第七章 刚体的平面运动

1、理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 第一节第一节 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解 第二节第二节 平面图形内各点速度的求解平面图形内各点速度的求解 第三节第三节 平面图形内各点加速度的求解平面图形内各点加速度的求解 第四节第四节 运动学综合应用运动学综合应用 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 前面讨论了平移与定轴转动这两种刚体的基本运动，然前面讨论了平移与定轴转动这两种刚体的基本运动，然 而工程中除了这两种简单的运动外，而工程中除了这两种简单

2、的运动外， 刚体的平面运动也是刚体的平面运动也是 工程上常见的一种运动，这是一种较为复杂的运动。可以在工程上常见的一种运动，这是一种较为复杂的运动。可以在 研究刚体的平移和定轴转动的基础上，通过运动合成和分解研究刚体的平移和定轴转动的基础上，通过运动合成和分解 的方法，将平面运动分解为上述两种基本运动。的方法，将平面运动分解为上述两种基本运动。 本章将分析刚体平面运动的分解，本章将分析刚体平面运动的分解，应用合成运动的理应用合成运动的理 论，分析平面运动刚体的角速度、角加速度以及平面运动刚论，分析平面运动刚体的角速度、角加速度以及平面运动刚 体上点的速度和加速度。体上点的速度和加速度。 理论力

3、学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离 始终保持不变也就是说，始终保持不变也就是说， 刚体上任一点都在与该固刚体上任一点都在与该固 定平面平行的某一平面内定平面平行的某一平面内 运动，具有这种特点的运运动，具有这种特点的运 动称为动称为刚体的平面运动刚体的平面运动。 例如例如 第一节第一节 刚体平面运动的念刚体平面运动的念 一、刚体平面运动的特征一、刚体平面运动的特征 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 理论力学电子教程理论力学

4、电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 用一个平行于固定平面用一个平行于固定平面S 1的平面 的平面S 2来截平面运动刚体，得截面来截平面运动刚体，得截面S， ， 它是一个平面图形。过平面图形上任意一点它是一个平面图形。过平面图形上任意一点A作垂直于图形的直线作垂直于图形的直线A1A2， 显然直线显然直线A1A2作平移，因此作平移，因此A点的运动完全可以代表直线点的运动完全可以代表直线A1A2的运动；的运动； 平面图形平面图形

5、S的运动也就代表了整个刚体的运动。因此，的运动也就代表了整个刚体的运动。因此，刚体的平面运动刚体的平面运动 可简化为平面图形在其自身平面内的运动可简化为平面图形在其自身平面内的运动。 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 刚体的平面运动可简化为平面图形在其自刚体的平面运动可简化为平面图形在其自 身平面内的运动。身平面内的运动。 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定平面为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定平面 图形内任意一条线段的位置图形内任意

6、一条线段的位置 任意线段OM的位置可 用O点的坐标和AB与x轴夹 角表示因此图形S 的位 置决定于 三个 独立的参变量。点O的坐标 和 角都是时间的函数，即 , OO yx 二、平面运动方程二、平面运动方程 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 当图形上O点不动时，则刚体作定轴转动 当图形上 角不变时，则刚体作平动。 如果在平面图形上任取一点O定义为基点，假想在基点上固结 一随基点O平移平移的动系Ox y z ，那么刚体平面运动可以看成 是随基点O的平移和绕基点O的转动这两部分运动的合成。 平面运动方程)( 2 tfy O )( 1 tfx O )( 3

7、 tf 对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的 ，平面图 形S在该瞬时的位置也就确定了。 , OO yx 三、平面运动分解为平移和转动三、平面运动分解为平移和转动 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 平面运动分解为随基点的平移和平面运动分解为随基点的平移和 绕基点的转动绕基点的转动 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 由于基点是任取的，自然就会提出这样的问题：

8、如果基由于基点是任取的，自然就会提出这样的问题：如果基 点的选择不同，随基点的平动和绕基点的转动会有什么异同点的选择不同，随基点的平动和绕基点的转动会有什么异同 呢？呢？ 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 如右下图所示，平面图形在时间内从位置I运动到位置II 以A为基点: 随基点A平动到 AB后, 绕基点转 角到AB 以B为基点: 随基点B平动到 AB后, 绕基点转 角到AB 图中看出：AB AB AB ， 于是有 21 1 2 21 21 21 2 0 1 0 , ; , limlim dt d dt d tt tt S A B A B B A 1

9、 2 S I II 显然基点不同，轨迹也 不同，因此随基点平移 的速度和加速度与基点 的选择有关。 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 由上可得，平面运动随基平面运动随基 点平动的运动规律与基点的选点平动的运动规律与基点的选 择有关，而绕基点转动的规律择有关，而绕基点转动的规律 与基点选取无关。与基点选取无关。 即即 、 与与 基点选取无关基点选取无关 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 第二节第二节 平面图形内各点速度的求解平面图形内各点速度的求解 这些作平面运动的刚体，其上任一点的这些作平面运动的刚体，其上

10、任一点的速度速度和和加速度加速度如何求？如何求？ 车轮作平面运动车轮作平面运动 M 连杆连杆AB作平面运动作平面运动 M 齿轮齿轮A作平面运动作平面运动 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 一、基点法一、基点法 求平面图形上一点速度的方法有求平面图形上一点速度的方法有3种：种：（1）基点法基点法； （2）速度投影法速度投影法；（；（3）速度瞬心法速度瞬心法。 A v A S B 如图所示，已知平面图形如图所示，已知平面图形S内一点内一点A的速度为的速度为vA ，图形的图形的 角速度为角速度为 。求图形上。求图形上B点的速度点的速度vB 。 理论力学电子

11、教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 由第一节的知识知，任何平面图形在自身平面内的运动都由第一节的知识知，任何平面图形在自身平面内的运动都 可以分解为两个运动：可以分解为两个运动： （1）随基点）随基点A 的平移（牵连运动）的平移（牵连运动）； （2）绕基点）绕基点 A 的转动（相对运动）的转动（相对运动）。 x y O A S B x y 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 因此，平面图形内任意一点因此，平面图形内任意一点B 的运动也是这两种运动的的运动也是这两种运动的 合成，可用合成，可用点的速度合成定理点的速度合成定理

12、来计算来计算B 点的速度。点的速度。 取取B为动点为动点, , 则则B点的运动可视为牵连运动为平移和相对点的运动可视为牵连运动为平移和相对 运动为圆周运动的合成。运动为圆周运动的合成。 取取A为基点为基点, , 将动系固结于将动系固结于A点点, ,动系作平移。动系作平移。 A v A S B 牵连运动为平移，则牵连运动为平移，则 eA vv 相对运动为转动，则相对运动为转动，则 rBA vv 动点的绝对速度为动点的绝对速度为 aB vv 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 A v A S B 根据速度合成定理根据速度合成定理 aer, vvv则则B点速

13、度为：点速度为： BAAB vvv 即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图 形绕基点转动的速度的矢量和。这种求解速度的方法称形绕基点转动的速度的矢量和。这种求解速度的方法称 为为基点法基点法(method of pole) 。 B A v B v A v 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 由基点法由基点法, 有有 BAAB vvv 式式()在求解时有几个量在求解时有几个量(包括方向和大小包括方向和大小)，最多能，最多能 求解几个未知量求解几个未知量? 其中其中 BAAB vAB () 理论力学

14、电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 例例7-1 7-1 已知：曲柄连杆机构已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，曲柄曲柄 OA以匀角速度以匀角速度 转动。转动。 求：当求：当 =45时时, 滑块滑块B的速度及的速度及AB杆的角速度。杆的角速度。 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 【解】【解】 机构中，机构中，OA作定轴转动，作定轴转动，AB 作平面运动，滑块作平面运动，滑块B 作作 平动。平动。 OA杆作定轴转动，有杆作定轴转动，有 lvA方向方向 OA 以以 A为基点，则有为基点，则有 BAAB vvv 理论力学电子教

15、程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 在在B 处作速度平行四边形，如图所示。处作速度平行四边形，如图所示。 （）/ ABBA vABll tantan45 BAA vvll /cos/cos452 BA vvll 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 例7-27-2如图所示平面机构中，如图所示平面机构中，AB= =BD=DE=l=300mm。在图。在图 示位置时示位置时, ,BDAE，杆杆AB的角速度为的角速度为= =5rad/s。试求此瞬。试求此瞬 时杆时杆BD中点中点C的速度和杆的速度和杆DE 的角速度。的角速度。 0 60

16、 0 60 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 CBC B vv v vB vC vCB vB A B C D E 0 60 0 60 ? C v CBC B vv v 大小大小 方向方向 CBBD vBC ? BD ？ ？ ？ 以以B为基点求为基点求vC 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 vB 0 60 0 60 vD vDB vB 0 60 0 60 DBD B vv v / DED vDE ? DE ? D v 以以B为基点求

17、为基点求vD , D v BD DBD B vv v 大小大小 方向方向 ？ ？ 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 vB 0 60 0 60 vD vDB vB 0 60 0 60 (1)求求DE杆的角速度。杆的角速度。 杆杆AB作定轴转动，作定轴转动，vB 大小为大小为 1.5m/s B vl 以以B 点为基点，应用速度合点为基点，应用速度合 成定理，成定理，D 点的速度可表示为点的速度可表示为 方向与方向与 AB 垂直。垂直。 其中，其中，D 点绕点绕 B 的转动速度的转动速度 vDB 的方向与的方向与 BD 垂直，垂直，D 点点 的速度的速度

18、vD 与与DE 垂直。垂直。 DBDB vvv 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 由速度合成矢量图可得由速度合成矢量图可得 于是可得此瞬时杆于是可得此瞬时杆BD 的角速度为的角速度为 又又vDB 为为D 点绕点绕B 的转动速的转动速 度，有度，有 其转向为逆时针。其转向为逆时针。 1.5m/s DDBB vvv DBDB vBD /5rad/s BDDB vl vB 0 60 0 60 vD vDB vB 0 60 0 60 则有则有 /5rad/s DED vl 转向为顺时针。转向为顺时针。 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平

19、面运动刚体的平面运动 vB vC vCB 其中其中vB大小和方向均为已知，大小和方向均为已知，vCB 方向与方向与 BD 杆垂直，大小为杆垂直，大小为 CBC B vv v vB A B C D E 0 60 0 60 /20.75m/s CBBD vl 由此瞬时速度矢的几何关系，得出此时由此瞬时速度矢的几何关系，得出此时vC 的方向恰好的方向恰好 沿杆沿杆BD，大小为，大小为 22 1.3m/s CBCB vvv 以以B点为基点，应用基点法，点为基点，应用基点法，C 点的速度可表示为点的速度可表示为 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 二、速度投影法

20、二、速度投影法 若将由基点法得到的速度表达式若将由基点法得到的速度表达式 BAAB vvv 向向AB的连线投影会得到什么样的结果？这个结果能否从刚的连线投影会得到什么样的结果？这个结果能否从刚 体的概念来进行说明？体的概念来进行说明？ A v A S B B A v B v A v 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 A v A S B B A v B v A v 速度投影定理速度投影定理 AB AABB vv 将上式在将上式在AB连线上投影，有连线上投影，有 BABA vvv 由速度合成定理得由速度合成定理得 即平面图形上任意两点的速度在该两点连线上

21、的投影彼此相即平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相 等。这种求解速度的方法称为等。这种求解速度的方法称为速度投影法速度投影法。 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 这个定理也可以用下面的理由来说明：这个定理也可以用下面的理由来说明：A和和B是刚体上的是刚体上的 两点，他们之间的距离应保持不变两点，他们之间的距离应保持不变，所以两点的速度在，所以两点的速度在AB方方 向的分量必须相同。向的分量必须相同。 AB AABB vv A v A S B B A v B v A v 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的

22、平面运动 例例7-37-3已知：曲柄连杆机构已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，曲柄曲柄OA以匀角速度以匀角速度 转转 动。动。 当当 =45时时, 用速度投影定理求滑块用速度投影定理求滑块B 的速度。的速度。 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 cos BA vv )(245cos/ cos/ ll vv AB lvA OA杆作定轴转动，有杆作定轴转动，有 方向方向 OA 物块物块B 作平动，则作平动，则vB方向沿方向沿 BO直线。直线。 即 根据速度投影定理根据速度投影定理 AB AABB vv 【解】【解】 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章

23、第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 如图平面机构，由四根杆依次铰接而成。已知如图平面机构，由四根杆依次铰接而成。已知ABBC2r， CDDEr，AB 杆与杆与ED杆分别以匀角速度杆分别以匀角速度 1 和和 2 绕绕A、E 轴转动。在图示瞬时轴转动。在图示瞬时AB 与与CD 铅直、铅直、BC 与与 DE水平，试求该水平，试求该 瞬时瞬时 BC 杆转动的角速度。杆转动的角速度。 A BC DE 1 2 【思考与讨论思考与讨论】 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 A B C DE 1 2 B v B v CD v CB v D v D v 【分析分析】

24、分别以分别以B点和点和D点为基点分析点为基点分析C点的速度，其速度矢点的速度，其速度矢 如图所示。如图所示。 CBCB vvv CDCD vvv 结合上述两式，即可求解。结合上述两式，即可求解。 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 三、速度瞬心法三、速度瞬心法 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 1 1速度瞬心的概念速度瞬心的概念 一般情况下，在每一瞬时，平面图一般情况下，在每一瞬时，平面图 形形S及其延伸扩展部分上都唯一地存在及其延伸扩展部分上都唯一地存在 一个速度为零的点，该点称为速度瞬心。一个速度为零的点

25、，该点称为速度瞬心。 如图所示，已知点如图所示，已知点A的速度为的速度为vA， 图形角速度大小为图形角速度大小为 ，转向如图所示。，转向如图所示。 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 如以点如以点A为基点，为基点，则在则在vA的垂线的垂线AN上（由上（由vA到到AN的转向的转向 与角速度的转向一致）任意一点与角速度的转向一致）任意一点M的速度的速度vM的大小为的大小为 随着点随着点M在垂线上的位置的变化，在垂线上的位置的变化， vM 的大小也随之变化，因此总可以在的大小也随之变化，因此总可以在 AN上找到一点上找到一点C（该点是唯一的），（该点是唯一的

26、）， 使得该瞬时的使得该瞬时的vC为零。显然，只要令为零。显然，只要令 A v AC AMvv AM 则0ACvv AC 点C称为瞬时速度中心，简称速度瞬心速度瞬心。 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 C D A B vD vA vB C (a) (b) 2. 2. 平面图形内各点的速度及其分布平面图形内各点的速度及其分布 如果以速度瞬心如果以速度瞬心C为基点，为基点， 图（图（a)中各点的速度可以中各点的速度可以 写成写成 DCDCCD BCBCCB ACACCA vvvv vvvv vvvv 大小为DCvvBCvvAvv DCDBCBACA 这样

27、，平面图形上各点的速度在某瞬时的分布情况，与图这样，平面图形上各点的速度在某瞬时的分布情况，与图 形绕定轴转动时各点的速度分布情况类似（图形绕定轴转动时各点的速度分布情况类似（图b)。因此，。因此， 平面图形的运动可看成为绕速度瞬心的瞬时转动。平面图形的运动可看成为绕速度瞬心的瞬时转动。 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 需要强调的是，速度瞬心在平面图形及扩展部分上的需要强调的是，速度瞬心在平面图形及扩展部分上的 位置是随时间变化的。位置是随时间变化的。 （1）已知图形上一点的速度 和图形 角速度可以确定速度瞬心的位置。（C点） 且C在 绕A点顺转向

28、转90的方向一侧 , , A A AC v ACv A v A v 几种确定速度瞬心位置的方法几种确定速度瞬心位置的方法 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 (2)已知某瞬间平面图形上已知某瞬间平面图形上A,B两点速度两点速度 的方向，的方向， 且且 ， 过过A , B两点分别作速度两点分别作速度 的垂线的垂线,交交 点点C即为该瞬间的速度瞬心。即为该瞬间的速度瞬心。 BA vv , BA vv 不平行 BA vv , C 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 AB vv b BA B , )(反向与vvA AB

29、 vv a BA BA , )(同向与vv （3） 已知某瞬时图形上A ,B两点速度 的大小,且 BA vv , ABAB BA vv , C C 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 （5）已知某瞬时图形上）已知某瞬时图形上A,B 两点的速度方向相同，且不与两点的速度方向相同，且不与 AB连线垂直。此时连线垂直。此时, 图形的瞬图形的瞬 心在无穷远处心在无穷远处,图形的角速度图形的角速度 =0, 图形上各点速度相等图形上各点速度相等, 这种这种 情况称为瞬时平动情况称为瞬时平动. (此时各点此时各点 的加速度不相等的加速度不相等) （4）已知一平面图形

30、在固定面）已知一平面图形在固定面 上作无滑动的滚动上作无滑动的滚动, 则图形与固则图形与固 定面的接触点定面的接触点C为速度瞬心为速度瞬心 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 例如例如: 曲柄连杆机构在图示位置时，连杆曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平动作瞬时平动 此时连杆此时连杆BC的图形角速度的图形角速度 ， BC杆上各点的速度都相等杆上各点的速度都相等. 但各点的加速度并不相等但各点的加速度并不相等 设匀设匀 ，则，则 )( 2 ABaa n BB 而的方向沿而的方向沿AC的，的，瞬时平动与平动不同瞬时平动与平动不同 c a cB aa

31、0 BC 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 . . 速度瞬心法速度瞬心法 利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速度瞬心法。称为速度瞬心法。 平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度 瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。 若若P点为速度瞬心，则任意一点点为速度瞬心，则任意一点A的速度的速度 方向方向 AP，指向与，指向与 一致。一致。 APvA （1）速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时

32、间不断变化）速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不断变化 的。在任一瞬时是唯一存在的。的。在任一瞬时是唯一存在的。 （2）速度瞬心处的速度为零）速度瞬心处的速度为零, 加速度不一定为零。不同于定轴转动。加速度不一定为零。不同于定轴转动。 （3）刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速度是不）刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速度是不 一定相同的。不同于刚体作平动。一定相同的。不同于刚体作平动。 . . 注意的问题注意的问题 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 【解】机构中,OA作定轴转动,AB作平面运 动,滑块B作平

33、动。 例例7-4 已知：曲柄连杆机构已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，取柄取柄OA以匀以匀 转动。转动。 试用速度瞬心法求当试用速度瞬心法求当 =45时时, 滑块滑块B的速度及的速度及AB杆的角速杆的角速 度。度。 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 )(2 / , lBPv llAPv lAPlv ABB AAB A （） 研究AB，已知的方向，因此 可确定出P点为速度瞬心。如图所示。 BA vv , 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 例例7-57-5 在图中，杆在图中，杆AB长长l，滑倒时，滑倒时B 端靠

34、着铅垂墙壁。已知端靠着铅垂墙壁。已知 A点以速度点以速度u沿水平轴线运动，试求图示位置杆端沿水平轴线运动，试求图示位置杆端B点的速度点的速度 及杆的角速度。及杆的角速度。 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 方法一：选方法一：选A点为基点，点为基点， A点的点的 速度速度vA=v，则则B点的速度可表示点的速度可表示 为为 BAAB vvv 式中式中vB方向沿方向沿OB向下，向下，vBA方向方向 垂直于杆垂直于杆AB，由速度合成矢量，由速度合成矢量 图可得图可得 , tan v

35、 vB, sin v vBA A B v O AB sin 1 l v l vBA AB 所以 ( 逆时针 ) 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 ABBA vvv , tan v vB , sin v vBA sin 1 l v l vBA AB 所以 ( 逆时针 ) 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 cot cos sin vl l v BCv ABB sin l v AC v AB 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 第三节第三节 平面图形内各点加速度的求解平面

36、图形内各点加速度的求解 已知：图形S 内一点A 的加速度 和图形 的 , （某一瞬时）。 求： 该瞬时图形上任一点B的加速度。 A a 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 由由 rea aaa 以及对应关系以及对应关系 rae aaaaaa BABA 可得可得 nt BABAA BAAB aaa aaa 即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图 形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这一方形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这一方 法称为法称为基点法基点法，又称为，又称为

37、速度合成法速度合成法。 其中其中 2nt ABaABa BABA 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 【分析】： 大小 ？ 2 方向 ？ 故应先求出 。 nt POPOOP aaaa RvO/ （） 【解】轮O作平面运动，P为速度瞬心，有 O v O a 例例7-67-6半径为R的车轮沿直线作纯滚动, 已知轮心O点的速 度 及加速度 ,求车轮与轨道接触点P的加速度。 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 由于此式在任何瞬时都成立，且由于此式在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故而点作直线运动，故而 R a dt

38、dv Rdt d OO 1 （） 由此看出，速度瞬心由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加的加速度并不等于零，即它不是加 速度瞬心。当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬速度瞬心。当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬 心心P的加速度指向轮心。的加速度指向轮心。 以以O为基点，有为基点，有 其中：其中： 做出加速度矢量图，由图中看出：做出加速度矢量图，由图中看出： （ 与与 等值反向）等值反向） 即即 R v R v RRaaRa OO POOPO 2 22nt )( , n po aaP O a t PO a )(/ 2 Rva OP nt POPOOP aaaa 理论力

39、学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 例例7-7 7-7 曲柄滑块机构如图所示，曲柄曲柄滑块机构如图所示，曲柄OA长长R，连杆，连杆AB长长l。 设曲柄以匀角速度设曲柄以匀角速度沿逆钟向绕定轴沿逆钟向绕定轴 O 转动。试求当曲柄转动。试求当曲柄 转角为转角为 时滑块时滑块B的加速度和连杆的加速度和连杆AB的角加速度。的角加速度。 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 vA vA vB vBA = )sin( ) 2 sin() 2 sin( BBAA vvv 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动

40、刚体的平面运动 Rv BA cos cos sinsin l R cos cos l R l v BA AB vA vB vBA B x y 2 2 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 O A B aA aA atBA nt BABAAB aaaa 2n Raa AA ABBA ABa t t BA a t BA a 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 O A B aA aA atBA n )cos( cos BAAB aaa n )cos( cos 1 BAAB aaa B a nt BABAAB aaaa

41、t BA a t BA a 2n ABBA ABa n BA a 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 nt BABAAB aaaa )sinsin( cos 1 nt BAABA aaa )sinsin( cos 1 n t BAA BA AB aa lAB a sin cos sin0 nt BABAA aaa 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 第四节第四节 运动学运动学综合应综合应 用用 在求解此类问题时，首先要依据各刚体的运动特征，分辨它们各自在求解此类问题时，首先要依据各刚体的运动特征，分辨它们各自

42、作什么运动，是平动、定轴转动还是平面运动，其次，刚体之间是靠约作什么运动，是平动、定轴转动还是平面运动，其次，刚体之间是靠约 束连接来传递运动，这就需要建立刚体之间连接点的运动学条件。特别束连接来传递运动，这就需要建立刚体之间连接点的运动学条件。特别 是两刚体间的连接点有相对运动的情形。例如，用滑块和滑槽连接两刚是两刚体间的连接点有相对运动的情形。例如，用滑块和滑槽连接两刚 体时，连接点的速度和加速度是不相同的。需要应用点的合成运动去建体时，连接点的速度和加速度是不相同的。需要应用点的合成运动去建 立连接点的运动学条件。如果被连接的刚体中有作平面运动的，则需要立连接点的运动学条件。如果被连接的

43、刚体中有作平面运动的，则需要 综合应用点的合成运动和刚体平面运动和理论去求解。求解时，应从已综合应用点的合成运动和刚体平面运动和理论去求解。求解时，应从已 知运动条件的刚体开始，然后通过已建立的运动学条件过渡到相邻的刚知运动条件的刚体开始，然后通过已建立的运动学条件过渡到相邻的刚 体，直至最后将解全部求得。体，直至最后将解全部求得。 在工程实际中需要综合应用很多平面运动机构皆是复杂的和综合的，在工程实际中需要综合应用很多平面运动机构皆是复杂的和综合的， 因此对其运动分析是运动学理论。而其难点一般出现在因此对其运动分析是运动学理论。而其难点一般出现在点的合成运动理点的合成运动理 论与刚体平面运动

44、理论的综合应用论与刚体平面运动理论的综合应用中。中。 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 例例7-87-8 导槽滑块机构。导槽滑块机构。 已知： 曲柄OA= r , 匀角速度 转动, 连杆AB的中点C处连接一 滑块C可沿导槽O1D滑动, AB=l,图示瞬时O,A,O1三点 在同一水平线上, OAAB, AO1C= =30。 求：该瞬时O1D的角速度。 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 （2）用合成运动方法，求用合成运动方法，求O1D 杆上与滑块杆上与滑块C 接触的点的速度。接触的点的速度。 【解】【解】OA,

45、 O1D均作定轴转动均作定轴转动, AB作平面运动。作平面运动。 （1）研究）研究AB: , 图示位置图示位置, 作作瞬时平动瞬时平动, 所以所以 rvvrv AcB ; rvA 动点动点: AB杆上C (或滑块C ), 动系动系: O1D杆, 静系静系: 机架 绝对运动绝对运动：曲线运动，方向 相对运动相对运动：直线运动，方向/ O1D 牵连运动牵连运动：定轴转动，方向 O1D rvv ca ? r v ? e v 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动 根据，作速度平行四边形作速度平行四边形 rea vvv rrvv Ce 2 3 30coscos l r l r CO v COv e DO DOe 2 3 sin/ 2 23 1 1 1 1 又 这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理 论求解的综合性问题论求解的综合性问题。 理论力学电子教程理论力学电子教程 第七章第七章 刚体的平面