离散线性系统的分析与校正

1、 沈阳工业大学 连续线性系统的分析与校正方法连续线性系统的分析与校正方法 离散系统离散化方法与采样定理离散系统离散化方法与采样定理 离散时间系统的解离散时间系统的解 离散线性系统的分析与校正方法离散线性系统的分析与校正方法 沈阳工业大学 采样采样 采样定理采样定理 差分方程差分方程 Z变换变换 最少拍系统最少拍系统数字控制系统数字控制系统 概概 念念 01 02 03 04 05 采样过程 香农采样定理 采样过程的数学描述 采样周期的选取 沈阳工业大学 7.2 信号的采样与保持信号的采样与保持 信号保持 4 脉冲响应脉冲响应 1 采样过程 理想单位脉冲序列 (载波） 幅值调制过程 前提条件：脉

2、冲序列从前提条件：脉冲序列从0开始开始 2 采样过程的数学描述 （1）采样信号的拉式变换 7 （2） 采样信号的频谱采样信号的频谱 T(t) = e t s jn n n c s=2/T为采样角频率, Cn是傅氏系数,其值为： * 1 ( )( )e t s jn n ete t T 0 0 11 ( )d n Ctt TT T(t) = 1 e t s j n n T * 1 ()() s n EjEjn T * 1 ()() s n EsEsjn T 连续信号的频谱为 ()Ej 采样信号的频谱为 * ()Ej h-h 0 ()Ej h-h 0 s2s3s-3s-2s-s * ()Ej1 T

3、 h-h 0 * ()Ej1 T s-s h-h 0 s2s3s-3s-2s-s * ()Ej1 T s = 2h 滤波器的宽度满足什么 条件时能从得到 * ()Ej ()Ej ?! s 2h 或： T/h 3 香农采样定理 最低采样频率，最大采样周期 4 采样周期的选取 5 信号保持 11 （2）零阶保持器）零阶保持器 T=0.4T=0.8 T=0.2 T=3 零阶保持器特性零阶保持器特性 1）低通特性）低通特性 2）相角滞后特性）相角滞后特性 3）时间滞后特性）时间滞后特性 7-3 Z变换理论 1. Z变换定义变换定义 2. Z变换方法变换方法 1）级数求和法）级数求和法 2）部分分式法）

4、部分分式法 3. Z变换的性质变换的性质 4. Z反变换反变换 1）部分分式法）部分分式法 2）幂级数法）幂级数法 3）反演积分法）反演积分法 k k zkxzX )( zzzXkx k c d)( j2 1 1 C为F(z) 的收敛域(ROC )中的一闭合曲线 正变换：X(z)=Zxk反变换： xk =Z1X(z) )(zXkx z 或 k k zkxzX )( 0 使上式级数收敛的所有z的范围称为X(z)的收敛域 一般右边序列的收敛域为z平面平面中的一圆外区域 x Rz z平面 |z|=1 单位圆 求以下的Z变换及收敛域。 解：解： 其它0 101 )2( Nk kx )1(kuakx k

5、 (1) 1 1 0 1 1 )( z z zzX N k N k 0:ROCz (2) 1 0 1 1 )( az zazX kk k az :ROC Im z R e z |a| 有限长序列有限长序列z变换的收敛域为变换的收敛域为|z|0 0,1)1zkZ az z kuZ k 1 1 1 )2 2 0 1 1 0 1 0 1j j cos21 sinjcos1 e1 1 e)3 0 0 zz zz z kuZ k 2 0 1 1 0 0 cos21 cos1 )cos( zz z kuk 2 0 1 1 0 0 cos21 sin )sin( zz z kuk 21 3 3、单边、单边z

6、变换的主要性质变换的主要性质 111 ),( x z RzzXkx 222 ),( x z RzzXkx 1.1.线性特性线性特性 )()( 2121 zbXzaXkbxkax z ),max( 21xx RRz x z RzzXkx ),( )( 1 0 n k kn zkxzXzkunkxZ )( 1 nk kn zkxzXzkunkxZ xk n uk n znX(z) |z| Rx |z| Rx |z| Rx )( 1 nk kn zkxzXzkunkxZ 1)(1 1 xzXzkukxZ 212 1 xkukxZzkukxZ 21)( 12 xxzzXz 依此类推依此类推 可证上式成

7、立可证上式成立 )(zX z 求RNk=ukukN的z变换及收敛域 利用因果序列的位移特性和线性特性，可得 11 11 1 )( z z z zX N 1 1 1 z z N 1, 1 1 1 z z ku Z 由于RNk为有限长序列，故其收敛域为 |z|0 ROC扩大 线性加权后序列z变换的ROC可能比原序列z变换的ROC大 求以下的单边z变换。 ,2,1,0,12,0 ,2,1,0,2,1 nnk nnk kx )1( 0 ikxky k i i ( (1) ) ( (2) ) kukx N 1 0 lNkx l 若计算出x1k的z变换X1(z)，利用因果序列的和，则 可求得其单边的z变换

8、为 Nl l N zzXkukxZ )( 1 0 N z zX 1 )( 1 1z 分析：分析：周期为N的单边周期序列xNkuk可以表示为第一个周期序列x1k及其位 移x1klN的线性组合，即 求以下的单边z变换。 ,2,1,0,12,0 ,2,1,0,2,1 nnk nnk kx )1( 0 ikxky k i i ( (1) ) ( (2) ) (1) xk可表示为 42kkkkx 利用k的Z变换及因果序列的位移特性，可得 2 42 1 1 1)( z zzzX1z (2) 将yk改写为 *)1()1( 0 kxkuikxky k k i i 由(1)题的结果及卷积特性，可得 )1)(1(

9、 1 )( 21 zz zY 1z )/(azFkxa Zk x RaROC 例：例：求aksin(0k) uk 的z变换及收敛域 利用z变换的指数加权特性，可得 1z 2 0 1 1 0 0 cos21 sin )sin( zz z kuk z 2 0 1 1 0 0 )/(cos)/(21 )/(sin )sin( zz z kuk k 2 0 12 1 0 cos2 sin zz z az z zX zkkx d )(d x RROC 例：例：求xk=(k+1)akuk的z变换及收敛域 利用z域微分特性，可得 az az kua Zk , 1 1 1 kukaZ k z az z d 1

10、 1 d 1 az az , )1( 1 21 Zk kuak)1( az az az , )1( 21 1 利用z变换的线性特性，可得 )()( 2121 zXzXkxkxROC 包含Rx1Rx2 2121 nkxnxZkxkxZ n 证： 21 nkxZnx n n n znxzX )( 12 )()( 21 zXzX 利用z变换的卷积特性，以及 1, 1 1 1 z z ku z 0 nxZ k n * 0 kukxnx k n 0 kuZkxZnxZ k n 1 1 )( z zX 可得 x z RzzXkx ),( 设 ), 1max( x Rz 初值与终值初值与终值定理定理 )(l

11、im0zXx z )()1(lim 1 zXzx z 若(z1)X(z)的收敛域包含单位圆，则 X(z) = 1/(1a z1) |z| |a| 求x0， x1和 x 。 )(lim0zXx z 1 1 1 lim az z 1lim az z z 根据位移特性有 0)(1xzXzkukx z 对上式应用初值定理，即得 0)(lim1xzXzx z a az az z lim 当|a|1时，(z1)X(z)的收敛域包含单位圆，由终值定理，有 )()1(lim 1 zXzx z 0 )1( lim 1 az zz z zzzXkx k c d)( j2 1 1 C为X(z) 的ROC中的一闭合曲

12、线。 计算方法： 幂级数展开和长除法 部分分式展开 留数计算法 n n m m zaza zbzbb zA zB zX 1 1 1 10 1)( )( )( 1. mn，分母多项式无重根 1 1 1 )( zp r zX i i n i 各部分分式的系数为 i pzii zXzpr )()1( 1 n n m m zaza zbzbb zA zB zX 1 1 1 10 1)( )( )( 2. m0 M 在原序列中每隔M1点一点 xkxMk M为正整数 其它 的整数倍是 0 / IL LkLkx kx L 在序列2点之间插入L1个点 原信号x 2倍抽取后信号x1 M=2; x,Fs,bits

13、 = wavread(myheart); x1=x(1:M:end); % Fs=44,100 Hz 4倍抽取后信号x1 原信号x 8倍抽取后信号x1 M=8; x,Fs,bits = wavread(我的祖国); x1=x(1:M:end); % Fs=22,050 Hz 4倍抽取后信号x1 指将若干离散序列序号相同的数值相加 21 kxkxkxky n 指若干离散序列序号相同的数值相乘 21 kxkxkxky n k n nxky 可用可用的求和表示的求和表示 k n nku 一阶后向差分 二阶后向差分212 2 kxkxkxkxkx 122 2 kxkxkxkxkx 1 kxkx nn

14、1 kxkx nn 一阶前向差分 二阶前向差分 1kxkxkx 1kxkxkx N阶后向差分 N阶前向差分 1kukuk 2. 线性常系数差分方程及其解法 迭代法 Z变换法 离散时间LTI系统 的数学模型为 2. 经典时域分析方法:求解差分方程 3. 卷积法: 系统完全响应 = 零输入响应+零状态响应 求解齐次差分方程得到零输入响应 利用卷积和可求出零状态响应 zszi kykyky* zi khkxky 系统响应求解方法: 00 jkxbikya j m j i n i 1. 迭代法: 一、迭代法一、迭代法 已知 n 个 y1, y2, y2, yn 和，由差分方 程迭代出系统的输出。 01

15、 jkxbikyaky j m j i n i 00 jkxbikya j m j i n i 一阶线性常系数差分方程 yk0.5yk1=uk, y1 = 1，用迭代法求解差分方程。 将差分方程写成15.0kykuky 代入初始状态，可求得 5.115.0115.000yuy 75.15.15.0105.011yuy 875.175.15.0115.022yuy 依此类推 缺点：很难得到闭合形式的解。 二、经典时域分析方法二、经典时域分析方法 差分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次解yhk和特解ypk组成: ph kykyky 齐次解yhk的形式由齐次方程的特征根确定 特解ypk的形式由方程

16、右边激励信号的形式确定 二、经典时域分析方法二、经典时域分析方法 (1) 特征根是不等实根 r1, r2, , rn (2) 特征根是等实根 r1=r2=rn (3) 特征根是成对共轭复根 k nn kk rCrCrCky 2211h kn n kk rkCkrCrCky 1 21h 0 j 2,1 ej bar kCkCky kk 0201h sincos 二、经典时域分析方法二、经典时域分析方法 输 入 信 号特 解 ak (a不是特征根) k Aa ak (a是特征根) k Aka n k 01 1 1 AkAkAkA n n n n nk ka)( 01 1 1 AkAkAkAa n

17、n n n k kk 00 cossin或kAkA 0201 sincos kaka kk 00 cossin或 )sincos( 0201 kAkAa k 例已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程 yk5yk1+6yk2 = x k 初始条件y0 = 0，y1 = 1，输入信号 xk = 2k uk，求系统的完全响应yk。 特征根为 齐次解yhk 解解 ： (1) 求齐次方程yk5yk1+6yk2 = 0的齐次解yhk 特征方程为 065 2 rr 3,2 21 rr kk CCky32 21h 解解 ： (2) 求非齐次方程yk5yk1+6yk2 =xk的特解ypk 由输入xk的形式，

18、设方程的特解为 将特解带入原差分方程即可求得常数A= 2。 0,2 p kAkky k 例已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程 yk5yk1+6yk2 = xk 初始条件y0 = 0，y1 = 1，输入信号 xk = 2k uk，求系统的完全响应yk。 解解 ： (3) 求方程的全解，即系统的完全响应yk 解得 C1= 1，C2= 1 0,232 1 21ph kkCCkykyky kkk 00 21 CCy 12321 21 CCy 0,232 1 kkky kkk 例已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程 yk5yk1+6yk2 = xk 初始条件y0 = 0，y1 = 1，输入

19、信号 xk = 2k uk，求系统的完全响应yk。 1) 若初始条件不变，输入信号 xk = sin0 k uk，则系统的完全响应 yk=？ 2) 若输入信号不变，初始条件y0=1, y1=1, 则系统的完全响应yk= ？ 若差分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响 应的物理概念。 1.系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用 而产生的输出响应。 0 0 ikya i n i 数学模型: 求解方法： 根据差分方程的特征根确定零输入响应的形式 再由初始状态确定

20、待定系数。 例 已知某线性时不变系统的动态方程式为: yk+3yk1+2yk2=xk 系统的初始状态为y1=0， y2= 1/2，求系统的零输入响应 yzik 。 解解： 系统的特征方程为 系统的特征根为 解得 C1=1，C2= 2 023 2 rr 2, 1 21 rr kk CCky)2()1( 21zi 2 1 4 1 2 0 2 1 1 21 21 CCy CCy 0)2(2)1( zi kky kk 例 已知某线性时不变系统的动态方程式为: yk+4yk1+4yk2=xk 系统的初始状态为y1=0， y2= 1/2，求系统的零输入响应 yzik 。 解解： 系统的特征方程为 系统的特

21、征根为（两相等实根） 解得 C1 = 4, C2= 4 044 2 rr 2 21 rr kk CkCky)2()2( 21zi 0 22 1 21 CC y 1 42 2 21 CC y 0,)2(4)2(4 zi kkky kk 例 已知某线性时不变系统的动态方程式为: yk0.5yk1+yk2 0.5yk3 =xk 系统的初始状态为y1 = 2， y2= 1， y3= 8，求系统的零输入 响应yzik 。 解解： 系统的特征方程为 系统的特征根为 解得 C1= 1，C2= 0 ，C5= 5 05.05.0 23 rrr k rr 2 j 3,21 ej,5.0 kCkCCky k 2 c

22、os 2 sin) 2 1 ( 321zi 221 21 CCy 142 31 CCy 883 21 CCy 0, 2 cos5) 2 1 ( zi kkky k 求解系统的零状态响应yzsk方法： 1) 直接求解初始状态为零的差分方程。 2) 卷积法： 利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。 当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励xk产生的响应称为系 统的零状态响应，用yzsk表示。 2.系统的零状态响应 卷积法求解系统零状态响应yzs k的思路 1) 将任意信号分解为单位脉冲序列的线性组合 2) 求出单位脉冲序列作用在系统上的响应 单位脉冲响应 3) 利用线性时不变系统的特性，即可求出

23、任意序列xk激励下系统的 零状态响应yzsk 。 卷积法求解系统零状态响应yzs k推导 由时不变特性 由均匀特性 由叠加特性 khk nkhnk nkhnxnknx nkhnxnknxT nn * zs khkxnkhnxky n 0121 1021 kkxbkxbkyakyaky 对差分方程两边做z变换，利用 )()( 12)(1)()( 1 10 1 22 2 21 1 1 zXzbzXb zyayazYzayazYzazY 1)(1 1 yzYzkukyZ 21)(2 12 yzyzYzkukyZ 初始状态为y1, y2 2 2 1 1 1 221 zi 1 121 )( zaza z

24、yayaya zY )( 1 )( 2 2 1 1 1 10 zs zX zaza zbb zY )()( zszi 1 zYzYZky Yzi(z)Yzs (z) )( 11 121 )( 2 2 1 1 1 10 2 2 1 1 1 221 zX zaza zbb zaza zyayaya zY 例例：某离散LTI系统满足 yk4yk1+4yk2 = 4xk 已知y1=0 ，y2=2， xk=(3)k uk，由z域求 yzi k、yzs k、yk。 Y(z)4z1Y(z)y1+4z2Y(z)+z1y1+y2=4X(z) 2121 1 441 )(4 441 241414 )( zz zX

25、zz yyzy zY Yzi(z)Yzs(z) 将差分方程两边进行单边z变换得 求解此代数方程可得系统完全响应的z域表示式 yzsk=Z1Yzs(z)=1.6(k+1)(2)k+0.96(2)k+1.44(3)kuk yk=yzik+yzsk 21 )21( 8 z 0,)2(8)2(8)( zi 1 zi kkzYZky kk 1121 31 44.1 21 96.0 )21( 6.1 zzz 例例：某离散LTI系统满足 yk4yk1+4yk2 = 4xk 已知y1=0 ，y2=2， xk=(3)k uk，由z域求 yzi k、yzs k、yk。 21 1 zi 441 241414 )(

26、zz yyzy zY 121 zs 31 1 441 4 )( zzz zY = 6.4k(2)k5.44(2)k+1.44(3)kk0 21 1 32 2113 )( zz yzyy zY)( 32 1 21 21 zX zz zz 令k=k2 已知一满足差分方程 , 12,21 0121322 kukxyy kkxkxkxkykyky 由z域求系统零输入响应，零状态响应和完全响z应 212132kxkxkxkykyky 对差分方程两边做z变换 )()1( )21)()1)(3)(2 21 121 zXzz yzyzYzyzYzzY 已知一满足差分方程 , 12,21 0121322 kuk

27、xyy kkxkxkxkykyky 由z域求系统零输入响应，零状态响应和完全响应 21 1 zi 32 2113 )( zz yzyy zY 21 1 32 25 zz z 11 5.01 5.0 1 3 zz )5.0()1(3)( 11 zi 1 zi kuzYZky kk 零输入响应为 21 1 32 2113 )( zz yzyy zY)( 32 1 21 21 zF zz zz 21 1 32 2113 )( zz yzyy zY)( 32 1 21 21 zF zz zz 已知一满足差分方程 , 12,21 0121322 kukxyy kkxkxkxkykyky 由z域求系统零输

28、入响应，零状态响应和完全响应 零状态响应为 121 21 zs 1 1 32 )1( )( zzz zz zY 111 5.01 6/5 1 5.0 1 6/1 zzz )5.0)(6/5()1(5.06/1)( zs 1 zs kuzYZky kk )5.0)(3/4()1(5.36/1 zszi kukykyky kk 脉冲传递函数或脉冲传递函数或H(z) H(z) 系统函数的定义 H(z)与hk的关系 z域求零状态响应 求H(z)的方法 系统在零状态条件下，输出的z变换式 与输入的z变换式之比，记为H(z)。 )( )( )( zszs zX zY kxZ kyZ zH H(z)hk )

29、(khZzH)( 1 zHZkh 1 )( zs khZ khZ kZ kyZ zH kh hk H(z) xkyzs k = xk*hk X(z) Yzs(z) = X(z)H(z) H(z) 由系统的单位脉冲响应求解：H(z)=Zhk 由系统的差分方程写出H(z) )( zs kxZ kyZ zH 由定义式 例：例：求单位延时器yk=xk1的系统函数H(z) 。 )(zXkx z )(1 1 zXzkx z 1 1 zs )( )( )( )( )( z zX zXz zX zY zH 利用z变换的位移特性，有 根据系统憨数的定义，可得 即单位延时器的系统函数H(z) 为z1 。 例：例：

30、 一LTI离散系统，其初始状态为y1=8，y2=2, 当输入xk= (0.5)kuk时，输出响应为 yk= 4(0.5)kuk 0.5k(0.5)k1 uk1(0.5)kuk 求系统函数H(z)。 )5.0()5.0)(1()5.0(5kukukkuky kkk 1211 5.01 1 )5.01( 1 5.01 5 )( zzz zY )5.01()5.01( 5.15.03 121 21 zz zz 例：例： 一LTI离散系统，其初始状态为y1=8，y2=2, 当输入xk= (0.5)kuk时，输出响应为 yk= 4(0.5)kuk 0.5k(0.5)k1 uk1(0.5)kuk 求系统函

31、数H(z)。 对于初始状态为y1=8, y2=2的一般二阶系统 2 2 1 1 1 221 2 2 1 1 2 2 1 10 1 828 1 )()( zaza zaaa zaza zbzbb zXzY 2 21 25.01 5.025.15.2 )( z zz zH )5.01()5.01( 5.15.03 121 21 zz zz H(z) )()( )()( )( )( )( 21 21 n m zzzzzz rzrzrz K zD zN zH 0 (2)(3) 0.510.5 0.5j 0.5j 1 j j Re( z) Im( z) )5.0 j5.0)(5.0 j5.0()1)(5

32、.0( ) j1)(j1( )( 2 3 zzzz zzz zH 系统函数可以表达为零极点增益形式，即 D(z)=0的根是H(z)的极点，在z平面用 表示。 N(z)=0的根是H(z)的零点，在z平面用 表示。 例如 )()( )()( )( 21 21 n m zzzzzz rzrzrz KzH n i i i zz k 1 1)()( 1 1 1 kuzkzHZkh k i n i i 由系统函数H(z)的零极点分布，可将H(z)展开成部分分式，对每个部分分式取z 反变换可得hk。 如H(z)为单极点时，有 H(z)hk k k k k )Re( z k k k k )Im( z 11 j

33、 j | r k 离散LTI系统稳定的充要条件是 kh k H(z)的收敛域包含单位圆则系统稳定。因果系统的极点全在单 位圆内则该系统稳定。 由H(z)判断系统的稳定性： 试判断下面因果LTI离散系统的稳定性 该因果系统的收敛域为|z|1.5 收敛域不包含单位圆，故系统不稳定。 )5.11)(5.01( 1 )( 11 zz zH 从收敛域看 系统的极点为z1=0.5, z2=1.5 极点z2=1.5在单位圆外，故系统不稳定。 从极点看 一因果离散系统如图所示， 求 a) H(z) b)系统稳定时k的范围。 )()()3/()( 1 zXzGkzzG )()4/()()( 1 zGzkzGzY

34、 1 1 )3/(1 )4/(1 )( zk zk zH 系统稳定3k 由于由于系统稳定系统稳定时，系统函数的收敛域包含单位圆，因此系统的频率响应时，系统函数的收敛域包含单位圆，因此系统的频率响应 H(ej )可由可由H(z)求出。求出。 单 位 圆 D 1 D 2 N 1 N 2 z1 z2 p 2 p 1 1 1 2 R e(z) Im (z) ej n i i m j j pz zz KzH 1 1 )( )( )( j ez n i i m j j p z KH 1 j 1 j j )e( )e( )e( j jj Nz j j e)e( i Dp i j i j e)e( )()(j

35、 21 21j 2121 e)e( nm n m DDD NNN KH 用用z平面平面pi和和zj 点指向单位圆点指向单位圆 上上ej 点的向量点的向量 表示表示 )e( j H )( 已知某因果离散LTI系统的系统函数 1, 1 1 2 )1 ( )( 1 1 z z zH 试用向量法定性画出该系统的幅度响应和相位响应。 0 N D R e(z) Im (z) 1 e j 当当 =0时时 2N 1D 1 2 1 )e( 0 j D N H 0)0()0()0( 当当 = 时时 0N 1D 0 2 1 )e( 0j D N H 2 2 )()()( 当当0 时，时，D随着随着 的增大而增大，的

36、增大而增大，N随着随着 的增大而减小，的增大而减小， D N H)e(, j )()()(, 因此 已知某因果离散LTI系统的系统函数 1, 1 1 2 )1 ( )( 1 1 z z zH 试用向量法定性画出该系统的幅度响应和相位响应。 0 N D R e(z) Im (z) 1 e j |(e j)| 1 () )()()( 2 zWzHzY)()()( 12 zXzHzH )()()()()( 21 zXzHzXzHzY)()()( 21 zXzHzH )()()(zKzEzY)()()()(zYzzXzE )( )()(1 )( )(zX zKz zK zY )()(1 )( )( zKz zK zH 01 ikxbjkyaky n i i n j j j n j j i n i i za zb zH 1 0 1 )( 设差分方程中的 m=n，即 i n i i j n j j zb za 0 1 . 1 1 H1(z) H2(