高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质课时提升作业1新人教A版选修1-1

1、双曲线的简单几何性质一、选择题（每小题5分,共25分）1。（2015安徽高考)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=2x的是()a。x2-y24=1b。x24-y2=1c.y24x2=1d。y2x24=1【解析】选c。由题意知,选项a,b的焦点在x轴上,故排除a，b，c项的渐近线方程为y=2x.2.（2016合肥高二检测）点p为双曲线c1：x2a2y2b2=1(a0,b0)和圆c2：x2+y2=a2+b2的一个交点,且2pf1f2=pf2f1，其中f1，f2为双曲线c1的两个焦点，则双曲线c1的离心率为(）a.3b。1+2c.3+1d.2【解题指南】由题意：pf1pf2，且2pf1f2=

2、pf2f1，故pf1f2=30，pf2f1=60。设pf2|=m，则|pf1=3m,|f1f2|=2m。由e=2c2a=|f1f2|pf1|-|pf2|，能求出双曲线的离心率.【解析】选c.由题意：pf1pf2,且2pf1f2=pf2f1，所以pf1f2=30,pf2f1=60。设pf2|=m，则|pf1=3m,f1f2|=2m.e=2c2a=|f1f2|pf1|-|pf2|=2m3m-m=3+1.【补偿训练】双曲线x2a2y2b2=1（a0，b0）的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率为()a.2b。3c。2d.32【解析】选c.依题意ba-ba=-1,所以a2=b2.则e2=c2a2=

3、a2+b2a2=2，所以e=2。3。（2016宁波高二检测)与双曲线x29-y216=1有共同的渐近线,且经过点(3，23）的双曲线方程为（）a。x24-4y29=1b。y244x29=1c.4y29x24=1d。4x29-y24=1【解析】选d.设所求双曲线方程为x29y216=（0）,把(3，23)代入方程得99-1216=，所以=14.故双曲线方程为x29y216=14，即4x29y24=1。4。设a1,则双曲线x2a2y2(a+1)2=1的离心率e的取值范围是()a。(2，2）b.(2，5)c.（2,5)d.(2，5)【解析】选b。e2=a2+(a+1)2a2=1a2+2a+2=1a+

4、12+1，因为a1,所以01a1，11a+12,所以2e25。又e1，所以2e1，所以可求得e=2。答案:27。（2016菏泽高二检测)设f1，f2分别为双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0）的左、右焦点,以线段f1f2为直径的圆交双曲线左支于a，b两点,且af1b=120,若双曲线的离心率介于整数k与k+1之间,则k=。【解析】因为以线段f1f2为直径的圆交双曲线左支于a,b两点,且af1b=120,所以of1a是等边三角形，所以af1=c，|af2=3c,所以2a=af2-|af1|=（31）c，所以e=ca=23-1=3+1，因为双曲线的离心率介于整数k与k+1之间，所以k=2。答案:

5、28.（2016厦门高二检测)设椭圆c1的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为26。若曲线c2上的点到椭圆c1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线c2的标准方程为.【解析】设椭圆c1的方程为x2a12+y2b12=1(a1b10），由已知得2a1=26,e=c1a1=513,所以a1=13,c1=5.所以焦距为2c1=10.又因为810，所以曲线c2是双曲线.设其方程为x2a22y2b22=1(a20，b20）,则a2=4，c2=5，所以b22=5242=32=9，所以曲线c2的方程为x216y29=1。答案:x216-y29=1三、解答题(每小题10分，共20分）9.（2016威海高

6、二检测)已知双曲线的一条渐近线为x+3y=0,且与椭圆x2+4y2=64有相同的焦距,求双曲线的标准方程.【解析】椭圆方程为x264+y216=1,所以椭圆的焦距为83.当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为x2a2-y2b2=1（a0,b0），所以a2+b2=48,ba=33,解得a2=36,b2=12.所以双曲线的标准方程为x236-y212=1.当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线方程为y2a2x2b2=1（a0,b0）,所以a2+b2=48,ab=33,解得a2=12,b2=36.所以双曲线的标准方程为y212-x236=1.由可知，双曲线的标准方程为x236-y212=1或y212-

7、x236=1。10.已知双曲线的中心在原点,焦点f1,f2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，-10)。(1）求此双曲线的方程。（2）若点m（3，m）在此双曲线上,求证:f1mf2m=0。【解析】（1)因为离心率e=ca=2，所以a=b。设双曲线方程为x2y2=n(n0),因为点(4,-10）在双曲线上,所以n=42(-10）2=6。所以双曲线方程为x2y2=6。(2）因为点m(3,m)在双曲线上,故m2=3。又点f1(23,0）,点f2(23，0),所以kmf1kmf2=m3+23m3-23=-m23=1。所以f1mf2m=0。一、选择题（每小题5分，共10分)1。(2014重庆高考)设f1

8、,f2分别为双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左、右焦点，双曲线上存在一点p使得pf1|+pf2|=3b,|pf1|pf2=94ab，则该双曲线的离心率为(）a。43b.53c。94d。3【解析】选b。由双曲线的定义得pf1pf2|=2a，又pf1+|pf2=3b,所以(|pf1|+pf2|)2(pf1|pf2)2=9b24a2，即4pf1pf2|=9b24a2，又4|pf1|pf2|=9ab,因此9b2-4a2=9ab,即9ba2-9ba4=0，则3ba+13ba-4=0,解得ba=43ba=-13舍去，则双曲线的离心率e=1+ba2=53。2.(2016唐山高二检测）设f1,f2

9、分别是双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点p满足|pf2=f1f2，且cospf1f2=45,则双曲线的渐近线方程为()a。3x4y=0b.4x3y=0c.3x5y=0d.5x4y=0【解题指南】根据pf2=|f1f2|，结合双曲线的定义,可得出|pf1|=2a+2c，再由cospf1f2=45，求出ba的值。【解析】选b。作f2qpf1于点q,因为|f1f2|=|pf2|，所以点q为pf1的中点，由双曲线的定义知pf1|-|pf2=2a,所以|pf1=2a+2c，故f1q|=a+c，因为cospf1f2=45,所以|f1q|f1f2|=cospf1f

10、2，即a+c2c=45,得3c=5a，所以3a2+b2=5a,得ba=43，故双曲线的渐近线方程为y=43x,即4x3y=0.二、填空题（每小题5分,共10分)3。（2016深圳高二检测)已知双曲线an-1y2anx2=an1an的焦点在y轴上，一条渐近线方程为y=2x，其中an是以4为首项的正数数列,则数列an的通项公式是。【解析】双曲线即:y2an-x2an-1=1.因为an是以4为首项的正数数列,一条渐近线方程为y=2x,所以anan-1=2，anan-1=2,所以an=42n1=2n+1。答案:an=2n+14。(2016重庆高二检测)设f1，f2分别为双曲线x2a2y2b2=1(a0

11、，b0）的左、右焦点，双曲线上存在一点p使得（pf1|pf2|）2=b2-3ab，则该双曲线的离心率为。【解析】由双曲线的定义知，（pf1|pf2|）2=4a2，又(pf1|-|pf2)2=b2-3ab,所以4a2=b2-3ab，等号两边同除以a2,化简得ba23ba-4=0，解得ba=4或ba=1(舍去),故离心率e=ca=c2a2=a2+b2a2=1+ba2=17.答案：17三、解答题（每小题10分,共20分)5.双曲线x2a2y2b2=1(a1，b0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和（0，b)，且点（1，0)到直线l的距离与点（-1，0)到直线l的距离之和s45c，求双曲线离心率e的

12、取值范围.【解析】设直线l的方程为xa+yb=1,即bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且a1，得点（1,0)到直线l的距离d1=b(a-1)a2+b2,点(-1,0)到直线l的距离d2=b(a+1)a2+b2。所以s=d1+d2=2aba2+b2=2abc。由s45c,得2abc45c，即5ac2-a22c2。因为e=ca，所以5e2-12e2,所以25（e21)4e4,即4e425e2+250，所以54e25(e1)。所以52e5,即e的取值范围为52,5.6。（2016青岛高二检测)已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x2+y2=10相交于点p(3,1），若此圆过点p的切线与双曲线

13、的渐近线平行,求此双曲线的方程。【解析】切点为p(3,-1）的圆的切线方程为3x-y=10,因为双曲线的一条渐近线平行于此切线,且双曲线关于两坐标轴对称.所以双曲线的渐近线方程为3xy=0.当焦点在x轴上时,设双曲线方程为x2a2-y2b2=1（a0,b0），则其渐近线方程为y=bax，即ba=3，则双曲线方程可化为x2a2y29a2=1,因为双曲线过点p（3,-1),所以9a2-19a2=1,所以a2=809，b2=80，所以所求双曲线方程为x2809-y280=1.当焦点在y轴上时，设双曲线方程为y2a2x2b2=1（a0,b0）,则渐近线方程为y=abx,即ab=3，则双曲线方程可化为y

14、29b2x2b2=1,因为双曲线过点p(3,1)，所以19b29b2=1,得809b2=1,无解.综上可知所求双曲线方程为x2809y280=1.【一题多解】切点为p（3，1）的圆的切线方程为3xy=10.因为双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称。所以双曲线的两条渐近线方程为3xy=0，设所求的双曲线方程为9x2y2=（0），因为点p(3,1）在所求双曲线上，所以=80。所以所求双曲线方程为x2809y280=1.尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。this article is collected and compiled by my colleagues and i in our busy schedule. we proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points