第03章 流体动力学基础-2

1、3.1 3.1 研究研究流体运动的两种方法流体运动的两种方法 3.2 3.2 欧拉法的基本概念欧拉法的基本概念 3.3.3 3 连续性方程连续性方程 3.4 3.4 流体的运动微分方程流体的运动微分方程 3.5 3.5 不可压缩理想不可压缩理想流体的流体的伯努利方程伯努利方程 3.3.6 6 实际液体恒定元流的能量方程实际液体恒定元流的能量方程 3.7 3.7 恒定总流的动量方程恒定总流的动量方程 六六. 实际液体（黏性流体）恒定元流的能量方程实际液体（黏性流体）恒定元流的能量方程 22 1122 12 22 w pupu zzh gggg w h 为单位重量液体从断为单位重量液体从断 面面1

2、-1流至断面流至断面2-2所损所损 失的能量失的能量 dl 几何意义：几何意义： 在同一过水断面上不同位置点的测压管液面高程相同；即：在同一过水断面上不同位置点的测压管液面高程相同；即： 1 1 1 C p z C p z 如图如图1，2断面：断面： 在不同过流断面上测压管液面高程不相同。在不同过流断面上测压管液面高程不相同。 2 2 2 C p z 2 2 1 1 p z p z 位置水头位置水头+压强水头压强水头=总总( (测压管测压管) )水头是一个常数水头是一个常数 五五. 渐变流过水断面上的压强分布规律符合液体静力学基本渐变流过水断面上的压强分布规律符合液体静力学基本 规律规律 恒定

3、元流能量方程：恒定元流能量方程： 22 1122 12 22 w pupu zzh gggg 上式就是单位重量流体沿元流的能量方程式。设元流的上式就是单位重量流体沿元流的能量方程式。设元流的 流量为流量为dQ，单位时间内通过元流任一过流断面的流体重，单位时间内通过元流任一过流断面的流体重 量为量为gdQ，将上式中各项分别乘以，将上式中各项分别乘以gdQ，则，则单位时间单位时间 内通过元流两过流断面间流体的能量关系为：内通过元流两过流断面间流体的能量关系为： 22 1122 12 ()() 22 w pupu zgdQzgdQhgdQ gggg 4.3 实际液体恒定总流实际液体恒定总流 的能量方

4、程的能量方程 对总流过流断面进行积分：对总流过流断面进行积分： 2 11 1 2 22 2 () 2 () 2 QQ w QQQ pu zgdQgdQ gg pu zgdQgdQhgdQ gg 22 1122 12 ()() 22 w pupu zgdQzgdQhgdQ gggg 的积分的积分 ()()() QQ ppp zgdQzgdQzgQ ggg C g p z)( () Q p zgdQ g 一般而言，总流过流断面上的测压管水头的分布规律与过流断面上一般而言，总流过流断面上的测压管水头的分布规律与过流断面上 的流动状态有关，若是均匀流或缓变流，则同一断面上动压强的分的流动状态有关，若是

5、均匀流或缓变流，则同一断面上动压强的分 布规律与静压强相同，即：布规律与静压强相同，即： ，因此只要是缓变流断面，因此只要是缓变流断面， 上式的积分可化为：上式的积分可化为： 2 11 1 2 22 2 () 2 () 2 QQ w QQQ pu zgdQgdQ gg pu zgdQgdQhgdQ gg 2 2 Q u gdQ g 的积分的积分 上式表示单位时间内通过过流断面上式表示单位时间内通过过流断面A的流体总动能。由于过流断的流体总动能。由于过流断 面上的流速分布与流体内部结构和边界条件有关，一般难于确面上的流速分布与流体内部结构和边界条件有关，一般难于确 定。因此工程上常用定。因此工程

6、上常用平均速度平均速度取代点的速度，由此产生的误差，取代点的速度，由此产生的误差， 通过引进通过引进动能修正系数动能修正系数加以改正。加以改正。 上式的积分可化为：上式的积分可化为： 232 3 2222 QA ugvv gdQu dAgAgQ gggg 2 11 1 2 22 2 () 2 () 2 QQ w QQQ pu zgdQgdQ gg pu zgdQgdQhgdQ gg 3 3 Au dA v A w Q hgdQ 的积分的积分 假定各个微小流束单位重量液体所损失的能量都用一个平均值假定各个微小流束单位重量液体所损失的能量都用一个平均值 来代替，上式的积分可化为：来代替，上式的积分

7、可化为： www QQ hgdQghdQgQh 2 11 1 2 22 2 () 2 () 2 QQ w QQQ pu zgdQgdQ gg pu zgdQgdQhgdQ gg 将（将（1 1）（）（2 2） (3) (3)三个积分代入公式中，各式同除以三个积分代入公式中，各式同除以gQ： 22 11 122 2 12 22 w pvpv zzh gggg 总流的能量方程式总流的能量方程式( (恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程) ) （）恒定总流能量方程各项的物理意义和几何意义（）恒定总流能量方程各项的物理意义和几何意义 22 11 122 2 12 22 w pvpv zzh ggg

8、g 总流过流断面上某点（计算点）总流过流断面上某点（计算点） 单位重量流体的位能单位重量流体的位能 位置高度位置高度/ /位置水头位置水头 能量意义能量意义 几何意义几何意义 z g p 压强水头压强水头 g v g p z 2 2 g v 2 2 g p z 单位重量流体所具有的单位重量流体所具有的平均平均势能势能 测压管水头测压管水头 速度水头速度水头 单位重量流体的单位重量流体的平均平均机械能机械能 总水头总水头 总流过流断面上某点（计算点）总流过流断面上某点（计算点） 单位重量流体的压能单位重量流体的压能 总流过流断面上单位总流过流断面上单位 重量流体的重量流体的平均平均动能动能 w

9、h单位重量流体的单位重量流体的平均平均能量损失能量损失 水头损失水头损失 2 2 pv Hz gg 12w HHh （2 2）能量方程的图示与水力坡度）能量方程的图示与水力坡度 水力坡度，水力坡度，J 0. 单位长度的能量损失单位长度的能量损失 dl g v g p zd dl dH dl dh J w ) 2 ( 2 测压管坡度，测压管坡度， 可正可负可为可正可负可为0. 0. dl g p zd dl dh J p p )( 因为总水头总是沿程减小，总水头线必定是一条沿流程下降的线；因为总水头总是沿程减小，总水头线必定是一条沿流程下降的线； 测压管水头线则可能沿流程下降也可能沿流程上升，也

10、可能是一条水平线。测压管水头线则可能沿流程下降也可能沿流程上升，也可能是一条水平线。 w h g v g p z g v g p z 22 2 222 2 2 111 1 dl （3 3）总流能量方程的应用条件）总流能量方程的应用条件 恒定流动；恒定流动； 不可压缩流体；不可压缩流体； 作用于流体上的质量力只有重力；作用于流体上的质量力只有重力； 所选取的两个计算过流断面应符合缓变流或均匀流条件，所选取的两个计算过流断面应符合缓变流或均匀流条件， 但两计算断面之间允许存在急变流；但两计算断面之间允许存在急变流； 两断面之间没有分流和汇流，流量保持不变两断面之间没有分流和汇流，流量保持不变 （4

11、 4）运用总流能量方程的解题步骤）运用总流能量方程的解题步骤 选基准面选基准面( (参考面）参考面） 基准面的选取，最好能使能量方程中计算点的位置高度一个基准面的选取，最好能使能量方程中计算点的位置高度一个 为为0，一个为正。，一个为正。 选过流断面和计算点选过流断面和计算点 过流断面应取在均匀流或渐变流断面上，它与计算点的选取过流断面应取在均匀流或渐变流断面上，它与计算点的选取 共同共同应力求使未知数最少应力求使未知数最少。 列能量方程式列能量方程式 结合连续性方程求解。结合连续性方程求解。 w h g v g p z g v g p z 22 2 222 2 2 111 1 （6 6）运用

12、总流能量方程的注意事项）运用总流能量方程的注意事项 基准面可以任意选取，但必须是水平面；基准面可以任意选取，但必须是水平面； 在计算过流断面的测压管水头（在计算过流断面的测压管水头（ ）时，可任意选取过流）时，可任意选取过流 断面上的点作为计算点，并不要求是同一条流线上的点，具体选断面上的点作为计算点，并不要求是同一条流线上的点，具体选 哪一点，以计算方便，未知量少为标准；一般无压流选自由表面哪一点，以计算方便，未知量少为标准；一般无压流选自由表面 方程中的方程中的p可以是相对压强也可以是绝对压强，但等式两边一致；可以是相对压强也可以是绝对压强，但等式两边一致； g p z （5 5） 动能修

13、正系数：动能修正系数：1 3 3 Av dAu A 速度分布越不均匀，速度分布越不均匀， 值越大。值越大。 在均匀流中在均匀流中 v = u ，所以，所以 =1。 在缓变流中在缓变流中 =1.051.10=1.051.10，常取，常取 =1=1。 已知：已知：水流通过如图所示管路系统流入大气，已知水流通过如图所示管路系统流入大气，已知U形管中水银形管中水银 柱高差柱高差hp=0.25m，水柱高，水柱高h1=0.92m，管径，管径d1=0.1m ，管道，管道 出口直径出口直径d2=0.05m，不计损失。，不计损失。 求：求：管中通过的流量。管中通过的流量。 解：解：（）（）选基准面选基准面 以管

14、道出口断面为基准面，即以以管道出口断面为基准面，即以2- -2面为基准面面为基准面 （）选过流断面（）选过流断面 选安装选安装U形管的管道断面为形管的管道断面为1- -1断面；以及管道出口断面；以及管道出口 断面为断面为2- -2断面断面 （）选计算点（）选计算点 计算点均取在管轴中心上计算点均取在管轴中心上 （）列（）列1- -1，2- -2断面的能量方程断面的能量方程 g v g p g v g p 2 0 2 1520 2 222 2 111 ）（ 1 21 : :令令 g v g p g v g p 22 5 2 22 2 11 0 2 111 p ghghghpp ghpp pB p

15、BA sm d vAvQ smv /105 .37 4 /78. 4 33 2 1 111 1 11 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 4)( 44 vv d d v d v d v g v g p g v g p 22 5 2 22 2 11 相对压强相对压强 （5 5）连续性方程）连续性方程 g v g v g ghghp 22 5 2 2 2 1 1 g vv g ghghp 2 5 2 1 2 2 1 文丘里流量计文丘里流量计 用以测量管路中流体流量的设备。它是由渐缩管、喉管、渐扩管所组成。用以测量管路中流体流量的设备。它是由渐缩管、喉管、渐扩管所组成。 主管路直径主管路直径d1

16、； 喉管直径喉管直径d2；管长；管长L=0.5d1-0.25d1； 渐缩管管长渐缩管管长L=2.5d1； 渐扩管管长渐扩管管长L=7.5d1。 欲测某管段的流量，则把文丘里流量计连接在该管段中，因喉管断面缩小，欲测某管段的流量，则把文丘里流量计连接在该管段中，因喉管断面缩小， 流速增大，动能增加，势能减小，安装在该断面的测压管液面就会低于安装流速增大，动能增加，势能减小，安装在该断面的测压管液面就会低于安装 在渐缩管进口断面前的测压管液面。测量两测压管液面高差，便可根据恒定在渐缩管进口断面前的测压管液面。测量两测压管液面高差，便可根据恒定 总流的能量方程计算得到管道的流量。总流的能量方程计算得

17、到管道的流量。 （7 7）总流能量方程的推广）总流能量方程的推广 文丘里流量计文丘里流量计安装水银压差计的倾斜管路安装水银压差计的倾斜管路 如果两断面的压差过大，不便读数时可直接安装水银压差计如果两断面的压差过大，不便读数时可直接安装水银压差计 已知：已知：某倾斜管路直径某倾斜管路直径d1 1，喉管直径，喉管直径d2，不计能量损失，不计能量损失, , 为为水银水银 的密度，的密度，水银压差计的水银面高差为水银压差计的水银面高差为h hp ， 为水的密度。为水的密度。 试求：试求：管道的流量。管道的流量。 解：解：列列1- -1，2- -2断面的能量方程：断面的能量方程： （参考面为（参考面为0

18、- -0） g v g p z g v g p z 22 2 222 2 2 111 1 1 21 令 2 2 1 12 )( d d vv 连续性方程连续性方程 右左NN pp g v g p z g v g p z 22 2 22 2 2 11 1 g vv zz g pp 2 )( 2 1 2 2 21 21 p hzz g pp 1 21 21 pp pp pN pN h g p hzz g p hgphgzzgp hgghpp hgghzzgpp 2 21 1 2211 2 211 右 左 p hKQ 实 此时管道通过的实际流量：此时管道通过的实际流量： g vv hp 2 1 2

19、1 2 2 ）（ 1 2 2 1 1 2 1 2 v d d v A A v 1 2 4 2 4 1 1 d d hg v p p hzz g pp 1 21 21 g vv zz g pp 2 )( 2 1 2 2 21 21 p p hK d d hg d v d Q 1 2 44 4 2 4 1 2 1 1 2 1 已知：已知：输油管道的直径输油管道的直径d1=260mm收缩到收缩到d2=180mm，用图示缸套、，用图示缸套、 活塞装置测量油的流量活塞装置测量油的流量Q。活塞直径。活塞直径D=300mm，油的密度，油的密度 =850kg/m3，如果固定活塞所要施加的力，如果固定活塞所要施

20、加的力F=75N。 求：求：管内油的流量管内油的流量Q。 解：解：（1 1）建立连续性方程）建立连续性方程 2 22 2 2 11 1 221121 44 d Q A Q v d Q A Q v QAvAvQQQ （2 2）建立伯努利方程）建立伯努利方程 对对1- -1，2- -2断面列伯努利方程断面列伯努利方程 g v g p z g v g p z 22 2 222 2 2 111 1 取管路的轴线为参考面，所以取管路的轴线为参考面，所以 1 0 21 21 zz g v g v g p g p 22 2 1 2 221 4 1 4 2 4 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2

21、221 1 8 1 22d d d Q v v vvvpp 4 )( 4 )( 2 2 2 1 D ghpP D ghpP 右 左 作用于活塞左右两侧的压力作用于活塞左右两侧的压力 2 22 2 2 11 1 4 4 d Q A Q v d Q A Q v 2 21 21 2 4 4 D F pp pp D PPF 右左 sm d d D dF Q D F d d d Q vvpp /0458. 0 12 4 1 8 2 3 4 1 4 2 2 4 2 24 1 4 2 4 2 2 2 2 1 2 221 4 )( 4 )( 2 2 2 1 D ghpP D ghpP 右 左 （3 3）作用于

22、活塞上的力）作用于活塞上的力F 已知：已知：为了测量矿山排风管道的气体流量为了测量矿山排风管道的气体流量Q，在其出口处装有一个，在其出口处装有一个 收缩、扩张的管嘴，在喉部处安装一个细管，下端插入水中，收缩、扩张的管嘴，在喉部处安装一个细管，下端插入水中， 如图所示。其中如图所示。其中h=45mm，d1=400mm，d2=600mm，大气压的，大气压的 密度为密度为=1.25kg/m3, , 水水的密度为的密度为=1000kg/m3。 求：求：排风管道的气体流量排风管道的气体流量Q。 解：解：（1 1）建立连续性方程）建立连续性方程 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 22

23、1121 v d d v d d A A v v QAvAvQQQ （2 2）建立伯努利方程）建立伯努利方程 对对1- -1，2- -2断面列伯努利方程断面列伯努利方程 g v g p z g v g p z 22 2 22 2 2 11 1 大气大气大气大气 取管路的轴线为参考面取管路的轴线为参考面 0 21 zz 4 1 4 2 2 2 2 1 2 21 2 1 2 21 1 2222d dv vvpp g v g v g p g p a a 大气大气 ghpppghp aa 11 4 1 2 2 2 2 4 1 4 2 2 d vQ d d gh v 2 2 1 2 2 1 v d d

24、v 大气大气 g v g p g v g p a 22 2 2 2 11 两断面之间有机械能的输入和输出两断面之间有机械能的输入和输出 wt h g v g p zH g v g p z 22 2 222 2 2 111 1 水泵或水轮机水泵或水轮机输入或输出的能量输入或输出的能量 在管路中若有水泵或水轮机等水力机械，水流通过水在管路中若有水泵或水轮机等水力机械，水流通过水 力机械的叶片时将发生能量变换。只要在相应侧加上力机械的叶片时将发生能量变换。只要在相应侧加上 或减去输入或输出的能量即可。或减去输入或输出的能量即可。 水泵：水泵：水流通过水泵的叶片时，叶片对水流作功，水流通过水泵的叶片时

25、，叶片对水流作功， 使水流的能量增加。使水流的能量增加。 水轮机：水轮机：水流通过水轮机的叶片时，水流对叶片作功，水流通过水轮机的叶片时，水流对叶片作功， 使水流的能量减少。使水流的能量减少。 t H 能量输入或输出水头能量输入或输出水头 t H t H 水泵取正号（能量增加）水泵取正号（能量增加）称为水泵的扬程称为水泵的扬程 水轮机取负号（能量减少）水轮机取负号（能量减少） 常见的水泵和水轮机管路系统如图常见的水泵和水轮机管路系统如图 wt h g v g p zH g v g p z 22 2 222 2 2 111 1 wt h g v g p zH g v g p z 22 2 222

26、 2 2 111 1 两断面之间有分流或汇流两断面之间有分流或汇流 根据能量守恒定理：根据能量守恒定理： ) 2 () 2 () 2 ( 2 333 33 2 222 22 2 111 11 g v g p zgQ g v g p zgQ g v g p zgQ 单位时间内通过单位时间内通过1- -1、2- -2两过流断面间流体的两过流断面间流体的 总机械能等于通过总机械能等于通过3- -3过流断面的总机械能。过流断面的总机械能。 321 QQQ根据连续性方程：根据连续性方程： ) 2 () 2 ( ) 2 () 2 ( 2 333 32 2 333 31 2 222 22 2 111 11

27、g v g p zgQ g v g p zgQ g v g p zgQ g v g p zgQ 0 2 ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 333 3 2 222 22 2 333 3 2 111 11 ）（ ）（ g v g p z g v g p zQ g v g p z g v g p zQ g v g p z g v g p z g v g p z g v g p z 22 22 2 333 3 2 222 2 2 333 3 2 111 1 通过通过1- -1，2- -2两个过流断面的流体，全部流向过流断面两个过流断面的流体，全部流向过流断面3- -3。 即两股总流即两股总流1- -1，

28、3- -3和和2- -2，3- -3可分别列能量方程。可分别列能量方程。 ) 2 () 2 ( ) 2 () 2 ( 2 333 32 2 333 31 2 222 22 2 111 11 g v g p zgQ g v g p zgQ g v g p zgQ g v g p zgQ 分析其中任一元流：分析其中任一元流：dt 时段内元流由时段内元流由 1-2 运动至运动至1-2 从而动量发生变化，动量的增量为：从而动量发生变化，动量的增量为： 对于不可压流体：对于不可压流体： 21 121 212221 112 221 1221 1 22221 11 1 22211 1 ()dKKKKKKK

29、KKdm udm u u dtdA uu dtdAu u dtdA uu dtdAu 12 12 111222 111222 AA AA uudAuudAdt udtudAudtudAKd 恒定总流：恒定总流：总流可以看作是由无数总流可以看作是由无数 元流组成，将元流动量的增量对总元流组成，将元流动量的增量对总 流过流断面进行积分，得：流过流断面进行积分，得： 12 12 111222 111222 AA AA uudAuudAdt udtudAudtudAKd )( )( )( )( 1122 1122 11112222 1 1 112 2 22 12 vvQdt vQvQdt vAvvAv

30、dt dAvvdAvvdtKd AA 用过流断面的平均流速用过流断面的平均流速 v 来代替上式中未知的点流速来代替上式中未知的点流速 u 分布，分布， 由此产生的误差，通过引进动量修正系数由此产生的误差，通过引进动量修正系数加以改正。加以改正。 1122 AvAvQ 总流的流量总流的流量 )( )( )( 1122 1122 1122 zzz yyy xxx vvQF vvQF vvQF 方程的投影式：方程的投影式： 两边同除两边同除 dt： 不可压缩流体恒定总流的动量方程不可压缩流体恒定总流的动量方程 不可压缩流体定常流动总流的动量方程是矢量形式的动不可压缩流体定常流动总流的动量方程是矢量形

31、式的动 量方程，为了计算方便，将它投影在三个坐标轴方向。量方程，为了计算方便，将它投影在三个坐标轴方向。 外力与流速的符号规则：外力与流速的符号规则： 外力：外力：与选定的坐标轴方向相同者取正号，否则取负号。与选定的坐标轴方向相同者取正号，否则取负号。 流速：流速：与选定的坐标轴方向相同者取正号，否则取负号。与选定的坐标轴方向相同者取正号，否则取负号。 FvvQ dt Kd )( 1122 )( 1122 vvQdtKd 动量方程的右端是单位时间内动量方程的右端是单位时间内流出流出的动量的动量减去减去流入流入的动量。的动量。 动量修正系数动量修正系数 12 1 1 1 2 2 2 2 2 2

32、2 dA v u v u A dA v uv AAv dAu dAv dAu AA A A A （1 1）总流动量方程讨论）总流动量方程讨论 12 111222 AA uudAuudAdtdK )( 12 1 1 112 2 22 AA dAvvdAvvdtKd 指外界作用在控制体上外力的合力指外界作用在控制体上外力的合力 F 质量力：质量力：只有重力只有重力( (恒定流动恒定流动速度不随位置改变速度不随位置改变a=0=0，无惯性力，无惯性力 ) )。 表面力：表面力：控制体两端过流断面的动压力：控制体两端过流断面的动压力： 固体壁面给予控制体的作用力，即待求的力固体壁面给予控制体的作用力，即

33、待求的力R。 边壁的摩擦力，若不计损失，则摩擦力为边壁的摩擦力，若不计损失，则摩擦力为0。 2211 ApAp 、在均匀流中在均匀流中 v=u ，u=0=0，所以，所以 =1。 、速度分布越不均匀，速度分布越不均匀， 值越大。值越大。 、在缓变流中在缓变流中 =1.021.05=1.021.05，常取，常取 =1。 动量方程中的压强只能用相对压强：动量方程中的压强只能用相对压强： 因为对所选的控制体，周界上均作用了大小相等的大气压强。因为对所选的控制体，周界上均作用了大小相等的大气压强。 )( )( )( 1122 1122 1122 zzz yyy xxx vvQF vvQF vvQF 当沿

34、程有分流和汇流时：当沿程有分流和汇流时： )( )( )( 111222333 111222333 111222333 zzzz yyyy xxxx vQvQvQF vQvQvQF vQvQvQF 应用条件：应用条件： 应用：应用：解决急变流运动中，流体与边界之间的相互作用力问题。解决急变流运动中，流体与边界之间的相互作用力问题。 条件：条件：恒定流动恒定流动 过流断面是均匀流或渐（缓）变流断面不可压缩流体过流断面是均匀流或渐（缓）变流断面不可压缩流体 (2)(2)动量方程的应用步骤动量方程的应用步骤 选取适当的过流断面与控制体选取适当的过流断面与控制体 对应总流取控制体：缓变流对应总流取控制

35、体：缓变流急变流急变流缓变流缓变流 控制体应包括动量有急剧变化的急变流段，急变流两控制体应包括动量有急剧变化的急变流段，急变流两 端的过流断面应选择在缓变流区域。端的过流断面应选择在缓变流区域。 建立适当的坐标系建立适当的坐标系 投影轴可任意选取，以计算方便为宜投影轴可任意选取，以计算方便为宜 分析控制体的受力情况分析控制体的受力情况 注意不要遗漏，并以正负号表明力的方向注意不要遗漏，并以正负号表明力的方向 分析控制体流入、流出的动量，列动量方程分析控制体流入、流出的动量，列动量方程 动量方程的右端是动量方程的右端是单位时间内单位时间内流出流出的动量的动量减去减去流入流入的动量，不可颠倒。的动

36、量，不可颠倒。 )( )( )( 1122 1122 1122 zzz yyy xxx vvQF vvQF vvQF 选控制体选控制体: :如图一段弯管，液体以速度如图一段弯管，液体以速度v1流入流入1-1面，以速面，以速 度度v2流出流出2-2面面, ,以弯管以弯管1-2中的流体为控制体；中的流体为控制体； 建立坐标系建立坐标系: :弯管在弯管在xy平面内；平面内； 受力受力分析：分析：设弯管在水平面上，弯管的转角为设弯管在水平面上，弯管的转角为 。 (3)(3)动量方程的应用动量方程的应用 质量力：质量力：只有重力只有重力 （垂直于（垂直于xy平面）平面） 表面力：表面力： 控制体端面压力

37、控制体端面压力 与固体壁面的作用与固体壁面的作用 力，即待求的力力，即待求的力R。 2211 ApAp, 由于管子有弯度，液流对弯管壁的作用力由于管子有弯度，液流对弯管壁的作用力 x y yx R R arctg RRR 22 yyyy vvQRApF 1222 sin 122211 coscosvvQApApRx 列动量方程求解。列动量方程求解。 1 )( )( 12 1122 1122 yyy xxx vvQF vvQF 122211 coscosvvQRApApF xx 0sinsin 222 vQRApF yy sinsin 222 QvApRy xxxx vvQRApApF 1222

38、11 cos 恒定总流动量方程与能量方程的综合应用恒定总流动量方程与能量方程的综合应用 （1 1）连续性方程）连续性方程 132 QQQ QQQ 21 （2 2）伯努利方程）伯努利方程 22 11 1222 12 22 w pvpv zzh gggg （3 3）动量方程）动量方程 )( )( )( 1122 1122 1122 zzz yyy xxx vvQF vvQF vvQF 方程的投影式：方程的投影式： 求固体壁对液体的作用力或液体对固体壁的作用力时，求固体壁对液体的作用力或液体对固体壁的作用力时， 需要连续性方程、伯努利方程和动量方程综合应用需要连续性方程、伯努利方程和动量方程综合应用

39、 FvvQ dt Kd )( 1122 已知：已知：水平放置在混凝土支座上的变直径弯管，弯管两端与等直径管水平放置在混凝土支座上的变直径弯管，弯管两端与等直径管 相连接处的断面相连接处的断面1- -1上压力表读数上压力表读数 p1=17.6104 Pa，管中流量，管中流量 Q=0.1m3/s，若直径，若直径d1=300mm，d2=200mm，变直径弯管的转角，变直径弯管的转角 =600，如图所示。，如图所示。 求：求：水对弯管作用力水对弯管作用力R 的大小。的大小。 1 1、水流对弯管的作用力、水流对弯管的作用力 水流经弯管，动量发生变化，水流经弯管，动量发生变化，水对弯管水对弯管必然产生作用

40、力必然产生作用力R。而。而R与管壁对水与管壁对水 的反作用力的反作用力R平衡。管道水平放置在平衡。管道水平放置在xoy面上，将面上，将R分解成分解成Rx和和Ry两个分力。两个分力。 解解：（1 1）取控制体取控制体 取管道进、出两个截面和管内壁之间的液体为控制面。取管道进、出两个截面和管内壁之间的液体为控制面。 取取1- -1，2- -2过流断面之间的液体为控制体。过流断面之间的液体为控制体。 （2 2）选坐标系）选坐标系 （3 3）建立连续性方程）建立连续性方程 sm d Q v/42. 1 3 . 0 41 . 0 4 2 2 1 1 sm d Q v/18. 3 2 . 0 41 . 0

41、 4 2 2 2 2 2211 vAvAQ （4 4）建立伯努利方程）建立伯努利方程 对对1- -1，2- -2断面列伯努利方程断面列伯努利方程 g v g p g v g p 22 2 22 2 11 弯管在水平面内弯管在水平面内 21 zz )( 2 2 2 2 112 vvpp pa 4224 102 .17)18. 342. 1 ( 2 1000 106 .17 1 21 p1=17.6104 Pa表压强表压强 smv/42. 1 1 smv/18. 3 2 kNApP43.123 . 0 4 106 .17 24 111 kNApP40. 52 . 0 4 102 .17 24 22

42、2 （5 5）控制体受力分析）控制体受力分析 表面力：表面力：控制体控制体进、出口进、出口端面的端面的总总压力压力 p1A1 ，p2A2 固体壁面面对控制体内水的的作用力的合力，固体壁面面对控制体内水的的作用力的合力， 即待求的力即待求的力R。合力合力R在在x，y方向的投影为方向的投影为Rx、Ry。 表压强表压强 pap pap 4 2 4 1 102 .17 106 .17 质量力：质量力：因弯管在水平面上，重力垂直于因弯管在水平面上，重力垂直于xy平面，所以不计重力。平面，所以不计重力。 )cos(cos 1221 vvQRPP x （6 6）建立动量方程）建立动量方程弯管的转角为弯管的转

43、角为 选定坐标系后，作用力和速度与坐标轴方向一致的，选定坐标系后，作用力和速度与坐标轴方向一致的， 在方程中取正值；反之，取负值。在方程中取正值；反之，取负值。 沿沿x轴方向：轴方向： 沿沿y轴方向：轴方向：)sin0(sin 11 vQRP y )( )( 1122 1122 yyy xxx vvQF vvQF kNPPvvQRx568. 0cos)cos( 1212 )sin0(sin 11 vQRP y kNQvPRy88.10sinsin 11 kNRRR yx 89.1088.10)568. 0( 2222 管壁对水的反作用力管壁对水的反作用力 水流对弯管的作用力水流对弯管的作用力R

44、与与R大小相等，方向相反。大小相等，方向相反。 )cos(cos 1221 vvQRPP x 1 .87 x y R R arctg 合力与合力与x轴之间的夹角轴之间的夹角 2 2、射流对平面壁的冲击力、射流对平面壁的冲击力 如图液体自管嘴射出，形成射流，液流处在同一大气压强如图液体自管嘴射出，形成射流，液流处在同一大气压强 下，如忽略重力的影响，则作用在流体上的力，只有固体下，如忽略重力的影响，则作用在流体上的力，只有固体 壁对射流的阻力，其反作用力则为射流对固体壁的冲击力。壁对射流的阻力，其反作用力则为射流对固体壁的冲击力。 当流体自喷嘴射出时，设为当流体自喷嘴射出时，设为A0、v0 ，

45、，射向平板后， 射向平板后， 分散成两股，其速度分别为分散成两股，其速度分别为v1、 、v2，求 ，求射流对固体壁的冲击力。射流对固体壁的冲击力。 已知已知：水平射流从喷嘴射出，冲击一个前后斜置的固定平板，射流轴水平射流从喷嘴射出，冲击一个前后斜置的固定平板，射流轴 线与平板成线与平板成角，射流流量为角，射流流量为 Q1，速度为，速度为v1，空气阻力不计。，空气阻力不计。 求：求：（1 1）射流沿平板的分流量）射流沿平板的分流量 Q2，Q3； （2 2）射流对平板的冲击力。）射流对平板的冲击力。 解：解： （2 2）建立坐标系建立坐标系 如图所示如图所示 （3 3）受力分析）受力分析 只有平板

46、对射流的阻力只有平板对射流的阻力 （1 1）取控制体取控制体 选射流冲击平板之前的选射流冲击平板之前的1-1断面和冲击后转向断面和冲击后转向 的的2-2，3-3断面，即取断面，即取1，2，3断面及平板、断面及平板、 大气所包围的封闭体大气所包围的封闭体 内的液体为控制体。内的液体为控制体。 g v g v 2 00 2 00 2 22 2 11 令：令： 1 21 可得：可得： 21 vv 同理，对同理，对1- -1，3- -3断面列伯努利方程断面列伯努利方程 31 vv （5 5）建立伯努利方程）建立伯努利方程 对对1- -1，2- -2断面列伯努利方程（水平面内的射流）断面列伯努利方程（水

47、平面内的射流） （4 4）连续性方程）连续性方程 132 QQQ g v g v 2 00 2 00 2 33 2 11 )cos1 ( 2 )cos1 ( 2 1 3 1 2 Q Q Q Q 射流对平板的冲击力射流对平板的冲击力 0cos)( 112233 vQvQvQ sin sin0 11 11 vQF vQF （6 6）动量方程）动量方程 分析控制体流入、流出的动量，列动量方程（流出减流入）分析控制体流入、流出的动量，列动量方程（流出减流入） x轴方向：轴方向： y轴方向：轴方向： 132 QQQ 0cos)( 123 QQQx轴方向：轴方向： )( )( 1122 1122 yyy

48、xxx vvQF vvQF sin 11v QF )( )( 111333222 111333222 yyyy xxxx vQvQvQF vQvQvQF 已知：已知：单位宽度的平板闸门开启时，上游水位单位宽度的平板闸门开启时，上游水位h1=2m， 下游水位下游水位h2=0.8m。 试求：试求：水流作用在闸门上的力水流作用在闸门上的力R。 （1 1）取控制体取控制体 选取选取1-1断面，断面，2-2断面及平板之间的液体为控制体。断面及平板之间的液体为控制体。 解：解： （2 2）受力分析）受力分析 平板对流体的阻力平板对流体的阻力 R 1- -1断面流体的压力断面流体的压力 2- -2断面流体的

49、压力断面流体的压力2 2222 2 1111 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 ghhghP ghhghP （3 3）连续性方程）连续性方程 1 2 1 2221121 v h h vhvhvQQQ （4 4）建立伯努利方程）建立伯努利方程 对对1- -1，2- -2断面列伯努利方程断面列伯努利方程 参考面选在底面参考面选在底面 g v g p z g v g p z 22 2 22 2 2 11 1 12 2 2 12 2 1 2 2 2 2 2 1 12 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 12 2 2 2 1 22 21)1 ( 2 hh gh hh hh gh v h

50、hg h h v v v v hhgvv a ppphzhz 212211 （5 5）动量方程动量方程 坐标系坐标系x轴向右为正，轴向右为正，y轴向上为正。轴向上为正。 则闸门对水流的作用力为则闸门对水流的作用力为 R。 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1221 h h hvhhgR v v QvghghR vvQRPP 12 2 2 2 1 2 hh gh v 21 3 21 2hh hhg R 2 2222 2 1111 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 ghhghP ghhghP 1 2 1 2 v h h v 3 3

51、、水流对喷嘴的作用力、水流对喷嘴的作用力 已知：已知：如图是消防水龙头的喷嘴，高速水流从管道经过一个如图是消防水龙头的喷嘴，高速水流从管道经过一个 喷嘴射入大气，截面积从喷嘴射入大气，截面积从A1收缩为收缩为A2 ， ，A1处的 处的绝对压绝对压 强强为为P1。 求：求：水流给喷嘴的力水流给喷嘴的力R。 解解：（1 1）取控制体）取控制体 取取1- -1，2- -2过流断面之间的液体为控制体。过流断面之间的液体为控制体。 （2 2）取坐标系）取坐标系 设向右为正设向右为正 （3 3）根据连续性方程）根据连续性方程 2 1 2 1 v A A v 2211 AvAv 2 1 11 1 2 1 A

52、 A AppR a 2 1 2 21 2 1 vvpp a g v g p g v g p a 22 2 2 2 11 （5 5）伯努利方程）伯努利方程 对对1- -1，2- -2断面列伯努利方程断面列伯努利方程 1211 vvQAppR a （4 4）动量方程动量方程 坐标系向右为正，则喷嘴给水流的作用力为坐标系向右为正，则喷嘴给水流的作用力为- -R，由动量方程得：，由动量方程得： 2 1 2 1 v A A v 2 1 2 2 1 2 1 2 A A pp v a 已知：已知：井巷喷锚采用的喷嘴如图，入口直径井巷喷锚采用的喷嘴如图，入口直径d1=50mm，出口直径，出口直径 d2=25m

53、m ，水从喷嘴射入大气，表压，水从喷嘴射入大气，表压p1=60N/cm2，如果不，如果不 计摩擦损失。计摩擦损失。 求：求：（1 1）喷嘴给水流的作用力喷嘴给水流的作用力。 （2 2）工作面所受的冲击力。）工作面所受的冲击力。 解解：（1 1）喷嘴给水流的作用力）喷嘴给水流的作用力 由连续性方程：由连续性方程： 12 4vv 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 221121 v d d v d d A A v v AvAvQQQ g v g p g v g p 22 2 22 2 11 由伯努利方程：由伯努利方程：对对1- -1，2- -2断面列伯努利方程断面列伯努利方程

54、)( 2 1 2 1 2 21 vvp smv/9 . 8 1 smv/8 .35 2 )(706 1 2 1 2 1 11 N A A ApR 12 4vv 由动量方程：由动量方程：坐标系向右为正，则喷嘴给水流的作用力为坐标系向右为正，则喷嘴给水流的作用力为- -R 1211 vvQApR 0 2 p 2 1 /60cmNp 表压表压 （2）工作面所受的冲击力）工作面所受的冲击力 取取2- -2，3- -3，4- -4 之间的液体为控制体之间的液体为控制体 )(628 2 22 NvAR 由连续性方程：由连续性方程： 432 QQQ 由动量方程：由动量方程：坐标系向右为正，则工作面给射流的作

55、用力为坐标系向右为正，则工作面给射流的作用力为- -R )( )( 222333444 222333444 yyyy xxxx vQvQvQF vQvQvQF 2 222222 )0(vAvQvQR 已知：已知：水从水头为水从水头为h1的大容器经过小孔流出射向一块无重的大平板，的大容器经过小孔流出射向一块无重的大平板， 该平板盖住了另一个大容器的一个水位为该平板盖住了另一个大容器的一个水位为h2的小孔。设两小孔的小孔。设两小孔 的面积相等。如果射流对平板的冲击力恰好与它受到的静水压的面积相等。如果射流对平板的冲击力恰好与它受到的静水压 力相等。力相等。 求：求：比值比值 。 21 /hh 解解

56、：分析分析 1 1、左侧大容器、左侧大容器 小孔流出水的速度。小孔流出水的速度。 2 2、射流部分、射流部分 水流给水流给大平板大平板的力的力R。 3 3、右侧大容器及大平板右侧大容器及大平板 射流对平板的冲击力恰好与它受到的静水压力相等，求出比值射流对平板的冲击力恰好与它受到的静水压力相等，求出比值 。 21 /hh 1 1、左侧大容器、左侧大容器 （1 1）伯努利方程）伯努利方程 对对0- -0，1- -1断面列伯努利方程断面列伯努利方程 g v g p z g v g p z 22 2 11 1 2 00 0 00 110010 zhzvppp a 4 2 2 2 1 1111 2 1

57、1 d vQghv g v h 参考面：通过参考面：通过1- -1断面中心点的水平线为参考面断面中心点的水平线为参考面 2 2、射流部分、射流部分 （1 1）取控制体）取控制体 取取1- -1，2- -2，3- -3过流断面过流断面 及平板之间的液体为控制体。及平板之间的液体为控制体。 （2 2）取坐标系）取坐标系 设向右为正设向右为正 （3 3）连续性方程）连续性方程 321 QQQ （4 4）动量方程）动量方程 3322 11 0: 0: vQvQy vQRx 1111 2ghAvQR 4 2 2 1 1111 d vQghv 31 vv （5 5）建立伯努利方程）建立伯努利方程 对对1-

58、 -1，2- -2断面列伯努利方程断面列伯努利方程 g v g v 2 00 2 00 2 2 2 1 21 vv 同理，对同理，对1- -1，3- -3断面列伯努利方程断面列伯努利方程 g v g v 2 00 2 00 2 3 2 1 32321 QQvvv 3 3、右侧大容器及大平板右侧大容器及大平板 （1 1）大平板平衡（静止）大平板平衡（静止） RR 22A ghR 因两小孔的面积相同因两小孔的面积相同 21 AA RAghghAR 2211 2 2 1 2 1 h h 1111 2ghAvQR 已知：已知：直径为直径为150mm的水管末端，接上分叉管嘴，其直径分别为的水管末端，接上

59、分叉管嘴，其直径分别为75mm 和和100mm，水以，水以12m/s 的速度射入大气，如果轴线在同一水平面的速度射入大气，如果轴线在同一水平面 上，夹角如图，忽略摩擦阻力。上，夹角如图，忽略摩擦阻力。 求：求：水作用在管嘴上的力的大小和方向。水作用在管嘴上的力的大小和方向。 解：解：（1 1）取控制体）取控制体 取取0- -0，1- -1，2- -2过流断面之间的液体为控制体。过流断面之间的液体为控制体。 （2 2）取坐标系）取坐标系 如图所示如图所示 （3 3）连续性方程）连续性方程 （4 4）伯努利方程）伯努利方程 列出截面列出截面0- -0，1- -1及及0- -0，2- -2的伯努利方

60、程：的伯努利方程： g v g p g v g p 22 2 11 2 00 444 2 2 1 1 0 0221100 d v d v d vAvAvAv smv/333. 8 0 g v g p g v g p 22 2 22 2 00 因轴线在同一水平面上，所以因轴线在同一水平面上，所以 1- -1，2- -2断面的表压强为：断面的表压强为： 321 zzz )( 2 1 2 0 2 10 vvp 2 0 /28.37mkNp 0 21 pp 210 QQQ smvv/12 21 设水作用在管嘴上的水平分力为：设水作用在管嘴上的水平分力为： 水作用在管嘴上的垂直分力为：水作用在管嘴上的垂