两角和差公式与解三角形

1、一、两角和与差的正弦、余弦和正切1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)c(“ b)：cos(ab)=cos_acos_ b+ sin asin j_；(2)c(“ + b)：cos(a+b)=cos_acos_ 0 sin asin j_;(3)s(“ + b)：sin(a+6)=sinacos_ b+ cos_asin j_；(4)s( b)：sin(a0)=sinacos_0 cos_asin j_;tan a + tan b(5)t(“ + b)： tan( a + b)= ;1 一 tan a tan ptan a tan bt(“ b) ： tan( a b )-o1 + tan

2、 a tan p2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)s2“： sin 2 a = 2sin a cos a ;(2)c 2“ ： cos 2 a = cos2 a sin 2 a = 2cos2 a 1 = 1 2sin 2 a ;2tan a(3)t2“： tan 2 a = 1_tan2a。3、有关公式的逆用、变形等tana tan 0 = tan( a b )(1 ?tan_ a tan_ 0 )；21 + cos 2 a 21 cos 2 民(2)cos a=2， sin a =2；(3)1 +sin 2 a = (sin a + cos a )2,1sin 2 a = (sin

3、a cos a )2, sin a cos a =/sin a 4 o4、函数 f( a)=acos a + bsin a (a , b 为常数)，可以化为 f( a ) =y/a + b2 sin( a +小)或f( a ) =，a2 + b2cos( a 小)，其中小可由a, b的值唯一确定。两个技巧(1) 一提角二抗鱼技 eb2 a 一二(8土 6) (乡一二一=(一pl 士.6);艮；一艮三b a 2士宁二亍土=化简技巧：切化弦、“1”的代换等。三个变化.(1) 一变角;目的是沟通题设条件与结论史所选及的角一,一其壬法通常是:配凑:。-(2)变名：通过变频函数名称达到旋少函数不中类而目

4、而，其不西j常为“切同弦”、升嘉与隆花，等一。(3).变式一根北式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有;:赏值代换:一、二逆用变比公式，-“通分约合”二分解与组合二 配方与生方，等。.双基自测一，一，1 ,1、下列各式的值为4的是()a. 2cos2 112b . 1-2sin 2752tan 22.51-tan222.5 d. sin 15cos 152、若 tan a=3,则a. 2 b3、已知sin.32 =3,sin 2 a .,2的值等于(cos ac . 4 d .6贝u cos（九一2 a ）等于（4、设 sin7t4 ta .7 95、tan

5、20 考向一1 一91 w3,则319c.d.+ tan 40sin 2c.d.1、化简+ 3tan 20三角函数式的化简2cos4x - 2cos2x + 2冗22tan x sinott7+xtan 402、化简:(sin a + cosa 1)(sin sin 2 ac - cosa + 1)o考向二三角函数式的求值1、 ai冗已知0 b a 九，且 cos a 1= 9,sin=2,求 cos( a 3b ）的的。2、0,7t2,sin a =tan(51,，,求cos b的值。33、已知 tan x+ -=2,则般的值为考向三三角函数的求角问题1、已知cos1a = 7,，1 113

6、 一 一九cos( a - b )=,且 0 p a ,求 b2、已知 a , b c - -y, 2，且 tan a , tan 0 是方程 x2+ 3y3x+ 4= 0 的两个 根，求a + b的值。八11 一3、已知 tan( a b )=2, tan b= 7,且a, b c (0 ,兀)，求 2 a b 的值。考向四三角函数的综合应用1、已知函数 f(x) = 2cos 2x + sin 2x。 . 一. .一 一. .(1)求f可的值；(2)求f(x)的最大值和最小值。32、已知函数 f(x) =2sin(九一x)cos x 。. .冗 冗.一一.，.一一(1)求f(x)的最小正周

7、期；(2)求f(x)在区间,上的最大值和最小值。二、正弦定理和余弦定理1、正弦定理：一a =一磐=-cr = 2r,其中r是三角形外接圆的半径.由正 sin a sin b sin c弦定理可以变形为：(1)a : b ： c = sin a : sin b : sin c ；(2)a =2rsin a； b = 2rsin b, c = 2rsin(3)sin a =篇,sin b =舄，sin c等形式，以解决不同的三角形问题。2r2r2r2、余弦定理：a2 = b2 + c2 2bccos_a, b2 = a2 + c2 2accos_b, c2 = a2 + b2 一c 人口、和m+巾

8、4b2+c2 a2a2 + c2 b2-2abcos c. 余弦止理可以变形为： cos a=, cos b= , cos c2bc2aca2+ b2 c2ab3、sa ab户absin c = bcsin a221= 2acsin babc 12(a+b+c) r（r是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径），并可由此计算r, r。4.已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况.如已知 a, b, a, 则a为锐角a为钝角或直角图形关系式a bsin aa= bsin absin a aba bab? sin a sin b 。两类问题在解三负形一时一正弦定理可解决四类问题二一一上

9、知两角一及任二边一求其它边或一 角;.已知向i及二边的对角求其它边或i,情况.（2）.中结房可能1二解一两.解、无解，应注意区分。余弦定理可解决两类问题：（1）已知两边及夹角求第三迹不口他而伍；（2）已知三选，求吾舟。而加途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：花边为疝；（2）花伍为应，开常用正弦（余弓玄）定协实施边、角转换。双比自测1、在abc, a= 60 , b= 75 , a=10, wj c 等于（）a. 5v2 b . 1班 c. 1036d. 5ms. s sin a cos b 、2、在abct,若一0一 =,则 b 的值为（）a. 30 b . 45 c . 60

10、d . 903、在abct, a=/3, b=1, c=2,则 a等于（）a. 300 b . 45c . 60 d . 75，1 ，一4、在abct, a=32, b = 243, cos c=3,则 abc的面积为（）a. 3v3 b . 2m c . 4/3d. v35、已知aabce边?f足a2+ b2=c2j3ab,则此三角形白最大内角为 ， 考向一利用正弦定理解三角形1、在abct, a=3, b=&,b= 45 .求角 a, c和边 c。， , 一 九 一，2、在abc,若 b= 5, / b= , tan a= 2,则 sin a=; a=考向二 利用余弦定理解三角形1、在ab

11、ct,a、b、c分别是角a、b、c的对边，且cos b bcos c2a+ c（1）求角b的大小；（2）若b=33, a+c = 4,求 abc的面积a2、已知a, b, c为aabc的三个内角，其所对的边分别为a, b, c,且2cos2 5+cos a =0。（1）求角a的值；（2）若a = 243, b+c = 4,求aabc的面积。考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状1、在abc,若(a2 + b2)sin(a b) = (a2 b2)sin c ,试判断 abc的形状. a b c2、在abc,若一鼠=一-=-尸；则 abc是()cos a cos b cos ca.直角三角形b .等边三角形c .钝角三角形 d .等腰直角三角形 考向四 正、余弦定理的综合应用,.入 ，冗1、在abc+,内角a, b, c对边的边长分别是a, b, c,已知c = 2, c=。3(1)若abc勺面积等于 品 求a, b；(2)若 sin c +sin(b a)=2sin 2a ,求 abc的面积。2、设abc勺内a a, b, c所对的边长分别为a, b, c,且cos b=4, b = 25(1)当a= 30时，