体的点群对称性，可以判明晶体有无对映体、旋 光性、压电效应、热电效应、倍频效应等。 旋光性旋光性出现在15种不含对称中心的点群。 热电性热电性出现在10种只含一个极性轴的点群。 压电性压电性出现在20种不含对称中心的点群(432除外)。 倍频效应倍频效应出现在18种不含对称中心的点群。 反过来，在晶体结构分析中，可以借助物理性质的测 量结果判定晶体是否具有对称中心。 物理工程学院物理工程学院 李士玲李士玲 1.7 晶格的对称性晶格的对称性 已证明：由已证明：由32 种点群描述的晶体对称性，对种点群描述的晶体对称性，对 应的只有应的只有14 种布拉伐格子，分为种布拉伐格子

22、，分为7 个晶系个晶系 晶体有一定的宏观对称性，那么布拉伐格子怎样？晶体有一定的宏观对称性，那么布拉伐格子怎样？ 即一个布拉伐格子如果要具有一定的点群，原即一个布拉伐格子如果要具有一定的点群，原 胞基矢应满足怎样的条件？胞基矢应满足怎样的条件？ 如：如：C1,Ci,对对 没任何要求没任何要求 123 ,a a a 的长度和方向完全没有规则的布拉伐格子的长度和方向完全没有规则的布拉伐格子 自成一个晶系，称为自成一个晶系，称为三斜晶系三斜晶系。 123 ,a a a T,Td,Th,和和O,Oh,它们对布拉伐格子的要求相同，它们对布拉伐格子的要求相同， 0 123, 90aaa 一、一、14 种布

23、拉伐格子，种布拉伐格子，7 个晶系个晶系 对称性最高的几个点群：对称性最高的几个点群： 立方晶系立方晶系 二、空间群二、空间群 从微观上看，晶格点阵可视为无穷大，所以从微观上看，晶格点阵可视为无穷大，所以 我们将平移操作包括进来。我们将平移操作包括进来。 平移对称操作平移对称操作 将晶格沿某一方向平移布拉将晶格沿某一方向平移布拉 伐格子的任一格矢伐格子的任一格矢 ，晶体与自，晶体与自 身重合，称为平移对称操作。身重合，称为平移对称操作。 1 2 3 1 12233l l l tl al al a 平移对称群平移对称群布拉伐格子的所有格矢所对应的平布拉伐格子的所有格矢所对应的平 移对称操作的集合

24、。移对称操作的集合。 空间对称操作空间对称操作 ： 点对称操作和平移对称操作结合起来。点对称操作和平移对称操作结合起来。 空间群空间群：使晶体复原的全部平移和点对称操作的集合，：使晶体复原的全部平移和点对称操作的集合， 构成空间群。构成空间群。 简单空间群（简单空间群（or点空间群）点空间群） 由一个平移群和一个点群对称操作组合而成。由一个平移群和一个点群对称操作组合而成。 一般写成一般写成 1 2 3 () l l l R t 共共73个个 简单空间群（简单空间群（or点空间群）点空间群） 复杂空间群复杂空间群 复杂空间群：其中的平移不一定是布拉伐格子的格矢。复杂空间群：其中的平移不一定是布

25、拉伐格子的格矢。 230230个个 332211 alalal 332211 alalal 物理工程学院物理工程学院 李士玲李士玲 58 晶体总是存在着表面，通过了解认识晶体表面的的结晶体总是存在着表面，通过了解认识晶体表面的的结 构，进一步研究晶体表面的性质。构，进一步研究晶体表面的性质。 垂直于晶体表面的方向为垂直于晶体表面的方向为Z 轴，轴，X 和和Y 轴在晶体表面轴在晶体表面 上。晶体在上。晶体在Z 轴方向上的周期性被破坏，而在轴方向上的周期性被破坏，而在 XY 平面内仍然保持着周期性。平面内仍然保持着周期性。 用二维布拉伐格子来表征晶体表面的空间周期性。用二维布拉伐格子来表征晶体表面

26、的空间周期性。 59 二维布拉伐格子：二维布拉伐格子： 1 122 l al a 12 ,a a 为基矢 12 ,l l 为整数 表面是（表面是（100）面时，）面时， 二维布拉伐格子是二维布拉伐格子是 正方格子。正方格子。 1.用二维布拉伐格子来表征晶体表面的空间周期性用二维布拉伐格子来表征晶体表面的空间周期性 例子：晶体内部的布拉伐格子是面心立方例子：晶体内部的布拉伐格子是面心立方 60 在在晶体内部晶体内部物理量如静电势能、电子云密度具有物理量如静电势能、电子云密度具有 三维空间周期性，这些量可以用傅里叶级数展开，三维空间周期性，这些量可以用傅里叶级数展开， 用倒格子空间来表示。用倒格子

27、空间来表示。 表面是（表面是（111）面时，）面时， 二维布拉伐格子是二维布拉伐格子是 密排结构。密排结构。 61 2 晶体表面上物理量具有二维空间周期性，同样可以晶体表面上物理量具有二维空间周期性，同样可以 用二维倒格子空间来表示。用二维倒格子空间来表示。 二维倒格子与二维布拉伐格子的关系满足：二维倒格子与二维布拉伐格子的关系满足： 定义垂直于表面的单位矢量定义垂直于表面的单位矢量 ，有：，有： 3 a 倒格子基矢量倒格子基矢量 62 二维倒格子矢量：二维倒格子矢量： 所有倒格点的集合构成二维倒格子空间。所有倒格点的集合构成二维倒格子空间。 已证明已证明晶体表面二维周期性函数晶体表面二维周期

28、性函数可以展开为傅可以展开为傅 里叶级数，用二维倒格子空间来表示。里叶级数，用二维倒格子空间来表示。 周期性函数展开为傅里叶级数：周期性函数展开为傅里叶级数： 63 3 晶体表面二维晶格的点群表示晶体表面二维晶格的点群表示 由于晶格周期性在由于晶格周期性在Z 轴方向的限制，轴方向的限制， 二维晶格的对称素只有二维晶格的对称素只有6 个。个。 垂直于表面的垂直于表面的n重转轴，重转轴， 1,2,3,4,6n 垂直于表面的镜面反演垂直于表面的镜面反演m 5个个 1个个 由由6 种对称素可以组成种对称素可以组成10 种二维点群种二维点群，按，按 照点群对基矢的要求划分，照点群对基矢的要求划分，二维格

29、子有二维格子有4 个个 晶系晶系，5 种布拉伐格子种布拉伐格子。 64 65 4 晶体表面相晶体表面相 对于晶体表面结构的研究表明，晶体表面的结构对于晶体表面结构的研究表明，晶体表面的结构 不完全是晶体内部相应结构的面的延续。不完全是晶体内部相应结构的面的延续。 用用 表示晶体内部与表面平行的平面基矢，表示晶体内部与表面平行的平面基矢， 晶体表面晶体表面二维晶格基矢为：二维晶格基矢为： 12 aa 与 12 ss aa 与 这两组基矢有可能是不同的这两组基矢有可能是不同的 表面的再构表面的再构。 晶体表面是晶体三维周期性结构和真空之间的晶体表面是晶体三维周期性结构和真空之间的 过渡层，可以将它

30、看作是特殊的相过渡层，可以将它看作是特殊的相 表面相。表面相。 66 典型表面再构之一：典型表面再构之一： R 晶体材料晶体材料; （h1h2h3） 晶体表面平面的密勒指数晶体表面平面的密勒指数. 例如：例如： 硅（硅（111） 表面原子排列的表面原子排列的 周期为体内相应周期为体内相应 平面的平面的7 倍。倍。 67 典型表面再构之二：典型表面再构之二： 例如：例如： 其中其中S 为表面为表面 吸附原子。吸附原子。 68 不同的方法可以获得不同的再构表面不同的方法可以获得不同的再构表面; 表面的再构现象与表面原子的驰豫、原子的吸表面的再构现象与表面原子的驰豫、原子的吸 附有关附有关; 通常可

31、由低能电子衍射（通常可由低能电子衍射（LEED， Low Energy Electron Diffraction）获得表面再构的几何规）获得表面再构的几何规 律。律。 1 19 9 晶体结构的实验确定晶体结构的实验确定 晶体结构的实验研究最早始于晶体结构的实验研究最早始于19121912年劳年劳 厄等有关晶体厄等有关晶体X X射线衍射射线衍射( (XRDXRD) )的工作，以后的工作，以后 相继发展出了电子衍射和中子衍射方法相继发展出了电子衍射和中子衍射方法; ; 1950-19801950-1980年代，开始出现直接观察原子排列年代，开始出现直接观察原子排列 和晶格结构的方法，如高分辩电子显

32、微术和晶格结构的方法，如高分辩电子显微术 (HREM)(HREM)，场离子显微术，场离子显微术(FIM)(FIM)和扫描隧穿显微和扫描隧穿显微 镜镜( (STMSTM) )等。等。 X 射线射线 准直缝准直缝 晶体晶体 劳厄斑劳厄斑 劳厄劳厄 根据劳厄斑点的根据劳厄斑点的分布可算出晶面间距，分布可算出晶面间距，掌握晶体点阵结构。掌握晶体点阵结构。 1912年年 1913年英国的布拉格父子，提出了另一种精确研究年英国的布拉格父子，提出了另一种精确研究 X 射线的射线的 方法，并作出了精确的定量计算。于方法，并作出了精确的定量计算。于1915年共获诺贝尔物理年共获诺贝尔物理 学奖。学奖。 于于19

33、14年获诺贝年获诺贝 尔物理学奖尔物理学奖 一一. 衍射极大条件衍射极大条件 劳厄方程劳厄方程 劳厄把布拉伐格子的格点看做是散射中心，当所有格点的散劳厄把布拉伐格子的格点看做是散射中心，当所有格点的散 射光发生相干加强时相应于衍射极大。射光发生相干加强时相应于衍射极大。 任意两格点任意两格点O、A的光程差：的光程差： coscos ll ABACRR 设入射波波矢和散射波波设入射波波矢和散射波波 矢分别为矢分别为 ，有，有 0, k k 00 kkk 散射波相互加强的条件散射波相互加强的条件 A O l R B C 0 k k 0 0 l kk R k 根据波的相干加强条件，当根据波的相干加强

34、条件，当 0 0 l kk R k 0, 1, 2,. 0h kkG 即散射前后波矢改变倒格矢时，才能在即散射前后波矢改变倒格矢时，才能在k方向方向 观察到观察到x射线的射线的相长干涉相长干涉，这就是，这就是x射线衍射的射线衍射的 劳厄条件（劳厄条件（Laue Condition）。）。 0 ()2 l Rkk (为整数) 2 0 k 是衍射极大条件在倒格子空间的表述。是衍射极大条件在倒格子空间的表述。 二二 布拉格定律与劳厄方程布拉格定律与劳厄方程 布拉格把晶体对布拉格把晶体对x x射线的衍射看成是晶面对射线的衍射看成是晶面对x x射射 线的反射，整块晶体可看作是某晶面系（线的反射，整块晶体

35、可看作是某晶面系（hkl).hkl). d d d d d d d dsinsin 1 1 2 2 晶面晶面 A A C C B B 已知已知 、 可测可测d X射线晶体结构分析射线晶体结构分析。 已知已知 、d可测可测 X射线光谱分析。射线光谱分析。 相邻晶面间散射光的相邻晶面间散射光的 光程差光程差 2sinACCBd 散射光干涉加强条件：散射光干涉加强条件： 2sin(0,1,2,)dmm 布拉格公式布拉格公式 0 2 2sin2sin h Gk 0 0 2 () h Gd d GmG 为相邻晶面间距 2 sindm m为任意整数称为衍射为任意整数称为衍射 的级数的级数 对于给定的正格子

36、对于给定的正格子, ,得到相应的倒格子要比搞清所有可能的得到相应的倒格子要比搞清所有可能的 晶面系容易晶面系容易, ,所以用劳厄条件分析所以用劳厄条件分析x x射线衍射要方便射线衍射要方便. . 布拉格公式布拉格公式 表明劳厄方程与布拉格方程是完全等价的表明劳厄方程与布拉格方程是完全等价的 0 G h G 引入引入Ewald球的概念球的概念 在在k空间中空间中,让波矢让波矢K0的端的端 点点O落在任一倒格点上落在任一倒格点上,以以 其起点其起点C为球心为球心, 为半径作球为半径作球,称为称为Ewald球球. 若球面恰好通过某一倒格若球面恰好通过某一倒格 点点P,则则OP为倒格矢为倒格矢,CP就

37、就 是满足劳厄条件的是满足劳厄条件的k,在在CP 方向可观察到衍射峰方向可观察到衍射峰. 2 CO 三三 . 劳厄方程的图示劳厄方程的图示厄尔瓦球厄尔瓦球 四四. 原子散射因子和几何结构因子原子散射因子和几何结构因子 同一原胞中各原子的散射波之间存在干涉，原胞同一原胞中各原子的散射波之间存在干涉，原胞 中原子分布不同，散射能力也就不同中原子分布不同，散射能力也就不同,所以要确定所以要确定 原胞的散射能力，引进原胞的散射能力，引进几何结构因子几何结构因子来概括。来概括。 基元中原子数基元中原子数1,即基元中原子种类不同时：即基元中原子种类不同时： 需要考虑作为散射中心的原子对需要考虑作为散射中心

38、的原子对X射线散射的射线散射的 能力能力,要引进要引进原子散射因子。原子散射因子。 原子对原子对x x射线的散射取决于原子中每个电子的射线的散射取决于原子中每个电子的 散射。散射。所以在求原子的散射振幅时，要考虑各个电所以在求原子的散射振幅时，要考虑各个电 子的散射波间的干涉，如果核外电子的分布不同，子的散射波间的干涉，如果核外电子的分布不同， 那么原子的散射能力也就不同。那么原子的散射能力也就不同。 单个电子：单个电子： )( 0 0 trki Aeu 入射入射 散射后散射后 ()i k Dt e A ufe D D O P 0 k 1 原子散射因子原子散射因子 原子中有原子中有n个电子，任

39、选其中一个电子为坐标原点个电子，任选其中一个电子为坐标原点O， 其它电子的位矢分别为其它电子的位矢分别为r1,r2,r3 。 。观测点 观测点P到坐标原到坐标原 点的位置矢量为点的位置矢量为D，如图示：，如图示： 1 r 2 r D O P 0 k 各电子的散射波传到各电子的散射波传到P处，相处，相 对原点电子散射波的对原点电子散射波的光程差光程差： 0 0 11 k kk r 0 22 0 kk r k 0 0 ii kk r k 位相差：位相差： 00 2 () iii krkk 据劳厄条件，要产生衍射极大，必须有据劳厄条件，要产生衍射极大，必须有 0h kkG P处散射波是处散射波是n个电子散射波的叠加：个电子散射波的叠加： 12 012 ()( 0 ) h i h h i k D G ri k D G rik D eee i n iG r e i k D uuuu AAA fefefe DDD fe D e A 散射波的振幅散射波的振幅 0 hi n iG r i e 反映含多电子系统的散射能力。反映含多电子系统的散射能力。 . 0 hi n iG r i fe . ( ) h iG r r ed 定义原子散射因子为定义原子散射因子为 2