第1课时 椭圆的简单几何性质

1、2.2.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质 1010cmcm 8 8cmcm 长方形长方形 如何将一个长、宽分别为如何将一个长、宽分别为10cm10cm，cmcm的矩形的矩形 纸板制作成一个最大的椭圆呢？纸板制作成一个最大的椭圆呢？ 1.1.熟悉椭圆的几何性质（范围，对称性，顶点，熟悉椭圆的几何性质（范围，对称性，顶点， 离心率）离心率）. .（重点）（重点） 2.2.理解离心率的大小对椭圆形状的影响理解离心率的大小对椭圆形状的影响. .（重点）（重点） 3.3.通过数形结合、观察分析、归纳出椭圆的几何通过数形结合、观察分析、归纳出椭圆的几何 性质，进一步体会数形结合的思想性

2、质，进一步体会数形结合的思想. .（难点）（难点） 探究探究 椭圆作为一个几何图形有什么样的几何性质呢？椭圆作为一个几何图形有什么样的几何性质呢？ 1.1.范围：范围： - -axaaxa, -, -bybbyb 故椭圆落在故椭圆落在x=a,y= b组成的矩形中组成的矩形中. 2 2 1, x a 由由 2 2 y 1 b ，得： o y B2 B1 A1 A2 F1F2c a b22 22 1(0) xy ab ab 如图椭圆的标准方程是什么？如图椭圆的标准方程是什么？ x x 2.2.椭圆的对称性：椭圆的对称性： 22 22 10() xy ab ab o x y 在方程中，把在方程中，把

3、换成换成 ， 方程不变，说明：方程不变，说明： 椭圆关于椭圆关于轴对称；轴对称； 椭圆关于椭圆关于轴对称；轴对称； 椭圆关于椭圆关于 点对称；点对称； 坐标轴是椭圆的对称轴，坐标轴是椭圆的对称轴， 原点是椭圆的对称中心，又叫做椭圆的中心原点是椭圆的对称中心，又叫做椭圆的中心. x x-x-x x x y y (0,0)(0,0) y -y x -x y -y Q(-Q(-x,yx,y) ) P(x,yP(x,y) ) M(x,-yM(x,-y) )N(-N(-x,-yx,-y) ) 想一想想一想:椭圆的对称轴一定是轴和轴吗？对称中椭圆的对称轴一定是轴和轴吗？对称中 心一定是原点吗？心一定是原点

4、吗？ o x y F2 F1 说明椭圆的对称性不随位置的改变而改变说明椭圆的对称性不随位置的改变而改变 椭圆顶点坐标为：椭圆顶点坐标为： 3.3.顶点与长短轴：顶点与长短轴： 椭圆与它的对称轴的四个椭圆与它的对称轴的四个 交点交点椭圆的顶点椭圆的顶点. 回顾：回顾： A A1 1( (a a，0)0)，A A2 2( (a a，0)0)， B B1 1(0(0，b)b)，B B2 2(0(0，b).b). 焦点坐标焦点坐标(c，0) o x y A2(a, 0) A1(-a, 0) B2(0,b) B1(0,-b) 22 22 1 xy = ab （a ab b0 0） 你会求焦点在你会求焦点

5、在y y轴轴 的椭圆的顶点吗？的椭圆的顶点吗？ 长轴：线段长轴：线段A A1 1A A2 2；长轴长长轴长 |A|A1 1A A2 2|=2a|=2a. . 短轴：线段短轴：线段B B1 1B B2 2；短轴长短轴长 |B|B1 1B B2 2|=2b.|=2b. 焦焦 距距 |F|F1 1F F2 2|=2c.|=2c. a a和和b b分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长半轴长长半轴长和和短半轴长短半轴长； o x y B2(0,b) B1(0,-b) A2(a, 0) A1(-a, 0)b a c F2 F1 你能在你能在 找找 出出a a、b b、c c吗？吗？ 2 2 OB F 4.4.离

6、心率：离心率： 因为因为ac0，所以，所以 当且仅当当且仅当a=b时，时，c=0，这时，这时 两个焦点重合，图形变为圆两个焦点重合，图形变为圆 0 e 1. 22 1 0 , , c eca a bac 当当 椭椭圆圆扁扁 22 00, , c ec a baca 当当 椭椭圆圆圆圆 椭圆的焦距与长轴长的比椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率叫做椭圆的离心率, ,用用e e c a 离心率越大，椭圆越扁离心率越大，椭圆越扁 离心率越小，椭圆越圆离心率越小，椭圆越圆 O x y a a b b c c c e. a 表示，即表示，即 图图 形形 方方 程程 范范 围围 对称性对称性 焦焦 点

7、点 顶顶 点点 离心率离心率 0 1 2 2 2 2 ba b y a x (c,0)(c,0)、( ( c,0)c,0)(0,c)(0,c)、(0,(0, c)c) ( ( a,0)a,0)、(0,(0, b)b) |x|x| a |y| a |y| b b|x|x| b |y| b |y| a a 关于关于x x轴、轴、y y轴、原点对称轴、原点对称 ( ( b,0)b,0)、(0,(0, a)a) 【总结提升总结提升】焦点在轴上的椭圆的几何性质又如何呢？焦点在轴上的椭圆的几何性质又如何呢？ 22 22 10() yx ab ab xA2 B2 F2 y OA1 B1 F1 y O A1

8、B1 x A2 B2 F1 F2 ( 0 e 1 )( 0 e ,m , 22 22 mcab3 所以am,b,e m3aa2 解得：解得：m=1m=1， 则，则， 所以长轴所以长轴2a=22a=2，短轴，短轴2b=12b=1，焦点坐标为（，焦点坐标为（ ，0 0），）， （ ，0 0），顶点坐标为（），顶点坐标为（1,01,0），（），（-1,0-1,0），）， （0 0， ），（），（0 0， ） 22 13 a1,b,c 42 3 2 3 2 1 2 1 2 m m3 我们的新课讲到这里，前面提出的问题就可以我们的新课讲到这里，前面提出的问题就可以 解决了！解决了！ 22 xy 1 25

9、16 3-3 -1 -54-121-2-45 4 3 1 2 -2 -3 -4 0 y 8cm 10cm O x )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 1 AF ， 12 FF ， 1 FB 2.2.（20122012江西高考）椭圆江西高考）椭圆 的的 左、右顶点分别是左、右顶点分别是A,B,A,B,左、右焦点分别是左、右焦点分别是F F1 1，F F2 2. .若若 成等比数列，则此椭圆的离心率为成等比数列，则此椭圆的离心率为_._. 5 5 4 6 3 3.3.中心在原点，焦点在中心在原点，焦点在x x轴上，若长轴长为轴上，若长轴长为1818，且两个，且两个 焦点恰好将长轴三等

10、分，则此椭圆的方程是（焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ） A. B.A. B. C. D.C. D. 22 xy 1 8172 22 xy 1 819 22 xy 1 8145 22 xy 1 8136 A A 4.4.求下列各椭圆的长轴长和短轴长，离心率，焦点求下列各椭圆的长轴长和短轴长，离心率，焦点 坐标，顶点坐标坐标，顶点坐标 （）（） 22 x4y16. 【解析解析】 故可得长轴长为故可得长轴长为8 8，短轴长为，短轴长为4 4，离心率为，离心率为 焦点坐标为焦点坐标为 ，顶点坐标（，顶点坐标（4,04,0），），(0,(0,2).2). (2)(2)已知方程化为标准方程为已知方程化为标准方程为 故可得长轴长故可得长轴长 为为1818，短轴长为，短轴长为6 6，离心率为，离心率为 焦点坐标为焦点坐标为 ，顶点坐标（，顶点坐标（0,0,9 9），（），（3,03,0）. . 为为标标为为 2 22 2 x xy y （1 1）已已知知方方程程化化准准方方程程+ += =1 1， 1 16 64 4 3 2 ， 2 3,0 （） 0, 6 2 （）