高等数学：6-03全微分

1、 全全 微微 分分 如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的某某邻邻域域内内有有定定义义，并并设设 ),(yyxxP 为为 这这 邻邻 域域 内内 的的 任任 意意 一一 点点 ， 则则 称称 这这 两两 点点 的的 函函 数数 值值 之之 差差 ),(),(yxfyyxxf 为为函函数数在在点点P对对应应于于自自变变量量增增量量yx ,的的全全增增量量，记记为为z ， 即即 z =),(),(yxfyyxxf 一一 般般 来来 讲讲 ， 全全 增增 量量z 与与yx ,的的 相相 依依 关关 系系 是是 比比 较较 复复 杂杂 的的 ， 因因 此此 我我 们们 希希 望望能能象

2、象一一元元函函数数的的微微分分那那样样，用用yx ,的的 线线 性性 函函 数数yBxA 来来 近近 似似 表表 示示，并并给给出出误误差差估估计计。由由此此引引出出如如下下定定义义： 全微分的定义全微分的定义 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的全增量的全增量 ),(),(yxfyyxxfz 可以表示为可以表示为 )( oyBxAz ，其中，其中BA,不依赖于不依赖于 yx ,而仅与而仅与yx,有关，有关， 22 )()(yx ， 则称函数则称函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分，可微分， yBxA 称为函数称为函数),(yxfz 在点在点),(yx的的 全微分全微分

3、，记为，记为dz，即，即 dz= =yBxA . . 函函数数若若在在某某区区域域 D 内内各各点点处处处处可可微微分分， 则则称称这这函函数数在在 D 内内可可微微分分. 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分可微分, 则则 函数在该点连续函数在该点连续. 事实上事实上 ),( oyBxAz , 0lim 0 z ),(lim 0 0 yyxxf y x ),(lim 0 zyxf ),(yxf 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(yx处处连连续续. 二、可微的条件二、可微的条件 定定理理 1 1（必必要要条条件件）如如果果函函数数),(yxfz 在在点点 ),(yx

4、可可微微分分，则则该该函函数数在在点点),(yx的的偏偏导导数数 x z 、 y z 必必存存在在，且且函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的全全微微分分 为为 y y z x x z dz 证证 如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yxP可可微微分分, )( oyBxAz 总成立总成立, 当当0 y时时，上上式式仍仍成成立立， 此时此时| x , ),(),(yxfyxxf |),(|xoxA A x yxfyxxf x ),(),( lim 0 , x z 同理可得同理可得. y z B 一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在 多元函数的各偏导

5、数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在 例如例如 . 00 0 ),( 22 22 22 yx yx yx xy yxf 在点在点)0 , 0(处有处有 0)0 , 0()0 , 0( yx ff )0 , 0()0 , 0(yfxfz yx , )()( 22 yx yx 如如果果考考虑虑点点),(yxP 沿沿着着直直线线xy 趋趋近近于于)0 , 0(， 则则 22 )()(yx yx 22 )()(xx xx , 2 1 说说明明它它不不能能随随着着0 而而趋趋于于 0,0 当当 时时 ),()0 , 0()0 , 0( oyfxfz yx 函数在点函数在点)0 , 0(处不

6、可微处不可微. 说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，微分存在， 定理定理（充分条件）如果函数（充分条件）如果函数),(yxfz 的偏的偏 导数导数 x z 、 y z 在点在点),(yx连续，则该函数在点连续，则该函数在点),(yx 可微分可微分 证证 ),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf 在在第第一一个个方方括括号号内内，应应用用拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理 ),(),(yyxfyyxxf xyyxxf x ),( 1 )10( 1 xxyxf x 1 ),( （依偏导数的连续性

7、）（依偏导数的连续性） 其中其中 1 为为yx ,的函数的函数, 且且当当0, 0 yx时时，0 1 . 同理同理 ),(),(yxfyyxf ,),( 2 yyyxfy 当当0 y时，时，0 2 , z xxyxf x 1 ),( yyyxf y 2 ),( 21 21 yx , 0 0 故函数故函数),(yxfz 在点在点),(yx处可微处可微. 习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为 .dy y z dx x z dz 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 .dz z u dy y u dx x u du 叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也

8、适用于二元以上函数的情况 例例 1 1 计计算算函函数数 xy ez 在在点点)1 , 2(处处的的全全微微分分. 解解 , xy ye x z , xy xe y z , 2 )1 ,2( e x z ,2 2 )1 ,2( e y z 所求全微分所求全微分.2 22 dyedxedz 例例2 2 求求函函数数)2cos(yxyz ，当当 4 x， y， 4 dx， dy时时的的全全微微分分. 解解 ),2sin(yxy x z ),2sin(2)2cos(yxyyx y z dy y z dx x z dz ), 4 ( ), 4 ( ), 4 ( ).74( 8 2 例例 3 3 计计算

9、算函函数数 yz e y xu 2 sin的的全全微微分分. 解解 , 1 x u , 2 cos 2 1 yz ze y y u , yz ye z u 所求全微分所求全微分 .) 2 cos 2 1 (dzyedyze y dxdu yzyz 多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微函数可微 函数连续函数连续 偏导数连续偏导数连续 函数可导函数可导 二、全微分在近似计算中的应用二、全微分在近似计算中的应用 设函数),(yxfz 在),( yxP点可微，则函数在),( yxP点的全增量为 ),() ,( yxfyyxxfz =)(),(),( yyxfxyxf yx 其中 )( , 0 )( lim 22 0 0 yx y x 当yx ,很小时，就得到函数在),( yxP附近的近似值 ),() ,( yxfyyxxfz dzyyxfxyxf yx ),(),( 还可以表示为： ),(yxf=) ,(yyxxf =yyxfxyxf yx ),(),( +),( yxf 例例 求 99. 0 )98. 0(的近似值 解解 在解决这类问题时，首先是要作出一个相应的二元函数，然后才能求解。 设函数 y xyxf),(，并取01. 0 ,02. 0, 1 , 1yxyx 又因为 xxyx