第1章地球物理中的计算问题概述

1、计算地球物理 地球物理与信息工程学院 物探系 周 辉 2014年 总目录 第一章 地球物理中的计算问题概述（3） 第二章 地球物理中常用数值解法 的基本原理（14） 第三章 电磁场数值模拟（5） 第四章 弹性波场数值模拟 （5) 第五章 地球物理反问题基本方法（3） 讨 论 （2） 上 机 自主选题、编程、上机计算、 分析问题及解决方法 （作业） 计算地球物理 地球物理与信息工程学院 物探系 周 辉 2014年 第一章 地球物理中的计算问题概述 内容 第一节 绪论 第二节 地球物理中的引力位方程 第三节 地球物理中的磁位方程 第四节 地球物理中的电位方程 第五节 地球物理中的电磁场方程 第六节

2、 地球物理中的弹性波场方程 第七节 地球物理中的声波方程 计算地球物理学（Computational Geophysics)是地球物理、 数学和计算机科学三者相结合而产生的一门边缘学科。 计算地球物理学是地球物理学的一个分支学科，已经成为 现代地球物理学理论与应用的各个方面必不可少的科学手段和 有力支柱。 第一节 绪论 1.1 计算地球物理学的兴起与发展 地球物理学实质上是一门以观测数据对地球内部各种尺 度的地质体和矿体进行研究的一门科学，因此，从它形成独 立学科的时候起，就离不开计算问题。 反问题 正问题 理论问题研究、提出新的理论或方法时 第一节 绪论 1.1 计算地球物理学的兴起与发展

3、n 计算机问世前，地球物理的计算是粗略的。在上世纪50年 代以前虽然已经广泛地进行地球物理计算，但它并未形成 一门学科分支。 n 将计算机引进到地球物理工作中来，特别是数字化采样后， 才使地球物理的计算工作向更深入、更精确的方向发展， 许多以前无法计算的问题得以解决。这样才逐渐形成了计 算地球物理学的分支学科。 n 形成的开始时期大约在1960年代初期。 第一节 绪论 1.2 计算地球物理学的研究内容 n正问题 物理模拟、解析解、数值计算 解析法分离变数法、积分变换方法、Green函数方法、 变分法、对于二维和三维Laplace方程的边值问题，也还 可以将解表示为特殊的积分公式、保角变换，对于

4、双曲型 方程的定解问题，也存在一些特殊的解法，例如平均值法， 降维法。 第一节 绪论 1.2 计算地球物理学的研究内容 n 正问题 数值计算效率高、费用低。 数值计算方法多种多样：有限差分法、有限元法、边界元 法、快速傅里叶变换法、拟谱法、数值积分法（克希霍夫 积分）、元胞自动机法（格子玻尔兹曼法）和射线追踪法。 第一节 绪论 1.2 计算地球物理学的研究内容 n反问题 有关地球内部的知识的来源地球物理观测。 地球物理学的基本问题用地面或地表附近的各种观测资料 定性和定量地对地下的地质结构和矿产资源做出判断，这 就是解地球物理反问题。 第一节 绪论 1.2 计算地球物理学的研究内容 n 反问题

5、 地球物理反问题： （1）根据现在的物理状态去确定物理过程的过去状态。 （温度分布、地震偏移成像、电磁波成像等）。 （2）从微分方程的解的某种泛函来求方程的系数或右端 项（速度、密度、电阻率等参数的反演）。不适定问题、 非线性。 第一节 绪论 1.2 计算地球物理学的研究内容 n 信号处理、信息提取与可视化 反问题求解之前，要对实际地球物理数据进行旨在加强有 用信息的信号处理。 第一节 绪论 1.3 计算地球物理学的特点 （1）不适定问题不可避免，特别是在解反问题中 吉洪诺夫假定不适定问题的解具有某种“正则”性质，可 以通过将不适定问题正则化为适定的问题求解求得稳 定近似解。 适定性解的存在性

6、、稳定性、唯一性 第一节 绪论 1.3 计算地球物理学的特点 （1）不适定问题不可避免，特别是在解反问题中 多解性 第一节 绪论 例 子 1 由 反 射 系 数 求 波 阻 抗 例子2 重力异常 1.3 计算地球物理学的特点 （2）计算地球物理的求解精度要求有适度性，否则会适得其反。 地球物理的观测数据是间接的物理场响应的综合结果，不是 与地下的地层空间点一一对应的关系，不能简单地要求达到 想要达到的理想精度，例如地震分辨率、去噪、组合。 第一节 绪论 h 4 h o o C C D 菲涅尓带 1.3 计算地球物理学的特点 （3）在计算地球物理学中结合实用的创新性是它的发展的基础 计算地球物理

7、学不是直接应用数理方程和计算数学中的 已有知识，而是与地球物理问题密切结合，以明确的地球物 理问题为出发点和归宿点。 从地球物理问题提出的方程、公式和求解方法与计算方 法都是比较独特的，不但与现成的数学方法不完全一致，而 且有时很难对它们的适定性、收敛性和稳定性做出预先的研 究。常常是先应用，从应用的效果来判断模型、方法和计算 过程的可行性。 第一节 绪论 第二节 地球物理中的引力位方程 0000 ,Mx y z m , ,P x y z 2 m FG r 矢量形式 Fr 0 00 2 PM PMPM m G rr r F 对点P 的引力F大小为 分量形式 对x，y，z的偏导数 0000 ,M

8、x y z m , ,P x y z Fr 引力场对单位质量点所作的功 第二节 地球物理中的引力位方程 QL 功与运动所经过的路径无关而只决定于运动的起始 点和终点的位置。这个性质叫力场的保守性。 对于保守力场可引入一个标量函数来描述。固定一点Q，对空 间任意点P（M0点除外）赋予一个标量V(P)单位质点从Q点移 动到点P引力所作的功： 第二节 地球物理中的引力位方程 Q处于无穷远处 0000 ,Mx y z m , ,P x y z Fr QL V(P)为引力场的位。引力场既是 保守场又是有位势的场 。 由引力和功的可加性，引力场强和引力位的概念可推广到任 意分布的质量体激发的引力场： 第二

9、节 地球物理中的引力位方程 从场位确定场强 第二节 地球物理中的引力位方程 重力场是保守场，是有位势的场，是无旋场（梯度的旋度=0）。 引力位 U 满足泊松方程（非齐次）或拉普拉斯方程（齐 次），这取决于体密度的分布情况 第二节 地球物理中的引力位方程 222 2 222 4, , UUU UGx y z xyz 磁场起源于电荷的运动，因此，磁现象实质上是电流的一种 效应。目前在磁法勘探中所研究的静磁场就是稳定电流的磁 场，它只与电流的分布有关。 第三节 地球物理中的磁位方程 稳定电流的磁场与静电场不一样，它的磁力线是闭合的，因 此它是个无散、有旋场。 222 2 222 4, , m UUU

10、 Ux y z xyz 对于磁荷体密度, , m x y z不为零的区域， 静磁位满足泊松方程 传导类电法勘探，是以地壳中人工电流场、天然电流场在岩 层或矿体中的空间分布规律和由于矿体被极化而产生的激发 极化电流场的时间特征及空间分布规律为理论基础的。 第四节 地球物理中的电位方程 地中电流分布的连续性 通过不包含电流源的任意闭合面的电流密度通量等于零。 S dI JS 第四节 地球物理中的电位方程 地中电流密度与电场强度的正比性 , E EJJE 欧姆定律的微分形式 在解决电法勘探正、反演问题时最为常用。 第四节 地球物理中的电位方程 地中电流场的势场性 电场作功与所沿路径无关,即电场为无旋

11、场。 在稳定电流场中，地中任意点M处的电位，等于单位正电 荷由观察点M处移到无穷远电场力所作的功， 0 l d El M Ud El 第四节 地球物理中的电位方程 地中电流场的势场性 稳定电流场中电场强度与电位的关系 U E 1 UU J 第四节 地球物理中的电位方程 地中电流场的势场性 0E U E 2 0U , , e x y z 222 2 222 4, , e UUU Ux y z xyz 在电荷密度 不为零的区域，电位满足 第四节 地球物理中的电位方程 重力位、磁位和电位满足的方程重写如下 222 2 222 4, , 4, , 4, , m e Gx y z UUU Ux y z

12、xyz x y z 第五节 地球物理中的电磁场方程 电磁勘探从理论基础并结合异常的原因分为： (1)传导类电法，观测和利用传导作用而产生的异常，如电 阻率法、自然电场法、充电法和激发极化法等，它们满足 位场理论。这种方法通常称为电法。 （充电法是良导体直接连通电源，观测其电场分布特征和规律 进行找矿勘探的一种方法。带电后的良导电体是一个近似等电 位的带电体，可在地表、钻孔或坑道中观测电位或电位梯度的 变化。根据实测曲线可分析推断矿体形状，产状、埋深、几个 矿体是否相连及确定地下水流速、流向等问题。） 第五节 地球物理中的电磁场方程 电磁勘探从理论基础并结合异常的原因分为： （2）感应类电法，观

13、测和利用的是由电磁感应作用产生的 异常，如瞬变电磁法、大地电磁测深法、频率测深法、无 线电波法等，它们满足麦克斯韦方程，且又是一种波场， 与地震波场在某些方法有相通之处。这种方法称为电磁法。 瞬变电磁法利用不接地回线或接地线源向地下发射一次脉冲 磁场，在一次脉冲磁场间歇期间利用线圈或接地电极观测地下 介质中引起的二次感应涡流场，从而探测介质电阻率的一种方 法。 频率测深法指频率在几十到几万Hz的音频范围内，通过改变 交变磁场频率的办法探测岩层电阻率随深度的变化以了解地质 构造和找矿的一种人工场源电磁法。 无线电波频率在几十万赫至几十兆赫的电磁波。 第五节 地球物理中的电磁场方程 麦克斯韦方程组

14、 = + = 0 t t q D H J B E D B 麦克斯韦方程组是大地电磁场所遵循的基本微分方程式。 E 电场强度 H 磁场强度 D 电感应强度 B 磁感应强度 J 电流密度 q 自由电荷 DE BH JE 第五节 地球物理中的电磁场方程 对于高频的探地雷达，电磁场满足麦克斯韦方程。 对于大地电磁测深，一般 f10 Hz，这时在导电介质中的位 移电流与传导电流 J 相比可以忽略不计（ ），在 谐变场的情况下，假定介质无磁性，则 0 = 0 0 i EH HE H E 第五节 地球物理中的电磁场方程 z y 0 , y z , y z 二维介质 麦克斯韦方程分解为两组独立的方程 y z

15、x x y x z E E iH yz H E z H E y 磁场平行 极化 电场平行 极化 y z x x y x z H H E yz E iH z E iH y 第五节 地球物理中的电磁场方程 亥姆霍兹方程式 磁场平行极化 电场平行极化 2222 22 2222 00 xxxx xx HHEE k Hk E yzyz 2 ki 第六节 地球物理中的弹性波场方程 Ce T xxyyzzyzzxxy 6 6 ij c C T xxyyzzyzzxxy eeeeeee 广义虎克定律 第六节 地球物理中的弹性波场方程 应变-位移关系 , 111 , 222 y xz xxyyzz yy xxz

16、z yzzxxy u uu eee xyz uu uuuu eee zyzxxy 第六节 地球物理中的弹性波场方程 应力与位移之间满足牛顿运动定律 第六节 地球物理中的弹性波场方程 各向同性介质 第六节 地球物理中的弹性波场方程 牛顿运动定律 2 j i ijij ji u u xx 虎克定律 xy xxxxz x yyxyyyz y zy zxzzz z v f txyz v f txyz v f txyz vx，vy，vz为质点振动速度。 第六节 地球物理中的弹性波场方程 牛顿运动定律 2 ijijij e虎克定律 xy xxxxz x yyxyyyz y zy zxzzz z v f t

17、xyz v f txyz v f txyz ijyj xiz ij ji vv vvv txyzxx 第六节 地球物理中的弹性波场方程 应力和质点振动速度的一阶偏微分方程组 xy xxxxz x yyxyyyz y zy zxzzz z v f txyz v f txyz v f txyz , xyyyzy xxzxzz vv vvvv tyxtzxtzy 2 2 2 y xxxxz yyyy xz y xzzzz v vvv txyzx vv vv txyzy v vvv txyzz 第六节 地球物理中的弹性波场方程 虎克定律、应变-位移关系、牛顿运动定律二阶波动方程 第七节 地球物理中的声

18、波方程 固体介质中的纵波是一种胀缩应变波，与流体中的声波具有同 样性质。如果不考虑固体中的转换波问题，地震波的传播问题 可以使用声波方程来研究。通常使用的标量波动方程就是这类 以标量函数，如压力为未知函数的方程式。 1 1 1 y xz x y z v Pvv K txyz vP tx v P ty vP tz 第七节 地球物理中的声波方程 二维声波方程和电磁波方程的相似性（一阶方程） 1 1 xz x z vvP K txz vP tx vP tz 1 1 1 xz x z HEH tzx HE tz HE tx 1 , xzzx EPHvHv K 第七节 地球物理中的声波方程 二维声波方程和电磁波方程的相似性（二阶方程） 1 1 1 xz x z HEH tzx HE tz HE tx 222 2 22 2 22 2 1 1 1