一元二次不等式的经典例题及详解

1、一元二次不等式专题练习例1 解不等式：（1）；（2）例2 解下列分式不等式：（1）（2）例3 解不等式例4 解不等式例5 解不等式例6 设，解关于的不等式例7 解关于的不等式例8 解不等式例9 解关于的不等式例10 已知不等式的解集是求不等式的解集例11 若不等式的解为，求、的值例12不等式的解集为，求与的值例13解关于的不等式例14 解不等式例1解：（1）原不等式可化为把方程的三个根顺次标上数轴然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分原不等式解集为（2）原不等式等价于原不等式解集为说明：用“穿根法”解不等式时应注意：各一次项中的系数必为正；对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的

2、不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图分析：当分式不等式化为时，要注意它的等价变形例2（1）解：原不等式等价于用“穿根法”原不等式解集为。（2）解法一：原不等式等价于 原不等式解集为。解法二：原不等式等价于用“穿根法”原不等式解集为例3分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义二是根据绝对值的性质：或，因此本题有如下两种解法解法一：原不等式即或故原不等式的解集为解法二：原不等式等价于 即 例4分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于二次式的商，由商的符号法则，它等价于下列两个不等式组：或所以，原不等式的解集是上面两个不等式级的解集

3、的并集也可用数轴标根法求解解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集：或或或或或原不等式解集是解法二：原不等式化为画数轴，找因式根，分区间，定符号符号原不等式解集是说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解解法二中，“定符号”是关键当每个因式的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含的区间符号，其他各区间正负相间在解题时要正确运用例5分析：不等式左右两边都是含有的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解解：移项整理，将原不等式化为由恒成立，知原不等式等价于解之，得原不等式的解集为说明：此题易出现去分

4、母得的错误解法避免误解的方法是移项使一边为再解另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理例6分析：进行分类讨论求解解：当时，因一定成立，故原不等式的解集为当时，原不等式化为；当时，解得；当时，解得当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为说明：解不等式时，由于，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解因为当时，原不等式化为，此时不等式的解集为，所以解题时应分与两种情况来讨论在解出的两根为，后，认为，这也是易出现的错误之处这时也应分情况来讨论：当时，；当时，例7分析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解解：原不等式或由

5、，得：由判别式，故不等式的解是当时，不等式组(1)的解是，不等式组(2)的解是当时，不等式组(1)无解，(2)的解是综上可知，当时，原不等式的解集是；当时，原不等式的解集是说明：本题分类讨论标准“，”是依据“已知及(1)中，(2)中，”确定的解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定本题易误把原不等式等价于不等式纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法例8分析：先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解，然后取它们的交集即可解答：去掉绝对值号得，原不等式等价于不等式组

6、原不等式的解集为说明：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解例9分析：不等式中含有字母，故需分类讨论但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样：求出方程的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母，故需比较两根的大小，从而引出讨论解：原不等式可化为(1)当（即或）时，不等式的解集为：；(2)当（即）时，不等式的解集为：；(3)当（即或1）时，不等式的解集为：说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根，因此不等式的解就是小于小根或大于大

7、根但与两根的大小不能确定，因此需要讨论，三种情况分析：按照一元二次不等式的一般解法，先确定系数的正负，然后求出方程的两根即可解之例10解：(解法1)由题可判断出，是方程的两根，又的解集是，说明而，即，即又，的解集为(解法2)由题意可判断出，是方程的两根，又的解集是，说明而，对方程两边同除以得令，该方程即为，它的两根为，方程的两根为，不等式的解集是说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负，求出相应的方程的根；(2)结合使用韦达定理，本题中只有，是已知量，故所求不等式解集也用，表示，不等式系数，的关系也用，表示出来；(3)注意解法2中用“变换”的方法求方程的根例11分析：不等

8、式本身比较复杂，要先对不等式进行同解变形，再根据解集列出关于、式子解：，原不等式化为依题意， 说明：解有关一元二次方程的不等式，要注意判断二次项系数的符号，结合韦达定理来解例12分析：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为，不等式需满足条件，的两根为，解法一：设的两根为，由韦达定理得：由题意：，此时满足，解法二：构造解集为的一元二次不等式：，即，此不等式与原不等式应为同解不等式，故需满足：，说明：本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系，同时还考查逆向思维的能力对有关字母抽象问题，同学往往掌握得不好例13分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所以还考查

9、分类思想解：分以下情况讨论(1)当时，原不等式变为：，(2)当时，原不等式变为：当时，式变为，不等式的解为或当时，式变为，当时，此时的解为当时，此时的解为说明：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：分类应做到使所给参数的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏另外，解本题还要注意在讨论时，解一元二次不等式应首选做到将二次项系数变为正数再求解例14分析：无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，可转化为或，而等价于：或解：原不等式等价于下面两个不等式组：由得，由得，所以原不等式的解集为，即为说明：本题也可以转化为型的不

10、等式求解，注意：，这里，设全集，则所求不等式的解集为的补集，由或即，原不等式的解集是分析：如果多项式可分解为个一次式的积，则一元高次不等式（或）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况均值不等式专题均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。下面谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题的方法和技巧。一、几个重要的均值不等式当且仅当a = b时，“=”号成立；当且仅当a = b时，“=”号成立；当且仅当a = b = c时,“=”号成立； ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.注： 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； 熟悉一

11、个重要的不等式链：。二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧1、求几个正数和的最小值。例1、求函数的最小值。解析：，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最小值是。评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。2、求几个正数积的最大值。例2、求下列函数的最大值： 解析：，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最大值是1。，则，欲求y的最大值，可先求y2的最大值。,当且仅当，即时，不等式中的“=”号成立，故此函数最大值是。评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以

12、或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。3、用均值不等式求最值等号不成立。例3、若x、y，求的最小值。解法一：（单调性法）由函数图象及性质知，当时，函数是减函数。证明：任取且，则，则，即在上是减函数。故当时，在上有最小值5。解法二：（配方法）因，则有，易知当时， 且单调递减，则在上也是减函数，即在上是减函数，当时，在上有最小值5。解法三：（导数法）由得，当时，则函数在上是减函数。故当时，在上有最小值5。解法四：（拆分法），当且仅当时“=”号成立，故此函数最小值是5。评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方

13、法。4、条件最值问题。例4、已知正数x、y满足，求的最小值。解法一：（利用均值不等式）,当且仅当即时“=”号成立，故此函数最小值是18。解法二：（消元法）由得，由则。当且仅当即时“=”号成立，故此函数最小值是18。解法三：（三角换元法）令则有则，易求得时“=”号成立，故最小值是18。评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法： 。原因就是等号成立的条件不一致。5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。例5、已知正数满足，试求、的范围。解法一：由，则，即解得，当且仅当即时取“=”号，故的取值范围是。又，当且仅当即时取“=”号，故的取值范围是解法二：由，知，

14、则，由，则：，当且仅当，并求得时取“=”号，故的取值范围是。，当且仅当，并求得时取“=”号，故的取值范围是。三、用均值不等式求最值的常见的技巧1、 添、减项（配常数项） 例1 求函数的最小值. 分析：是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值.而可与相约，即其积为定积1，因此可以先添、减项6，即，再用均值不等式. 当且仅当，即时,等号成立. 所以的最小值是. 评注 为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧;为了保证式子的值不变，添项后一定要再减去同一项. 2、 配系数（乘、除项） 例2 已知，且满足，求的最大值. 分析 , 是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式是否定值， 而已

15、知是与的和为定值，故应先配系数，即将变形为，再用均值不等式. 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值是. 评注 本题是已知和为定值，要求积的最大值，可逆用均值不等式，即利用来解决. 3、 裂项 例3 已知，求函数的最小值. 分析 在分子的各因式中分别凑出，借助于裂项解决问题. 当且仅当，即时，取等号. 所以. 4、 取倒数 例4 已知，求函数的最小值. 分析 分母是与的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为 (这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题. 解 由，得，. 取倒数，得 当且仅当，即时，取等号. 故的最小值是. 5、 平方 例5 已知且求的最大

16、值. 分析 条件式中的与都是平方式，而所求式中的是一次式，是平方式但带根号.初看似乎无从下手，但若把所求式平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决. 当且仅当，即，时，等号成立. 故的最大值是. 评注 本题也可将纳入根号内，即将所求式化为，先配系数，再运用均值不等式的变式. 6、 换元（整体思想） 例6 求函数的最大值. 分析 可先令，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决. 7、 逆用条件 例7 已知,则的最小值是（ ） . 分析 直接利用均值不等式，只能求的最小值，而无法求的最小值.这时可逆用条件，即由，得，然后展开即可解决问题. 评注 若已知 (或其他定值)，要求的

17、最大值，则同样可运用此法. 8、 巧组合 例8 若且,求的最小值 . 分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用+b来解决.换个思路，可考虑将重新组合，变成，而等于定值，于是就可以利用均值不等式了. 9、 消元 例9、设为正实数，则的最小值是. 分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得，则可对进行消元，用表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题. 练习： 1、试填写两个正整数，满足条件，且使这两个正整数的和最小。2、试分别求：； 最大值。3、求最小值。 不等式恒成立、能成立、恰成立专题一、不等式恒成立问题的处理方法1、转换求函数的最值：（1）若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上

18、，的下界大于a（2）若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上,的上界小于a例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x-1,+时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。例2、已知对任意恒成立,试求实数的取值范围;例3、r上的函数既是奇函数，又是减函数，且当时，有恒成立，求实数m的取值范围.例4、已知函数在处取得极值，其中、为常数.（1）试确定、的值； （2）讨论函数的单调区间；（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围。2、主参换位法例5、若不等式对恒成立，求实数a的取值范围例6、若对于任意，不等式恒成立，求实数x的取值范围例7、已知函数，其中为实数若不等式对任意都成立，求实数的取值范围3、分离参

19、数法（1） 将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式；（2） 求在上的最大（或最小）值；（3） 解不等式(或) ，得的取值范围。适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。例8、当时，不等式恒成立，则的取值范围是 .例9、已知函数,其中（1）当满足什么条件时,取得极值?（2）已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.4、数形结合例10 、若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是_例11、当x(1,2)时，不等式恒成立，求a的取值范围。二、不等式能成立问题的处理方法若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.例

20、12、已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围_ 例13、若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是 例14、已知函数（）存在单调递减区间，求的取值范围三、不等式恰好成立问题的处理方法例15、不等式的解集为则_例16、已知当的值域是,试求实数的值.例17、已知两函数f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x，其中k为实数。（1）对任意x-3，3，都有f（x)g(x)成立，求k的取值范围；（2）存在x-3，3，使f（x)g(x)成立，求k的取值范围；（3）对任意x1、x2-3，3，都有f（x1)g(x2)，求k的取值范围。不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练

21、习（请做在另外作业纸上）1、若不等式对任意实数x恒成立，求实数m取值范围2、已知不等式对任意的恒成立，求实数k的取值范围3、设函数对于任意实数，恒成立，求的最大值。4、对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式恒成立的x的取值范围。5、已知不等式恒成立。求实数的取值范围。6、对任意的，函数的值总是正数，求x的取值范围7、 若不等式在内恒成立，则实数m的取值范围 。8、不等式在内恒成立，求实数a的取值范围。9、不等式有解，求的取值范围。10、对于不等式，存在实数，使此不等式成立的实数的集合是m；对于任意，使此不等式恒成立的实数的集合为n，求集合11、对一切实数x,不等式恒成立，求实数a的范围。若不

22、等式有解，求实数a的范围。若方程有解，求实数a的范围。12、 若x,y满足方程，不等式恒成立，求实数c的范围。 若x,y满足方程，求实数c的范围。13、设函数，其中若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围14、设函数，其中常数，若当时，恒成立，求的取值范围。15、已知向量=(，x+1)，= (1-x，t)。若函数在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。不等式恒成立、能成立、恰成立问题 参考答案例1、解：a的取值范围为-3，1tg(t)o1图1t=m例2、解：等价于对任意恒成立,又等价于时,的最小值成立.由于在上为增函数,则,所以 例3、解：由得到：因为为奇函数，故有恒成立，tg(t)o1图2t=m又因为为r减函数，从而有对恒成立设，则对于恒成立，在设函数,对称轴为.tg(t)o1图3t=m当时，即，又(如图1)当，即时,即,又,(如图2)当时，恒成立.(如图3)故由可知：.例4、解：（1）（